1. 2 2 sin x 1 1
4 sin x cosx
2 sin x
1
4 sin x cosx
2sin x cosx 1 sin 2x 1
4
2 C1.sin3 x cos3 x 2 (sin5 x cos5 x )
x x
2 x 2
sin
x x x
x 1
x 2 x x
2
1
sin
sin x cos x tg x 1
C2.sin3 x cos3 x 2 (sin5 x cos5 x )
) cos (sin
) cos )(sin
cos
(sin3x 3x 2x 2x 2 5 x 5x
) sin (cos
cos ) sin (cos
sin cos
sin sin
cos cos
x x
0 x x
0 x x
0 x x
0 x x
x x
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
sin cos sin
cos sin
cos sin
cos )
sin )(cos
sin
(cos
Z) (k cos
sin cos
sin
cos sin
cos
2
k 4 x 0 x 2 0
x x
x x
0 x
2
3. sin2 x cos2 2 x cos2 3 x
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x
(cos 4x cos 2x) (1 cos 6x) 0
0 x x 2 x 4 0 x x
x 2 0 x 2
x x
2cos cos cos2 cos (cos cos ) cos cos cos
Z) (k cos
cos cos
3
k 6
x 2
k 4 x k
2 x 0 x 0
x 0
x
4. sin6 x cos6 x 2 (sin8 x cos8 x )
x x
2 x 2
sin
x 2 x x
2 x 1
x 2 x x
2
1
sin
Trang 2Z) (m cos
cos cos
sin
cos
2
m 4
x k 4 x
2
m 4 x 1
tgx
0 x 2 1
x tg
0 x 2 x
x
0
x
2
6 6
6
5. sin x cos x sin x cos x 2
4 x
x x
x cos sin cos 2
sin
2 k x 0 x 2 1
x 2 2
x 2 2 4 x x
2 x 2 1 x
8
13 x
cos
x 2 8
13 x
(cos
x 2 8
13 x x x
x x
2 sin )(cos sin sin cos ) cos
(cos
x 2 13 x 2 2 8 x 2 x
8
13 x 4
1 x 2 2
1 1
x
2 ( sin2 sin2 ) cos2 cos ( sin2 ) cos2
cos
0 6 x 13 x 2
0 x 2 x
2 13 x 2 1
2 8
0 x x
13 x 2
8
0
x
2
2 2
sin
cos
(loại) cos
cos
2
1 x 2 0
x
6
x 2
k 4 x
7. 1 3 tgx 2 sin 2 x(*) Đặt t tgx
k 4 x 1 tgx 1 t 0 1 t 2 t 3 1 t 0 1 t t t 3 t 1
t 4 t
3
(*)
8. 3 sin x 2 cos x 2 3 tgx
2 tgx 3 2 tgx 3 x 2
tgx 3 x 2 x
tgx
3
2 k
x 2 k x tg
3
2
tgx
1
x
tg Z) (k cos
4 (*) C1 Ta có : 2 sin x 4 sin x cosx
2 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)
x 4 x x
x 2 x
x 2
2
1 (sin cos )3 sin (sin cos )3 sin
(*)
Vì cosx 0 khôngthỏamãn phươngtrình.Chia haivế của phươngtrìnhchocos3x 0tacó:
Z) (k )
)(
( ) (
)
4 x 1 tgx 0
1 x tg 3 1 tgx x
tg 1 tgx
4
1
C2. (*) (sinx cosx)3 4sinx (sinx cosx)(sinx cosx)2 4sinx
0 x x 2 x x 2 x 3 x x
4 x x 2 1 x
x cos )( sin cos ) sin cos sin sin2 cos sin cos2
(sin
Trang 30 2 x x
2 x 2 x 0
3 x 2 x 1
x 2
x( sin2 ) sin ( cos2 ) cos (cos ) sin (cos )
cos
Z) (k (loại)
cos )
sin )(cos
4
x 1
tgx
2 x 0
x x 2
x
2
9. 4 (sin4 x cos4 x ) 3 sin 4 x 2 x 3 4x 2
2
1 1
4( sin2 ) sin
3
2 3
x 4 1
x 4 x
3 2 x 2
x
Z)
(k
2
k 12
x 2
k
4
x
10. 2(sin x cos x) sin x cos x8 8 6 6 2cos x cos x sin x 2sin x8 6 6 8
cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos2x
4
4
2 cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0
4
cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 0 cos x cos2x sin x cos2x cos2x 0
cos2x 0
4 sin x cos x 1 vo ânghiệm 4 2
4
4
3 x 2
x
0 3 x 2 4 x 4
0 3 x 4 4 x 4
13.tg4x 4 tg2x 3 0
14. cos4 2 x 2 cos2 2 x
cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loại)
Z) (k
sin
2
k x k x 0
x
2
15. cos22 x 4 sin4x 3 0 (1 2sin2x)2 4sin4x 3 0
0 3 x 4 x 4 x
4
2 x 0 x 1
x
2
Trang 416.cos x cos 2x 12 2
0 1 1 x 4 x 4 x 0
1 1 x 2
cos
4 cos x 5cos x cos x 0 cos x 1 (loại) cosx 0 x k (k Z)
17. 2 cos 4 x 1 3 cos 2 x
) cos cos
( cos
) cos
(
5
2 x 1
0 x 5
2 x 2
0 x 5
1 x
1 x 0
1 x 6 x
2 2
4
cos
sin cos
sin cos
cos cos
cos
sin x 0 cos2x cos x k x k2 (k Z) với cos
18. 2 sin2 x tg2x 2 (1) Điều kiện : cosx 0
x
x x
2
2
cos
sin sin
)
(
x 2 x 1
x 2 x 2 x 2 x 1
x x
1
2( cos2 )cos2 cos2 cos2 cos2 cos4 cos2 cos2
2 cos x cos x 1 0 cos x 1 (loại) cos x 2 cos x 1 2 cos x 1 0
2 Z) (k cos
2
k 4 x k 2 x 2 0
x
2
C2. tg x 2 2tg x tg x tg x 2 2tg x
x tg 1
x tg
2
2
)
(
tg x tg x 2 0 tg x 1 tg x 2 (loại) tgx 1 tg x k (k Z)
19. 8 sin4 x 13 cos 2 x 7 0
0 6 x 26 x 8 0 7 x 2 1 13
x
8sin4 ( sin2 ) sin4 sin2
4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3 1 (loại) 2sin x 1 cos2x
Z) (k cos
6 x 2 k 3 x 2 3 2
1
x
2
20.3 3 sin4x 5 cos4 x 0
0 x 5 x x
2 1 3 3 0 x 5 x 1
3
3 ( cos2 )2 cos4 ( cos2 cos4 ) cos4
1 x 2 2
0 x 3
x 1
2
0 x 3
x 4
0 x x
6 x
8
2 2
2
2 2
4
cos
cos )
cos (
cos cos
cos cos
cos
1
x tg
1 x
tg2 2 (1) Điều kiện :tgx 0
Trang 5(1) tg4x 2tg2x 1 0 (tg2x 1)2 0
2
1 x
tg
4 4 2 Điều kiện :cosx 0
(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 tg x 1 tg x (loại)
4
23.
8
1 x
8 cos
sin
8
1 x x 2 x x
8
1 x
(sin
4
(1 sin 2x) 2(sin x cosx) 1 sin 2x sin 2x 2 sin 2x
1 x 2 x
2 2 x 8
8 8
1 x 8
1 x 4
1 x
1 sin2 sin4 sin4 sin2 sin4 sin4
sin 2x 8sin 2x 7 0 sin 2x 1 sin 2x 7 1 (loại)
0
x
2
2
k 4 x k 2 x 2
24. 2 ( 1 sin 2 x ) 5 (sin x cos x ) 3 0 2(sinx cosx)2 5(sinx cosx) 3 0
sin x cosx 1 sin x cosx 2 (loại) sin x sin
3
25. 5 ( 1 sin 2 x ) 12 (sin x cos x ) 7 0
0 7 x x
12 x x
5(sin cos )2 (sin cos )
3
26. 3 cos4 x 4 cos2 x sin2 x sin4 x 0
cosx cos x
cosx cos x
Trang 62 2
1 cosx 0 (1) 1 cosx 2 (2)
nghiệm) (vô
cos cos
)
Z) (k cos
) (cos cos
cos
)
29.
x
1 x x
1
2
cos
cos cos
cos
cosx cosx .Điều kiện :cosx 0
nghiệm) (vô
cos cos
)
Z) (k cos
) (cos cos
cos
)
cosx cos x
2
2
1 x 0
1 x
1
cos cos
] cos [cos
0 1 x x
cos
cosx
cos x
cosx cosx 2 Điều kiện :cosx 0
Z) (k (loại)
cos cos
cos
)
1 2 1 x
2 1 x 0
1 x 2 x
(2) 2 cos x 3cosx 2 0 cosx cos cosx 2 (loại) x k2 (k Z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x k2 v k2 (k Z)
3 x
sin x
sin x
2
Trang 71 1
sin x 1 (1) sin x 2 (2)
2 k 2 x 1 x 0
1 x 0
1 x 2 x
33. 4 sin x2 12 4 sin x 1 7 0
sin x sin x
sin x 2 sin x 2 Điều kiện :sinx 0
nghiệm) (vô
sin sin
)
(1 2 2 x 3 x 2 0
(2) 2sin x 5sin x 2 0 sin x 2(loại) sin x sin
7
34 C1 :tg2x cot g2x 2 ( tgx cot gx ) 6 (*)
2
k x 0 x 2 0
x x
6 gx tgx
2 2 gx tgx cot )2 ( cot )
(
tgx cot gx 2 (1) tgx cot gx 4 (2)
Z) (k )
( )
4
x 4 tg 1 tgx 0
1 tgx 0
1 tgx 2 x tg 2 tgx
1
tgx
) sin( sin
sin cos
sin cos
sin sin
cos cos
sin
)
(
6 2
1 x 1
x 2 x
x 4 x x
4 x
x x
x
Vậy nghiệm của phương trình là : k
4
12
7 x k 12 x
C2 :Đặt
gx tgx 2 x g x
tg gx tgx
t gx
tgx
t cot 2 ( cot )2 2 cot 2 cot tg2x cotg2x 2
4 2 x g
x
tg
2 2 cot 2
2 t 2 t 2 t 4
t2
tgx
1
Z) (k
k 4
x 4 tg
1
tgx
Khi
cos sin
Điều kiện : sin x 0 (1) sin2
x sin x 1 0 (vônghiệm)
Trang 81 2sin 2x 1 sin 2x sin
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : k
4
12
7 x k 12 x
35. tg2x cot g2x 5 ( tgx cot gx ) 6 0 (*)
2
k x 0 x 2 0
x x
0 6 gx tgx
5 2 gx tgx cot )2 ( cot )
(
tgx cot gx 1 (1) tgx cot gx 4 (2)
nghiệm) (vô
)
tgx
1
tgx
) sin( sin
sin cos
sin cos
sin sin
cos cos
sin
)
(
6 2
1 x 1
x 2 x
x 4 x x
4 x
x x
x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : k (k Z)
12
7 x k 12 x
cos x 3 g x 4 tgx gx 1 0
2
k x 0 x 2 0
x x
0 1 gx tgx
4 x g 3 x tg 1 3 0 1 gx tgx
4 x g 3 x
3
cos
)
(
0 2 gx tgx
4 2 gx tgx
3 0 2 gx tgx
4 x g x
tg
0 4 gx tgx
4 gx tgx
3( cot )2 ( cot ) (*)
Đặt : t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx tg2x cotg2x 2
4 2 x g
x
tg
2 2 cot 2 t2 4 t 2 tt 22
(*) 3t 4t 4 0 t 2 t (loại)
3
x
x x
x 2
sin
cos cos
sin
sin x 2 tg x 5 tgx gx 4 0
2
Trang 9Điều kiện : sin cos sin (k Z)
2
k x 0 x 2 0
x x
0 4 gx tgx
5 x tg 2 x g 1
2
1) ( cot 2 ) 2 ( cot )
(
0 4 gx tgx
5 2 gx tgx
2 0 4 gx tgx
5 x g x
tg
0 gx tgx
5 gx tgx
2( cot )2 ( cot ) (*)
Đặt :t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx
2 x g
x
tg2 cot 2
4 2 x g
x
tg
2 2 cot 2
2 t 2 t 2 t 4
(*) 2t 5t 0 t t 0 (loại)
2
sin
cos cos
sin
5
1 x x
x 5 x x
2 2
5 x
x x
x 2
5
38.(sin x cos x)3 2(1 sin 2x) sin x cos x 2 0
(sin x cosx) 2(sin x cosx) sin x cosx 2 0
đặt t sin x cosx 2 cos x
4 điều kiện: t 2 Phương trình trở thành : t3 2t2 t 2 0 (t 2)(t +1) = 02 t = 2
sin x cosx 2(sin x cosx)
cosx sinx 2(sin x cosx)sin x cosx 1 đặt t sin x cosx 2 cos x
4 điều kiện: t 2 Phương trình trở thành : t3 t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 02 t = 2
(sin x cosx)(1 sin x cosx) 2sin x cosx sin x cosx
2
t 1 đặt t sin x cosx 2 cos x sin x cosx
Phương trình trở thành :
t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1 t = 2 (loại) t = 1
(sin x cosx) 1
sin x cosx 3
2
t 1 đặt t sin x cosx 2 cos x sin x cosx
điều kiện: t 2 Phương trình trở thành :
Trang 10VT (cos4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP 5 sin3x 4
Vậy phương trình tương đương với hệ :
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP 5 sin3x 4
Vậy phương trình tương đương với hệ :
44.sin x cos x 2(2 sin 3x)
VT sin x cosx 2 sin x 2
Vậy phương trình tương đương với hệ :
vo ânghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
45.sin x sin x 113 14
sin x sin x sin x sin x Vì cosx 1 cos x cos x ;13 2 sin x 1 sin x sin x14 2 Vậysin x sin x 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi:13 14
2
46.sin x cos x 2 ( 2 sin 3 x ) (1)
VT sin x cosx 2 cos x 2
4
2 1 2 2 x 2
2
Vậy (1) 2 cos x 4 2 cos x 4 1 cos x 4 1 (1)
2 sin3x 1 sin3x 1 (2) 2(2 sin3x) 2
2 k 4 x 2 k 4
x
1)
thế vào (2) ta có : sin3x sin 3 k6 sin3 2 1
3t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0 t = 2 t = t = (loạ
Trang 11Vậy phương trình vô nghiệm
47.(cos 4 x cos 2 x )2 5 sin 3 x
4 x x
3 4
x x 3 2
Vậy
(2) 1
x sin
sin sin
sin sin sin
sin sin sin
sin
)
2 2
2 2
2
4 x 3
1 x 1
x 1 x 1
x
1 x x 4
x 5
4 x x 4
1
2 x 1
x
thế vào (2) ta có : sin x 3 4 1 thỏa mãn
2 x 1
x
thế vào (2) ta có : sin x 3 4 1 1 không thỏa
Vậy nghiệm của phương trình là : k2 (k Z)
2 x
48 . 5 sin22 x sin x 2 cos x (1)
5 x 2 5
VT sin2 Dấu bằng xảy ra sin2x = 0 (k Z)
2
k
5 x x
4 1 x 2
x
Dấu bằng xảy ra
2
1 tgx 2
x 1
x cos
Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm
49. 3 sin 2 x cos 2 x 3 sin x cos x 4 (1)
2 x 2
1 x 2
3 x 2 2
1 x 2
3
(
cos sin 2x sin cos2x sin sin x cos cosx 2 sin 2x cos x 2
Vì sin 2x 1
6 và cos x 3 1 nên (*)
2
3
Vậy nghiệm của phương trình là : k2
3
50.cos 2 x cos x 1
2 x x
1 x x
2
1(cos cos ) cos cos (*)
Trang 12Vì cos x 1 và cosx 1 nên (*)
2 k x 1 x 1
3 4
1 x 1
x 3 x 4
1 x 1
x
1
x
cos
cos cos
51.cos 2 x x2 1 (*)
1 0 0 x 1 x 1 1
x2
cos cos
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
52.cos 3 x cos x 2 (*)
Vì cos x 1 và cosx 1 nên (*)
2 k x
1 x 1
3 4
1 x 1
x 3 x 4
1 x 1
x
1 x
cos
cos cos
Z)
(cosx 1) tg x 0
tgx 0
Z) (k cos
0
x
1 x
54.4sin x 2 3tgx 3tg x 4sin x 2 02 2
4sin x 4sin x 1 3tg x 2 3tgx 1 0
(2sin x 1) ( 3tgx 1) 0
tgx 3 / 3 (2) 5
6 6 thế vào (2) ta có nghiệm x 6 k2 , (k Z)
x 2xsin x sin x cos x 2 cosx 1 0
0 x 2
k x
0 0 2
k 2
k 2
k x
x x
1 x x x
0 1 x x
cossin )
(cos )
sin
(
Vậy nghiệm của phương trình là :x = 0
56.
2 x cos2x 1
2
sin x 0
sin x sin 2x sin 3x
2
cos2x cos4x cos6x 0 cos4x(2 cos2x 1) 0
57.
58.
Trang 131 1
2 2 sin x
2 sin x
4
sin x cosx 0 sin 2x 0 1
2
2sin x cosx 1 sin 2x 1 sin x cosx
cosx cos2x cos3x cos4x 0
4 cosx.cos cos 0 cosx 0 cos 0 cos 0
2k
sin x cos x 2(sin x cos x)
(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)
sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)
sin x cos x
sin x cos 2x cos 3x
1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x (cos2x cos4x) (1 cos6x) 0
2
2 cos3x cosx 2 cos 3x 0 2 cos3x(cosx cos3x) 0 4 cos3x.cos2x.cosx 0
sin x cos x 2(sin x cos x)
sin x(1 2sin x) cos x(2 cos x 1) 0
cos2x(sin x cos x) 0 cos2x 0 x
59.
60
61
62
Trang 14sin x cosx sin x cosx 2.
Bình phương 2 vế ta được cos2x 1 sin 2x 0 x k
2
cos x sin x
8
2 cos2x(2 cos 2x 13cos2x 6) 0
1 3tgx 2 sin 2x (*)
2
4t (*) 1 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t 1 0
1 t 2
4
3sin x 2 cos x 2 3tgx
3tgx cosx 2 cosx 2 3tgx cosx(3tgx 2) 2 3tgx Đặt : t tgx
3
4cos x 3 2 sin2x 8cosx
4 cos x 6 2 sin x cosx 8cosx 2 cosx(2 cos x 3 2 sin x 4) 0
2 3
tgx 2 cot g2x sin 2x (*)
Điều kiện : sin 2x 0 Đặt : t tgx
2
k cos2x 0 (thỏa mãn điều kiện) x
3
sin x 2 sin x (*)
Đặt : t x x t
63
64
65
66
67
2 cosx(2sin x 3 2 sin x 2) 0 cosx 0 sin x 2 (loại) sin x
68
69