Tính các tích phân sau a.. Tính các tích phân sau... Tính các tích phân sau a... Tính các tích phân sau a... Tính các tích phân sau a... Tính các tích phân sau a... Tính các tích ph
Trang 1Nguoithay.vn TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
Bài 5 TÍCH PHÂN XÁC NH ( ti t 2 ) TÍCH PHÂN CH A CÁC HÀM S L NG GIÁC
I KI N TH C
1 Thu c các nguyên hàm :
sin ax+b dx cos ax+b
a
sin ax+b
ln os ax+b
os ax+b dx c c
os ax+b sin ax+b
a
os ax+b
ln sin ax+b sin ax+b
c
dx
2 i v i : I f x dx( )
a/ N u f(x)= n
sinm ; os
R x c x thì ta chú ý :
- N u m l , n ch n : đ t cosx=t ( G i t t là l sin )
- N u n l , m ch n : đ t sinx=t ( G i t t là l cos )
- N u m,n đ u l thì : đ t cosx=t ho c sinx =t đ u đ c ( g i t t l sin ho c l cos )
- N u m,n đ ch n : đ t tanx=t ( g i t t là ch n sinx , cosx )
b/ Ph i thu c các công th c l ng giác và các công th c bi n đ i l ng giác , các
h ng đ ng th c l ng giác , công th c h b c , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi
3 Nói chung đ tính đ c m t tích phân ch a các hàm s l ng giác , h c sinh đòi
h i ph i có m t s y u t sau :
- Bi n đ i l ng giác thu n th c
- Có k n ng khéo léo nh n d ng đ c cách bi n đ i đ a v d ng đã bi t trong
nguyên hàm
II M T S VÍ D MINH H A
Ví d 1 Tính các tích phân sau :
a ( H, C Kh i A – 2005) 2
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x x
I
b H, C Kh i B – 2005 dx
x
x x
I2
0 1 cos
cos 2 sin
KQ: 2ln2 1
Gi i
2 cos 1 s inx sin 2 sin
1
1 3cos 1 3cos
x
x x
t :
2
osx= ;s
1 3cos
2
Khi đó :
2
3
1
2
2
1
t
t
t
Trang 2TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
sin 2 cos 2sin cos os
2 s inxdx 1
dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1
2
1 osx
t
t
2
2 ( ) 2 2 2 2 ln 2 ln 2 1
1 2
t
Ví d 2 Tính các tích phân sau
a H- C Kh i A – 2006 2 2 2
0
sin 2x
cos x 4sin x
b C B n Tre – 2005 2
0sin 1
3 cos
dx x
x
Gi i
a
2
0
sin 2x
cos x 4sin x
t c x x t c x x
2 2sin cos 8sin cos 3sin 2 sin 2
3
2
2
( )
1
tdt
t
b 2
0sin 1
3 cos
dx x
x
os3x=4cos 3cos 4cos 3 osx= 4-4sin 3 osx= 1-4sin osx
1 4sin os3x
1+sinx 1 s inx
x c
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2
2
1 s inx
t t
t
2
2 3
( ) 8 4 8 2 3ln 2 3ln 2
1
I f x dx t dt t t t
t
Ví d 3 Tính các tích phân sau
Trang 3TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
a C SP Sóc Tr ng Kh i A – 2005 2
0
sin
sin 2 cos cos
2
xdx I
x
b C Y T – 2006
2
4
sin x cosx
1 sin 2x
Gi i
a
2
ln 1 osx 2 ln 2 sin cos 1 osx 1+cosx
2
b
sin x cosx sin x cosx sin x cosx
sinx+cosx
1 sin 2x sinx+cosx
Do đó : s inx+cosx s inx+cosx
M t khác : ds inx+cosx cosx-sinxdx
4
ln s inx+cosx ln1 ln 2 ln 2
4
d I
V í d 4 Tính các tích phân sau
a C S Ph m H i D ng – 2006
2
3 0
cos2x
sin x cos x 3
b C KTKT ông Du – 2006 4
0
cos2x
1 2sin 2x
Gi i
a
2
3 0
cos2x
sin x cos x 3
cos 2xcos xsin x cosx+sinx cosx-sinx
Cho nên :
osx-sinx os2x
sinx-cosx+3 sinx-cosx+3
c c
2
s inx-cosx+3
t
t
4
2
Trang 4TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
b
4
0
cos2x
1 2sin 2x
1
4 cos 2 os2xdx=
4
1 2sin 2
4
V y :
3
1 2sin 2x 4 t 4 1 4
Ví d 5 Tính các tích phân sau :
a C S Ph m Qu ng Ngưi – 2006 2 3
0
4sin x
1 cos x
b C B n Tre – 2006
3 6
0
sin3x sin 3x
1 cos3x
Gi i
2 3
2
1 cos x
I dx 4 s inxdx=4 1 cosx s inxdx=4 1 cosx 2 2
0
b
3 6
0
sin3x sin 3x
1 cos3x
sin 3xsin 3xsin 3 1 sin 3x x sin 3 os 3x c x
t :
1 dt=-3sin3xdx
sin3xdx=-3
1 os3x
6
dt
2
2 1
1
t
Ví d 6 Tính các tích phân sau
a I =
2
3
sin x sin x
cot gx dx sin x
2
4
c I =
2 4 0
sin x dx
d I = cos 2 x ( si n4x cos4 x ) dx
2
0
Gi i
a I =
3
1
s inx 1
Trang 5TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
3
2
1
sin x
cosx-sinx
cosx+sinx
4
2
2
cosx+sinx
2
c I =
2
4
2
0
0
d I = cos 2 x ( si n4x cos4 x ) dx
2
0
sin os 1 sin 2
2
x c x x
Cho nên :
1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 0
Ví d 7 Tính các tích phân sau
a I =
2
5 0
sin xdx
4 2 6
1
dx sin x cot gx
c I =
3
6
2
0
Gi i
0
Trang 6TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
b I =
4
2 6
1
dx sin x cot gx
1 3
1
tdt
t
Vì :
sinx osx sin os os2x
cosx sinx s inxcosx sin2x
x
Cho nên :
t anx-cotx<0;x ;
6 4
3 3
t anx-cotx>0;x ;
4 3
os2x os2x 1
t anx-cotx t anx-cotx
sin2x sin2x 2
4 1 3
ln sin 2 ln sin 2 ln 2
2
d I =
2
0
x t dx dt x t x t
Do đó :
2
L y (1) +(2) v v i v : 2I 0 I 0
Ví d 8 Tính các tích phân sau
a
3
4
4
tan xdx
(Y-HN-2000) b
4
0
os2x sinx+cosx+2
c
dx
6 2 4 4
os sin
c x dx x
(NNI-2001)
Trang 7TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
d
2 4 6 0
sin os
x dx
c x
( GTVT-2000) e
2
2 0
sin 2
4 os
x dx
c x
2 4
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
Gi i
a
3
4
4
tan xdx
4 4
1 os
c x x
4
dx
3
4 x
* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 1
tan 1 tan tan 1 1 tan
os os
dx dx
c x c x
3
4
b
4
0
os2x sinx+cosx+2
c
dx
Ta có :
os sin osx-sinx osx+sinx os2x
( ) sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9
c
3
osx+sinx
sinx+cosx+2
c
t :
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,
4
s inx+cosx+2
t t
t
V y :
2 2
3
2
3 9 3
2 2
Trang 8TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
c
6
2
4
4
os
sin
c x
dx x
2
1 sin
x
2
1 os2x
3
cot 3cot 3 sin 2
4
2
1 tan
2
t anx+ tan tan t anx- tan 4 tan tan 4
2
7 os2x
ln 7 os2x 2 ln
1 os2x
2
c
1 sin 2
ln 1 sin 2 4 ln 2
0
Ví d 9 Tính các tích phân sau :
a
2
0
sin xcos xdx
2
0
sin 3
1 2 os3x
x dx c
c
5
s inx+ 3 osx s inx+ 3 osx cosx- 3 s inx
Gi i
sin xcos xdx 1 cos x cos s inxdxx cos x cos x d cosx
os os 2
0
c x c x
Trang 9TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
1 2 cos 3
ln 1 2 cos 3 2 ln 3
0
c Ta có :
sin
s inx+ osx
3
x c x
c
x c
Do :
2
tan
2 6
x d
V y : 6
0
tan
2 6
ln tan 6 ln 3 ln 3
2 6
x d
x I
x
sin 3 os sin 3 os sin 3 os
3
s inx+ 3 osx s inx+ 3 osx
x c x
0
3 s inx- 3 osx osx- 3 s inx 6 1 3
0
I
I J
t x dt dx x t x t
ln 3
sint+ 3 ost
os t+3 3 sin t+3
c c
Ví d 10 Tính các tích phân sau
a
4
0
1
1 sin 2xdx
2
02 s inx+cosx
dx
0
sin x cos x sin xcos x dx
3
6
1
s inxsin x+
6 dx
Gi i
a
2
2
4
x
x
b
2
dx
Trang 10TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
2 2
2
2
t :
2
1 2 tan
os
2 1 tan
1 2
c u
dt
c u u
t
1
2
1
2
2 2 2 2 arxtan arctan 2
2
u
u
u
u
0
sin x cos x sin xcos x dx
sin x c os xsin xcos x sin x c os x cos xsin x cos xsin x
os sin os sin os sin os sin
V y : 2
0
os4x+ os8x sin 4 2 sin 8 2
d
3
6
1
s inxsin x+
6 dx
Do đó :
s inxsin x+ s inxsin x+ s inxsin x+
f x
sin x+
6 6 I
* Chú ý : Ta còn có cách khác
Trang 11TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
f(x)=
2
3 1 sin 3 cot
s inxsin x+ s inx s inx+ osx
c
2
2 3 cot
2 ln 3 cot 2 ln
6
x
Ví d 11 Tính các tích phân sau
a
3 2
2 0
s inxcos
1 os
x dx
c x
2
0
os cos 2
c x xdx
c
4
0
sin 4
os sin
x dx
4 4
0 os
dx
c x
( HTM-95)
Gi i
s inxcos 1 os
(sin 2 ) 1
1 os 2 1 os
2
2sin cos sin 2
1 os
2
t c x
c x t x t x t
2 1
1
t
b
2
0
os cos 2
c x xdx
( ) os cos 2 1 os2x+cos4x+cos4x.cos2x
f x c x x c
1 os2x+cos4x+ os6x+cos2x os2x+ os4x+ os6x
V y : 2
0
os2x+ os4x+ os6x sin 2 sin 4 sin 6 2
0
c
4
0
sin 4
os sin
x dx
sin os 6sin cos 6 os sin 6sin cos sin os
d x c x x x c x x dx x x x c x
sin os 3sin 2 sin os sin os 3sin 2 cos 2
sin 4 sin 4 sin os
2 xdx xdx 3d x c x
sin os
ln sin os 4 ln 2
0
x
Trang 12TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
1 tan t anx t anx+ tan 4
0
c x c x c x
Ví d 12 Tính các tích phân sau
a 11 0
sin xdx
4
0
sin xcos xdx
c
4 2 0
os cos 4
c x xdx
0
1 cos2xdx
Gi i
a 11
0
sin xdx
Ta có :
sin xsin x.s inx= 1-cos x s inx= 1-5cos x10cos x10cos x5cos x c os x s inx
0
1-5cos 10 cos 10 cos 5cos os s inxdx
0
7c x 6c x x 2c x 3c x c 21
b
4
0
sin xcos xdx
H b c :
2
1
1 2 cos 2 os 2 os2x-2cos 2 os 2
1 os2x-cos 2 os 2 1 os2x- os2x
1 os2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 os2x-cos4x+
1
2 3cos 2 os6x-cos4x
32 x c
0
2 3cos 2 os6x-cos4x sin 2 sin 6 sin 4 4
0
d
2 2
2
1 cos2xdx 2 cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx cosxdx
2 s inx 2 s inx 2 1 1 2 2
Trang 13TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
1 Trong ph ng pháp đ i bi n s d ng 2
* S d ng công th c :
f x dx f bx dx
Ch ng minh :
t : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt , 0
0
x b t
Do đó : 0
b
f x dx f b t dt f b t dt f bx dx
ph thu c vào bi n s
V í d : Tính các tích phân sau
a/
2
3 0
4sin
s inx+cosx xdx
2
3 0
5 cos 4 sin
s inx+cosx
dx
c/ 4 2
0
log 1 t anx dx
6 2
0
sin sin os
x dx
x c x
e/ 1
0
1 n
m
x x dx
4 2
0
sin cos sin os
x x
dx
x c x
Gi i
a/
2
3 0
4sin
s inx+cosx
xdx I
(1) t :
4sin
4 cos 2
cost+sint
t
t
Nh ng tích phân không ph thu c vào bi n s , cho nên :
3 0
2
4 osx
sinx+cosx
c
L y (1) +(2) v v i v ta có :
s inx+cosx s inx+cosx
2
2 0
1
4
4
x
b/
2
3 0
5 cos 4 sin
s inx+cosx
T ng t nh ví d a/ ta có k t qu sau :
Trang 14TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
0
2
5cos 4sin 5sin 4 cos 5sin 4 os
2
s inx+cosx ost+sint s inx+cosx
c
V y :
2
2
4
x
c/ 4 2
0
log 1 t anx dx
( ) log 1 t anx log 1 tan
4
t
4
0
I f t dt dt tdt I t I
d/
6 2
0
sin sin os
x
x c x
6
2
sin
os 2
os sin
t
c x
C ng (1) và (2) ta có : 2 66 66 2
os sin
0
e/ 1
0
1 n
m
x x dx
t : t=1-x suy ra x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
1 m n( ) n(1 )m n(1 )m
I t t dt t t dtx x dx
M T S BÀI T P T LUY N
1
2 2
0
4sin
1 osx
x dx c
4
0
osx+2sinx
4 cos 3sin
c
dx
3
3 2
2 0
s inxcos
1 os
x dx
c x
3 2 0
s inx cos
x
dx x
5 1
6
1
x x dx
Trang 15TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
7
4
0
s inx+2cosx
3sinx cosxdx
2 0
1 s inx ln
1+cosx dx
0
sin
9 4 cos
x x
dx x
4 2
0
sin cos sin os
x x
dx
x c x
* D ng : asinx+bcosx+c
's inx+b'cosx+c'
a
Cách gi i :
Ta phân tích : asinx+bcosx+c ' osx-b'sinx
's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c'
dx A
- S au đó : Quy đ ng m u s
- ng nh t hai t s , đ tìm A,B,C
- Tính I :
Ax+Bln 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c'
VÍ D ÁP D NG
Ví d Tính các tích phân sau :
a
2
0
s inx-cosx+1
s inx+2cosx+3dx
4
0
osx+2sinx
4 cos 3sin
c
dx
c
2
0
s inx+7cosx+6
4sinx 3cosx 5dx
0
4 cos x 3sin x 1
dx
4 sin x 3cos x 5
Gi i
a
2
0
s inx-cosx+1
s inx+2cosx+3dx
s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3
Quy đ ng m u s và đ ng nh t h s hai t s :
1 5
2 1
4 5
A
A B
A C
C
Thay vào (1)
s inx+2cosx+3
ln s inx+2cosx+3 2
0
d
3 4 4
10 5 5 5
I J
- Tính tích phân J :
Trang 16TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
t :
2
1
2 0
1
2 2
tan
( )
dx
x c
f x dx
Tính (3) : t :
2
2 2
2
( )
2 os 2 os
du
c u
c u
c u
1
u
2
2 tan
u
u
u
0
3cos 4sin osx+2sinx osx+2sinx
4 cos 3sin 4 cos 3sin 4 cos 3sin 4 cos 3sin
Gi ng nh phàn a Ta có : 2 1
;
A B ;C=0
0
3cos 4sin
ln 4 cos 3sin 4 ln
0
H c sinh t áp d ng hai ph n gi i trên đ t luy n
BÀI T P
1
2
3 3
sin s inx cot
sin
dx x
2
0
3 os 4sin 3sin 4 cos
dx
0
os sin
c x x dx
2
2 6
1 sin 2 sin sin
x x dx x
5
4
0
s inx-cosx
1 sin 2xdx
2
4
2
15sin 3 cos 3x xdx
0
s inxcosx
, 0
os sin
dx a b
a c x b x
3 6 0
tan xdx
9 3
2 6
ln s inx
os dx
c x
0
2
os4x.cos2x.sin2xdx c
Trang 17TÍCH PHÂN CÁC HÀM S L NG GIÁC
11.
4
6
0
tan
os2x
x dx c
4 0
sin
4 sin 2 2 1 s inx+cosx
x
dx x
13 2
0
os 1 os
c x c xdx
0
sin 1 osx sin osx
x x x c
dx
x x c
15
3
2 0
1 sin
os
x x
dx
c x
2
0
sin 2
os 4sin
x
dx
17
2 3
2 0
sin sin 2 cos
x x
dx
x x
2004 2
0
sin sin os
x dx
x c x
19.
3 6
0
sin 3 sin
1 os3x
dx c
3
6s inxsin x+
3
dx
3 2 0
sin 2x 1 sin x dx