Phßng GD &§T §Ò thi kiÓm tra häc k× II N¨m häc 2007 2008 Phßng GD &§T §Ò thi chän häc sinh giái huyÖn kim b«i HuyÖn Kim B«i N¨m häc 2008 2009 M«n to¸n líp 9 §Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi 150 phót kh[.]
Trang 1Phòng GD &ĐT Đề thi chọn học sinh giỏi huyện kim bôi
Huyện Kim Bôi Năm học 2008-2009
Môn: toán - lớp 9
Đề chính thức Thời gian làm bài 150 phút
không kể thời gian giao đề
( Đề gồm có 01 trang )
Bài 1: ( 3 điểm ):
a/ Cho : x=( 4 2 3+ + 4 2 3 : 12− ) Tính: P = ( 6 )2009
1
x + −x
b/ Cho : ( 3 1 3 1) ( )
6 2 5 5
=
− − Tính: ( 3 )2008
A= x − x+
Bài 2: ( 4điểm):
a/ Tìm số tự nhiên n để n+ 6 và n− 7 là hai số chính phơng
b/ CMR: Với mọi n nguyên dơng ta luôn có (n3 + 5n) M6
Bài 3: ( 6 điểm):
a/ Tìm các số x, y thoả mãn phơng trình:
5(x y+ + =1) 6 x+8 y
b/ giải hệ phơng trình:
y x
x y
c/ Giải phơng trình: x 3( x+ 1) - x x.( − 1) = 2 x2
Bài 4: ( 3 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = ( ) ( ) ( )
xyz
x+y y+z z +x Với x,y,z > 0
Bài 5: ( 4,0 điểm) Trong tam giác ABC; trung tuyến AD, BE cắt
nhau tại M; gọi F, G lần lợt là trung điểm của BM và AM
a/ Tứ giác DEGF là hình gì ? b/ CMR: nếu góc AMB ≤ 90 0 thì AC + BC > 3.AB
Trang 2HÕt
M«n : to¸n
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
m
a
(1,5
®) Ta cã : x=( 4 2 3+ + 4 2 3 : 12 1− ) =
⇒ P = ( 6 )2009
1 + −1 1 =1
1,0
0,5
b
(1,5
®) Ta cã : ( 3 1 3 1) ( )
2
6 2 5 5
⇒ ( 3 )2008
4 1
A= x − x+ = ( 2 )2008 2008
2 − 4.2 1 + = 1 = 1
1,0 0,5
§Ó n+ 6 vµ n− 7 lµ hai sè chÝnh ph¬ng
2 6
a
( 2,0
®)
Nhng 13 lµ sè nguyªn tè, nªn: 1 7
+ = =
1,0
Tõ n+ = 6 p2 = 7 2 = 49 suy ra n= 43
HoÆc tõ n− =7 q2 =62 ⇒ =n 43 VËy víi n= 43 th× n+ 6 vµ n− 7 lµ hai sè chÝnh ph¬ng 0,5
Trang 3(n3 + 5n)= −(n 1 ) (n n+ + 1) 6n 1,0
Trang 4(2,0đ
)
(n− 1 ) (n n+ 1 2;3)M ( tích của 3 số tự nhiên liên tiếp) mà
( )2;3 = 1
⇒ (n− 1 ) (n n+ 1 6)M
Mặt khác: 6 6nM ⇒ (n3 + 5n)= −(n 1 ) (n n+ + 1) 6n M 6 (đpcm)
1,0
5(x y+ + = 1) 6 x+ 8 y
a
(2,0đ)
⇔
( Hoặc PT bằng
− + −
1,0
⇒ 9 ; 16
Đặt: X 1
x
= ; Y 1
y
b
(2,0đ) Ta có: X + 2 − =Y Y + 2 −X Ta thấy:
Nếu: X > Y thì X + 2 −Y > Y + 2 −X 0,5 Nếu: X < Y thì X + 2 −Y < Y + 2 −X
Vậy: phải có X =Y Với X =Y ta có: 0,5
X + −X = giải ra ta đợc X = =Y 1 0,5
Điều kiện: { 3( ( )1) 0
x x
+ ≥
C
( 2,0
đ)
Ta có : x 3( x+ 1) - x x.( − 1) = 2 x2
⇒ x2 3( x+ 1 ) (x− = 1) 0 ⇒
0 1 3 1
x x x
=
= −
=
0,5 Thử lại đều thấy thoả mãn Vậy nghiệm của PT là 0,5
Trang 50 1 3 1
x x x
=
= −
=
Ta có: x+ ≥y 2 xy ; y z+ ≥2 yz ; x+ ≥z 2 zx 1,0
4
xyz
x+y y+z z +x ≤
1 8
xyz
1,5
Vậy: max 1
8
Bài 5: ( 4,0 điểm)
A G
N E
Vẽ hình đúng, ghi rõ gt,kl M
F
B C
D
0,5
5 Chứng minh đợc: Tứ giác DEG F là hình bình hành 1,0
Gọi N là giao điểm của AF, BG
MF = 12 MB = ME hay MF = ME = BF 1,0 Chỉ ra đợc: Nếu góc M < 900 ⇒AF < AE , (dấu = khi
góc M = 900)
AN = AF AE AC
3
1 3
2 3
2
=
<
Tơng tự: BN = 2 2 1
3BG< 3BD= 3BC Vậy AC + BC > 3 (AN + NB) > 3.AB
1,5
Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn
có thể cho điểm tối đa theo thang điểm quy định.