30 đề luyện thi đại học môn toán - giới thiệu các đề thi thử và dự bị -part1

Tuy nhiền, do đã phì nhận được nội dung của các bài tốn chưa giải được vào não bố và phương thức hoạt dong da nhiệm của nĩ nên hồn tồn cĩ thể xảy ra trường hợp các em chợt nhân thay ran

a “tAU TRUC CUA MOT DE THI TUYEN SINH

Theo phương thức mới thì để thi của Bô GID & ĐT có cấu trúc:

1 DE thi gom 70 kiến thức thuộc lớp 12 và 30% kiến thức thuộc lớp 10 và

lớp 11

2 Mỗi đế thị thông thường có 1U câu, mỗi câu được | điểm và được phân phối

nhu sau:

Các đé thi từ nâm 2006 — 2008 có cấu trúc

Cau I (2 điểm): ' Hàm số và các bài toán liền quản, cụ thể:

| (l điểm): Khảo sát sự biển thiên và về đó thị hàm so

3 (1 điểm): Hài toán liên quan tới hàm xổ

Cau Il (2 điểm): Đai số và lương giác

| (l1 điểm): Giải phương trình hoặc hè lương giác

3 (1 điểm): Giải phương trình hoặc hệ đại sô

Cau lHI (2 điểm): Phương pháp toa độ trong không giản

Câu ÏV (2 điểm)

I (1 điểm): Các bài toán liên quan đến nguyên hàm và tích phân

3 (1 điểm): Các bài toán về bất đẳng thức, giá trì lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm xổ

Câu V (2 điểm):

Theo chương trình THPT khóng phản ban

\ (1 điểm): Phương pháp toa đô trong mắt phẳng

2 (1điểm): Tô hợp và xác suất

Theo chương trình THPT phan ban

I (1 điểm): Phương trình, bắt phương trình, hệ mũ và lôgarit

3 (1 điểm): llinh hockhông gian

Cac dé thi tit nam 2009 có câu trúc Câu | (2 điểm): Hầm xổ và các bài toán liên quan, cu thé:

z 1 (1 diém): Khao sát sự biển thiên và vẽ đó thị hàm số

3 (1 điểm): Hài toán liên quan tới hàm số

Cau Il (2 điểm): Đai số và lượng giác

WWVVY faded Ghanestiakubialde, COP]

Caw III (l điểm): Cúc bài toán liên quan đến nguyên hàm và tích phân

a CaulV (1 điểm): Hình hoc không gian (thuộc kiến thức lớp 12)

v _Câu V (1 điểm): Các bài toán vé bất đảng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ

si nhật của hàm số

Theo chương trình THPT chuẩn

Cau VI (2 điểm)

| (1 điểm): Phương pháp toạ độ trong mật phẳng

2 (1 điểm): Phương pháp toạ độ trong không giản

Cau VII (1 diém): SO phic

Theo chuong trinh THPT nang cao Cau VI (2 diém)

| (1 điểm): Phương pháp toa đô trong mat phang

2 (l1 điểm): Phương pháp toa độ trong không gian

Câu VHỊ (1 điểm): Các bài toán chỉ có trong chương trình nâng cao

Để thực hiện tốt bài thị của bản thân các em học sinh có thể tham khảo kinh nghiém sau:

| Đọc để thị thật kỹ, tối thiếu ba lắn (dành từ 10 đến 25 phút):

Lán đọc thứ nhất: Đọc chậm từ trên xuống với mục dich gắng ghi nhớ toàn bộ nội dung của đề thị

Lan doc tit hat: Doe cham từ trên xuống, và:

a Khi gap bdi toán chắc chấn giải được, hãy khẳng định nó thuộc dạng toán gì

và các bước để thực hiện nó (ghi ra nháp) Thí dụ với câu “Kháo sát sự biển

N,

+ * - 4 * * , x =

thiên và về đó thị hàm sở ý = : ” các em học sinh sẽ nhận thay ngay

rằng nó thuộc đạng toán “Khao sat sit bién thién va vé dé thi ham sé bac hai

trên bác nhát” và để có lời giải đúng cắn thực hiện theo các bước sau:

Bước I: Miến xác định D= 3NO|

Bước 2: ‘Vinh dao ham y', rối kết luân về tính đơn điêu và cưc trị (nếu có)

của đó thị hàm số

Bước 3: Xác dịnh tiệm cận dimg và tiêm cận xiên (bảng phép chia da

thức TS cho MS) của đồ thị

Bước 4: Làp bảng biến thiên

Bước 5: Vẻ dó,thị hàm số dưa trên lý VỆ kh tổng kết (có thể cần lấy thêm

WV Se {i eS eee PI th vé ng

5

« * «

si b_ KĨu gáp bái toán chưa chắc chắn giải được, cho đù đã định hình được nó

* thước mời dạng toán lứa nào đó thì hãy nhìn nhân lại đấu bài rói thực hiện một vài phép thử ra nháp để đưa ra lời kết |uí dụ với bài toán:

" =

[a0 “Lim cae ngluém thuoc (0; 22) cua phương trình:

cos 3x + sin tx —_— - ) = COX2X +3 ` ”

3sin 3X

S(sinx +

các em học sinh sé nhan thay ngay rang can thuc hien theo các bude:

Bước Ì: - tật điều kien có nghĩa cho phương trình Bước 2: { ưa chọn phép biến đối lưng giác phù hợp để chuyển phương

trình bạn đầu về dạng phương trình lượng giác cơ bản, từ đó nhân

được nghiếm cho phương trình theo ke 2

Bước 3: _'[luêi lập diều kiện cho nghiệm xe |Ú, 3| => giá trị k => nghiện)

Tuy nhiền, việc thực luên bước 2 là không chắc chân, do đó cấn một vài

phép biến đối ra nhấp theo bà định hướng sau:

® - Chuyển đồi phân sô, với nhân xét:

COXÄX + sind x = 4cos'X — 3cosx + 3sinx ~ dSin`X

= 4(CON X — SH X) — Ÿ(COSX ~= SHIX)

Khi đó, phương trình được chuyển về đang:

Š(sIIX + COSX — SINX) = COS2X + 3 <> Jeos’x -— Scosx + 2 = 0,

Tới dây, các em học sinh đừng lại vì đã chân chắc thực hiện được tiếp

© Thue hiện phép quy đống cuc bo, cu the:

costx #sin ty sink = (cos x - cos x) + cos 3x + + sin ix

s Thực hiện phép quy đóng toàn bộ đẻ khử mâu

Ww wi 1313E212 ale aT tft Ue, Urn

“ Lan doé slut ba: Doe cham tir trén xudng, va kiém tra lai tính đúng đắn cho những

bài tốn 1ã chắc chân giải đướœ, cơng việc này sẽ giúp các em học sinh loại bỏ

ỨŒ những suy nghĩ chủ quan hộc thiếu sĩt khơng g đáng cĩ Với bài tốn chưa agit định tướng được cách giải trong lấn doe thir har, rated thé ten Min doe nay ede em

về phat hien ra được ý tưởng để thực hiện nĩ, nêu dược như vậy thi hay ghi ngay ra nhấp, cịn khơng lại tiếp tục bị quá

2 Ghi lời giải chỉ tiết các bài tốn đã chắc chan giải được vào gidy thi, Trong thời

gian này cde em hoe sinh cAn Mp trung cao do và đừng bản khoản vé những bài

tốn chưa giải được Tuy nhiền, do đã phì nhận được nội dung của các bài tốn

chưa giải được vào não bố và phương thức hoạt dong da nhiệm của nĩ nên hồn

tồn cĩ thể xảy ra trường hợp các em chợt nhân thay rang bai todn đĩ thuộc mơi dạng đã gâp hoặc cĩ được một phương pháp dể tháo gỡ vướng mắc sau lấn dọc thứ ba nếu như vậy hãy ghi nhắn tắt cả ra nhấp rồi tiếp tục quay lại với bài thì

3 Sau khi đảm bảo được tính dung dan cho lời giải trong giấy thị thì mới quay lại

nháp cho những bài tốn chưa giải được

4 Cấn loại bỏ suy nghĩ phải giát được đến cùng mới phí vào bài thị, bởi cho dù mỗi

câu hỏi được Ì điểm nhưng vì nĩ được chấm theo thang điểm 0.25, tức là làm đúng đến đâu các em sẽ nhân được điểm đến đĩ, do vậy hãy cứ phí nhân chúng vào bài làm của mình

Thí du với càu:

“Mic dinh wm để hàm số ý = X' = 3mX” + 3m + mì cĩ các điểm cực đại, cực

tiến lập thành mot tam giác đếu”,

khi nhân thấy nĩ thuộc dang tốn ”J huộc tính của các điểm cức trị” và sẽ phải thuc hien theo cde bude:

Buéc il: Mién xacdinh D= =

Bude 2: (Lim diéu kiện đẻ hàm vo cĩ ba cức 1) ‘Vinh dao ham VÌ, thiết

Để hàm số cĩ bạ cực trị điều Kiến là phương trình (1) cĩ ) ha

Bude 3: (Lim dieu kien dé ba cue trì lập thành tơi tam giác đếu) Cua sự

chưa hiết cách làm

Các cm cũng gìn nhận lời piát của bước 1, bude 2 vio bai thi, cu the:

Mién xde dinh D= <

a⁄/ ee eee ee ee eer ee

bao giờ, trong trường hợp này đừng vội kết luận inình không giải được mà hãy nghĩ

; phường pháp phân tích để chia nhỏ bài toán thành những bài toán con (bài toán wee 0.25-diém) va trong s6 chiing rat có thể các emn biết cách giải quyết#)6 chính là bí

quyết để nhận được điểm tối da từ môt bài toán lớn không giải được

Thí du với câu:

"Tinh tich phan l= | jy

1X +

rất nhiều học sinh sẻ thấy lúng túng bởi:

s8 - Nó không thuộc dạng nguyên hàm cơ bản

® - Không thể sử dung phương pháp đổi biến

® Khong thé st dung phương pháp tích phân từng phần

Và việc vân dụng phương pháp phân tích vào dây sẽ giúp các em có đượœ một phần

điểm hoặc nhận được điểm tối da vì đã tùm ra được lời giải hoàn chỉnh của nó Cụ thể: s8 - Chia nhó Ì thành hai tích phân Ï, và Ï; như sau:

® - Tới đây hấu hết các em đếu có thể tính được l, bằng phép đổi biến x = tant

(đã được học trong sgk), như vậy sẽ nhận được (0.5 điểm

® - Với tích phân Ï, nó thuộc dạng cơ bản “Vinh tích phản [f(xxix với f(x) tà

hàm số le" ta sử dụng phép đổi biến x = - t

6 Cuối cùng, các em học sinh cần biết rằng:

® Do khong nhất thiết phải thực hiện đề thị theo thứ tự nên bài toán nào chắc

chân giải được các em nẻn thực hiện trước

® Mỗi bài toán được châm theo thang điểm tối thiểu là Ô.25 điểm nên khi

hiểu tới đâu thì các em cứ trình bày vào bài thị

Xin chúc các em thành cong!

NHÓM CỰ MÔN - LÊ HỒNG ĐỨC CỨNG TẬP THỂ GIÁO VIÊN TRƯỜNG QUỐC TẾ NEWTON - HA NOI

WV nnasacntritue, corn

Di LUYỆN THỊ MÔN TOÁN — đố 1

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I: (2 điểm): Cho hài

1 Khao sat sự biến thiên

In sO:

- 3 2

và vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến

đó đi qua điểm M(-l;

1 Tìm các nghiệm thuộệ [0; 2z] của phương trình:

5(sinx + Ÿ S5 ESInSS ) = cos2x + 3

PHAN RIENG (3.0 diém)

Thi sinh duoc

A Theo chuong trinh hà

(P,): x - hx +3| va y=x+3 h chóp đều SABC, cạnh đáy bằng a Gọi M, N theo

C Tính diện tích AAMN theo a biết hai mặt phẳng

c với nhau

minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn

x#+Z`+3x + y)(x + 2(y + 2) <5(y + 2

m một trong hai phần (phần A hoặc B) uẩn

BCD có tâm I(1/2; 0), cạnh AB có phương trình

= 2AD Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết A

yz, cho đường thẳng (A,) là giao tuyến của hai

+Z~—4=0 và Œ;): x + 2y - 2z + 4=0

và đường thẳng (A;) có phương trình:

x=l*+t (A):4y=2+t,teR

z=l+2t Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (A,) và song song với (A;)

Câu VII.a (1 điểm): Cho khai triển:

x-l x xa x-l X

2? #2?) Q2)" + C2292 3)+ + CR(2 3)"

Biết rằng C} =5C) và số hạng thứ tư bằng 20n Xác định n, x

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho AABC vuông tại A, biết phương trình cạnh

BClà V3x- y- V3 =0,diém A, B thuộc trục hoành Xác định toạ độ

trọng tâm G của AABC, biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp AABC

Tìm toạ độ điểm H thuộc (A) sao cho độ dài MH ngắn nhất

Câu VII.b (1 điểm): Giải phương trình:

b Sự biến thiên của hàm số:

" Giới hạn của hàm số tại vô cực:

limy= lim ax + 2 4% 4 ya] te Khta> 0

Bee ee ax ax” ax" —œ khi a<0

= Bang bién thién:

y'=3ax?+2bx+c, y'=0 <> 3ax’+ 2bx+c=0

c Đồ thị: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ

thị của hàm bậc ba có bốn dạng sau đây:

Có hai cực trị | Không có cực trị | Có hai cực trị | Không có cực trị

Để tìm giá trị cực trị của hàm số tại điểm xụ trong trường hợp

xu là số lẻ, thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta được:

= y'.g(x) + h(x)

Suy ra:

Yo = ¥Ko) = Y' Ko) (Xo) + MCX) = HE)

Khi đó, "Phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu

của đồ thị hàm số có dạng y= h(x)”

Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng

That vậy, dời trục bằng phép tịnh tiến về gdc U(X, yo), trong do:

Y+y,=aQ@X + xụ)` + bX + xu)” + c(X + xụ) + d

<> Y =aX' + 9(x,)X

Ham số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận U làm tâm đối xứng

Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a >0 và hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp tuyến của đồ thị

© V6i a <0, thi ky, = Mo dat duge khix,= - 2, 3a 5

từ đó suy ra điều phải chứng minh

Nếu đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì điểm

uốn nằm trên trục hoành

R9,/Copy|

Thật vậy, hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox là

nghiệm của phương trình:

f(x) = ax + bx”+cx+d =0 qd)

= D6 thi ham s6 cat Ox tại ba điểm A, B, C cách déu nhau

© (1) có ba nghiệm phân biệt x, < x; < x; thoả mãn

3a

đó là hoành độ điểm uốn U của đồ thị hàm số, mà CC) =0,

a

b suy ra U( - —, 0)€Ox

3a

Chú ý: Kết quả trên cho ta điều kiện cần để đồ thị hàm bậc ba cắt trục

hoành tại ba điểm cách đều nhau (hoặc “đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba

điển phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng ") Khi áp dụng điều

kiện cần đã nêu trên, ta cần thử lại để có điều kiện cần và đủ

Tính chất 7: Với phương trình bậc ba:

a Du dodn nghiém va phan tích thành nhân tử

= Néua+b+c+d=0 thi (1) c6 nghiém x = 1

= Néua—b+c-—d=Othi (1) c6 nghiém x =-1

* Néua, b,c, d nguyén va (1) c6 nghiém hiu ty © thi p,

q

q theo thứ tự là ước của d va a

= Nếu (1) có nghiệm x,, thi

()© (x- x¿j)\(ax” + bịx + c) =0

b Các phương pháp xác định điều kiện của tham số để

phương trình bậc ba có k nghiệm phân biệt

© đồ thị hàm số cắt Ox tại k điểm phân biệt

13

DO-Gopy,

14

Phuong phap 1: Dai so

Đoán nghiệm xạ của (1) Phân tích (1) thành:

" (1) có đúng hai nghiệm phân biệt (khi đó, đồ thị hàm số

tiếp xúc với Ox)

(2)có nghiệm kép khác xụ (2) có hai nghiệm và một nghiệm là xạ

* (1) cé ba nghiém phan biét (khi đó, đồ thị hàm số cắt

Ox tai ba diém phan biét)

< (2) c6 hai nghiém phan biét khac x,

Lập bảng biến thiên của hàm số y = g(x)

Dựa vào bảng biến thiên biện luận vị trí tương đối của đường

thẳng y = h(m) với dé thi hàm số y = g(x)

Phương pháp 3: Hàm số dạng II Xét hàm số (C): y= axÌ + bx”+ cx + d

“ (1) có nghiệm duy nhất

© (© cat Ox tai mot điểm

DO Copy,

Hàm số luôn đơn điệu

"_ (1) có đúng hai nghiệm phân biệt

(©) cat Ox tai hai điểm ((C) tiếp xúc với Ox

© Hàm số có cực đại, cực tiểu và yco.Ycr = 0

y'=0c62nghiém x,,x, phan biét

1e1sttjt :

"_ (1) có ba nghiệm phân biệt

© (C) cat Ox tại ba điểm phân biệt

«© Hàm số có cực đại, cực tiểu và yco.Ycr <0

y'=0có hai nghiệm x,, x; phân biệt

2 Với yêu cầu "Lập phương trình tiếp tuyến với đô thi ham số (C): y = f(x)

di qua điển A(Xu, yạ) ", ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước I: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = xạ, khi đó phương trình tiếp

tuyến có dạng:

(đ): y =y°(/)(X~ Xu) + YG,)

Œ) Bước 2: Điểm A(x„; yA)€(đ)

> Yq = Y’(Ko)(Kq — Xo) + y(Xụ) = Xo = tiếp tuyến

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước I: Phương trình (d) đi qua A(x,; y,) c6 dang:

(d): y =k(K — Xa) + Ya-

Bước 2: (d) tiép xtic voi dé thi hàm số khi hệ sau có nghiệm:

ie =kŒ—XA)+Ya f{x)=k = k= tiếp tuyến lếp tuyến

Câu II

1 Dạng toán lượng giác kiểu này được thực hiện thông qua các bước sau:

Bước I: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

15

DO.Gopy

Bước 2: Lựa chọn phép biến đổi lượng giác phù hợp để chuyển phương

trình ban đầu về dạng phương trình lượng giác cơ bản, từ đó nhận được nghiệm cho phương trình theo k € Z

Cụ thể, với phương trình này chúng ta cân khử mẫu số và công

việc này thường được thực hiện theo hai hướng:

Để có được định hướng này chỉ cân khẳng định nghiệm của

phương trình Q(x) = 0 cũng là nghiệm của phương trình P(x) = 0

Và với phương trình đã cho, ta nhận thấy:

công thức:

cos3x = 4cos*x — 3cosx,

sin3x = 3sinx — 4sin‘x

để từ đó có phép biến đổi:

cos3x + sin3x = 4cos`x — 3cosx + 3sinx — 4sin`x

= 4(cos*x — sin`x) — 3(cosx — sinx)

= (cosx — sinx)[4(1 + cosx.sinx) — 3]

= (cosx — sinx)(1 + 2sin2x)

Hướng 2: (Quy đông cục bộ): Ta chỉ biến đổi:

cos3x+sin3x _ (1+2sin2x)sin x + cos3x + sin3x

_ §in x + 2sỉn 2x.sỉn x + cos3x + sin 3x

1+2sin2x _ SỈnX+€0§X—coS3x + cos3x + sin 3x

1+2sin2x sinx+

DO Copy

_ cosx+(sinx+sin3x) _ cosx+2sin2x.cosx

= COSX

Bước 3: Thiết lập điều kiện cho nghiệm x e [0; 2z] => giá trị k > nghiệm

2 Đây là hệ phương trình có chứa căn nên trước tiên cần đặt điều kiện có

nghĩa cho hệ

Tiếp theo, từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có ngay:

x-y=0 SN y=x l

Lần lượt thực hiện thế với y = x và y = x —.1 vào phương trình thứ hai

trong hệ ta nhận được phương trình chứa căn dạng:

_ g(x)>0

a ene (rage

Câu II Bài toán " Tinh dién tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai

ham s6 y = f(x), y = s(x)", ta thực hiện theo các bước sau:

Câu IV Đây là bài toán thuộc kiến thức hình học không gian, tuy nhiên với

giả thiết S.ABC là hình chóp đều và yêu cầu tính diện tích thiết diện vuông

góc do đó chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:

Cách 1: Sử dụng phương pháp toạ độ hoá để chuyển bài toán về hình

học giải tích trong không gian

Cách 2: Sử dụng kiến thức về hình học không gian (lớp L1) với:

"ˆ Diện tích tam giác được tính theo đáy và đường cao

" Diện tích thiết diện được tính thông qua thể tích

Câu V Trước tiên, các em học sinh hãy nhìn vào bất đẳng thức cân chứng

minh để khẳng định rằng nó được xây dựng dựa trên ba hạng tử là:

X+y,X+ZVàYy+zZ,

Như vậy, để giảm độ phức tạp của bất đẳng thức cần chứng minh chúng

ta nghĩ ngay tới việc sử dụng ba ẩn phụ:

17

DO-Copy

a=x+y

c=y+z

và khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

ai + b + 3abe < 5c` © (a + b)(a? + bể — ab) + 3abc < 5cÌ (1) Tới đây, chúng ta cần chuyển biểu thức điều kiện theo a, b, c, thì bằng

việc giải hệ (*), chúng ta sẽ nhận được:

1 Trước tiên các em học sinh hãy vẽ hình và bắt đầu định hướng như sau:

a A, B thuộc đường thẳng (AB), chúng ta cân chỉ thêm ra A, B thuộc

một đường khác

b Vi ABCD 1a hinh chit nhat có tam I nén A, B, C, D thuộc đường tròn

(I, IA), din téi việc cần tính được độ dài IA, vấn đề sẽ được giải quyết bằng việc sử dụng tam giác vuông [HA với H là trung điểm

AB, trong đó:

IH =d(, (AB) => AD =2IH và AB=2AD

=AH= ° —IA = VAH? +I?

c Tới đây chúng ta có thể xây dựng được các bước thực hiện bài toán

như sau:

Bước I: Gọi H là trung điểm AB, rồi đi tinh IA

Bước 2: Nhận xétrằng ABCD nội tiếp trong đường tròn (1, IA), lập

phương trình đường tron (I, IA)

Bước 3: Vì (D O (AB) = {A, BỊ, do đó toạ độ A, B là nghiệm của

hệ phương trình tạo bởi Œ) và (AB), suy ra được toạ độ của

A, B Œới lưu ý đỉnh A có hoành độ âm)

Bước 4: Tới đây, ta sử dụng nhận xét:

" _ VìC đối xứng với A qua I, suy ra toa độ của C

» _ Vì D đối xứng với B qua I, suy ra toạ độ của D

2 Từ giả thiết:

= Mat phang (P) chứa đường thẳng (A,) nên thuộc chùm tạo bởi (A,)

= (P/(Aj)<© n, La, © ng a, =0 = giá trị tham số = phương

trình (P)

18

DO Copy

Cau VI.b

1 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đề He(A;): MH,¡„ © H là hình chiếu vuông góc của M lên (A;)

Câu VỊI.b Đây là dạng phương trình lôgarit có chứa căn, do đó nó được

giải thông qua các bước sau:

Bước I: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Buéc 2: Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình về dạng phương trình đa

thức (cần thiết lập điều kiện cho ẩn phụ)

Buéc 3: Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó suy ra nghiệm của phương

b Sự biến thiên của hàm số:

" _ Giới hạn của hàm số tại vô cực:

2 Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1 Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = xụ, khi đó phương trình tiếp tuyến

“ Với x=—l, thay vào (1) ta được tiếp tuyén (d,): y = 24x + 15

* Voi xy = 3 „ thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d,): y = ex us 2

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (đ,), (d;) của đồ thị thoả mãn điều kiện

Cách 2: Phương trình đường thang (d) qua M(-1; -9) voi hệ số góc k, có dang:

= V6ik = 24, thay vao (1) ta duge tiếp tuyến (d,): y = 24x + 15

" Vớik= m thay vào (1) ta được tiếp tuyến (đ;): y = ex - a

Vậy, tôn tại hai tiếp tuyến (đ,), (d;) của đồ thị thoả mãn điều kiện

20

DO Gory

Câu II

1 Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách !: Với điều kiện sin2x -5 , taco:

cos3x + sin3x = 4cos*x — 3cosx + 3sinx — 4sin*x

= 4(cos*x — sin*x) — 3(cosx — sinx)

= (cosx — sinx)[4(1 + cosx.sinx) — 3]

= (cosx — sinx)(1 + 2sin2x) Khi đó, phượng trình có dạng:

5(sinx + cosx — sinx) = 2cos’x — l + 3 & 2cos’x — 5cosx + 2 =0

Khi đó, các nghiệm thuộc [0; 2x] của họ x = a + 2kr là x= x z

Vậy, với x = Ễ va x= = thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Với điều kiện sin2x -5 „ ta CÓ:

cos3x+sin3x _ (1+2sin2x) sin x +cos3x +sin3x

Khi đó, cdc nghiém thudc [0; 27] cla ho x = = + 2k7 là x= g vax = x §

Vậy, với x= Š và x= = thoả mãn điều kiện đâu bài

21

DO.Copy

Cách 3: Với điều kiện sin2x # =5 „ ta biến đổi phương trình về dạng:

5[(1 + 2sin2x)sinx + cos3X + sin3x] = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

© 5(sinx + 2sin2x.sinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

© 5(sinx + cosx — cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

© 5(sinx + cosx + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

© 5(cosx + 2sin2x.cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

<= 5(1 + 2sin2x)cosx = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

& 5cosx = cos2x + 3 > Scosx = 2cos”x — | + 3

cos x = 2 (loại)

©2cos2x — Scosx +2=0 cosx => 1 ©x=‡+} +2kn,ke Z 3

Khi dé, cdc nghiém thudc [0; 2x] của họ x=+~ + 2kr là x= Š vàx= a

3k We 57 5 cm msiểt gang Suy n TỰ Vậy, voix = = 3 va x= ` thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Trước hết ta cần có điều kiện:

Vậy, hệ có hai cap nghiém (1; 1) va Gi >)

Cau III Hoanh dé giao điểm là nghiệm của:

Cau IV Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Sử dụng kiến thức hình học không gian): Ta có:

SABC 1a hình chóp đều AAMN cân tại A

Gọi E là trung điểm BC và F = SEMN

= F 1a trung điểm của SE và MN và AF.LMN

Vậy, ta được: SAawn = >a 16

Cách 2: (Sử dụng phương pháp toạ độ hoá) — Bạn đọc tham khảo cuốn "Các

phương pháp giải hình học không gian bằng phương pháp toạ độ hoá” — Lê

Hông Đức (Chủ biên) NXB Hà Nội

Khi đó, diéu kién x(x + y + z) = 3yz tro thanh:

ec? = (a+b) - 3ab >(a+bÿ ~ (+) =.(a+bỷ

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a? +b’ + 3abe < 5c & (a + b)(a’ + b — ab) + 3abc < 5c`

1 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Sử dụng kiến thức hình học không gian): Ta lần lượt có:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, suy ra H là trung điểm AB

Và ta CÓ:

TH = d(I, AB) = Bs

Tir gia thiét AB= 2AD AH = 2IH = V5

Nhận xét rằng ABCD nội tiếp trong đường tròn

(C) cé tam I va ban kinh R = JA, suy ra:

R= 1A?=IH? + AH?= = & (C): &-2ÿ+y=

Ta có (C) (AB) = {A, B}, do đó toạ độ của A, B là nghiệm của hệ:

2 2 (K1/2) +y" = 2514 | sae0 , W(-9,0) & B(2, 2) x-2y+2=0

Vì C đối xứng với A qua I, do đó C(3, 0) và D đối xứng với B qua I, do

đó D(-1, -2)

Vậy, ta được A(-2, 0), B(2, 2), C(3, 0), D(-1, ~2)

24

I9CÐxy

2 (P) chứa (A,) © (P) thuộc chùm tạo bởi (A,), có dạng:

SAanc = š AB.AC = p.r © AB.AC= 2(AB + AC + BC)

Vậy, tồn tại hai trong tâm G (của 2 AABC) thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đề He(A): MH,„ © H là hình chiếu vuông góc của M lên (A)

Cách 2: Đề He(A) sao cho MH,„„ điều kiện là:

H là hình chiếu vuông góc của M lên (A) H=(Q)(A) trong đó:

Si “Ho La)? {G18 MỐI "vat Bae’ 9 hy) xeya+2z—11 <6 PY a

Bằng cách thay x, y, z tit (A) vào (Q), ta được:

t=ll— H2 3; 3)

Câu VIỊI.b Điều kiện x > 0

Đặt t= log} x+1, voit> 1, ta duoc:

ĐỀ LUYỆN THI MON TOAN — 86 2

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:

1 (1 diém): Khao sat su bién thién va vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 (1 điểm): Với giá trị nào của m phương trình x°|x? ~ 2|= m có đúng 6

nghiệm phân biệt

Câu II: (2 điểm)

1 (1 điểm): Giải phương trình:

sin x +cosx.sin 2x + V3 cos3x = 2(cos 4x + sin’ x)

2 (1 điểm): Giải hệ phương trình:

Câu IV: (1 điểm): Cho hình lăng trụ tam gidéc ABC.A’B’C’ cé BB’ = a, góc

giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60”, AABC vuông tại C và

BAC =60° Hình chiếu vuông góc của điểm B° trên mặt phẳng (ABC) trùng

với trọng tâm của AABC Tính thể tích khối ttt dién A’ ABC theo a

CâuV: (1 điểm): Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)` + 4xy > 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=3@œ!+ y!+x?y?) - 2(x? + y?) + l

PHAN RIENG (3.0 điểm)

Thí sinh được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VỊ a (2 điểm)

1 (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) và hai

đường thẳng (A,), (A;) có phương trình:

4 (C):(x=2)?+y? 5? (A,): x — y = 0, (Ay): xX -— Ty =0

Xác định toạ độ tâm K và bán kính của đường tròn (C,), biết đường tròn (C,)

tiếp xúc với các đường thẳng (A,), (A;) và tâm K thuộc đường tròn (C)

27 DO-Cory

2 (1 diém): Trong khong gian v6i hé toa do Oxyz, cho tứ điện ABCD có các

đỉnh AQ; 2; 1), B(—2; l; 3), C(2; -1; 1) va DO; 3; 1) Viết phương trình mặt

phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ

Ditới (P)

Câu VI.a (1 điểm): Tìm số phức thoả mãn:

ko

zz=25

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI b (2 điểm)

I (1 điểm): Trong mật phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho AABC cân tại A có

đỉnh A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng (A): x— y—4=Ô Xác

định toạ độ điểm B và C, biết diện tích AABC bằng 18

2, (1 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 0;

1), B(1; —1; 3) và mặt phẳng (P) phương trình:

(P): x—2y+2z-5=0

Trong các đường thang di qua A va song song với (P), hãy viết phương

trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Cau VILb (1 điểm): Tìm giá trị của tham số m để đường thang y =-x +m

cắt đồ thị hàm số y = x tai hai diém phan biét A, B sao cho AB = 4

“ Đạo ham cap mot: y' = 4ax* + 2bx = 2x(2ax? + b)

Phương trình y' = 0 hoặc có một nghiệm (a.b > 0) hoặc có ba nghiệm

phân biệt Do đó hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị

= Dao ham cap hai:

Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a < 0) và

dấu của a.b, do đó ta có bốn trường hợp biến thiên khác nhau

Đồ thị của hàm số: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên

nên đồ thị của hàm trùng phương có bốn dạng sau đây:

Hàm số có hai điểm uốn

©y" =0 có hai nghiệm phân biệt © s <0

Hàm số không có điểm uốn

©>y' =0 có hai nghiệm phân biệt = 20

= Néu (2) có nghiệm tụ> 0 thì (1) có nghiệm x = +t, :

Phương pháp I: Đại số

Điều kiện là (1) có hai nghiệm kép phân biệt

© ax'+bx?+c =a(x — XJ (XT— x;¿} với x#x; — (3)

Sử dụng phương pháp hằng số bất định ta xác định được giá trị

từ đó, phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y

= 2m cắt đồ thị hàm số y= |2x* — 4x? | = |f(x) | tại 6 điểm phân biệt

Từ đồ thị hàm số y = f(x) dé suy ra đồ thị hàm số y = |f(%)|, ta có nhận xét:

hare lề: khi £60) 2 0,

—f(x) khi f(x) <0

Do đó đồ thị y = |f(x)| gồm:

1 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

2 Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành

30

DO Gopy|

Cau II

1 Dễ nhận thấy phương trình được cho dưới dạng hỗn tạp, tức chúng ta can

các phép biến đổi dần, với các định hướng là:

" Chuyển phương trình về dạng chỉ chứa sinx (bởi trong phương trình có

chứa sin`x), hướng này không khả thi bởi sẽ rất phức tạp với cos4x

= Nhu vay, cdn ha bac sinx và vì chúng ta không được cung cấp công

thức hạ bậc bậc ba nên cần ghép nó với một toán tử tương ứng, ta có:

(sin x—2sin* x) +cosx.sin 2x + V3 cos3x = 2cos 4x

= (I —2sin? x)sin X+cosx.sin 2x + x/3 cos3x = 2cos4x

"_ Bằng việc sử dụng công thức góc nhân đôi, ta biến đổi được:

cos 2x.sin x + cos x.sin2x + V3 cos3x = 2cos 4x

= Tiép theo, bằng việc sử dụng công thức cộng, ta được:

sin 3x + V3 cos3x =2cos4x

* Tdi đây, chúng ta gặp một dạng phương trình cơ bản được tổng quát:

a.sinx +bcosx = Va’ +b’ coskx hoặc a.sinx+bcosx = va” + b sinkx

và phương pháp giải nó tương tự cách 1 để giải phương trình:

a.sinx + b.cosx = c

Cụ thể, ta biến đổi tiếp:

sin 3x +P cos3x =cos4x © c0s( 3x-] =cos4x

2 Đây là hệ phương trình không mẫu mực, do vậy để giải nó chúng ta cần

có những đánh giá như sau:

" Phương trình thứ nhất của hệ có bậc 2 và VP là bậc nhất của y

" Phương trình thứ hai của hệ có bậc 4 và VP là bậc hai của y” Và ở

đây dễ nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ

Từ đó, để hằng số hoá VP của các phương trình trong hệ chúng ta lần

lượt chia nó cho y và y” để chuyển hệ về dạng:

2

Tới đây, bằng nhận định x’ tử ¬ 225 và hai toán tử x+-L, % 3: Y &

tồn tại trong phương trình thứ nhất của hệ, nên ta sử dụng ẩn phụ:

Như vậy, chỉ cần sử dụng phương pháp thế chúng ta sẽ giải được hệ trên b

Cau III Day là tích phân được mở rộng từ dạng Ï= fe (x).In" xdx phương

pháp được lựa chọn là "Phương pháp tích phân từng phần" với cách lựa chọn:

u=3+Inx ave dx

(x41)?

Cau IV Day là bài toán về hình học không gian có yêu cầu về kiến thức ở

lớp 11, cụ thể:

~_ Góc giữa đường thing BB’ va mat phẳng (ABC) bằng 60°, tuy nhiên

vì có giả thiết "Hình chiếu vuông góc của điểm B` trên mặt phẳng

(ABC) mrùng với trọng tâm của AABC", nên ta có ngay:

B'BG =60°, với G là là trọng tâm AABC

z_ Để tính thể tích khối tứ diện A"ABC theo a, ta có đánh giá:

Lg

Vạ-apc = Vp:Anc =38 GS ase

Câu V Thông thường, với yêu cầu "Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

biểu thức A thoả mãn tính chất K", trong đó K là một bất đẳng thức, các em

học sinh cần định hướng rằng:

z Cần biến đổi A về dạng f(Ð

z Từ K suy ra điều kiện cho biến t

z_ Từ đó, xét hàm số f(t) ứng với điều kiện của t vừa tìm được

Như vậy, với bài toán đã cho chúng ta sẽ lần lượt định hướng biến đổi

Dat t= x? +’, taco:

A xu ~2t+1=f()

Từ đó, dẫn tới việc cần tìm điều kiện cho biến t từ giả thiết (x + y)Ì + 4xy > 2,

và để thực hiện công việc này chúng ta chỉ cần kết hợp nó với bất đẳng thức:

1 Với yêu cầu "Từm điểm M thuộc đường tròn (C): (x — ay + (y ~ b)? = R?

thoả mãn điêu kiện K", ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:

Bước I: Lấy điểm M(x„; yu)e(C), suy ra: (xạ — a)” + (yạ — b)? = RẺ

Bước 2: _ Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho Xy, Yo

Cách 2: Sử dụng phương trình tham số của đường tròn, như sau:

Bước 1: - Chuyển phương trình đường tròn về dạng tham số:

x=a+Rsint

©): „te [0, 27)

Bước 2: Điểm Me(C) => M(a + Rsint; b + Rcost)

Bước 3: _ Sử dụng điều kiện K để xác định cost, sint Từ đó tìm được toạ

độ của M dựa trên đẳng thức sin?t + cos’t = 1

'Và trong bài toán này chúng ta sẽ sử dụng cách I, cụ thể:

" _ Vì Kía; b) thuộc (C) nên: (a—2)” + bỶ -2 ()

= Vi(C)) tiép xtic véi các đường thẳng (A,), (A;) nên:

" Khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ D tới (P)

chắc chắn sẽ thực hiện bài toán này theo các bước:

33 DO-Gopy,

Bước I: Gia sit phuong trinh mat phẳng (P) có dạng:

Bước2: Vì A, Bthuộc (P) nên:

Bước 3: Để khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ D ti (P),

điêu kiên lẻ |@A-B+C+D| liều kiện là: — = |äB+C+ DỊ (3)

Aap +c: VA?+B +C”

Bước 4: Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (3) để tìm cách biểu diễn ba

trong bốn ẩn số A, B, C, D theo một ẩn còn lại Từ đó, suy ra phương trình mặt phẳng (P) cần tìm

Cách giải trên không sai và luôn là phương pháp được lựa chọn trong

trường hợp tổng quát d(C, (P)) = k.d(Ð, (P))

Tuy nhiên, vì d(C, (P)) = d(D, (P)) chúng ta sử dụng đánh giá:

Để mặt phẳng (P) cách đều hai điểm C, D chỉ có thể xảy ra hai trường hợp:

= (P) song song với CD

= (P) di qua trung điểm của CD

Cặp vtep ABvà AI Vtptn =[AB All

Cau VIIa, Với yêu cầu này chúng ta chỉ cần giả sử số phức z = a + bi, rổi

sử dụng công thức tính môđun Khi đó chúng ta nhận được hệ phương trình:

la+bi~@+Ð|= M10

a?+b” =25

Câu VỊ.b

1 - Với yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ đi khai thác dần giả thiết:

s5 VìA và đường thẳng chứa B, C là (A) đã cho nên ta có ngay d(A; (A))

=_ Từ giả thiết về diện tích AABC, suy ra:

" Từ đó, với giả thiết AABC cân tại A, ta được:

2 Với yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ đi khai thác dần giả thiết:

"_ (d) song song với (P) nên nằm trong mặt phẳng (Q) qua A va song song

với (P), suy ra:

Cau VILb V6i yéu cau " Tim điều kiện của tham số để hai đồ thị ham sé (C,): y =

f(x) va (C,): y = g(x) cắt nhau tại k giao điểm (phân biệt) thoả mãn tính chất

K”, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước I: ` Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm:

Bước 2: ĐỀ xét tính chất của các giao điểm chúng ta khéo léo đưa về

việc xét tính chất nghiệm của phương trình (1)

© Chiu y: Cc két quả thường được sử dụng trong bước 2 là:

1 Định lí Vị - ét cho phương trình đa thức:

e Phuong trinh bac hai ax? + bx + c = Ö ta có:

X,X;X; =-d/a

2 Dinh li dao

3 Hàm số

35 P9 /€bpy

LỒI GIẢI CHỊ TIẾT

Cau I

1 ‘Ta lan lượt có:

a Hàm số xác định trên D= R

b Sự biến thiên của hàm số:

+ Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y= lim [2x — 2)]=+e DU ape x

điểm uốn là uf ct 5) và ($i 5 )

c Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thi A(-2; 0), B(2; 0)

2 Viết lại phương trình dưới dạng:

|2x'—4x?| =2m

phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m cat

đồ thị hàm số y = |2x* — 4x? | tại 6 điểm phân biệt

D6 thi y = |2x*—4x?| gom:

4 Phan tir truc hoanh trở lên của đồ thị (C): y = 2x!— 4x”

+ Đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành

Câu II

Li Bién d6i phuong trinh vé dang:

(sinx —2sin’ x)+cos x.sin2x+ 3 cos3x =2cos4x

o (1 —2sin? x)sin x +cosx.sin 2x + V3 cos3x = 2cos 4x

© cos2x.sin x + cos x.sin 2x + V3 cos3x = 2cos 4x

& sin3x + V3 cos3x =2cos4x © Ssin3x-+Scos3x =cos4x

° c0s{ 3x -5] =cos4x

4x=3x—”+2km X=~C +2km

4x=-3x+Z+2k# [x= 4k 6 Q `7

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

Vì y =0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta biến đổi:

" Voius4vav=3 thi:

I's {| —-—— |dx =(In}x|-In| x +1])}, IG ax (in| x|=In|x+1))] "ri =In—— =In= 2© 2

Thay (2) vào (1), ta được =—-

3AB* + AB? _ 9a’

VụsApc = Vụ: Apc 3 B'GS,apc = 208"

Câu V Kết hợp bất đẳng thức (x + y} > 4xy với bất đẳng thức điều kiện, ta được:

Và từ đó, bán kính đường tròn (C,) được cho bởi R, =

Vậy, đường tròn (C,) có tâm kể: 4) va ban kinh R, = a

2 Để mặt phẳng (P) cách đều hai điểm C, D chỉ có thể xảy ra hai trường hợp:

= _ (P) song song véi CD

= (P) di qua trung điểm của CD

= (P) di qua trung điểm I(1; 1; 1) cla CD, suy raz

Vay, t6n tai hai mat phang (P) thoả mãn điều kiện đầu bài

Câu VIH.a Giả sử z = a + bị, ta có: