CHƯƠNG III DÃY SỐ BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) là một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương cho trước bă[.]
Trang 1CHƯƠNG III - DÃY SỐ BÀI 1 - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) là một mệnh đề đúng với mọi số
nguyên dương n n (n≥ 0 0∈N )* cho trước bằng phương pháp quy nạp ta thực hiện các bước sau :
+ CM A(n) là một mệnh đề đúng khi n = n0 + Giả sử A(n) đúng khi n k n0= ≥
+ CM A(n) là một mệnh đề đúng khi n = k+1
B - CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta
có: 1.4 2.7 + + ×××+ n 3n 1 n n 1( + =) ( + )2
Lời giải
Với n = 1:
Vế trái của (1) = 1.4 4 =
Vế phải của (1) = 1(1 1) + 2 = 4
Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1) Vậy (1)
đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng đến n k = Có nghĩa là ta có:
+ + ×××+ + = + 2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1 = + Có
nghĩa ta phải chứng minh:
+ + ×××+ + + + +
= + + 2
k 1 k 2
Thật vậy
( )
= +
+ + ×××+ + + + +
1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
2
k k 1
2
2
k 1 k 2 ( dpcm)
Vậy (1) đúng khi n k 1= + Do đó theo nguyên lí
quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta
có:
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
+
n n 3
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 2C - BÀI TẬP TỰ LUẬN BÀI TẬP Chứng minh rằng: với n N∈ *
1) 2 5 8 3n 1( ) n(3n 1)
2
+
2)
1 2 n
6
3) 1.2 2.5 n.(3n 1) n (n 1)+ + + − = 2 + 4) n5−nchia hết cho 5
5) 4n +15n 1− chia hết cho 9 6) 2n-3 > 3n-1 (n≥8)
BÀI 2 - DÃY SỐ
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ¥ được gọi là một dãy số *
vô hạn ( gọi tắt là dãy số ) Ký hiệu :
*
u :
n u(n)
→
a
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u , u , u , , u , trong đó 1 2 3 n un =u(n) hay viết tắt là ( )un và gọi u là số hạng đầu , 1 u là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của n dãy số
- Mỗi hàm số u xác định trên tập M={1, 2,3, , m} với m N∈ * được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của dãy số là u , u , u , , u trong đó 1 2 3 m u là số hạng đầu và 1 u là số m hạng thứ m cũng là số hạng cuối
- Dãy số ( )un được gọi là dãy số tăng nếu ta có un 1+ >un với mọi n N∈ *
- Dãy số ( )un
được gọi là dãy số giảm nếu ta có un 1+ <un với mọi *
n N∈
- Dãy số ( )un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho ta có *
n
u ≤M, n∀ ∈¥
- Dãy số ( )un
được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho ta có un ≥m, n∀ ∈¥ *
- Dãy số ( )un
được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới , tức là tồn tại số
M và m sao cho ta có m u≤ n ≤M, n∀ ∈¥ *
B
- BÀI TẬP TỰ LUẬN
1) Dãy số (un) với
2 n
2n 3 u
n
−
=
2) Dãy số (un) với
2 n
1) Dãy số (un) với un =n3−3n2+5n 7− 2) Dãy số (u
n) với n 2
n 1 u
+
= +
Trang 3Chứng minh rằng: dãy số (un) với n
2n 3 u
3n 2
+
= + là một dãy số giảm và bị chặn