së gi¸o dôc & ®µo t¹o thanh ho¸ Céng hoµ x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §Ò thi häc sinh giái m«n to¸n KHèI 12 b¶ng a Bµi 1 (7 ®iÓm) Cho hµm sè x xx y 12 ++= (1) 1) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2) BiÖn luËn[.]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi môn toán KHốI 12 bảng a
Bài 1: (7 điểm) Cho hàm số:
x
x x
2 + +
1) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
m
x
x
x
=
+
2
3) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x0# 0.Giả sử tiếp tuyến đó tiếp xúc với đồ thị tại
điểm M và, cắt trục tung tại điểm A, cắt đờng thẳng
y=x+1 tại B Chứng minh: M là trung điểm của đoạn thẳng AB
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và đờng y− 1 = 6
Bài 2: (7 điểm)
1) Cho phơng trình: cos3x – cos2x + mcosx –1 = 0 (1) a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình (1) có đúng 7 nghiệm x ∈
(-2
π;2π)
2) Giải phơng trình: 2 log3tgx = log2sinx
x
x tg
x tg
x tg
2 2
1
2 2
1 2 2
1
2 2 0
lim
Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác ∆ABC nhọn Chứng minh :
3 3 sin sin
sin
3
2 sin
sin
〉
C B
A
C B
A
Bài 4: (2 điểm) Cho parabol (P): y2=(-4x) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
1) Viết phơng trình của (E) có hai tiêu điểm thuộc Ox
mà một tiêu điểm trùng với tiêu điểm F của parabol (P) và có tâm sai
2
2
=
2) Khi (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng Hãy viết phơng trình tiếp tuyến chung của parabol (P) và elip (E) lúc đó
Bài 5: ( 2 điểm)
1) Tính: dx
x
x x
∫
−
3
3
2
cos sin
π
π
Trang 22) Chứng minh: 0 ≤ p ≤ n thì ( )2
2 2
n
n p n
n p
Đáp án – thang điểm
Đề thi học sinh giỏi khối 12 môn toán bảng a
BàiCâ
u Nội dung Điểm
b) Sự biến thiên: y’= 1 1 2 1, ' 0 1 , 1
2
x
x x
Dấu y’: + 0 +
x
-1 - - 1
0.25
yCĐ = y (-1) = (-1), yCT = y (1) = 3 0.25
Đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng
Đờng thẳng y = x+1 là tiệm cận xiên
0.25
Bảng biến thiên:
x -∞ -1 0 1
+∞
y’ + 0 - - 0
+
-1 +∞
+∞
y
-∞ -∞ 3
0.5
Trang 3c) Đồ thị:
0.5
Số nghiệm của phơng trình: m
x
x x
= +
2
(*) bằng số giao
điểm của đờng y = f(x) = x2 +x x +1 (C1) và đờng thẳng y
= m
0.5
y = f(x) có TXĐ: D = ℜ Nên ∀x ∈ D ⇒ (-x) ∈D
f(-x) = f(x) ⇒ f là hàm số chẵn nên ĐTHS đối xứng lẫn
nhau qua Oy
Với ∀x > 0 thì f(x) =
x
x
x2 + + 1 (C)
0.5
(C1):+Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung ⇒
đợc một phần (C1) +Vứt bỏ phần đồ thị (C) ở bên trái trục tung
+Lấy đối xứng phần đồ (C) phía bên phải trục tung
qua trục tung đợc phần còn lại của (C1)
0.5
Biện luận: + m >3 (*) có 4 nghiệm phân biệt
+ m =3 (*) có 2 nghiệm kép
+ m < 3 (*) vô nghiệm
0.5
PTTT tại M(x0;
0 0
2
x
x
x + + ) ∈ (C) có phơng trình là:
−
y
0 0
2
x
x
2 0
2
x
x − (x−x0) (d)
0.5
(d) ∩ Oy =A : Cho x = 0; y =
0
0 2
x
Trang 4A(0;
0
0 2
x
(d) ∩ (∆) = B ((∆) có phơng trình: y= x +1) ⇒ toạ độ
điểm B thoả mãn hệ:
( )
+ + +
−
−
=
+
=
0 0
2 0 0 2
0
2
1
x
x x x
x x
x y
x y
0.25
0 0
2
;
y y x x
Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AB 0.25
Diện tích cần tìm bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng
x
x x
2 + +
Giải phơng trình: 1 7
2
= + +
x
x
x ⇔ x = 3 − 2 2 ; x = 3 + 2 2
0.25
S = 6 ln ((33 22))
2 7
2 2 3
2 2 3
2
−
+
=
∫ +
−
x x
x dx x
x
Vậy S = 2 6 2 ln33 22
−
+ +
ΙΙ.
1
3.0
Đặt t = cosx ( t ≤ 1) pt trở thành: 4t3 - 3t - (2t2-1) + mt -1
= 0
⇔ t (4t2 – 2t + m – 3) = 0
0.5
⇔ x1 = π +kπ
2 ; x2 = π 2 π
Vậy m = 3 phơng trình có 2 họ nghiệm x1, x2 0.5
Xét số nghiệm x ∈
(-2
π;2π) của phơng trình cosx = t
t -∞ -1 0 1 +∞
số
n0 0 1 2 3 1 0
0.25
Trang 5PT (1) có đúng 7 nghiệm x ∈
(-2
π;2π) ⇔ tam thức f(t) = 4t – 2t +m – 3 có 2 nghiệm t1,t2 sao cho: -1<t1<0<t2<1
0.25
⇔
>
>
−
<
0 )1 (
0 )1 (
0 )0 (
f f
f
⇔
>
−
>
+
<
−
0 1
0 3
0 3
m m
ΙΙ.
2
2.0
Điều kiện: sinx>0, tgx>0 Đặt t = log2sinx ⇒ t = 2 log3tgx
⇒sinx= 2t;tg2x = 3t
0.5
t
4 1
1 3 1
−
=
3
4
= +
t
t = -1 ⇒ sinx = 1/2 và tgx=
3
1
⇒ x = π 2 π
n n
x tg
x tg
x tg
2 2
1
2 2
1 2 2
1
2
x tg
x
2 2
1 ' 2 cos
ln = −
x x
x
2 cos
2 cos 2 cos 2 thì Sn= -(ln P n )’ 0.25
* Pn=
n
x
2 sin
sin 2
x g gx
2
cot 2
1
−∞
=
∞
* Có
+ +
≥ +
+
+
= +
+
C B
A C
B A
C B A C
B A
2 2
2
2 2
2
sin sin
sin sin
sin sin
cos cos cos 2 2 sin sin
sin
và do ∆ABC nhọn nên: sinA + sinB + sinC > 2
0.5
*Xét f(x) = sinx; x∈(0;π);f”(x)= -sinx<0 ⇒đồ thị h/s f là
lồi
⇒f A B3 C ≥ f(A)+ f(3B)+ f(C)
+ +
hay 2<sinA + sinB + sinC≤
2
3 3
0.5
Trang 6*Xét g(x) = xlnx ; x∈(0;1] có g”(x) >0 ⇒ đồ thị hàm số
lõm / (0;1]
⇒g sinA sin3B sinC ≤ g(sinA)+g(sin3 B)+g(sinC)
⇔
3
) ln(sin sin ) ln(sin sin ) ln(sin sin
3
sin sin
sin ln 3
sin sin
sin
C C
B B
A A
C B
A C
B A
+ +
≤
+ +
⇔
C B
A
C B A
C B
A
C B
A
sin sin
sin
sin sin sin
) ln(sin )
ln(sin )
ln(sin
3
sin sin
sin ln
+ +
≤
0.5
2 3 3
sin sin sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
3 2
3
2 )
.(sin )
.(sin )
(sin
) (sin )
.(sin )
(sin ln 3
sin sin
sin ln
≥
>
⇔
≤
+ +
+ +
C B A C
B A
C B
A C
B A
C B
A
C B
A C
B
Xét parabol(P): y2 = (-4x) = (-2.2x) ⇒ p =2 ⇒ (P) có tiêu
điểm F (-1;0)
Xét 2 trờng hợp:
*TH1: (E) có tâm là O ⇔ (E) có tiêu điểm F1= F(-1;0), gọi
elip là (E1),
bán tiêu cự: c = 1
0.25
+ a>b ⇒ e = c/a ⇒ a = 2
+ a2= b2+c2 ⇔ b = 1
+ PTCT của elip là: ( ) 1
2
2 2
2
= +y x
0.5
*TH2: (E) có tâm Ithuộc Ox, có F2=F(-1;0), gọi elip đó là
(E2)
(E1) →T OI (E2) ( Với I (-2;0))
Vậy (E2) có phơng trình: ( )
( ) 1 2
2
2
= +
x
0.25
Trang 7(E) thoả câu 1) và có Ox, Oy là hai trục đối xứng thì elip
là (E1)
có phơng trình: x2+2y2-2 = 0
Gọi M( x0, y0) là điểm bất kì thuộc (E) ⇒ tiếp tuyến với (E) tại M là:
(T): x0x + 2y0y – 2 = 0
0.25
* (T) tiếp xúc với (P) ⇔ pB2 = -2AC ⇔ 2y02 = x0 0.25
* M(x0;y0) ∈ (E) ⇔ x02 + 2y02- 2 = 0
⇒ -x02 - x0 + 2 = 0 Với ( )− 2 ≤x0 ≤ 2
⇔
−
=
=
) ( 2
1
0
0
loai x
x
0.25
x0= 1;
2
2
; 2
2
0 = + −
y
Có 2 tiếp tuyến chung là: (T1): x+ 2y− 2 = 0 và (T2):
0 2
− y
x
0.25
* Hàm số dới dấu tích phân là hàm số chẵn nên:
I = ∫ = − ∫ = ∫3
0
3
0
2 3
0
cos
1 ( 2 cos
cos 2
cos
sin 2
π π
π
x
xd x
x d x dx
x
x x
0.25
Đặt
=
=
x
d dv
x u
cos
1 ⇒ I = − ∫3
0 cos
2
03 cos 2
π
π
x
dx x
x
0.25
0 3 )) 4 2 ( ln(
) 4 2 (
) 4 2 (
) 2 sin(
cos
3
0
3
0
3
0
π π π
π π
π π
π
+
= +
= +
x tg
x tg d x
dx x
dx
0.25
I =
0 3 ) 4 2 ( ln(
2 3 cos 3
π
π
+
−
12
5 ln 3
2
0 ≤ p ≤ n ĐFCM ⇔ C C C Cn
n
n n
n p n
n p
n
n n
n p n
n p n
0.25
Trang 8Ta chứng minh: x p ≤x0 (Với ∀p: 0 ≤ p ≤ n ) Hay { }x p là dãy giảm
Thật vậy:
) )(
1 2
(
) 2 )(
1 (
1 2 1 2
2 2
p n p
n x
x
C C
C
C
n p n
n p n
n p n
n p n p
p
− + +
− +
+
=
=
−
− +
+
− +
+
0.5
* 1 (2 ) ( 1) (2 1)( ) 2 0
1
≥ +
⇔
− + +
≥ + +
−
⇔
≥
+
n np p
n p n p
n p n x
x
p
p
(đúng) Vậy, ta có đpcm
Hết
0.25
Hết.