Biết trọng lượng của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên ξ (Kg) phân phối theo luật chuẩn có phương sai Var(ξ) = σ2. Để ước lượng trọng lượng trung bình μ = E(ξ) của các sản phẩm, người ta kiểm tra một mẫu gồm n sản phẩm và tính được trọng lượng trung bình trong mẫu này là X. Hãy xây dựng khoảng tin cậy (μ1 , μ2) của trọng lượng trung bình μ với mức ý nghĩa α.
Trang 1Phương pháp xây dựng khoảng ước lượng
cho một vài tham số
Trần Nam Hưng✯ Ngày 5 tháng 12 năm 2020
Tóm tắt nội dung Xây dựng khoảng tin cậy (θ1, θ2) với mức ý nghĩa α cho tham số trung bình mẫu µ, tỷ lệ
p và phương sai σ2
1 Ước lượng khoảng cho trung bình µ
Bài toán 1 Biết trọng lượng của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên ξ (Kg) phân phối theo luật chuẩn có phương sai Var(ξ) = σ2
Để ước lượng trọng lượng trung bình µ = E(ξ) của các sản phẩm, người ta kiểm tra một mẫu gồm n sản phẩm và tính được trọng lượng trung bình trong mẫu này là X Hãy xây dựng khoảng tin cậy (µ1, µ2) của trọng lượng trung bình µ với mức ý nghĩa α
Phương pháp 1 (Xét theo phân vị chuẩn Uβ) Theo định nghĩa, phân vị chuẩn mức xác suất α
2
và 1 −α
2 lần lượt là
Φ(Uα
2) = PÄU < Uα
2
ädef
2 Φ(U1−α
2) = PÄU < U1−α
2
ädef
= 1−α
2
Ta có
1− α =1− α
2
2 = PÄU < U1− α
2
ä
− PÄU < Uα
2
ä
= √1 2π
U
1−α2
Z
−∞
e− t2
2 dt− √1
2π
U α 2
Z
−∞
e− t2
2 dt
= √1 2π
U
1−α2
Z
U α 2
e− t2
2 dt
= PÄUα
2 <U < U1− α
2
ä
✯ hungb1906052@student.ctu.edu.vn
1
Trang 2Vì Uα
2 là phân vị chuẩn mức xác suất α
2 Khi đó,
Uα
2 =−U1− α
2
Nên
1− α = PÄ−U1−α
2 <U < U1−α
2
ä
(1) Theo định lý giới hạn trung tâm, khi kích thước mẫu n đủ lớn
Un= [µ− X]√n
Khi đó (1) trở thành
1− α = P
Ç
−U1− α
2 < [µ− X]√n
σ <U1− α
2
å
(2)
1− α = P
Å
X− U1− α
2 ·√σ
n < µ < X + U1− α
2
σ
√ n
ã
(3)
2
Trang 32 Phụ lục
Mỗi giá trị xác suất thường dùng p ∈ (0 , 1), giá trị của zp được xác định bởi bảng sau
3