Phoøng Giaùo duïc ñaøo taïo Quaän 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ VÀO TRƯỜNG THPT TP THANH HÓA Năm học 2016 – 2017 TRƯỜNG THCS ĐÔNG LĨNH Môn thi Toán (Thời gian làm bài 120 phút) ĐỀ BÀI ( ĐỀ A[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ VÀO TRƯỜNG THPT
TP THANH HÓA Năm học : 2016 – 2017
TRƯỜNG THCS ĐÔNG LĨNH Môn thi : Toán
(Thời gian làm bài : 120 phút)
ĐỀ BÀI : ( ĐỀ A )
Câu1 (2 điểm): Cho biểu thức P = 1 1 : x
x - x x 1 x - 2 x 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P > 1
2
Câu2 (2 điểm):
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1+1)2+(x2+1)2 = 2
Câu 3 (2 điểm): 1, a) Giải hệ phương trình: 2x + y = 5x - 3y = - 1
2, Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parbol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = ax + 3 (a là tham số)
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Gọi x1, x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P) Tìm a để x1 + 2x2 = 3
Câu4 (3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông ở A Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S
1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc ·BCS
2) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O) Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Câu 5 (1,0 điểm): Chứng minh rằng: ( ) ( )
2
a 3a + b b 3b + a ≥
+ với a, b là các số dương.
ĐÁP ÁN CHẤM THI ĐỀ A
Trang 2Bài Nội dung Điểm
Câu1
2 điểm
ĐK x ≥ 0 ; x ≠1
x - x x 1 x - 2 x 1
2
x 1
x
2
x
+
− b) Với x > 0, x ≠1 thì x - 1 1 2 x - 1( ) x
x > ⇔2 > ⇔x > 2 Vậy với x > 2 thì P > 1
2
1,0 đ
1,0 đ
Câu 2:
2 điểm
a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3+ 5; x2 = −3 5
b) Ta có: ∆/ = m2 – 4
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ / m 2
0
m -2
≥
∆ ≥ ⇔ ≤ (*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4
Suy ra: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2
⇔x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0⇔(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 ⇔4m2
– 8 + 4m = 0
⇔m2 + m – 2 = 0 ⇔ 1
2
= −
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn
Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3
2 điểm
a)
- 3 - 1 - 3 - 1 5 - 2 1
1đ
2)a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 = ax + 3 =
0 ⇔ x2 – ax – 3 = 0
Vì ∆ = a2 + 12 > 0 ∀a nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân
biệt ∀a
Tõ đó suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Áp dụng định lí Vi-et, ta có: x1 + x2 = a và x1x2 = -3
Theo giả thiết: x1 + 2x2 = 3 ⇔ a + x2 = 3
⇔ x2 = 3 – a; x1 = a – x2 = 2a – 3;
x1x2 = -3 ⇔ (2a – 3)(3 – a) = -3 ⇔ 2a2 – 9a + 6 = 0
0,5đ
Trang 3k
s
e
m
d
c b
a
∆ = 92 – 4.2.6 = 33 > 0 ⇒a1,2 9 33
4
±
Vậy có hai giá trị cần tìm của a là: a1,2 9 33
4
±
0,5đ
Câu4:
3,0điểm
1) Ta có BAC = 90 (gt)· 0
MDC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
A, D nhìn BC dưới góc 900, tứ giác ABCD nội tiếp
Vì tứ giác ABCD nội tiếp.⇒
ADB = ACB (cùng chắn cung AB) (1)
Ta có tứ giác DMCS nội tiếp⇒
ADB = ACS (cùng bù với ·MDS) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BCA = ACS· · 2) Giả sử BA cắt CD tại K Ta có BD ⊥ CK, CA ⊥BK
⇒ M là trực tâm ∆KBC Mặt khác ·MEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
⇒ K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy tại K.
3) Vì tứ giác ABCD nội tiếp ⇒ DAC = DBC· · (cùng chắn »DC) (3)
Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp ⇒ MAE = MBE· · (cùng chắn ME¼ )
(4)
Từ (3) và (4) ⇒ DAM = MAE· · hay AM là tia phân giác ·DAE
Chứng minh tương tự: ADM = MDE· · hay DM là tia phân giác ·ADE
Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE
Hình
1đ
0,5đ 0,5đ
1đ
Câu 5:
1,0đ
(1)
a 3a + b b 3b + a = 4a 3a + b 4b 3b + a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương
2
a b
ab
+ ≥ ta được:
4a + (3a + b) 7a + b
4b + (3b + a) 7b + a
Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b( ) + 4b 3b + a( ) ≤4a + 4b 4( )
Từ (1) và (4) suy ra:
0,5đ
0,5đ
Trang 4( ) ( )
a + b 2(a + b) 1
4a + 4b 2
a 3a + b b 3b + a ≥ =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ VÀO TRƯỜNG THPT
TP THANH HÓA Năm học : 2016 – 20175
TRƯỜNG THCS ĐÔNG LĨNH Môn thi : Toán
(Thời gian làm bài : 120 phút)
ĐỀ BÀI : ( ĐỀ B )
Câu1 (2 điểm): Cho biểu thức Q = :a 2aa 1
1 a
1 a a
1
+
−
−
+
−
c) Rút gọn biểu thức Q
d) Tìm các giá trị của a để Q> 1
2
Câu2 (2 điểm):
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2nx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi n = 3
b) Tìm giá trị của n để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1 + 1)2+( x2+1)2= 2
Câu 3 (2 điểm): 1, a) Giải hệ phương trình: 3x - y = 22x + 5y = 7
2, Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parbol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = ax + 3 (a là tham số)
c) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
d) Gọi x1, x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P) Tìm a để x1 + 2x2 = 3
Câu4 (3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông ở A Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S
1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc ·BCS
2) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O) Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Câu 5 (1,0 điểm): Chứng minh rằng: ( ) ( )
2
a 3a + b b 3b + a ≥
+ với a, b là các số dương.
ĐÁP ÁN CHẤM THI ĐỀ B
Trang 5Bài Nội dung Điểm
Câu1
2 điểm
ĐK a ≥ 0 ; a ≠1
1 a 2 a
a :
1 a
1 a a
1 P
a)
+
−
−
+
−
=
( ) ( ) ( a )
1 a 1 a a
a 1
a a
−
+
−
=
( ) ( a )
1 a 1 a a
a
−
+
a a
1 a 1
a + −
=
a
1 -a
=
b) Với a > 0, a ≠1 thì 2( )a - 1 a a 2
2
1 a
1
-a > ⇔ > ⇔ >
Vậy với a > 2 thì P > 1
2
0,25
®
0,25
®
0,5 đ
1,0 đ
Câu 2:
2 điểm
a) Với n = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3+ 5; x2 = −3 5
b) Ta có: ∆/ = n2 – 4
Phương trình (1) có nghiệm ⇔∆/ ≥0 ⇔nn≤≥-22 (*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2n và x1x2 = 4
Suy ra: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2
⇔x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0
⇔(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0
⇔4n2 – 8 + 4n = 0
⇔n2 + n – 2 = 0
−
=
=
⇔
2 n
1 n
2
1
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm n2 = - 2 thỏa mãn
Vậy n = - 2 là giá trị cần tìm
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3
2 điểm
1) 2x + 5y = 7
3x - y = 2
2x + 5y = 7 15x - 5y = 10
17y = 17 3x - y = 2
x = 1
y = 1
2)a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 = ax + 3 =
0 ⇔ x2 – ax – 3 = 0
Vì ∆ = a2 + 12 > 0 ∀a nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân
biệt ∀a
Tõ đó suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Áp dụng định lí Vi-et, ta có: x1 + x2 = a và x1x2 = -3
Theo giả thiết: x1+2x2=3 ⇔ a+x2 = 3 ⇔ x2 =3–a; x1 = a–x2 =2a – 3;
x1x2 = -3 ⇔ (2a – 3)(3 – a) = -3 ⇔ 2a2 – 9a + 6 = 0
∆ = 92 – 4.2.6 = 33 > 0 ⇒a1,2 9 33
4
±
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 6k
s
e
m
d
c b
a
Vậy có hai giá trị cần tìm của a là: a1,2 9 33
4
±
Câu4:
3,0điểm
1) Ta có BAC = 90 (gt)· 0
MDC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
A, D nhìn BC dưới góc 900, tứ giác ABCD nội tiếp
Vì tứ giác ABCD nội tiếp.⇒
ADB = ACB (cùng chắn cung AB) (1)
Ta có tứ giác DMCS nội tiếp⇒
ADB = ACS (cùng bù với ·MDS) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BCA = ACS· · 2) Giả sử BA cắt CD tại K Ta có BD ⊥ CK, CA ⊥BK
⇒ M là trực tâm ∆KBC Mặt khác ·MEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
⇒ K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy tại K.
3) Vì tứ giác ABCD nội tiếp ⇒ DAC = DBC· · (cùng chắn »DC) (3)
Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp ⇒ MAE = MBE· · (cùng chắn ME¼ )
(4)
Từ (3) và (4) ⇒ DAM = MAE· · hay AM là tia phân giác ·DAE
Chứng minh tương tự: ADM = MDE· · hay DM là tia phân giác ·ADE
Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE
Hình
1đ
0,5đ 0,5đ
1đ
Câu 5:
1,0đ
(1)
a 3a + b b 3b + a = 4a 3a + b 4b 3b + a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương
2
a b
ab
+ ≥ ta được:
4a + (3a + b) 7a + b
4b + (3b + a) 7b + a
Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b( ) + 4b 3b + a( ) ≤4a + 4b 4( )
Từ (1) và (4) suy ra:
a + b 2(a + b) 1
4a + 4b 2
a 3a + b b 3b + a ≥ =
0,5đ
0,5đ
Trang 7Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.