Tập bài giảng Toán I này được biên soạn dành cho sinh viên trong chương trình Chất lượng cao Việt-Pháp. Tổng số giờ lí thuyết và bài tập của môn học khoảng 180 tiết kéo dài trong 15 tuần. Nội dung của môn học bao gồm các vấn đề cơ bản của Đại số đại cương, Đại số tuyến tính và Giải tích hàm một biến. Nội dung của giáo trình dựa theo các tài liệu [1], [2], [3] trong toàn bộ bảy tập của tác giả Jean-Marie Monier. Đây là tài liệu chính dành cho sinh viên của chương trình Việt-Pháp. Chúng tôi cố gắng biên soạn lại cho dễ hiểu hơn đối với sinh viên Việt Nam và cũng tham khảo thêm một số sách khác như [6], [7]. Các bài tập được tuyển chọn trong các sách kể trên và trong các cuốn sách [4], [5], [8].
Mệnh đề
Chỳ ý: Mệnh đềP ủ Qcú thể đọc theo nhiều cỏch như sau: P là điều kiện đủ củaQ hoặc
Trong logic, điều kiện cần của P là Q dùng để xác định rằng P là điều kiện cần và đủ để có Q Mệnh đề P Q có thể đọc là "P là điều kiện cần và đủ để có Q" hoặc "P nếu và chỉ nếu Q" hoặc "P khi và chỉ khi Q", thể hiện mối quan hệ logic chặt chẽ giữa hai nội dung Việc hiểu rõ về điều kiện cần giúp xác định chính xác mốc quan trọng trong các đoạn luận chứng, đảm bảo sự rõ ràng và chính xác trong phân tích lý luận Áp dụng nguyên tắc này trong nghiên cứu giúp củng cố các luận điểm, nâng cao khả năng trình bày và thuyết phục của bài viết.
Các tính chất sau đây của các phép toán trên mệnh đề có thể dễ dàng chứng minh bằng các lập bảng chân trị và xem như bài tập.
Vị từ là khẳng định dạng P p x, y, , q chứa các biến x, y, lấy giá trị từ các tập hữu hạn X, Y, Đây không phải là một mệnh đề cho đến khi các biến này được thay thế bằng các phần tử cố định Khi thay các biến bằng các phần tử cố định như x a ∈ X, y b ∈ Y, , ta sẽ thu được các mệnh đề xác định rõ ràng, giúp xác định các điều kiện logic trong luận điểm.
Ví dụ 1.2 : P p n q = "n là một số nguyên tố" là một vị từ theo một biếnn P N
: Q p x, y q = "y 2, x y, x 2ylà các số chẵn" là một vị từ với hai biến tự dox, y P Z Chẳng hạn,
Q p 4,2 q là mệnh đề đúng Trong khiQ p 5,2 q , Q p 4,7 q là những mệnh đề sai.
Cho hai vị từP p x q , Q p x q theo một biếnx P X Khi đó:
: Phủ định củaP p x q , ký hiệu là P p x q , là vị từ mà khi thayxbởi một phần tửacố định củaX thì ta được mệnh đề P p a q
: Cỏc phộp toỏn ( ^ , _ , ủ , ) trờn cỏc vị từP p x q , Q p x q là những vị từ theo biến xmà khi thayx bởi phần tử cố địnha P X ta được các mệnh đề tương ứng.
Giả sửP p x q là một vị từ theo biến x P X Ta xét các trường hợp sau:
Trong Trường hợp 1, khi thay x trong tập hợp a P X bằng một phần tử tùy ý, ta luôn thu được một mệnh đề đúng dạng P p x q Điều này dẫn đến kết luận rằng mệnh đề "với mọi x thuộc X, P p x q" luôn đúng và được ký hiệu là "∀x ∈ X, P p x q".
Trong trường hợp này, đối với một số giá trị của x thuộc tập X, mệnh đề "x ∈ X, P(x), và P(p(x))" là đúng Tuy nhiên, với một số giá trị khác của x trong cùng tập X, mệnh đề này lại sai Vì vậy, ta kết luận rằng mệnh đề "tồn tại x thuộc X sao cho P(x) và P(p(x))" là đúng, ký hiệu là ∃x ∈ X, P(x) ∧ P(p(x)) Điều này thể hiện rõ mối liên hệ giữa các giá trị của biến x và tính đúng/sai của các mệnh đề liên quan trong logic toán học, phù hợp với quy tắc về định nghĩa tồn tại trong lý thuyết mệnh đề.
Trong logic, các ký hiệu và ký hiệu D đại diện cho các lượng từ với mọi và tồn tại, thể hiện phạm vi phủ định hoặc khẳng định của mệnh đề Ngoài ra, ký hiệu D ! biểu thị ý nghĩa tồn tại duy nhất của một đối tượng trong tập xác định Lưu ý rằng ký tự tác động bởi lượng từ thường là ký hiệu câm, có thể thay thế bằng các ký tự khác để phù hợp với ngữ cảnh Ví dụ, các biểu thức như px P X, p p x qq hay p y P X, p p y qq thể hiện các câu có liên quan đến lượng từ, trong khi các dạng như pD x P X, p p x qq hoặc pD y P X, p p y qq cho thấy các câu sử dụng lượng từ có ý nghĩa tồn tại duy nhất.
Tập hợp
Ta cũng có thể dùng phép toán phủ định đối với một câu lượng hóa. px P X, p p x qq pD x P X, p p x qq hoặc pD x P X, p p x qq p x P X, p p x qq
Chú ý rằng nói chung ta không thể thay đổi thứ tự các lượng từ trong một câu lượng hóa.
Ví dụ, x P N, D y P N, x ¤ y là mệnh đề đúng, nhưng D y P N, x P N, x ¤ y là mệnh đề sai. §1.2 T ẬP HỢP
Tập hợp là một khái niệm toán học không được định nghĩa rõ ràng, nhưng được hiểu dưới dạng tập hợp các đối tượng có tính chất chung Trong toán học, tập hợp thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa như A, B, C, X, Y, giúp dễ dàng nhận diện và thao tác Khi x là thành phần của tập hợp X, ta viết x ∈ X, còn nếu y không phải là thành phần của X, ta viết y ∉ X, thể hiện mối quan hệ phần tử và tập hợp một cách rõ ràng.
Tập hợp con A của tập hợp B, ký hiệu là A ⊆ B, nghĩa là mọi phần tử x của A đều thuộc B Phủ định của tập hợp A, viết là A', gồm tất cả những phần tử không thuộc A Hai tập hợp A và B được coi là bằng nhau nếu và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A Để xác định một tập hợp, người ta có thể liệt kê tất cả các phần tử của nó hoặc mô tả tính chất đặc trưng của các phần tử Tập hợp rỗng, ký hiệu là Ø, không chứa phần tử nào và được coi là tập hợp con của mọi tập hợp Ta cũng có quy tắc rằng, mọi tập hợp X đều chứa tập hợp rỗng, nghĩa là Ø ⊆ X.
Tập hợp hữu hạn là tập hợp có số phần tử giới hạn, trong khi tập hợp vô hạn có số phần tử vô hạn Số lượng phần tử của một tập hợp A được ký hiệu là Card(A) hoặc #A Tập tất cả các tập con của một tập hợp X được ký hiệu là P(X), với nếu X là tập hữu hạn có n phần tử thì tập P(X) có 2^n phần tử.
Giả sửXlà một tập hợp,A, B P BpX q Ta định nghĩa các phép toán trên các tập hợp con củaX như sau:
Phần bù của tậpA trongX: CX p A q t x P X | x R A u
Hợp của hai tập hợp AvàB: A Y B t x P X | x P A _ x P B u
Giao của hai tập hợp AvàB:A X B t x P X | x P A ^ x P B u
Hiệu của hai tập hợpA vàB:A z B A B t x P X | x P A ^ x R B u
Hai tập hợpA và B được gọi là rời nhau nếu A X B H Đối với phép toán phần bù, nếu không có gì nhầm lẫn ta ký hiệuCX p A q C p A q A.
Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau (xem như bài tập, sinh viên tự chứng minh).
Ánh xạ
4 CX p A Y B q CX p A q X CX p B q ,CX p A X B q CX p A q Y CX p B q
Trong toán học, nếu x và y lần lượt là các phần tử của hai tập hợp X và Y, ta có thể tạo ra một phần tử mới gọi là cặp (x, y) Hai cặp (x, y) và (u, v) được coi là bằng nhau nếu và chỉ nếu x = u và y = v, nhấn mạnh rằng thứ tự các phần tử trong cặp có ý nghĩa quan trọng Thực tế, cặp (x, y) khác với cặp (y, x), phù hợp với nguyên tắc thứ tự trong việc xác định các phần tử của cặp Bây giờ, với hai tập hợp X và Y, chúng ta có thể xây dựng các cặp từ các phần tử của chúng để phục vụ cho các phép toán trong lý thuyết tập hợp.
Tập tất cả các cặp (p, q) với p thuộc X và q thuộc Y được gọi là tích Descartes của hai tập hợp X và Y, ký hiệu là X × Y Đây là một khái niệm quan trọng trong toán học để mô tả tập hợp các phần tử cặp để nghiên cứu mối quan hệ giữa hai tập hợp Khái niệm tích Descartes có thể được mở rộng cho nhiều tập hợp hơn, giúp xây dựng các cấu trúc phức tạp hơn trong các lĩnh vực như hình học, lý thuyết tập hợp và lý thuyết hệ thống.
X Y thì tích DecartesX Y được ký hiệu là X 2 §1.3 Á NH XẠ
Cho X và Y là hai tập hợp, và một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc ánh xạ mỗi phần tử x thuộc X thành một phần tử duy nhất y thuộc Y, ký hiệu là y = f(x) Chúng ta viết f : X → Y để biểu thị rằng f là ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, giúp mô tả rõ ràng mối quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp này.
Tập hợp X được gọi là tập nguồn hoặc miền xác định của ánh xạ, trong khi tập hợp Y là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f Một phần tử y thuộc tập Y được gọi là ảnh của phần tử x trong X qua ánh xạ f, và ngược lại, x được coi là tạo ảnh của y Tất cả các ánh xạ từ X đến Y đều được ký hiệu là F.
Vớ dụ 1.3 Xột ỏnh xạf :X í ẹ Xsao chox ịí ẹ f p x q xlà ỏnh xạ đồng nhất trờnX và ký hiệu là
Hai ỏnh xạf :X í ẹ Y và g:X í ẹ Y được gọi là bằng nhau nếu với mọi x P X ta luụn cóf p x q g p x q
Xột ỏnh xạ f :X í ẹ Y Một tập conΓcủa tớch DescartesX Y gồm cỏc cặp p x, f p x qq với x P X được gọi làđồ thịcủa ánh xạ f.
: f 1 p B q t x P X | f p x q P B u được gọi làtạo ảnh toàn phầncủa B bởi f.
: f làsong ánhnếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Trong toán học, khi có hai ánh xạ \(f : X \to Y\) và \(g : Y \to Z\), ánh xạ hợp nhau \(h : X \to Z\) được định nghĩa bằng cách \(h(x) = g(f(x))\), gọi là tích của hai ánh xạ và ký hiệu là \(g \circ f\) Tích các ánh xạ không nhất thiết phải giao hoán, nhưng chúng tuân theo nguyên tắc kết hợp Theo đó, tích của hai ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là \((h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)\), giúp đảm bảo tính nhất quán trong phép biến đổi các tập hợp qua các ánh xạ này.
Chứng minh rằng tích của hai ánh xạ đơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh cũng giữ nguyên tính chất đó Giả sử x thuộc X, p là hình ảnh của x qua ánh xạ f, và p h p là hình ảnh của p qua g, ta có thể xác định các quan hệ giữa các phần tử để chứng minh tính chất của hợp vòng Định lý 1.2 cho biết rằng tích của hai ánh xạ đơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh vẫn giữ nguyên đặc tính của chính nó, đảm bảo tính nhất quán và liên tục của các ánh xạ trong phạm vi này.
Chứng minh rằng nếu \(f: X \to Y\) và \(g: Y \to Z\) là hai ánh xạ, thì tổ hợp \(g \circ f: X \to Z\) là một ánh xạ Nếu \(f\) là đơn ánh, thì \(g \circ f\) cũng là đơn ánh Nếu \(f\) và \(g\) đều là toàn ánh, thì \(g \circ f\) cũng là toàn ánh Khi xét các loại ánh xạ, ta có thể chứng minh rằng tổ hợp ánh xạ duy trì tính chất đơn ánh hoặc toàn ánh, dựa trên tính chất của từng ánh xạ thành phần Do đó, theo Định lý 1.3, nếu \(f: X \to Y\) và \(g: Y \to Z\) là hai ánh xạ, thì nếu \(f\) là đơn ánh, \(g \circ f\) cũng là đơn ánh; còn nếu \(f\) và \(g\) đều là toàn ánh, thì \(\gtrsim g \circ f\) cũng là toàn ánh.
Chứng minh: Giả sử \( f \) là một ánh xạ đơn ánh Khi đú x, \( x_1 \in X \), ta có \( p_x q \Rightarrow f(p_x) q \), vì vậy \( g(p_{f(p_x)}) = p_{f(p_x)} \Rightarrow g(f(p_x)) = p_x \), chứng tỏ \( f \) là đơn ánh Chứng minh: \( f \) là toàn ánh Nếu \( p \in Z \), khi đó có \( x \in X \) sao cho \( p = g(f(p_x)) \), nghĩa là tồn tại phần tử \( y = f(p_x) \in Y \) sao cho \( f(y) = z \) Vậy \( f \) là toàn ánh Cho \( f: X \to Y \), ta gọi ánh xạ \( g: Y \to X \) là ánh xạ nghược của \( f \) nếu \( g \circ f = \mathrm{Id}_X \) và \( f \circ g = \mathrm{Id}_Y \) Định lý 1.4: Ánh xạ nghược của \( f \) là duy nhất khi tồn tại.
Chứng minh.Giả sử có hai ánh xạ ngược củaf làgvàh Khi đó g f IdX vàf h IdY Từ đó: g g IdY g p f h q p g f q h IdX h h
Trong toán học, ký hiệu ánh xạ ngược của hàm số f là f⁻¹ Định lý 1.5 khẳng định rằng, ánh xạ f : X → Y có ánh xạ ngược nếu và chỉ khi f là một ánh xạ song ánh Điều này có nghĩa là, để hàm số có thể đảo ngược được, nó cần phải là một ánh xạ bội, đồng thời có ảnh và tiền ảnh phù hợp, đảm bảo tính duy nhất của phép nghịch Việc hiểu rõ đặc điểm của ánh xạ song ánh giúp nâng cao kiến thức về tính chất của hàm số trong lý thuyết ánh xạ, góp phần nâng cao khả năng áp dụng trong các bài toán toán học phức tạp hơn.
Chứng minh.Giả sửfcó ánh xạ ngược làf 1 Khi đóf 1 f Id X vàf f 1 Id Y Lấyxvàx 1 tùy ý thuộcXvà giả sửf p x q f p x 1 q Ta cóx f 1 p f p x qq f 1 p f p x 1 qq x 1 Vậyf là đơn ánh Bây giờ xét
Quan hệ hai ngôi
Trong bài viết này, ta xem xét các phép ánh xạ và tính chất của chúng như sự toàn ánh và song ánh Đầu tiên, nếu một ánh xạ f từ tập Y đến tập X là toàn ánh, tức là mỗi phần tử y trong Y đều có phần tử x trong X sao cho p x, y q thuộc X, thì f là song ánh Ngược lại, nếu f là song ánh thì mỗi phần tử y của Y xác định duy nhất một phần tử x trong X, tạo thành phép ánh xạ ngược phù hợp Định lý 1.6 trình bày rằng, khi có hai phép ánh xạ song ánh g từ Y đến Z và f từ X đến Y, thì composition g ◦ f là song ánh, và ngược lại, nếu g ◦ f là song ánh, thì cả f và g đều là song ánh Trong phần thứ ba, ta giới thiệu khái niệm về phép đánh số, trong đó tập X gán số cho các phần tử của tập I, gọi là tập các chỉ số, và biểu diễn X bằng ký hiệu X = {x α | α thuộc I}, giúp sắp xếp các phần tử theo chỉ số rõ ràng và có tổ chức.
P I Nếu các phần tử củaX là các tập hợp thì ta nói X là một họ các tập hợp.
Cho một họ các tập hợp X p X α q α
P I Khi ấy ta có thể định nghĩa các phép toán hợp và giao của một họ các tập hợp như sau:
Cho X và Y là hai tập hợp Ta gọi một quan hệ hai ngôi R của X và Y là một bộ ba
Quan hệ hai ngôi R trong tập hợp X được định nghĩa là một tập con của tích Descartes X × Y, trong đó hai phần tử x thuộc X và y thuộc Y có quan hệ với nhau theo một quan hệ R, ký hiệu là xRy Khi X và Y trùng nhau, ta gọi R là một quan hệ hai ngôi trong X Trong giáo trình này, chúng ta chỉ nghiên cứu các quan hệ hai ngôi trong tập hợp X, và các tính chất của quan hệ này bao gồm các đặc điểm như phản xạ, đối xứng, chuẩn tắc, và truyền đạt, phù hợp với các đặc tính của quan hệ trong lý thuyết tập hợp.
: Tớnhphản đối xứng: x, y P X, p xRy ^ yRx ủ x y q
: Tớnhbắt cầu: x, y, z P X, p xRy ^ yRz ủ xRz q
Trong ví dụ 1.4, ta xét tập X = {1, 2, 3} và quan hệ R được xác định bởi tập Γ gồm các cặp (p₁,₂), (p₂,₁), (p₁,₃), (p₃,₁), (p₂,₃), (p₃,₂) Quan hệ R có tính đối xứng, nghĩa là nếu (a, b) thuộc R thì (b, a) cũng thuộc R Tuy nhiên, R không có tính phản xạ, vì không phải mọi phần tử đều liên kết chính nó, và không có tính phản đối xứng hay bắt cầu.
Trong tập X t 1,2,3 u, quan hệ R được xác định bởi các phần tử Γ tp1,1 q, p 2,2 q, p 3,3 q, p 1,2 q, p 1,3 q, và p 2,3 q Quan hệ này có đặc điểm phản xạ và bắt cầu, đồng thời không có tính đối xứng hay phản đối xứng.
Xét X là tập hợp tất cả các học sinh trong một trường phổ thông trung học, và R là quan hệ "học chung lớp" Quan hệ này có đặc điểm phản xạ và đối xứng, đồng thời có tính bắt cầu, giúp các học sinh liên kết qua lớp học chung Tuy nhiên, quan hệ này không có tính phản đối xứng, do đó không nhất thiết hai học sinh cùng lớp phải ngược lại liên hệ Đây là một ví dụ về mối quan hệ trong toán học học sinh theo lớp, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc các mối liên hệ trong môi trường học tập.
ChoRlà một quan hệ hai ngôi trênX Ta nói Rlà một quan hệ tương đươngtrênX nếu nó có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu.
Với mọi x P X, ta gọilớp tương đươngcủax theo quan hệRlà tập con của X, ký hiệu làCl p x q , được xác định như sau:
Cl p x q t y P X | xRy u Đương nhiên x P Cl p x q Dễ thấy rằng nếu R là một quan hệ tương đương trên X thì x, y P X ta cóxRy Cl p x q Cl p y q x P Cl p y q y P Cl p x q
Ta gọi tập thươngcủa X theo quan hệ tương đương R, ký hiệu X { R, là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ tương đươngR Như vậy:
Ví dụ 1.5 : Quan hệ bằng nhau pq trên một tập bất kỳ là một quan hệ tương đương Với mọi x P X, Cl p x q t x u , vàE { là tập tt x u , x P X u
Quan hệ đồng dư module trên tập nguyên Z được định nghĩa như sau: với mỗi phần tử x, y trong Z và một số nguyên p, x tương đương với y modulo p nếu và chỉ nếu p chia hết cho tích (x - y) Hàm này tạo thành một quan hệ tương đương trên Z, trong đó lớp đồng dư của một phần tử X là tập hợp tất cả các phần tử trong Z có cùng dư khi chia cho p Tập hợp các lớp đồng dư modulo p được ký hiệu là Z/pZ hoặc Z mod n, gồm các lớp như [0], [1], , [n-1], trong đó mỗi lớp chứa các phần tử có cùng dư khi chia cho p Đây là một cấu trúc quan trọng trong lý thuyết số và toán học đại số, được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng như mã hóa, lý thuyết số và cấu trúc đại số.
Trong mặt phẳng, tập hợp các đường thẳng có quan hệ song song được xem là quan hệ tương đương Mỗi tập hợp các đường thẳng song song với nhau xác định một phương riêng, gọi là phương của tập hợp đó theo toán học Quan hệ song song giữa các đường thẳng đóng vai trò quan trọng trong việc phân chia mặt phẳng thành các lớp tương đương, giúp xác định rõ ràng các mối liên hệ về vị trí trong không gian phẳng Việc xác định lớp tương đương modulo song song giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học của các đường thẳng trong mặt phẳng.
Quan hệ R là một quan hệ hai ngôi trong tập X Nếu R có tính phản xạ, phản đối xứng và bắt cầu, thì ta gọi R là một quan hệ thứ tự trong X Quan hệ thứ tự thường được ký hiệu là "≤" hoặc "≺" Khi trong tập X tồn tại một quan hệ thứ tự, ta nói rằng X là tập được sắp thứ tự, giúp xác định rõ ràng thứ tự của các phần tử trong tập.
Ví dụ 1.6 : Quan hệ ¤ trong tập các số tự nhiênN là một quan hệ thứ tự.
: Quan hệ chia chẵn trongN (mchia chẵn chonđược ký hiệu làn | m) cũng là một quan hệ thứ tự.
: Quan hệ bao hàm trong tậpBpX q cũng là một quan hệ thứ tự.
Tập X được sắp thứ tự khi có mối quan hệ thứ tự xác định giữa các phần tử Hai phần tử x và y của X được gọi là so sánh được nếu hoặc x nhỏ hơn hoặc bằng y, hoặc y nhỏ hơn hoặc bằng x Nếu mọi cặp phần tử trong X đều có thể so sánh được với nhau, thì X được coi là tập có quan hệ thứ tự toàn phần Trong các ví dụ đã đề cập, quan hệ trong N là quan hệ thứ tự toàn phần, còn quan hệ chia chẵn trong Nv và quan hệ bao hàm trong BpX không phải là các quan hệ thứ tự toàn phần.
Trong lĩnh vực X, mối quan hệ thứ tự được hiểu là quan hệ phản xạ, antisymmetry và transitivity Phần tử x được gọi là cận trên (hoặc cận dưới) của tập A trong X nếu thỏa mãn các điều kiện như a ≤ x ≤ b với a, b thuộc A Nếu tập A có tồn tại cận trên hoặc cận dưới, thì tập đó bị chặn trên hoặc bị chặn dưới trong X; tập chứa cả cận trên và cận dưới được gọi là tập bị chặn Phần tử x trong A được xem là phần tử lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) nếu nó lớn hơn hoặc bằng mọi phần tử trong A (hoặc nhỏ hơn hoặc bằng mọi phần tử trong A) Ngoài ra, phần tử cực đại (hoặc cực tiểu) của tập A là phần tử mà không có phần tử nào lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) nó trong A, phản ánh các đặc điểm quan trọng của các tập hợp bị giới hạn trong lý thuyết thứ tự.
: Ký hiệuM ajX p A q - tập các cận trên của AtrongX vàM inX p A q - tập các cận dưới của
: Nếux vàylà hai phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) củaA trongX thìx y Một tập hợp có thể có hoặc không có phần tử lớn nhất (nhỏ nhất).
: Một tập hợp có thể không có, có một hoặc có nhiều phần tử cực đại.
Trong quan hệ thứ tự toàn phần trên tập X, nếu tập hợp A có phần tử cực đại, thì phần tử này sẽ duy nhất Đồng thời, phần tử cực đại này chính là phần tử lớn nhất của A, đảm bảo tính nhất quán trong xếp hạng và xác định rõ vị trí của phần tử trong tập hợp Điều này phát huy vai trò quan trọng trong các bài toán về thứ tự và sắp xếp trong lý thuyết tập hợp và toán học tổng quát.
Trong lý thuyết tập hợp, nếu tập M trong X chứa phần tử nhỏ nhất của A, thì tập này được gọi là cận trên bé nhất của A và ký hiệu là sup p A q Ngược lại, nếu tập M trong X chứa phần tử lớn nhất của A, thì nó được gọi là cận dưới lớn nhất của A và ký hiệu là inf p A q Khi A là một tập khác rỗng và tồn tại cả inf p A q và sup p A q, thì ta có mối quan hệ inf p A q ≤ sup p A q, phản ánh tính chất của các cận dưới lớn nhất và cận trên nhỏ nhất trong lý thuyết tập hợp.
Câu 1 Giả sửX là một tập hợp vàA, B, C, D là các tập con củaX Hãy chứng minh: (a) p A X B q p A X C q Y p B X C X p C qq
Bài tập chương 1 16 (c) pp A X B A X C q ^ p A Y B A Y C qq p B C q
Câu 2 Giả sửXlà một tập hợp vàA, B P BpX q Hãy giải trongBpX q các phương trình sau:
Cõu 3 Chof :X í ẹ Y là một ỏnh xạ, A X, B X, C Y, D Y Chứng minh:
Cõu 4 ChoX, Y là hai tập hợp, f :X í ẹ Y, g :Y í ẹ X là hai ỏnh xạ Giả sử g f g f là toàn ánh vàf g f g là đơn ánh Chứng minh f vàg là các song ánh.
Cõu 5 ChoX là tập hợp vàf :X í ẹ X là ỏnh xạ sao chof f f f Chứng minh rằng f là đơn ánh khi và chỉ khif là toàn ánh.
Câu 6 ChoX là tập hợp,A X Ta định nghĩa
A t B X | B A u , A t C X | A C u , A A A Ánh xạf :BpX q í ẹ A xỏc định bởi Y P BpX q , f p Y q p Y X A, Y Y A q Chứng tỏ rằng f là song ánh.
Cõu 7 ChoX là tập hợp khỏc rỗng,A, B P BpX q Xột ỏnh xạf :BpX q í ẹ BpX q BpX q xỏc định bởi Y P BpX q , f p Y q p Y Y A, Y Y B q
(a) Chứng tỏ rằngf không là toàn ánh.
(b) Chứng tỏ rằngf là đơn ánh khi và chỉ khiA X B H
Câu 8 ChoX là một tập hợp vàRlà một quan hệ phản xạ trongX sao cho: px, y, z q P X 3 , pp xRy q ^ p yRz qq ủ p zRx q Chứng tỏ rằngRlà một quan hệ tương đương.
Câu 9 TrênR, xét quan hệ Rxác định như sau:xRy p x 2 y 2 x y q Chứng tỏ rằng R là quan hệ tương đương Với mọix P R, tìmCl p x q
Bài tập chương 2 24 §2.1 P HÉP TOÁN HAI NGÔI
Phép toán hai ngôi trong tập hợp E là ánh xạ f từ E² vào E, trong đó phần tử f(x, y) được gọi là kết quả hợp thành của hai phần tử x và y trong E Thông thường, phép toán này được ký hiệu bằng các dấu như , , K, J, , , , hoặc , trong đó dấu được sử dụng trong trường hợp tổng quát, và ta có f(x, y) = xy Nếu trên tập hợp E có xác định một phép toán phù hợp, thì cặp (E, q) được gọi là một phỏng nhóm, mở ra những nghiên cứu về cấu trúc nhóm và các tính chất liên quan.
Ví dụ 2.1 : Phép cộng và phép nhân thông thường là các phép toán hai ngôi trongN.
: Với tập hợpXbất kỳ, phép hợp và phép giao là các phép toán hai ngôi trongBpX q
ChoE là một phỏng nhóm với phép toán Ta đưa ra một số tính chất của phép toán : Định nghĩa 2.1 Phép toán có tính chấtkết hợpnếu: p x, y, z q P E 3 , p x y q z x p y z q
Khi đó ta có thể bỏ các dấu ngoặc đơn và viết x y z Trường hợp cụ thể đối với các phép toán , có tính kết hợp, ta ký hiệu: n ° k 1 x k x1 x2 x n n ± k 1 x k x1 x2 x n n ° k 1 x x x x nx n ± k 1 x x x x x n
Ví dụ 2.2 : Phép cộng và phép nhân thông thường trongNcó tính kết hợp.
: Xét phép toán hai ngôi trongQnhư sau:x y x y
2 , x, y P Q Phép toán không có tính kết hợp vì p 4 0 q 4 1 4 p 0 4 q 1.
Phép toán hai ngôi
Định nghĩa 2.2 Phép toán có tính chấtgiao hoánnếu: p x, y q P E 2 , x y y x.
Ví dụ 2.3 : Phép cộng và phép nhân thông thường trongNcó tính giao hoán.
Phép toán hai ngôi trong Q được xét là x y xy 2, với x, y thuộc Q, tuy nhiên phép toán này không có tính giao hoán Định lý 2.1 cho biết rằng nếu tập E có phép toán có tính giao hoán và kết hợp, thì điều này đảm bảo tính ổn định và khả năng xây dựng các phép tính phức tạp dựa trên các phép toán cơ bản trong tập hợp.
2 p n, p q P p N q 2 , p x ij q P E np , ta có: ° n i 1 p ° j 1 x ij p ° j 1 n ° i 1 x ij
Định nghĩa phần tử a trong tập E: Phần tử a được coi là chính qui trái (giản ước được bên trái) nếu với mọi phần tử p, y trong E, ta có p a x a y ủ x y q Tương tự, a được gọi là chính qui phải (giản ước được bên phải) nếu với mọi p, y trong E, ta có p x a y a ủ x y q Phần tử a trong E là chính qui (giản ước được) khi vừa là chính qui trái vừa là chính qui phải, đảm bảo tính nhất quán trong các phép so sánh.
Trong tập hợp E, các phần tử đều chính quy đối với phép cộng và mọi phần tử khác không đều chính quy đối với phép nhân, đảm bảo tính nhất quán về mặt toán học Phần tử trung hòa trái e trong E được định nghĩa là nếu với mọi x trong E, ta có e x = x; trong khi phần tử trung hòa phải trong E là phần tử e sao cho x e = x với mọi x trong E Khi một phần tử e vừa là trung hòa trái vừa là trung hòa phải, nó được gọi là phần tử trung hòa của E, với đặc điểm rằng e x = x và x e = x cho mọi x trong E, tạo ra sự ổn định trong phép toán trên tập hợp này.
Ví dụ 2.5 : 0là phần tử trung hòa đối với phép cộng trongZ.
Xót p và q thuộc tập N với phép toán; mọi phần tử của N đều là trung hòa trái và không có phần tử nào là trung hòa phải Định lý 2.2 cho biết rằng, trong một nhóm với trung hòa trái và phải, nếu e là trung hòa phải của phép toán, thì e cũng phải là trung hòa trái.
Hệ quả 2.1 Cho p E, q Nếu phép toán có phần tử trung hòa thì nó là duy nhất.
Một phỏng nhóm p E, q với phép toán có tính kết hợp vàE có phần tử trung hòaeđược gọi là mộtvị nhóm.
Ví dụ 2.6 : p N, q và p N, q là những vị nhóm.
: Với mọi tậpX, p B p X q , Xq , p BpX q , Yq là những vị nhóm.
Nhóm
Trong tập hợp X, nếu p và q là một nhóm, thì p và q đều thỏa mãn các tính chất của nhóm Định nghĩa 2.5 xác định rằng, với p thuộc tập E, q là một nhóm với phần tử trung hòa e Một phần tử x trong E được gọi là khả nghịch (hoặc khả đối xứng) nếu tồn tại một phần tử y trong E sao cho y nhân x bằng phần tử trung hòa e, tức là y * x = e.
Trong toán học, phần tử nghịch đảo của một phần tử trong một nhóm (hay còn gọi là phần tử đối xứng đối với phép cộng) là phần tử mà khi kết hợp với phần tử ban đầu sẽ cho kết quả là phần tử đơn vị X Định lý 2.3 xác nhận rằng, trong một nhóm, phần tử nghịch đảo nếu tồn tại sẽ là duy nhất, đảm bảo tính nhất quán và rõ ràng trong cấu trúc nhóm.
Trong một nhóm, nếu p và q là phần tử nghịch đảo của nhau, thì các phép biến đổi như x y y x, và x z z x đều giữ nguyên tính khả nghịch của các phần tử Khi đó, ta có y y e, y e y, p x z q p y x q z e z z, điều này chứng minh tính chất khả nghịch trong nhóm Theo định lý 2.4, nếu p và q là phần tử của nhóm, và x, y đều khả nghịch, thì x y cũng khả nghịch, đồng thời p x y q bằng 1 y 1 x 1, thể hiện tính đóng của phép nghịch đảo trong nhóm và mối liên hệ chặt chẽ giữa các phần tử này.
Chứng minh rằng, phép toán thỏa mãn định nghĩa phân phối trái và phân phối phải đối với phép toán K Khái niệm này quy định rằng phép toán là phân phối trái nếu đối với mọi x, y, z thì p(x, y, z) = p(x, y) K z, và phân phối phải nếu p(y, z) = x p(y) x q K z Một phép toán được gọi là phân phối đối với phép toán K khi vừa thỏa mãn tính chất phân phối trái vừa thỏa mãn tính chất phân phối phải, đảm bảo tính nhất quán trong việc phân phối phép toán trong các cấu trúc toán học.
Ví dụ 2.7 : TrongR, phép nhân phân phối đối với phép cộng.
: ChoXlà một tập bất kỳ Khi đó,trongBpX q , các phép toán Y và X là phân phối lẫn nhau.
Trong lý thuyết nhóm, một đồng cấu phỏng nhóm từ nhóm p E, q vào nhóm p F, Kq là một phép ánh xạ f từ nhóm p E, q đến nhóm p F, Kq sao cho bảo toàn phép hợp Một tự đồng cấu phỏng nhóm của nhóm p E, q là một đồng cấu phỏng nhóm từ chính nhóm đó vào chính nó, trong khi một đẳng cấu phỏng nhóm từ nhóm p E, q vào nhóm p F, Kq là một đồng cấu song ánh giữa hai nhóm Các phép ánh xạ này giữ nguyên cấu trúc nhóm, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của nhóm và các phép biến đổi giữa chúng.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét định nghĩa về ánh xạ là đẳng cấu giữa các phỏng nhúm Cụ thể, ví dụ 2.8 trình bày rằng ánh xạ l: R → R là một đẳng cấu nếu nó là một phép bijection bảo toàn cấu trúc của phỏng nhúm Ngoài ra, định lý 2.5.1 khẳng định rằng nếu có hai đồng cấu phỏng nhúm f: pE, q → pF, Kq và g: pF, Kq → pG, Jq, thì phép hợp của chúng f là đồng cấu phỏng nhúm từ pE vào pG Điều này nhấn mạnh vai trò của các đồng cấu trong việc duy trì cấu trúc của các phỏng nhúm qua các phép ánh xạ.
2 Với mọi phỏng nhóm p E, q , ánh xạ đồng nhất Id E là một tự đẳng cấu phỏng nhóm.
3 Nếuf : p E, q ẹ p F, Kq là một đẳng cấu phỏng nhúm, thỡf 1 : p F, Kq ẹ p E, q cũng là một đẳng cấu phỏng nhóm.
Một tập hợp G cùng với một phép toán hai ngôi trên G được gọi là một nhóm nếu phép toán đó thỏa mãn tính kết hợp và tồn tại phần tử trung hòa e trong G sao cho mọi phần tử của G đều có phần tử nghịch đảo đối với nó Nếu phép toán trong G còn có tính giao hoán, thì G được gọi là nhóm giao hoán hoặc nhóm Abel Khi G là tập hợp hữu hạn, ta nói G là nhóm hữu hạn và số phần tử của G (gọi là cấp của nhóm) được ký hiệu là |G| hoặc #G Phần tử trung hòa e thường được ký hiệu là e trong quá trình nghiên cứu nhóm.
Ví dụ 2.9 : p Z, q , p Q, q và p R, q là những nhóm giao hoán.
: pQ zt 0 u , q là nhóm giao hoán. Định lý 2.6 Trong một nhóm mọi phần tử đều chính qui.
Chứng minh.Lấyx, y, ztựy ý thuộcG Ta cúx y x z ủ x 1 p x y q x 1 p x z q p x 1 x q y px 1 x q z ủ y z Lập luận tương tự với phộp nhõn bờn phải
Cho p G, q là một nhóm với phần tử trung hòa evà H G Ta nóiH là một nhóm con củaGnếu
Ví dụ 2.10 Với mọin P N , tậpnZ t na | a P Z u là một nhóm con của nhóm cộngZ. Định lý 2.7 Cho p G, q là một nhóm và H G, H H H là một nhóm con củaGkhi và chỉ khi p x, y q P H 2 , x y 1 P H.
Chứng minh: Giả sử H là một nhúm con của G Với mọi phần tử x, y thuộc H, ta có y₁ thuộc H và x y₁ thuộc H, do đó y₁ thuộc H Ngược lại, xét H là một tập con của G và giả sử p x, y q thuộc H, x y₁ thuộc H Từ đó, ta có x x₁ thuộc H, x₁ thuộc H và cuối cùng là x y x p y₁ q₁ thuộc H Định lý 2.8 chỉ ra rằng, trong một nhóm G, các họ nhóm con đều thỏa mãn tính chất đóng đóng và chứa phần tử đơn vị, điều này khẳng định rằng các phần tử thuộc họ I đều có đặc điểm là các nhóm con của G.
H α là một nhóm con củaG.
H α Rõ ràng H H vìe P H α với mọiα P I, do đó e P H Lấy x, y tựy ý thuộcH, ủ x P Hα, y P Hα, α P I VỡHα là một nhúm, nờnx y 1 P Hαvới mọi α Ta được x y 1 P H, và do đó,Hlà một nhóm con củaG
Cho p G, q là một nhóm và A G, giao của tất cả các nhóm con của G chứa A tạo thành một nhóm con của G, gọi là nhóm con sinh bởi A và ký hiệu là A ¡ Với mỗi P G, ta ký hiệu a ¡ thay cho tập các phần tử của P đóng gói trong nhóm con sinh bởi A Lưu ý rằng A ¡ là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A, đảm bảo tính tối thiểu trong cấu trúc nhóm con.
Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu tồn tại một phần tử P trong G sao cho G bằng tập hợp các lũy thừa của P Phần tử P được gọi là phần tử sinh của G Nếu nhóm đơn G có số phần tử hữu hạn, thì G được gọi là nhóm cyclic (nhóm vòng).
Ví dụ 2.11 : p Z, q là một nhóm đơn mà phần tử sinh là1.
: pZ { nZ, q là một nhóm đơn hữu hạn (nhóm cyclic) mà phần tử sinh là p 1.
: pR, q không là một nhóm đơn.
Một đồng cấu \( f \) từ nhóm \( p G, q \) vào nhóm \( p G1, Kq \) được gọi là một đồng cấu nhóm hợp lệ, thể hiện mối liên hệ cấu trúc giữa hai nhóm Tương tự, định nghĩa về tự đồng cấu nhóm và đẳng cấu nhóm thể hiện các loại ánh xạ giữ nguyên cấu trúc nhóm, giúp phân loại các nhóm theo tính chất cấu trúc Theo Định lý 2.9, nếu \( f \) là một đồng cấu nhóm từ \( p G, q \) vào \( p G1, Kq \), thì \( f \) có những đặc điểm quan trọng giúp xác định mối quan hệ giữa các nhóm này, đóng vai trò then chốt trong lý thuyết cấu trúc nhóm.
1 f p e q e 1 với evàe 1 là các phần tử trung hòa củaGvàG 1
1 f p e qK f p e q f p e e q f p e q f p e qK e 1 Do tính chính qui, ta đượcf p e q e 1
2 x P G, ta cóf p x qK f p x 1 q f p x x 1 q f p e q e 1 và tương tựf p x 1 qK f p x q f p x 1 x q f p e q e 1 Do đóf p x 1 q p f p x qq 1
Chof là một đồng cấu nhóm từ p G, q vào p G 1 , Kq Ta định nghĩa:
Hạt nhân của hàm số đang xét, ký hiệu là kerf, là tập hợp các phần tử của miền xác định sao cho ánh xạ của chúng bằng phần tử trung hòa trong tập hình ảnh Ảnh của hàm số, ký hiệu là Imf, gồm các phần tử của miền mã sao cho có tiền đề trong miền xác định Theo Định lý 2.10, nếu hàm số f là đồng cấu giữa nhóm G và G1, thì hạt nhân kerf là một nhúm con của G và ảnh Imf là một nhóm con của G1, đảm bảo tính cấu trúc nhóm trong các phép biến đổi này.
1 Ta cúf p e q e 1 nờne P kerf ủ kerf H Lấyx, ytựy ý thuộckerf, ta cúe 1 f p x q f p x y 1 y q f p x y 1 qK f p y q f p x y 1 qK e 1 f p x y 1 q Nênx y 1 P kerf Do đókerf là nhóm con củaG.
2 Ta cúe 1 f p e q P G 1 ủ e P Imf vàImf H Lấy u, v tựy ý của G 1 Khi đú tồn tại x, ytrong G sao chou f p x q vàv f p y q Ta có u K v 1 f p x qKp f p y qq 1 f p x qK f p y 1 q f p x y 1 q Vì x y 1 P Gnênu K v 1 P Imf Do đóImf là nhóm con củaG 1
Vành
Nhóm p G, q là đẳng cấu với nhóm p G 1 , Kq nếu tồn tại một đẳng cấu từ GvàoG 1
Trong ví dụ 2.12, nhóm p R, q là đẳng cấu với nhóm p R, q dưới ánh xạ ln:x→l nx, điều này chứng tỏ ln là một đẳng cấu nhóm Định lý 2.11 cho biết rằng nếu nhóm p G, q có tập hợp phần tử E trang bị phép toán K và tồn tại một đẳng cấu từ p G, q vào p E, Kq, thì p E, Kq cũng sẽ là một nhóm.
Chứng minh.Giả sử cú một đẳng cấuf : p G, q ẹ p E, Kq VỡG H nờnE H Lấyu, v, wtựy ý của
: pu K v qK w p f p x qK f p y qqK f p z q f p x y qK f p z q f pp x y q z q f p x p y z qq f p x qK f p y z q f p x qKp f p y qK f p z qq u Kp y K w q Vậy K có tính kết hợp.
: Gọi elà phần tử trung hòa củaG : u K f p e q f p x qK f p e q f p x e q f p x q u vàf p e qK u f p e qK f p x q f p e x q f p x q u Vậyf p e q là phần tử trung hòa củaE.
: u K f p x 1 q f p x qK f p x 1 q f p x x 1 q f p e q vàf p x 1 qK u f p x 1 qK f p x q f p x 1 x q f p e q Vậyukhả nghịch và phần tử nghịch đảo củaulàf p x 1 q
Do đó p E, Kq là một nhóm và nó đẳng cấu với p E, q §2.3 V ÀNH
ChoAlà một tập hợp có trang bị hai phép toán và Ta nói p A, , q là mộtvànhnếu: (a) p A, q là một nhóm giao hoán.
(b) Phép toán có tính kết hợp và phân phối đối với phép toán
(c) Acó phần tử trung hòa đối với phép toán
Ví dụ 2.13 : Các tập hợp p Z, , q , p Q, , q , p R, , q là những vành với và là các phép toán thông thường với các số.
: Tập thươngZ { nZ t p 0, p 1, ,n z 1 u với các phép toán cộng và nhân: pa, p b P Z { nZ, p a p b a z b và p a p b a y b là một vành giao hoán.
Cho p A, , q là một vành Ta ký hiệu:
Trong tập hợp, phần tử trung hòa của phép cộng là Vành 23 ặ 0 A (hoặc 0), mang ý nghĩa rằng thêm phần tử này vào bất kỳ phần tử nào cũng không làm thay đổi giá trị ban đầu Phần tử đối xứng của phần tử x trong phép cộng là ặ x, thể hiện tính chất đối xứng trong phép cộng Trong phép nhân, phần tử trung hòa là ặ 1 A (hoặc 1), nghĩa là nhân bất kỳ phần tử nào với 1 đều giữ nguyên giá trị ban đầu Vành giao hoán, ký hiệu là ặ Al, tồn tại khi phép cộng trong tập hợp có tính giao hoán Phép cộng trong tập hợp còn được ký hiệu là x, y hoặc xy, thể hiện tính chất kết hợp của phép cộng trong lý thuyết tập hợp.
Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây của các phép toán trong một vành p A, , q (a) x P A,0 x x 0 0
(d) p x, y, z q P A 3 , p x y q z xz yx vàz p x y q zx zy
(f) n P N, p x, y q P A 2 sao cho xy yx Ta có px y q n n á k 0
C n k x k y n k trong đó qui ướcx 0 y 0 1 A Công thức này được gọi là công thức nhị thức Newton.
Cho p A, , q là một vành và B A Ta nói B là một vành con của A nếu:B là một nhóm con của p A, q , p x, y q P B 2 , xy P B và1 A P B.
Trong toán học, một đồng cấu vành là một phép ánh xạ f từ vành A đến vành A 1 sao cho f bảo toàn các phép thực hiện trong vành Cụ thể, f là đồng cấu vành nếu thỏa mãn các điều kiện: f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y), và f(1A) = 1A 1, đảm bảo rằng phép ánh xạ này giữ nguyên cấu trúc của các phép cộng, nhân và phần tử đơn vị trong vành Tương tự, các khái niệm về đẳng cấu vành và tự đẳng cấu vành cũng dựa trên các phép ánh xạ này, góp phần quan trọng trong việc phân loại và nghiên cứu các cấu trúc vành trong toán học.
Cho Alà một vành, a P A, a 0 Phần tửalà mộtước trái của không trongA nếu: D b P
A, p b 0 ^ ab 0 q Phần tửalà mộtước phải của khôngtrongAnếu: D b P A, p b 0 ^ ba 0 q Phần tửalà một ước của không trongA nếualà một ước trái của không trongAhoặcalà một ước phải của không trongA.
Ví dụ 2.14 : TrongZkhông có ước của không.
: TrongZ { 6Z, p 2, p 3, p 4là những ước của không, còn p 0, p 1, p 5không là ước của không.
Thể
Một vành A được gọi là vành nguyên nếu A t 0 u , giao hoán và không có ước của không.
Ví dụ 2.15 : p Z, , q là vành nguyên.
: pZ { 6Z, , q không là vành nguyên. §2.4 T HỂ
Một tập hợpK có trang bị hai phép toán cộng p q và nhân pq được gọi làthểnếu:
3 Mọi phần tử khác0 đều có một nghịch đảo đối với phép nhân.
Trong toán học, nếu phép nhân có tính giao hoán trong K, thì ta gọi p, q là một thể giao hoán hay còn gọi là một trường Thường thì trong giáo trình, chúng ta tập trung vào các trường giao hoán trừ những trường hợp đặc biệt Ngoài ra, các khái niệm như thể con, đồng cấu thể, đẳng cấu thể, tự đồng cấu thể và tự đẳng cấu thể cũng được xét tương tự như trong các cấu trúc vành, giúp mở rộng hiểu biết về các cấu trúc đại số liên quan.
Câu 1 Cho là phép toán xác định trongRbởi: x y xy p x 2 1 qp y 2 1 q
(a) Kiểm chứng giao hoán, không kết hợp và có phần tử trung hòa.
(b) Giải các phương trình sau (với ẩnx P R)
Câu 2 Cho p E, q là một phỏng nhóm kết hợp,a P E K là một phép toán xác định trong E bởi:x K y x a y Chứng minh K có tính kết hợp.
Câu 3 Cho p E, q là một phỏng nhóm sao cho p x, y q P E 2 , x p x y q p y x q x y Chứng minh phép toán có tính giao hoán.
Câu 4 Cho p E, q là một phỏng nhóm sao cho:
" x P E, x x x px, y, z q P E 3 , p x y q z p y z q xChứng minh rằng là giao hoán.
Câu 5 Cho p E, q là một phỏng nhóm kết hợp sao cho D n P N, n ¥ 2 thỏa p x, y q P E 2 , p xy q n yx Chứng minh phép toán có tính giao hoán.
Trong nhóm p E, q, mọi phần tử của E đều khả nghịch đối với phép nhân chính quy Điều này nghĩa là mỗi phần tử trong nhóm có phần nghịch duy nhất, đảm bảo tính đóng, có phần tử đơn vị và khả nghịch nội tại Một ví dụ minh họa cho thấy khẳng định đảo của phần tử không phải lúc nào cũng đúng, qua đó nhấn mạnh rằng các phần tử trong nhóm này đều khả nghịch chứ không phải tất cả đều có thể đảo lộn được.Ợ
Câu 7 Cho một phỏng nhóm p E, q Một phần tửxcủaEđược gọi là lũy đẳng nếux x x.
(a) Chứng minh rằng, nếu là kết hợp và nếux vày là lũy đẳng và giao hoán, thìx y là lũy đẳng.
(b) Chứng minh rằng, nếu là kết hợp, có phần tử trung hòa và nếuxlà lũy đẳng và khả nghịch, thìx 1 là lũy đẳng.
Câu 8 ChoE p 0, 8q và phép toán xác định bởi:x y a x 2 y 2 (a) Khảo sát tính kết hợp, giao hoán và sự tồn tại phần tử trung hòa của
Câu 9 Cho phép toán trong Rxác định bởi: x y x y xy.
(a) Khảo sát tính kết hợp, giao hoán, sự tồn tại phần tử trung hòa và phần tử đối xứng của
Trong phần này, chúng ta xem xét một nhóm kết hợp P có hai phần tử chính quy trái và phải là a và b Chúng ta cần chứng minh rằng nếu a và b là phần tử chính quy trái (hoặc phải), thì phần tử a b cũng chính quy trái (hoặc phải) đối với P Điều này thể hiện tính chất đóng của các phần tử chính quy trong nhóm kết hợp, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của nhóm và các đặc tính của các phần tử chính quy trong nhóm đó.
Trong câu 11, bài toán xác định hai phép toán trong tập E, trong đó phép toán có phần tử trung hòa là e, còn phép toán K có phần tử trung hòa là ǫ, và chúng thỏa mãn điều kiện p(x, y) và p(u, v) cùng thuộc E4 sao cho p(x, y) kết hợp với K theo quy tắc p(x, y) K p(u, v) Chúng ta cần chứng minh rằng phần tử trung hòa e và ǫ đều là phần tử trung hòa chung của cả hai phép toán, đồng thời phép toán này có tính kết hợp và giao hoán, đảm bảo tính nhất quán và định nghĩa rõ ràng về cấu trúc phép toán trong tập E.
Câu 12 Tìm điều kiện cần và đủ của ba số p a, b, c q P R 3 để cho tập R với phép toán xác định bởi: p x, y q P R 2 , x y a p x y q bxy ctạo thành một nhóm.
Câu 13 Chứng tỏ rằng tập G R R là một nhóm với phép toán xác định bởi: px, y q , p x 1 , y 1 q P G, p x, y q p x 1 , y 1 q p xx 1 , xy 1 y q
Câu 14 Cho p G, q là một nhóm sao cho x P G, x 2 e Chứng minh rằngGgiao hoán.
Câu 15 Cho p G, q là một nhóm hữu hạn,A và B là hai bộ phận của G sao cho CardACardB ¡ CardG Chứng minh rằngG AB (tức là: x P G, Dp a, b q P A B : x ab).
Câu 16 Cho p E, q là một phỏng nhóm kết hợp và e P E sao cho:
Chứng minh rằng p E, q là một nhóm.
Câu 17 Cho p E, q là một phỏng nhóm kết hợp khác rỗng sao cho: p a, b q P E 2 , Dp x, y q P
E 2 , b ax ya Chứng tỏ p E, q là một nhóm.
Câu 18 Cho p E, q là một phỏng nhóm kết hợp khác rỗng sao cho: p x, y q P E 2 , x 2 y y yx 2 Chứng tỏ p E, q là một nhóm giao hoán.
Câu 19 Cho p G, q là một nhóm vớielà phần tử trung hòa, n P N , p a, b q P G 2 Chứng minh rằng:
Câu 20 ChoGlà một nhóm,H, K là các nhóm con củaG Chứng minh rằngH Y K G pH G _ K G q
Câu 21 Cho p G, q là một nhóm Tập conC Gđược gọi là tâm củaGnếu
C t x P G | y P G, x y y x u Chứng minh rằngC là một nhóm con củaG.
Câu 22 Cho G R Rvà là một phép toán trongGxác định bởi: px, y q , p x 1 , y 1 q P G, p x, y q p x 1 , y 1 q xx 1 , xy 1 y x 1 (a) Chứng minh rằng p G, q là một nhóm.
(b) Chỉ ra tâm củaG (Xem bài tập 21).
(c) Chứng minh rằngR t 0 u , t 1 u R,Q Qlà các nhóm con củaG.
(d) Chứng minh rằng, với bất kỳ λ P R, tập H λ
* là một nhóm con giao hoán củaG.
Câu 23 Cho Glà một nhóm hữu hạn Chứng minh rằng với bất kỳ nhóm con H nào của
Câu 24 Cho p G, q là một nhóm,u là phần tử của tâm của nhóm G(xem bài tập 21), elà phần tử trung hòa Giả sửu xyz vàx 2 y 2 z 2 e Chứng minh rằngu 4 e.
Cõu 25 Cho p G, Kq , p G 1 , Jq là hai nhúm,f :G ẹ G 1 là một đồng cấu nhúm.
(a) Chứng minh rằng, với mọi nhóm conH củaG, f p H q là nhóm con củaG 1
(b) Chứng minh rằng, với mọi nhóm conH 1 củaG 1 ,f 1 p H 1 q là nhóm con củaG.
Cõu 26 ChoG, G 1 là hai nhúm, elà phần tử trung hũa củaG, f :G ẹ G 1 là một đồng cấu nhóm Chứng minhf là đơn ánh khi và chỉ khikerf t e u
Câu 27 Cho p G, q là một nhóm sao cho f : G x ẹ ịẹ
G x 3 là một tự đồng cấu toàn ánh của G. Chứng minh rằngGlà nhóm giao hoán.
Câu 28 Cho n là một số tự nhiên lẻ ¥ 3, và là một phép toán trong R xác định như sau: p x, y q P R 2 , x y ? n x n y n Chứng minh rằng p R, q là một nhóm đẳng cấu với nhóm pR, q
Câu 29 Cho Alà một vành sao cho: x P A, x 2 x.
(a) Chứng minh rằng với mọix P A,2x 0.
Câu 30 Cho Alà một vành, p a, b q P A 2 sao cho ab ba 1 vàa 2 b ba 2 a.
(a) Chứng minh rằnga 2 b ba 2 và2aba a.
(b) Chứng tỏalà khả nghịch và phần tử nghịch đảo là2b.
Câu 31 ChoAlà một vành và U t a P A | D b P A, ab ba 1 u là tập tất cả các phần tử khả nghịch củaA Chứng minh rằng p x, y q P A 2 , p 1 xy P U 1 yx P U q
Số tự nhiên
Tập các số tự nhiên ký hiệu làN t 0,1,2, u TrênNcó trang bị hai phép toán cộng p qvà nhân pq thỏa:
: Phép cộng có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là0, và mọi phần tử củaNđều chính qui đối với phép cộng.
: Phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là1, và mọi phần tử củaNđều chính qui đối với phép nhân.
Trong tập số tự nhiên có một quan hệ thứ tự toàn phần, phù hợp với các phép toán cộng và nhân Định lý 3.1 (Nguyên lý quy nạp) cho thấy rằng nếu một tập con E của N thỏa mãn điều kiện: 0 ∈ E, n ∈ E thì p + n ∈ E và p × n ∈ E, thì E là toàn bộ tập N.
Giả sử P p n q là một vị từ phụ thuộc vào một biến tự nhiên n Khi đó nguyên lý qui nạp có thể phát biểu dưới dạng sau:
: n P N, n ¥ n0, giả sử P p n q đúng và P p n 1 q cũng đúng thìP p n q đúng với mọi n ¥ n0.
Số nguyên
Tập hợp các số nguyên ký hiệu là Z, bao gồm các số , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, , là tập hợp các số nguyên vô hạn Trên Z, các phép toán cộng và nhân được định nghĩa để tạo thành một vành nguyên, trong đó mỗi phần tử có thể thực hiện các phép tính toán học cơ bản này Ngoài ra, Z còn được trang bị một quan hệ thứ tự toàn phần ¤, mở rộng từ quan hệ thứ tự toàn phần trong tập N, giúp xác định thứ tự của các số nguyên phù hợp với các tính chất của hệ thống số học.
Số hữu tỉ
Tập các số hữu tỷ Q t x | x p q, p P Z, q P N u Vìa a
1 nên Z Q Mở rộng các phép toán cộng và nhân trênZ ta được p Q, , q là một thể giao hoán Tập số hữu tỷ có các tính chất sau:
: x P Q, D !n P Z:n ¤ x n 1 Sốn như vậy được gọi là phần nguyên củax và thường được ký hiệu là r x s hoặcE p x q
Số thực
Ta thừa nhận tập hợp các số thực R như là sự mở rộng của tập hợp các số hữu tỷ, bao gồm hai phép toán cộng và nhân, đồng thời có một quan hệ thứ tự phù hợp Các tiên đề của tập hợp số thực đảm bảo tính nhất quán và đầy đủ, giúp xác định cấu trúc logic của các phép tính và so sánh số học Việc mở rộng này cho phép xử lý các số vô hạn, chẳng hạn như số vô tỷ, mở rộng khả năng ứng dụng trong toán học và khoa học Tính chất thứ tự của số thực đảm bảo rằng mọi cặp số thực đều có thể được so sánh phù hợp với các tiên đề của hệ thống Như vậy, tập hợp số thực không chỉ là nền tảng của lý thuyết số mà còn phục vụ như nền tảng cho các lĩnh vực toán học nâng cao.
Tiên đề về trường : p R, , q là một thể giao hoán, nghĩa là a, b, c P R
: a P R, Dp a q P R, a p a q p a q a 0 Từ đây ta có thể định nghĩa phép trừ như là phép toán ngược của phép cộng:a b a p b q
: a P R t 0 u , D a 1 P R, a a 1 a 1 a 1 Từ đây ta có thể định nghĩa phép chia như là phép toán ngược của phép nhân: a P R, b P R t 0 u ,a b a b 1 Ta viết 1 thay chob 1 b
Tiên đề thứ tự : ¤ là một quan hệ thứ tự toàn phần trongR, nghĩa là a, b, c P R
: a, b P Rta luôn có hoặca ¤ bhoặcb ¤ a.
Từ quan hệ ¤ trong R, ta cũng xét quan hệ ¥ như sau: a, b P R, a ¥ b nếu b ¤ a. Trong R ta cũng xét hai quan hệ nghiêm ngặt và ¡ : a b a ¤ b ^ a b và a ¡ b a ¥ b ^ a b.
Ta nhắc lại một vài định nghĩa:
Trong lý thuyết tập hợp, ta nói rằng x P R là cận trên (hoặc cận dưới) của tập A khi mọi phần tử a trong A đều thoả mãn điều kiện a ≤ x (hoặc a ≥ x) Nếu tập hợp A có một cận trên, ta nói nó bị chặn trên, còn nếu có cận dưới, nó bị chặn dưới Một tập hợp vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là tập bị chặn, thể hiện tính chất giới hạn của tập hợp đó trong số thực.
: Ta nóix P Rlà phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của tập A R nếu xlà một cận trên (cận dưới) củaA vàx P A Khi ấy ta viếtx M ax p A qp x M in p A qq
Trong tập hợp R, cận trên đúng của tập A là giá trị nhỏ nhất trong tập các cận trên của A, ký hiệu là sup A, còn cận dưới đúng là giá trị lớn nhất trong tập các cận dưới của A, ký hiệu là inf A Theo định lý 3.2 về Nguyên lý Supremum, mọi tập con không rỗng và bị chặn trên của R đều có cận trên đúng Đồng thời, R là một tập trù mật, đảm bảo rằng giữa hai số thực bất kỳ đều tồn tại ít nhất một số nằm trong R.
Trong bài viết này, chúng ta giả sử rằng A, R, M là các phần tử thỏa mãn các điều kiện về giới hạn và tập hợp, với các ký hiệu tương ứng Theo định nghĩa về giới hạn trên và dưới của một tập hợp, ta có thể nhận thấy rằng ǫ hữu hạn và nhỏ hơn không đáng kể, trong khi đó D x, y thuộc tập A, với các điều kiện đặc biệt như ǫ x lớn hơn M và m nhỏ hơn hoặc bằng y, đảm bảo tính trù mật của R Định lý 3.4 chứng minh rằng R là một thể Archimède, nghĩa là với mọi phần tử ǫ thuộc R, và mọi phần tử A thuộc R, tồn tại một số nguyên n thuộc N sao cho nǫ nhỏ hơn A, khẳng định tính đặc trưng của thể này.
Chứng minh.Lấy tùy ýǫ P R , A P R Giả sử rằng n P N , nǫ ¤ A GọiE t nǫ, n P N u , khi ấy E bị chặn trờn và theo nguyờn lý supremum, tồn tạiM sup p E q Khi đú D n P N :M ǫ nǫ Ô M ủ
M p n 1 q ǫ P E Vô lý và khẳng định được chứng minh
Từ mệnh đề trên ta cũng suy ra rằng, với mọix P R, sẽ tồn tạin P Zđể chon ¤ x n 1.
Sốnnhư vậy được gọi là phần nguyên củaxvà ký hiệu là r x s hoặcE p x q Khi đó t x u x r x s được gọi là phần thập phân củax.
Ta đưa thêm vào tập Rhai phần tử đặc biệt ký hiệu là 8 và 8 thỏa x P R, 8 x
8 TrongRta xét một số tập con đặc biệt sau:
: ra, b s t x P R | a ¤ x ¤ b u - khoảng đóng hoặc đoạn.
: pa, b q t x P R | a x b u - khoảng mở hoặc khoảng.
Ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của số thựcx là một số thực ký hiệu là | x | xác định bởi:
Trị tuyệt đối của số thực có các tính chất quan trọng sau:
Ta có hai bất đẳng thức quan trọng sau đây:
Số phức
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: n P N , x1, , x n , y1, , y n P R, n á k 1 x k y k
: Nếu ° n k 1 x 2 k 0 ủ x k 0, k 1, nvà bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiờn.
: Nếu ° n k 1 x 2 k 0thì do tam thức bậc haiT p λ q ¥ 0nên có biệt thức∆ ¤ 0, từ đó ta cũng có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khix k 0, k 1, nhoặcy k αx k , k 1, n
Bất đẳng thức Minkowski: n P N , x1, , x n , y1, , y n P R, g f f e n á k 1 px k y k q 2 ¤ g f f e n á k 1 x 2 k g f f e n á k 1 y 2 k
Chứng minh.Bình phương hai vế của bất đẳng thức này, ta qui về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. §3.5 S Ố PHỨC
Xét tích Decartes R 2 R R Ta định nghĩa hai phép toán cộng p q và nhân pq trong R 2 như sau: px, y q , p x 1 , y 1 q P R 2 ,
" px, y q p x 1 , y 1 q p x x 1 , y y 1 q px, y q p x 1 , y 1 q p xx 1 yy 1 , xy 1 yx 1 q
Ta dễ dàng kiểm chứng p R 2 , , q là một thể giao hoán Nghĩa là phép toán cộng trong
Trong tập hợp R², phép cộng có tính kết hợp và giao hoán, với phần tử trung hòa là P(0,0) Mỗi phần tử P(x, y) đều có phần tử nghịch đảo là P(-x, -y) Phép nhân trong R² cũng giữ tính kết hợp và giao hoán, với phần tử trung hòa là P(1,0) Ngoài ra, mọi phần tử P(x, y) khác P(0,0) đều có phần tử nghịch đảo là P(x / (x² + y²), y / (x² + y²)).
Tập hợp R², cùng các phép toán đã được định nghĩa, gọi là tập các số phức và thường ký hiệu là C, là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học Ánh xạ f : R → R², với f(x) = p x, 0 q, là một đồng cấu thể, đảm bảo tính đơn ánh và phù hợp với các phép toán đã định nghĩa Chính nhờ đó, ta có thể coi R² là một thể đồng nhất với R, và thay thế x bằng cặp số p x, 0 q để dễ dàng thao tác và hiểu rõ hơn về các phép toán trong tập các số phức.
Ký hiệu i p 0,1 q Dễ kiểm tra rằng i 2 1 và số i được gọi là đơn vị ảo Ta có z px, y q P C, z p x,0 q p y,0 qp 0,1 q x yi Dạng viết z x yiđược gọi là dạng đại sốcủa số
Mặt phẳng phức là hệ trục tọa độ vuông góc gồm trục thực và trục ảo, trong đó mỗi điểm M có tọa độ (x, y) tương ứng với số phức z = x + yi Phần thực của số phức z được ký hiệu là Rez, còn phần ảo là Imz; số phức có phần thực bằng không gọi là số thuần ảo Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng trùng khớp Ánh xạ từ mặt phẳng P vào tập số phức C thiết lập một song ánh giữa điểm M(x, y) và số phức z = x + yi, giúp đồng nhất hóa điểm trong mặt phẳng với một số phức Mặt phẳng phức có trục hoành gọi là trục thực với đơn vị là 1, còn trục tung gọi là trục ảo với đơn vị là i.
Xétz x yi P C, x, y P R Ta đưa ra một số định nghĩa sau:
Số z x yi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x + yi Về mặt hình học, hai số phức liên hợp phản chiếu đối xứng qua trục thực trên mặt phẳng phức Các tính chất của số phức liên hợp bao gồm việc số phức liên hợp của liên hợp là chính nó, và tổng hoặc tích của hai số phức có liên quan đến liên hợp của chúng Số phức liên hợp đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và giải các phương trình phức, đồng thời giúp hiểu rõ hơn về tính chất hình học của số phức.
Giá trị của \( a x^2 + y^2 \) được gọi là mô-đun của số phức và được ký hiệu là \( |z| \) Mô-đun của số phức là một số thực, phản ánh độ lớn của số phức trong mặt phẳng phức Đây là phần mở rộng của khái niệm giá trị tuyệt đối từ tập hợp số thực sang tập hợp số phức, giúp đo lường độ lớn của số phức một cách rõ ràng và chính xác hơn.
Về mặt hình học, modul của số phứczchính là độ dài r của đoạnOM Ta có các tính
Trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = x + yi, góc ϕ tạo thành bởi trục thực và tia OM được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là arg z Khi số phức z khác 0, argument của z là một giá trị xác định, còn nếu z = 0 thì argument có thể là bất kỳ giá trị nào Chiều dương của argument đi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Nếu ϕ là argument của z, thì bất kỳ ϕ + 2kπ cũng là argument của z, phù hợp với tính chất của argument trong mặt phẳng phức Trong các tính chất của argument, các đẳng thức thường hiểu theo nghĩa sai khác một lượng 2kπ để đảm bảo tính nhất quán Ngoài ra, để phân biệt, ta còn sử dụng thuật ngữ argument chính của số phức z (ký hiệu Arg z), là các giá trị ϕ thoả mãn 0 ≤ ϕ < 2π, giúp xác định rõ ràng hơn góc của số phức trong phạm vi chuẩn.
Số phức \(z\) có thể được biểu diễn dưới dạng lượng giác dựa trên phần mô đun \(r = |z|\) và các арг \( \varphi = \arg z \), giúp mô tả rõ hơn về góc phương vị của số phức trên mặt phẳng Dạng lượng giác của số phức \(z\) được viết là \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\), với \(r \in \mathbb{R}^+\) và \(\varphi \in \mathbb{R}\) Với mỗi cặp \((r, \varphi)\), ta xác định được một số phức \(z\), nhưng khi xét số phức đã cho, có vô số cặp \((r, \varphi + 2k\pi)\), \(k \in \mathbb{Z}\) để biểu diễn cùng một số phức đó Sự liên hệ giữa dạng đại số và dạng lượng giác của số phức thể hiện qua các công thức chính, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính toán và biến đổi trong phép toán số phức.
Ta có các công thức sau đây:
Công thức Euler ϕ P R, e iϕ cosϕ isinϕ
Công thức Moivre n P Z, ϕ P R, p cosϕ isinϕ q n cosnϕ isinnϕ
Xét một số phứcz r p cosϕ isinϕ q 0và n P N Ta tìm một số phức wsao chow ? n z ρ p cosθ isinθ q Ta được: z r p cosϕ isinϕ q w n ρ n p cosθ isinθ q n ρ n p cosnθ isinnθ q
Do đó # ρ ? n r θ ϕ 2kπ n , k 0,1,2, , n 1 Chú ý rằng một số phức có đúngncăn bậcn.
Từ công thức tổng quát của căn bậc n của số phức, ta đặc biệt xem xét các căn bậc n của số 1, với giá trị là e^{i k cos 2kπ/n} + i sin 2kπ/n Các căn bậc n của số 1 có các tính chất quan trọng, gồm tính chất phân phối đều trên vòng tròn lượng giác và có thể biểu diễn bằng các số phức dạng e^{i 2kπ/n}, giúp hiểu rõ đặc điểm và ứng dụng của chúng trong toán học và kỹ thuật.
: k P t 0,1,2, , n 1 u , e k e n k, nghĩa là các căn bậc n của 1 liên hợp với nhau từng đôi một.
: pn, m q P Z 2 , p e n q m p e m q n Từ đây ta có k P t 0,1,2, , n 1 u , e k e k 1.
: Cho z P C và gọi z k , k P t 0,1,2, , n 1 u là các căn bậc n của z Khi đó z k z j e k , k P t0,1,2, , n 1 u , j tùy ý P t 0,1,2, , n 1 u
Các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn e^k là các đỉnh của đa giác đều n cạnh nội tiếp trong vòng tròn bán kính đơn vị Trong đó, mỗi đỉnh có thể được mô tả bằng số phức e^k, với k là chỉ số từ 0 đến n-1 Đặc biệt, một trong các đỉnh này có thể là số 1, thể hiện sự liên hệ chặt chẽ giữa các đỉnh của đa giác đều và các điểm phân bố đều trên vòng tròn đơn vị Chính vì vậy, các điểm này thể hiện tính đối xứng và đều đặn của đa giác đều trong mặt phẳng phức.
: Tập hợpU n t 1, e1, e2, , e n 1 u là một nhóm con giao hoán củaCđối với phép nhân.
Câu 1 Giải các hệ phương trình sau với ẩn làx, y, z P R:
Câu 3 Chứng minh các bất đẳng thức sau đây và khảo sát các trường hợp xảy ra đẳng thức:
# x y z 5 xy yz xz 3 Chứng minh rằng 1 ¤ z ¤ 13
Câu 11 Với a, b, c P Csao cho aa bb cc 1 vàa b c 0 Chứng minh rằnga 3 b 3 c 3
Câu 15 Giải các phương trình sau với ẩn số làz P C:
(b) z 3 p 1 2i q z 2 p 1 i q z 2i 0, biết rằng có một nghiệm thuần ảo.
Bài tập chương 3 37 (c) z 4 4iz 2 12 p 1 i q z 45 0, biết rằng có một nghiệm thực và một nghiệm thuần ảo. (d) p z 2 8z q 2 40 p z 2 8z q 375 0.
Câu 16 Cho n P N, a, b P R; tính các tổng:
C n n á k 0 cos p a kb q và S n n á k 0 sin p a kb q
Câu 17 Cho n P N vàx P R Tính S n ° k 0 cos 3 kx.
Các định nghĩa
§4.1 C ÁC ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 4.1 Một dãy số là một ánh xạ từ N vào K (K R hoặc C) Thay cho ký hiệu u:N í ẹ K n ịẹ u p n q , ta thường ký hiệu p un q n P N hoặc ngắn gọn p un q
Nếu K R thì p u n q được gọi là dãy số thực; nếu K C thì p u n q được gọi là dãy số phức. Phần tửu n được gọi là số hạng thứn của dãy.
Dãy số p u n q là một phần quan trọng trong phân tích toán học, thường được định nghĩa là một chuỗi các giá trị liên tiếp bắt đầu từ một chỉ số nào đó trở đi trong tập N Khi mỗi phần tử của dãy số này hội tụ về không gian vô cùng, ta nói rằng dãy số này hội tụ vô hạn, nghĩa là: với mọi ε > 0, tồn tại một số N sao cho mọi n ≥ N, thì | u n - a | < ε Các khái niệm liên quan đến dãy số đều tập trung vào khả năng hội tụ và giới hạn của chúng, đặc biệt khi n tiến tới vô cùng.
Trong toán học, khi ký hiệu lim n→∞ u n = u, chúng ta nói dãy số u n hội tụ, còn nếu không hội tụ thì gọi là dãy phân kỳ Định lý 4.1 xác nhận rằng, nếu giới hạn của một dãy số tồn tại, thì giới hạn này là duy nhất, đảm bảo tính chính xác và rõ ràng trong việc xác định giới hạn của các dãy số.
Chứng minh.Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử dãy p un q có hai giới hạn là avàb (a b) Chọn ε 1
3 | b a | Theo định nghĩa, tồn tại hai sốN1, N2 P Nsao cho: n P N,
# n Ă N1 ự ủ | u n a | ε n Ă N2 ự ủ | un b | ε ĐặtN max p N1, N2 q , ta có: | u N a | εvà | u N b | ε.
Ví dụ 4.1 (a) Mọi dãy dừng (nghĩa là bằng hằng số từ một thứ tự nào đó trở đi) đều hội tụ.
Ta có một số nhận xét sau đây:
: Nếu dóy thựcu n í ẹ n 8 a P R thì với bất kỳ khoảng mở p c, d q chứaa ta cũng tìm được số
2 Nếu dãy p u n q là thực thì từ đây suy ra rằng bắt đầu từ sốN nào đó, nếu a ¡ 0thì có a
2. Định nghĩa 4.3 Cho p u n q là dãy thực.
(a) Ta nói p u n q tiến tới 8 nếu và chỉ nếu A ¡ 0, D N P N, n P N, pn Ơ N ự ủ u n Ă A q
(b) Ta nói p u n q tiến tới 8 nếu và chỉ nếu B 0, D N P N, n P N, pn Ơ N ự ủ u n B q
Chú ý rằng dãy số thực có giới hạn là 8 hoặc đều phân kỳ, ảnh hưởng lớn đến cách xác định tính giới hạn của dãy Định nghĩa 4.4 cho biết rằng, dãy p, u, n, q được gọi là bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại một số M thuộc tập R sao cho với mọi n lớn trong N, thì |u_n| không vượt quá M Việc hiểu rõ các điều kiện này giúp nhận biết chính xác các dãy bị giới hạn hoặc phân kỳ trong phân tích toán học.
Dãy số p u n q được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số A trong tập R sao cho tất cả các phần tử của dãy đều nhỏ hơn hoặc bằng A Tương tự, dãy bị chặn dưới khi tồn tại một số B trong R sao cho tất cả các phần tử của dãy đều lớn hơn hoặc bằng B Một dãy số thực bị chặn khi và chỉ khi nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới Theo định lý 4.2, mọi dãy hội tụ đều bị chặn, nhấn mạnh tầm quan trọng của tính chất này trong phân tích tiến trình hội tụ của dãy số.
Chứng minh.Giả sửun í ẹ n 8 a; tồn tạiN P Nsao cho: n P N, p n Ơ N ự ủ | u n a | 1 q
Vì vậy với mọi n P N sao cho n ¡ N, ta có: | u n | ¤ | u n a | | a | ¤ 1 | a | Đặt M max p| u0 | , , | u N | ,1 | a |q , ta suy ra n P N, | u n | ¤ M Định lý 4.3 Cho p un q , p vn q là hai dãy số; λ, a, b P K Ta có:
(a) Sử dụng bất đẳng thức: || u n | | a || ¤ | u n a |
(b) Sử dụng đẳng thức: || un | 0 | | un | | un 0 |
(c) Lấyε Ă 0tựy ý Khi đú sẽ cú sốN P Nsao cho n Ă N ủ | u n a | ε
|u n v n ab | | u n v n av n av n ab | ¤ ¤ |vn | | un a | | a | | vn b |
Vì p vn q hội tụ nên nó bị chặn, nghĩa là có một sốM ¡ 0sao cho n P N, | vn | ¤ M ChọnM sao cho
|a | M Khi đó với mọiεsẽ có sốN P Nsao cho n ¡ N, | un a | ε
M ε 2M ε. (e) Bây giờ với n P N, vn 0, b 0, ta có: un v n a b bun avn bv n
2 Lấyε ¡ 0tùy ý, sẽ có hai sốN2, N3 P Nsao cho: n ¡
4 Cuối cùng chọnN max p N1, N2, N3 q , ta có ε Ă 0, D N, n Ă N ủ un v n a b ε | b |
Và định lý được chứng minh Định lý 4.4 Cho p un q , p vn q là hai dãy số thực có giới hạn tương ứng là a, b P R Giả sử
DN0, n P N, p n Ơ N0 ự ủ un Ô vn q Khi đúa Ô b.
Chứng minh.Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sửa ¡ b Do
3 vàN max p N0, N1, N2 q ; ta có: vN b a b
Trái với giả thiết Định lý 4.5 Cho p u n q , p v n q p w n q là ba dãy số thực sao cho:
Khi đó p v n q cũng hội tụ đếna.
Chứng minh Cho ε ¡ 0; vì p u n q và p w n q cùng hội tụ đến a nên tồn tại hai số N1, N2 P N sao cho n P N, p n Ơ N1 ự ủ | u n a | ε q và n P N, p n Ơ N2 ự ủ |w n a | ε q ĐặtN max p N0, N1, N2 q ; ta cú n P N, n Ơ N ự ủ ε un a Ô vn a Ô wn a ε ự ủ | vn a | ε
Định lý 4.5, còn được gọi là định lý kẹp, chứng minh rằng nếu một dãy số bị giới hạn bởi hai dãy số hội tụ về cùng giới hạn thì chính nó cũng hội tụ về giới hạn đó Định lý 4.6 xác nhận rằng với hai dãy số thực p_u_n_q và p_v_n_q có giới hạn lần lượt là a và b trong R, nếu p_u_n_q và p_v_n_q đều hội tụ, thì giới hạn của chúng sẽ thỏa mãn bất đẳng thức liên quan, đảm bảo tính liên tục của các dãy số này khi giới hạn tiến tới vô cùng.
% u n í ẹ n 8 a vn í ẹ n 8 b Chúng ta xét một số ví dụ cơ bản sau:
Ví dụ 4.2 Xét dãy t q n u với0 ¤ q 1 Đây là một dãy giảm và bị chặn dưới Do đó có một sốasao cho a lim n ẹ8 q n lim n ẹ8 q n 1 qa Vỡq 1nờna 0.
Ví dụ 4.3 Xét dãy p un q với un n
? n Áp dụng bất đẳng thức Cauchy đối với n số không âm
? n,1,1, ,1 loooomoo oon n 2 số 1 ta được:
Vậy ? n n í ẹ n 8 1theo định lý kẹp Trường hợp ? n a í ẹ n 8 1, p a ¡ 0 q được chứng minh tương tự.
Ví dụ 4.4 Xét dãy t un u vớiun n
2 n , nên dãy giảm và bị chặn dưới ủ D a lim n ẹ8 u n Dou n 1 u n 2
2 n 1 , nờn khin ẹ 8 ta đượca a { 2và do đúa 0. Vậy n
Tổng quát vớia ¡ 1, k P N ta có n k a n í n ẹ 8 0.
Ví dụ 4.5 Xét dãy p u n q với a n n!, a P Kcố định ĐặtN E p| a |q 1; với mọin P Nsao chon ¡ N, ta có: a n n!
Ví dụ 4.6 Xét giới hạn của dãy tỉ số hai đa thức theon Bằng cách chia tử và mẫu cho n k với k max p p, q q , ta có công thức sau: a0n p a1n p 1 a p b0n q b1n q 1 bq í ẹ n 8
8 nếu p ¡ q Định nghĩa 4.5 Cho p u n q là dãy số thực Ta nói:
: pu n q là dãytăngnếu và chỉ nếu n P N, u n ¤ u n 1
: pun q là dãygiảmnếu và chỉ nếu n P N, un ¥ un 1
: pu n q là dãyđơn điệunếu và chỉ nếu nó là dãy tăng hoặc là dãy giảm. Định lý 4.7.
(a) Mọi dãy thực tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
(b) Mọi dãy thực giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Trong bài toán này, giả sử rằng p un q là một dãy số tăng và bị chấn trên, đồng thời tập A là một tập con không rỗng của tập số thực R và cũng bị chấn trên Với điều kiện này, ta có thể khẳng định tồn tại cận trên đúng của tập A, theo đó, tồn tại một số c như cận trên của tập A và c < ε với mọi ε > 0 Điều này dựa trên định nghĩa của cận trên trong phân tích thực, giúp xác định giới hạn của các dãy số trong tập A một cách chính xác và rõ ràng.
N P Nsao cho:a ε u N a Vì p u n q tăng nên suy ra: n P N, p n Ơ N ự ủ un Ơ uN ự ủ a ε un a a ε ự ủ | un a | ε q
(b) Áp dụng kết quả phần (a) đối với dãy p u n q
Ví dụ 4.7 Khảo sát sự hội tụ của dãy p u n q vớiu n
2 lo o oo oooo oooomo o oooo oooo o on n dấu căn
2 2nên bằng qui nạp, ta có thể chứng tỏ rằng0 u n 2với mọin P N Do đó dãy p u n q bị chặn trên Mặt khác u n 1 u n
2 u n u n ¡ 0 dou n 2 Vậy nó là dãy tăng; nên dãy hội tụ về sốa: 0 ¤ a ¤ 2 Trong đẳng thứcu n 1
2 lo o ooo oooo oo omo o o oooo ooooon n dấu căn
Ví dụ 4.8 trình bày về một dãy số thực có giới hạn quan trọng trong giải tích và ứng dụng thực tiễn Dãy số \( p, u, n, q, v \) được xem xét để minh họa vai trò của giới hạn trong phân tích toán học Việc nghiên cứu giới hạn của dãy số giúp hiểu rõ hơn về hành vi của các dãy trong toán học và các lĩnh vực liên quan Đây là một khái niệm cốt lõi trong giải tích, góp phần giải thích các hiện tượng liên quan đến sự tiệm cận và ổn định của dữ liệu.
Ta có khai triển nhị thức Newton: u n 1 n 1 n n p n 1 q 1.2
Do đó p u n q là dãy bị chặn trên Mặt khác, xétn 1 số không âm:
1 1 n loo o oooo oooo ooomoo oooo ooo ooooon n số
,1 và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: n 1 d
1 1 n 1 n 1 u n 1; nên p u n q là dãy tăng Theo định lý 4.7 nó hội tụ về một giới hạn hữu hạn và được ký hiệu làe Vậy: nlim ẹ8
Định lý 4.8, còn gọi là Định lý về dãy các đoạn thắt lồng nhau, xác định điều kiện để tồn tại một số thực duy nhất trong các dãy số theo thứ tự chặt chẽ Cụ thể, nếu hai dãy thực pₙ và qₙ thoả mãn các điều kiện như n → ∞, aₙ ≤ bₙ, rₙ → 1, bₙ₊₁ ≤ bₙ, và dₙ ≤ bₙ ≤ aₙ, thì sẽ tồn tại một số thực duy nhất t sao cho n → ∞, bₙ ≤ t ≤ cₙ Định lý này giúp xác định điểm giới hạn của các dãy số chặt chẽ và đảm bảo tính nhất quán trong các phân tích toán học về dãy và giới hạn.
Dãy con
Chứng minh rằng dãy \( p_{a_{n}q} \) là dãy tăng và bị chặn trên, nên có giới hạn là \( c_1 \); dãy \( p_{b_{n}q} \) là dãy giảm và bị chặn dưới, nên có giới hạn là \( c_2 \) Vì \( d_{0} n b_{n} a_{n} \) hội tụ về 0, nên giới hạn của hai dãy này là \( c_1 = c_2 \), đảm bảo tính đúng của định lý về dãy con và tính hội tụ của các dãy theo điều kiện của các điều kiện của định lý.
Dãy số p u n q là một chuỗi số tự nhiên tăng nghiêm ngặt, với các chỉ số n0, n1, , nk sao cho n0 < n1 < < nk, tạo thành tập hợp các chỉ số của dãy Một dãy con của dãy p u n q được xác định bởi các chỉ số n k sao cho n k < n k+1, giúp tạo ra dãy con tăng nghiêm ngặt Theo định lý 4.9, nếu dãy p u n q hội tụ đến giới hạn a, thì mọi dãy con của nó cũng đều hội tụ về a, đảm bảo tính liên kết trong quy luật hội tụ của dãy số.
Chứng minh.Choε Ă 0, D N P Nsao cho: k P N, p k Ơ N ủ | u k a | ε q Khi đú ta cú: k P N, p k Ơ N ự ủ n k Ă n N Ă N ự ủ | u n k a | ε q
Vậyun k í ẹ n 8 a Định lý 4.10 Cho p u n q là một dãy trong K vàa P K Để p u n q hội tụ đến a, cần và đủ là các dãy con p u2 n q và p u2 n 1 q cũng hội tụ đếna.
Chứng minh.Choε Ă 0, ủ D N1, N2 P Nsao cho: p P N, p p Ă N1 ủ | u2 p a | ε q và p P N, p p Ă
Nội dung bài viết đề cập đến việc chọn tập hợp tối đa phù hợp, định nghĩa các dãy số và tính chất của chúng Đặc biệt, bài nhấn mạnh rằng nếu một dãy bị chặn, thì có thể trích ra một dãy con hội tụ theo Định lý Bolzano-Weierstrass Điều này khẳng định rằng mọi dãy số thực bị chặn đều có khả năng chứa đựng các phần tử tạo thành các dãy con hội tụ, góp phần vào việc hiểu rõ hơn về tính toán và phân tích trong giải tích thực.
Chúng tôi chứng minh định lý bằng phương pháp chia đôi Vì dãy p, u, n, q bị chặn nên tồn tại hai số a₀ và b₀ thuộc tập R sao cho n thuộc tập N và a₀ ≤ uₙ ≤ b₀ Đặt b₀ và a₀ là độ dài của đoạn r a₀, b₀ và chọn một phần tử tùy ý u₀ thuộc đoạn r a₀, b₀ Để chứng minh, ta chia đôi đoạn r a₀, b₀ bằng điểm giữ x₀ thuộc đoạn đó.
Trong bài viết, một trong hai đoạn r0, x0 hoặc r x0, b0 s phải chứa vô số phần tử của dãy p un q, đảm bảo tính liên tục và đồng bộ của dữ liệu Đoạn đó được ký hiệu là r a1, b1 s, trong đó phần tử un 1 thuộc dãy p un q nằm trong đoạn này, với chỉ số chọn từ n0 Độ dài của đoạn r a1, b1 s được xác định bằng d1 = b1 - a1, giúp xác định phạm vi của đoạn và tối ưu hóa quá trình xử lý dữ liệu Các nguyên tắc này đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong việc phân tích, xử lý dữ liệu dãy trong các ứng dụng kỹ thuật và toán học.
2 Tiếp tục quá trình chia đôi đếnklần, ta thu được:
% ra k , b k s r a k 1, b k 1 s r a0, b0 s ra k , b k s chứa vô số các phần tử của dãy p u n q d k b k a k d k 1
Một số loại dãy thông thường
Dãy truy hồi tuyến tính cấp một
Xét dãy số p u n q trongKsao cho tồn tại hai số a, b P Kthoả: n P N, u n 1 au n b, u0 cho trước
Ta dễ dàng tìm được công thức tổng quát sau:
Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Xét dãy số p u n q trongKsao cho tồn tại hai số a, b P Kthoả: n P N, u n 2 au n 1 bu n 0, u0, u1 cho trước
Lập phương trình k 2 ak b 0 và được gọi là phương trình đặc trưng của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Chúng ta xét các trường hợp sau:
1 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệtk1 và k2 Khi đó ta có: u n 2 au n 1 bu n u n 2 p k1 k2 q u n 1 k1k2u n pun 2 k1un 1 q k2 p un 1 k1un q 0
4.3 Một số loại dãy thông thường 46 ĐặtD n u n 1 k1u n ủ D0 u1 k1u0 cho trước Từ biểu thức trờn ta được:
Từ công thức (4.1) vớib 0ta thu được: D n D0k n 2 ; và như vậy: u n 1 k1u n D0k2 n
Ta có các phương trình sau: u n k1u n 1 D0k 2 n 1 k1un 1 k1 2 un 2 D0k1k n 2 2
. k n 1 2 u2 k 1 n 1 u1 D0k 1 n 2 k2 k n 1 1 u1 k 1 n u0 D0k 1 n 1 Cộng tất cả các phương trình trên, ta được: un k1 n u0 D0 p k 1 n 1 k n 1 2 k2 k1k n 2 2 k n 2 1 q D0 k n 1 k2 n k1 k2
Cuối cùng ta đi đến công thức:
2 Phương trình đặc trưng có duy nhất nghiệmk1 Bằng cách làm tương tự ta đi đến công thức:
3 Phương trình đặc trưng vô nghiệm Trường hợp này xảy ra khi K Rvà biệt thức của phương trình đặc trưng ∆ a 2 4b 0 Khi đó phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp Gọi modul và argument của chúng làr và ϕ kπ Bằng cách làm tương tự, sau khi tách phần thực và phần ảo, ta đi đến công thức:
Dn r n u0cosnϕ u1 ru0cosϕ rsinϕ sinnϕ
Ví dụ 4.9 Xét dãy Fibonacci p Fn q xác định như sau:
Phương trình đặc trưngk 2 k 1 0có hai nghiệm thựck1
2 Từ công thức(4.2), ta có F1 k2F0 k1 k2
4.3 Một số loại dãy thông thường 47
Ví dụ 4.10 Xét dãy p u n q xác định như sau:
# u0 0, u1 1 n P N, u n 2 4u n 1 4u n Phương trình đặc trưngk 2 4k 4 0có nghiệm képk1 2, nên từ(4.3)ta có:u n n2 n 1
Ví dụ 4.11 Xét dãy p un q xác định như sau:
Phương trình đặc trưngk 2 2k 4 0có hai nghiệm phức liên hợpk1 , 2 1 i
3 , nên từ(4.4)ta có: u1 ru0cosϕ rsinϕ
Dãy trung bình Césaro
Định nghĩa 4.7 Cho p u n q n P N là một dãy số Dãy p v n q n P N xác định bởi: n P N , v n u1 u2 u n n được gọi làdãy các trung bình Césarocủa dãy p u n q Định lý 4.13 Nếu p u n q n P N hội tụ đếnathì p v n q n P N cũng hội tụ đếna.
Chứng minh.Chou n í ẹ n 8 a Khi đó với mọiε ¡ 0, sẽ cóN1 P N sao cho n P N , n ¡ N1: | u n a | ε
2. Chọnn P N , sao chon ¡ N1 1 Ta có:
|u k a | í ẹ n 8 0 nên có số N2 P N sao cho n ¡ N2,1 n
2 ĐặtN max p N1, N2 q , ta cú n Ă N ủ | v n a | ε, nghĩa làv n í ẹ n 8 a.
Chú ý rằng có thể dãy trung bình Césaro của p u n q hội tụ, nhưng bản thân dãy p u n q thì không Ví dụ dãy p u n q vớiu n p 1 q n chẳng hạn Ta có: v n
1 n nếunlẻ í n ẹ 8 0Tuy nhiên dãy p un q phân kỳ.
Bài tập chương 4 48 Định lý 4.14 (Bổ đề bậc thang) Cho dóy p u n q sao chou n 1 u n í ẹ n 8 a Khi đó un n í n ẹ 8 a.
Chứng minh kết quả dựa trên việc áp dụng Định lý 4.13 cho dãy \( p, u, n, q \), trong đó n là số tự nhiên, và các ràng buộc như \( p \in \mathbb{N} \), \( 1 \leq n \leq k \), cùng với các bất đẳng thức liên quan Đồng thời, Định lý 4.15 xác định rằng, đối với dãy số thực \( p, u_n, q \) sao cho \( p \in \mathbb{R} \), nếu \( u_{n+1} \leq u_n \) thì dãy này giảm và hội tụ tới giới hạn Đây là các kết luận quan trọng trong việc chứng minh tính chất hội tụ của dãy số theo các định lý đã trình bày.
Chứng minh.Áp dụng bổ đề bậc thang vào dãy p v n q vớiv n ln p u n q
Ví dụ 4.12 Tính các giới hạn của dãy p v n q với:
Sử dụng định lý 4.15 đối với các dãy:
Cõu 1 Cho p a, b q P R 2 , p u n q , p v n q là hai dóy thỏa n P N, u n Ô a, v n Ô bvà p u n v n q í ẹ n 8 pa b q Chứng minh rằngu n í ẹ n 8 avàv n í ẹ n 8 b.
Câu 2 Cho p un q , p vn q là hai dãy hội tụ Chứng minh rằng các dãy p xn q , p yn q xác định bởi: n P N,
" xn sup p un, vn q yn inf p un, vn q cũng hội tụ và tìm giới hạn của chúng theo các giới hạn của các dãy ban đầu.
Câu 3 Dãy p un q xác định bởi
5 p 3u n 2u n q có hội tụ hay không, và nếu có, giới hạn là gì?
Câu 4 Chứng minh rằng dãy p u n q xác định bởi:u n n ° k 1
Câu 5 Tính giới hạn của dãy p u n q cho bởi:
(b) Suy ra rằng các dãy p u n q và p v n q hội tụ.
Câu 7 Sử dụng bất đẳng thức x P R , x x 2
2 ¤ ln p 1 x q ¤ x, chứng minh sự tồn tại của giới hạnlim n 8 n ± k 1
1 1 n k n 2 và tính giới hạn này.
Câu 8 Cho dãy p u n q sao cho: n, m P N , 0 ¤ u m n ¤ m n mn Chứng minh rằngu n í ẹ n 8 0.
Câu 9 Khảo sát dãy p u n q xác định bởi:
Câu 10 Cho x P R Qvà p u n q là dãy số hữu tỉ hội tụ đến x Với mọin P Nta đặt u n p n q n vớip n P Zvàq n P N Chứng minh rằngq n í ẹ n 8
Câu 11 Cho dãy p un q xác định bởi:
" u0 1 n P N, u n 2 u n 1 u n Xác định u1 sao cho tất cả các số hạng của dãy đều dương.
Câu 12 Tìm số hạng tổng quát của dãy p u n q xác định bởi:
# u0, u1 P R n P N, u n 2 u n 1 u n 2 và khảo sát sự hội tụ của chúng.
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Khái niệm hàm số
§5.1 K HÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa 5.1 ChoX R Một ánh xạf :X x í ẹ ịẹ
R f p x q được gọi là một hàm số.
Hàm số là một ánh xạ từ miền xác định (MXĐ) của hàm vào tập giá trị của hàm Miền xác định của hàm f, ký hiệu là X, là tập các giá trị của x mà biểu thức f(x) có nghĩa, trong khi miền giá trị là tập các y = f(x) mà hàm có thể nhận Hàm số có thể biểu diễn dưới dạng biểu thức, tham số, ẩn, hoặc bảng số, và các khái niệm cùng tính chất của ánh xạ đã được trình bày trong chương 1 vẫn áp dụng cho hàm số.
Trong mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc Oy (gọi là mặt phẳng Oy), O là gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung Đồ thị của hàm số được xác định là tập hợp tất cả các điểm M(p(x), f(p(x))) với mọi x thuộc miền xác định Đây là cách biểu diễn trực quan mối quan hệ giữa biến độc lập x và giá trị hàm số f(x) trên mặt phẳng tọa độ.
Trong các định nghĩa dưới đây, ta xét hàm số p(x, q) là ánh xạ từ Rlà một hàm số và A là tập hợp con của R Hàm p(x, q) được gọi là đơn điệu tăng hoặc giảm trong A nếu với mọi x₁, x₂ thuộc A và x₁ ≠ x₂, ta luôn có f(p, x₁) ≤ f(p, x₂) hoặc f(p, x₁) ≥ f(p, x₂) Hàm p(x, q) được xem là đơn điệu trong A khi nó có đặc điểm tăng hoặc giảm trong tập A, giúp xác định tính chất sư phạm của hàm số trong các phép tính toán.
Ví dụ 5.1 trình bày rằng hàm p(x, q(x)) = x^2 giảm trong khoảng r₁, 2s và tăng trong khoảng r₁, 2s Định nghĩa 5.3 giải thích rằng hàm p(x, q) bị chặn trên hoặc dưới trong tập A khi tồn tại một số M hoặc m sao cho với mọi x trong A, f(x, q) không vượt quá M hoặc không nhỏ hơn m Hàm f(x, q) bị chặn trong A khi nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, có nghĩa là tồn tại các số M, m thuộc R sao cho với mọi x trong A, m ≤ f(x, q) ≤ M.
Hàm f p x q bị chặn trong A còn có thể được viết dưới dạng tương đương: D M P R , x P
A, | f p x q| ¤ M. Định nghĩa 5.4 Hàmf p x q làhàm chẵn (hàm lẻ)trongAnếu x P A, x P Avàf p x q f p x q
Hàm chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, trong khi hàm lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số p(x, q) là tuần hoàn nếu tồn tại một số τ ≠ 0 sao cho f(x + τ) = f(x), và chu kỳ của hàm là giá trị nhỏ nhất dương T thỏa mãn điều này Hàm hợp của hai hàm số f và g, ký hiệu là h = g ∘ f, được định nghĩa là h(x) = g(f(x)), với điều kiện là x thuộc tập xác định X Ngoài ra, ánh xạ ngược f^{-1} là hàm nghịch đảo của hàm số f, cho phép tra ngược lại các giá trị từ tập đích trở về tập xác định.
Hàm ngược của hàm y = f(p, x, q) được xác định là x = f⁻¹(p, y, q) Tuy nhiên, theo thói quen, chúng ta thường nói rằng y = f⁻¹(p, x, q) là hàm ngược của hàm y = f(p, x, q) Đồ thị của hàm ngược có tính đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất, thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa hai hàm số này.
Sau đây là cáchàm sơ cấpcơ bản:
3 Hàm mũ: y a x p a ¡ 0, a 1 q Nếu a e ta có hàm sơ cấp rất quan trọngy e x
4 Hàm logarithm: y log a x p a ¡ 0, a 1 q Nếua e ta thường dùng ký hiệuy lnx.
5 Hàm lượng giác:y sinx,y cosx,y tanx sinx cosx vày cotx cosx sinx.
6 Hàm lượng giỏc ngược: y arcsinx : r 1,1 s í ẹ π
Giới hạn của hàm số
Định nghĩa 5.8 Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hàm hợp.
Các hàm sơ cấp như đa thức, y = x, y = cos 2x đóng vai trò nền tảng trong toán học và có nhiều ứng dụng quan trọng Trong số các hàm sơ cấp, đặc biệt có lớp hàm hyperbolic là các hàm có ý nghĩa quan trọng trong phân tích toán học và vật lý Các hàm hyperbolic như sinh x, e^x, và e^{-x} là những ví dụ điển hình của lớp hàm quan trọng này, thường xuyên được sử dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu.
2 ; tanhx sinhx coshx e x e x e x e x ; cothx coshx sinhx e x e x e x e x
Sau đây là một số tính chất quan trong thường dùng của các hàm hyperbolic.
(c) cosh 2x cosh 2 x sinh 2 x 2 cosh 2 x 1 1 2 sinh 2 x
1 tanhxtanhy §5.2 G IỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Trong phần này, chúng ta xem xét một phạm vi hữu hạn A × R và khái niệm lân cận của điểm a, đó là một khoảng mở tùy ý chứa điểm a, ký hiệu là I p a q Ngoài ra, ta còn đề cập đến lân cận tâm A bán kính δ > 0, đó là khoảng mở xung quanh điểm a Những khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về tính liên tục và tính giới hạn của hàm số trong toán học phân tích.
Trong phân tích toán học, chúng ta hiểu lân cận của số vô hạn bằng các khoảng mở như \( p c, 8q \) hoặc \( p8, c q \), giúp xác định mức độ gần của các giá trị với số vô hạn Ký hiệu \( I o p a q \) và \( I o \delta p a q \) được sử dụng để diễn đạt các lân cận theo nghĩa chính xác, đồng thời luôn tồn tại một số thực dương \( \delta \) để đảm bảo các lân cận này phù hợp với các tiêu chuẩn đã đặt ra Những khái niệm này rất quan trọng trong việc nghiên cứu tính liên tục và giới hạn của hàm số trong toán học.
5.2 Giới hạn của hàm số 54 Định nghĩa 5.9 Chof :I p a q í ẹ R, A P R Ta núi hàmf p x q cú giới hạn làA tạianếu ǫ Ă 0, D δ Ă 0, x P I p a q , p| x a | δ ủ | f p x q A | ǫ q (5.1)
Khi đó ta viết lim x ẹ af p x q Ahoặcf p x q í ẹ x ẹ aA.
: Giá trịδ trong định nghĩa (5.1) nói chung phụ thuộc vào ǫvà a:δ δ p ǫ, a q
Giới hạn hàm số được định nghĩa khi hàm f(x) không xác định tại điểm a, và điều này được thể hiện qua công thức (5.1) Định nghĩa 5.10 mô tả rõ ràng về giới hạn của hàm số tại điểm a bằng cách sử dụng các biến số nhỏ epsilon và delta, nhằm xác định mức độ gần của giá trị hàm với giới hạn khi x tiến đến a Để hiểu rõ hơn về các trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm số, ta cần thêm một số định nghĩa phù hợp, giúp củng cố kiến thức về tính liên tục và các tính chất khác của hàm số trong các tình huống đặc thù.
1 Cho f : p c, 8q í ẹ R, A P R Ta núi hàmf p x q cú giới hạn làA tại 8 nếu ǫ Ă 0, D ∆ Ă
2 Cho f : p8 , c q í ẹ R, A P R Ta núi hàmf p x q cú giới hạn làA tại 8 nếu ǫ Ă 0, D ∆
3 Cho f :I p a q í ẹ R Ta núi hàm f p x q cú giới hạn là 8 tại a nếu M Ă 0, D δ Ă 0, x P
4 Cho f :I p a q í ẹ R Ta núi hàm f p x q cú giới hạn là 8 tại a nếu M 0, D δ Ă 0, x P
I p a q , p| x a | δ ủ f p x q M q lim x ẹ af p x q 8 Định lý 5.1 Giới hạn của hàm số, nếu có, là duy nhất.
Chứng minh Giả sử f : I p a q í ẹ R và lim x ẹ af p x q A1, lim x ẹ af p x q A2, A1 A2 Chọn ǫ 1
3 | A1 A2 | , khi đó sẽ có δ1 ¡ 0 vàδ2 ¡ sao cho: x P I p a q ,
|x a | δ2 ủ | f p x q A2 | ǫ Đặt δ min p δ1, δ2 q ¡ 0 Khi đó sẽ có một x0 P I p a q : | x0 a | ǫ và do đó | A1 A2 |
3 | A1 A2 | Mâu thuẫn Định lý 5.2 Nếu f :I p a q í ẹ Rcú giới hạn hữu hạn là A tại a thỡ nú bị chặn trong một lõn cận củaa.
Chứng minh.Trong định nghĩa giới hạn(5.1), chọnǫ 1tồn tại một sốδsao cho x P I p a q thỏa | x a | δ ta được | f p x q A | 1 ủ | f p x q| Ô | f p x q A | | A | 1 | A | Do đúf bị chặn trong lõn cận củaa
5.2 Giới hạn của hàm số 55 Định lý 5.3 Để hàm f :I p a q í ẹ Rcú giới hạn làAtại a, điều kiện cần và đủ là với mọi dóy px n q trongI p a q sao chox n í ẹ n 8 a, ta cúf p x n q í ẹ n 8 A.
Chứng minh Giả sử lim x ẹ af p x q A và p xn q là dóy trong I p a q sao cho xn í ẹ n 8 a Khi đó ta có:
Dưới đây là các câu chính thể hiện ý nghĩa của đoạn văn, được tối ưu hóa theo quy tắc SEO và liên kết hợp lý thành đoạn:Giới hạn của hàm số tại một điểm xác định theo định lý, dựa trên cách lựa chọn ε và δ để chứng minh sự hội tụ của các dãy số, giúp xác định rõ liệu hàm có giới hạn hay không Trong trường hợp hàm không có giới hạn tại điểm đó, ta có thể chứng minh bằng cách tìm hai dãy hội tụ về điểm đó nhưng dẫn đến các giới hạn khác nhau, từ đó khẳng định không tồn tại giới hạn của hàm tại điểm đó Phương pháp chứng minh này thường được sử dụng để xác định tính liên tục của hàm số, đặc biệt trong quá trình phân tích toán học và các bài toán giới hạn phức tạp.
Ví dụ 5.2 Xét hàmf p x q sin1 x xác định trong lân cận của điểmx 0ngoại trừ tại chính điểmx 0. Lấyx n 1 π
Dưới đây là các câu tóm tắt chính chứa ý nghĩa của đoạn văn, phù hợp với quy tắc SEO:Hàm số \( p(x)q \) không tồn tại giới hạn khi \( x \) tiến về 0, do các điều kiện của hàm số không thỏa mãn tại điểm này Định lý 5.4 cho biết, nếu hai hàm số \( p(x)q \) và \( g(x)q \) xác định trong lân cận của điểm \( a \), và giới hạn của chúng tại \( a \) lần lượt là \( A \) và \( B \), thì nếu \( A \neq B \), hàm số không có giới hạn tại \( a \).
Chứng minh bằng cách lấy p(x) = q và giả sử rằng n đủ lớn để đảm bảo n ∈ N phù hợp Khi đó, chuyển sang giới hạn và áp dụng định lý 5.3 để chứng minh các đẳng thức liên quan Định lý 5.5 (định lý kẹp) cho biết rằng nếu p(x), g(x), h(x) là ba hàm xác định trong Iₚₐq, và nếu limₓ→a f(x) = limₓ→a h(x) = A với x ∈ Iₚₐq, thì limₓ→a g(x) cũng bằng A, giúp đảm bảo tính liên tục của hàm khi giới hạn tồn tại.
Trong bài viết, chúng ta chứng minh các tính chất giới hạn của hàm số dựa trên các định lý cơ bản Khi lấy các hàm số p(x), q(x) tùy ý và xác định các điểm n đủ lớn để các giới hạn của các hàm số f(p(x)), g(p(x)), h(p(x)) tồn tại, ta áp dụng định lý kẹp để chứng minh giới hạn của biểu thức liên quan Đặc biệt, theo định lý 5.6 về các tính chất đại số của giới hạn, nếu các giới hạn của hàm số f(x) và g(x) đều tồn tại, thì giới hạn của các tổ hợp tuyến tính như tổng, hiệu, tích, thương cũng tồn tại và có các tính chất tương ứng, cụ thể là lim x → a (f p(x) ± g p(x)) = A ± B và lim x → a (f p(x) · g p(x)) = AB, góp phần khẳng định các tính chất cơ bản của giới hạn hàm số trong xác suất x trong lân cận điểm a.
Trong trường hợp của thương, ta giả thiếtg p x q 0, x P I p a q vàB 0.
Chứng minh.Lấy dóy p x n q tựy ý vàx n í ẹ n 8 a Chuyển qua giới hạn dãy và áp dụng định lý 4.3 trong chương trước, ta có đpcm.