Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K... Từ D vẽ DM vuông góc với OB tại M, cắt BC tại N.
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Ngày 6 Tháng 5 Năm 2013 Bài 1: (2điểm)
Cho biểu thức D =
a b 2ab 1
1 ab
với a > 0 , b > 0 , ab 1 a) Rút gọn D
b) Tính giá trị của D với a =
3 2
2
Bài 2: (2điểm)
a) Giải phương trình: x 1 4x 3
b) Giải hệ phương trình: x2 y 2xy 7
Bài 3: (2điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y 1x2
2
và đường thẳng (d)
có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 )
a) Viết phương trình đường thẳng (d)
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
c) Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P) Tìm giá trị của m để 3 3
1 2
Bài 4: (3điểm)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E ( D nằm giữa A và E, dây DE không đi qua tâm O) Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh: AB2 = AD AE
c) Chứng minh: 2 1 1
Bài 5: (1điểm)
Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn: 1 1 1 0
abc Chứng minh rằng 2 2 2
3
-HẾT -
HƯỚNG DẪN
Câu 1: a) Với a > 0 , b > 0 , ab 1 - Rút gọn D =
ab
a b a
1
2 2
1
a b ab ab
2
a a
Trang 2K N M
O
H E
D C
B
A
1
1
Câu 2:
a) ĐK: x 1 x 1 4x 3
9
b) x2 y 2xy 7
Đặt x + y = a ; xy = b x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
Ta có:
2
2
x y 4
xy 3
a 4; b 3
xy 13
2
2
6 13 0
t ; t
Vo ânghieäm
t t Vậy ( x = 3 ; y = 1 ) , ( x = 1 ; y = 3 )
Câu 3:
a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ), ta có:
2 = m.0 + b b = 2 Do đó (d) có dạng y = mx + 2
b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình 1 2
2
= mx + 2 x2 – 2mx – 4 = 0
'
= (-m)2 – 1 (-4) = m2 + 4 > 0 Vì '> 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m c) x1 , x2 là hai hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình x2 – 2mx – 4 = 0
Áp dụng hệ thức Viét ta có : x1 + x2 = 2m , x1 x2 = - 4
x x x x 3x x x x 32
(2m)3 – 3 (-4).2m = 32 8m3 + 16m – 32 = 0 m3 + 2m – 4 = 0
( Vì m2 + m + 4 > 0 )
Câu 4:
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên
một đường tròn
Chỉ ra được: ·OACOHA· OBA· 900
A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh: AB2 = AD AE :
Xét: ABD và ABE; Ta có: ·BAE (góc chung)
AEBABD (cùng chắn cung »BD của đ/tròn (O))
Nên ABD: AEB (gg)
AB AD
AE AB AB2 = AD.AE (1)
c) Chứng minh: 2 1 1
AK ADAE: Ta có:
Mà AD + AE = (AH – HD) + ( AH + EH) = (AH – HD) + ( AH + HD) (Vì EH = HD) = 2AH
2
= AD.AE (Cmt)
AC2 = AD.AE ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O) => AB = AC)
Trang 3 1 1 2AH2
ADAE AC (3) Ta lại có:
AK AK.AH (4)
Cần chứng minh: AC2 = AK.AH Từ D vẽ DM vuông góc với OB tại M, cắt BC tại N
Xét tứ giác ODMH
OHD = OMD = 90
góc) ·HOM = HDM ( chắn cung ¼· HM ) Mà ·HOM = BCH (chắn »· HB Của đường tròn đường kính AO) ·HDM = BCH Hay: ·· HDN = NCH Tứ giác CDNH nội tiếp (Qũy tích cung chứa góc) ·
Xét VACK à AHCv V
Ta có: ·CAH (góc chung) (a) Lại có : ·CHD = CND (chắn cung »· CD của CDMH nội tiếp )
Mà: ·CBA = CND (đồng vị của ED//AB ( Vì cùng vuông góc với OB)) · CHD = CBA · ·
Và: ·BCA = CBA ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O) AB = AC) => · VABCcân tại A)
·CHD = BCA Hay: ·· CHA = KCA (b) Từ (a) và (b) · ACK đồng dạng AHC
Từ (4) và (5) 2 1 1
Câu 5: Ta có
2
ab bc ac
Đặt ab = x , bc = y , ac = z xyz = (abc)2 Khi đó (1) trở thành
xyz
và x + y + z = ab + bc + ac
x + y + z = ab + bc + ac = 0
Vì x + y + z = 0 nên x3 +y3 + z3 = 3xyz Nên
xyz
= 3xyz 3 xyz Cách khác:
1
Thay (1) vào (2) ==> Ta có: ab2 bc2 ac2 abc 3 3