Së gi¸o dôc ®µo t¹o h¶I phßng ®Ò kh¶o s¸t chÊt lîng ®Çu n¨m Së gi¸o dôc ®µo t¹o h¶I phßng ®Ò thi häc sinh giái Trêng thpt trÇn nguyªn h n M«n to¸n líp 11 n¨m häc 2008 2009 Thêi gian lµm bµi 150’ Bµi[.]
Trang 1Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng đề thi học sinh giỏi
Trờng thpt trần nguyên hãn Môn toán lớp 11- năm học 2008-2009
Thời gian làm
bài : 150’
1, Giải phơng trình : 2 4 2 2 6 2 4
4
x
x
−
+
2, Giải phơng trình sau :
2
2005
2
π
= + (x, y là các ẩn )
Bài 2 (4,0 điểm )
Cho hàm số f x( )=x4+ax3+bx2+ +cx d a b c d R,( , , , ∈ )
Biết f(1) 10= , f(2) 20= , f(3) 30=
Hãy tính (12) ( 8) 25
10
Bài 3 (4,0 điểm )
Cho dãy số ( )u n đợc xác định nh sau
1
2 1
1
1 2009
u
=
(n = 1,2,3,4,…)
1, Chứng minh limn u n
→∞ = +∞
2, Tìm 1 2 3
n
n
u u
→∞
+
Bài 4 (4,0 điểm )
Cho ba số dơng x,y,z thoả mãn 1 1 1 1
x + y + z = xyz
Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 1
y
P
−
Bài 5 (4,0 điểm )
Cho tam giác đều ABC ,
1, M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA2 =MB2+MC2 Hãy
tính góc ãBMC
2, Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I,
K là trung điểm của các
cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI
Trang 2Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng đáp án đề thi học sinh giỏi
Trờng thpt trần nguyên hãn Môn toán lớp 11- nh:2008-2009
Bài Nội dung điểm
Bài
1
(4đ
)
1, Giải phơng trình 2 4 2 2 6 2 4
4
x
x
−
2.0 đ
Điều kiện − ≤ ≤2 x 2 Khi đó : (1) 6 4 6 2 4
2
2 3
x
=
⇔
2 3
x
=
⇔
2 3
x
=
⇔
2 3 2
x x
=
=
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2, Giải phơng trình
2
2009
2
π
= + (2)
2,0 đ
Đk 2
2
≠ +
≠ +
( ,k m Z∈ )
Ta có cos(2009 ) cos(1004 ) sin
π
Và 2 tan2 sin 2
1 tan
y
y
y = +
Vậy (2)⇔ +2 sinx= 3 sin 2 cosy x
0,5đ
Trang 3⇔ 3 sin 2 cosy x−sinx=2 (3)
* NÕu sin 2y < ⇒1 ( 3 sin 2 )y 2+ <1 22 nªn ph¬ng tr×nh v«
nghiÖm
4
4
y= − ⇔ = − +y π n n Zπ ∈
Ph¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm lµ
2 ' 6 4
= − +
= +
hoÆc
5
2 ' 6 4
= +
= − +
0,5®
0,5®
0,5®
Bµi
2
(4®
)
Cho hµm sè f x( )=x4+ax3+bx2+ +cx d a b c d R,( , , , ∈ ) BiÕt f(1) 10= , f(2) 20= ,
(3) 30
f =
H·y tÝnh (12) ( 8) 25
10
4 ®
§Æt ( )g x = f x( ) 10− x
Ta cã (1)g =g(2)=g(3) 0=
Nªn g x( ) (= −x 1)(x−2)(x−2)(x x− 0) VËy f x( ) (= −x 1)(x−2)(x−3)(x x− 0) 10+ x
(12) ( 8) 25 2009
10
f + −f
1®
1®
1®
1®
Trang 4Bài
3
(4đ
)
Cho dãy số ( )u n đợc xác định
nh sau
1
2 1
1
1 2009
u
=
(n =
1,2,3,4,…)
1, Chứng minh limn u n
→∞ = +∞
Ta có 1= <u1 u2 < <u3 <u n < vậy (un) là dãy tăng , giả sử bị chặn trên thì ta có limn u n a 1
n
đúng) Vậy limn u n
→∞ = +∞
2 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Cho dãy số ( )u n đợc xác định
nh sau
1
2 1
1
1 2009
u
=
(n =
1,2,3,4,…)
2, Tìm 1 2 3
n
n
u u
→∞
+
Ta có
2 1
2009
n n
+
Vậy ta có
3
1 2
1
1
n
n
u u
u
+
1 2 3
1
u u
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài
4
(4,0
đ)
x + y + z = xyz (1)
Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 1
y
P
−
4,0 đ
Trang 5Ta có , ,A B C∈(0; ),π A B C+ + =π thì
tan tan tan tan tan tan 1
Theo giả thiết (1)⇔ x y + y z + z x =1
2
A
2
B
y = , tan
2
C
z = với , , (0; ),
A B C∈ π A B C+ + =π
Ta có P=sinA+sinB−cosC
2cos cos 2cos2 1
Vậy Ma x P = 3
2 Khi
2 3 6
C
A B
π π
=
= =
tan
3
x y z
π
=
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài
5
(4,0
đ)
Cho tam giác đều ABC ,
1, M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA2 =MB2 +MC2
Hãy tính góc ãBMC
2,0 đ
Dùng phép quay tâm C góc quay
3
π
− thì ta có
'
→
→
→
Vậy ∆CMB→ ∆CM A' ⇒ ∆CMB= ∆CM A' ⇒CMB CM Aã =ã '
Ta có MB = M’A, MC = M’C = MM’, Vậy MB2 + MC2 = MA2
Suy ra M’A2 + MM’2 = MA2 ⇒ãAM M' =90 ,0 CM Mã ' =600
BMC
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 6
2, Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC
đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đ-ờng thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI .Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1
2,0 đ
Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI
Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q Vậy PQ // BI
Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI 1
3
SP SA
PQ SP
AF = SA = ⇔ =
Ta có AF =2BI = 3
3
PQ=
Chú ý :
-Học sinh làm cách khác đúng cho
điểm tối đa từng phần
- Có gì sơ xuất mong các thầy cô sửa
dùm – Xin cảm ơn
- Ngời ra đề : Mai Thị Thìn
0,5đ