Trêng THPT cÈm thuû I ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 10 n¨m häc 2008 2009 M«n To¸n Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 10 THPT N¨m häc 2008 2009 M«n thi To¸n (Thê[.]
Trang 1Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Khối 10 THPT - Năm học 2008-2009
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút )
Bài 1:
1.Giải phơng trình: 4 x− x2 − 1 + x+ x2 − 1 = 2
2.Giải hệ phơng trình:
= + +
= +
+
21
7
2 2 4 4
2 2
y x y x
xy y x
Bài 2:
1 Giải bất phơng trình
2 3
2 x− + x+ 2 ≥ 3 4 ( 3x− 2 )(x+ 2 )
2 Giải bất phơng trình
x2 + 3x+ 2 + x2 + 6x+ 5 ≤ 2x2 + 9x+ 7
Bài 3 Tìm hàm f(x) biết rằng: x
x f x f
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
= −−58
x
x
A Với x∈[14 ; +∞ )
Bài 5 Cho đờng tròn (C): x2 +y2 − 2x− 4y+ 1 = 0
1 Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) qua điểm M(3;4)
2 Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng 3x + 4y +1 =0 và cắt (C) tại hai điểm A; B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất
(Với I là tâm đờng tròn (C) )
Bài 6
1 Chứng minh: 3 3 3 1 1 1 ; ; 0
8 8 8
>
∀ +
+
≥ +
c b a c
b a
c b a
2.Cho các số dơng a;b;c thõa mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh:
1 1
+
+ +
+
c c
b b a
Hết
Họ tên thí sinh ……… Số báo danh……….
Trang 2Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.
Trờng THPT cẩm thuỷ I đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 10
năm học 2008-2009 Môn : Toán
Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề
m
Bài
1
(4
đ)
1
Giải phơng trình: 4 x− x2 − 1 + x+ x2 − 1 = 2
ĐK: x− 1 ≥ 0 ;x− x2 − 1 ≥ 0
2
1 1
u x
x x
Phơng trình trở thành:
2
5 1
; 1 0
1
2 2
3− u + = ⇔u= u= ±
- Với u=1: x=1
- Với
2
5
1 ±
=
8
2
5 1 2 2
5 1 1
+
+ +
=
2
Giải hệ phơng trình:
= + +
= +
+
21
7
2 2 4 4
2 2
y x y x
xy y
x
( )
=
− +
= +
+
⇔
21
7
2 2 2 2 2
2 2
y x y x
xy y x
1đ
Đặt u=x2 +y2; v=xy Có ngay: u=5;v=2 Ta có hệ:
=
=
+
2
5
2 2
xy
y
x
Giải ra ta đợc các nghiệm: (1;2); (2;1); (-1;-2);
(-2;-1)
1đ
Bài
2
(4đ
)
1 2 3x− 2 + x+ 2 ≥ 3 4 ( 3x− 2 )(x+ 2 ) (1)
TXĐ: D = { x ∈ R\ x ≥ 32 }
Trên D thì x+ 2 > 0, Chia 2 vế của (1) cho x+ 2 ta đợc
2
2 3
≥ + +
−
x
x
4
2
2 3 +
−
x
x
Đặt t = 4
2
2 3 +
−
x
x
, t ≥ 0 BPT ⇔2t2 – 3t + 1 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤21 hoặc t ≥ 1
1Đ
Trang 3* Với 0 ≤ t ≤ 21 thì 4
2
2 3 +
−
x
x
≤ 21 ⇔
3
2
≤ x ≤ 4734
* Với t ≥ 1 thì 4
2
2 3 +
−
x
Vậy tập nghiệm của BPT (1): T = ;3447
3
2 ∪ [2 ; +∞]
1Đ
2
7 9 2 5 6 2
2 + x+ + x + x+ ≤ x + x+
ĐK:x∈ ( − ∞ ; − 5] [∪ − 1 ; +∞ )
- Với x=-1: Hiển nhiên là nghiệm
- Với x>-1: Bất phơng trình tơng đơng:
−=
−=
−>
⇔ +
≤ + +
+
5 2
1 7
2 5 2
x x
x x x
1đ
- Với x ≤ − 5:Bất phơng trình tơng đơng:
5 7
2 2
5 + − − ≤ − − ⇔ = −
−
Vậy Bpt có 2 nghiệm: x=-1; x=-5
1đ
Bài
3
(2
đ)
Thay x bởi 1/x ta có:
x x f x
f(1) + 2 ( ) = 1 Kết hợp với điều kiện ban đầu, giải hệ ta đợc:
x
x x
f
3
2 ) (
2
−
=
2đ
Bài
4
(2
đ)
8 2
1 8
3 2
8 8
3 8 8
5
− +
− +
−
=
− +
−
=
−
−
x
x x
x x
x
8
3 2
8
≥
− +
−
x
x
Đẳng thức xảy ra khi :
⇔
−
=
−
8
3 2
8
x
x
x=14
1,5
đ
2
1 8 2
1
14 ⇒ − ≥
Vậy: 6
2
3
≥
A Đẳng thức xảy ra khi x=14
0,5
đ
Bài
5
(4
1 (C) : (x− 1 ) 2 + (y− 2 ) 2 = 4 Tâm I(1;2); bán kính R=2
+ Xét tiếp tuyến cùng phơng Oy: Kiểm tra thấy x=3 là tiếp tuyến
0,5
đ
Trang 4+ Xét tiếp tuyến (d) không cùng phơng Oy: y=ax+b
2 1
2
2 = +
− +
=
a
b a
d I d Do M năm trên d nên: 3a+b=4
Giải hệ a=0; b=4 d: y=4
Vậy có 2 tiếp tuyến thoã mãn: x=3 và y=4
1,5
đ
2
Gọi H(x;y) là trung điểm AB Giả sử IH=a suy ra HB=
2
2 a
R −
1 4
1 ) (
2
1
2
1
2
1 = 2 − 2 = 2 2− 2 ≤ 2 =
=
ra khi: R2 −a2 =a 2
2 =
=
1đ
Nói cách khác đờng thẳng d có dạng: 3x+4y+C=0 cắt
đờng tròn tại AB: Trung điểm H của AB: IH= 2 Ta có ngay:
−
−=
−
=
⇔
=
+
11 2 5
11 2 5 2 5 11
C
C C
Vậy có 2 đờng thẳng cần tìm: 3x+4y+
0 11 2 5 4 3
; 0 11 2
1đ
Bài
6
(4đ
)
1 1 1
3 3 3
8 8 8
>
∀ +
+
≥ +
c b a c
b a
c b a
áp dụng bất đẳng thức cơ bản sau: a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca
0,5
đ
c b a
b a c a c b c b a c
b a
a c c b b a c
b a
c b a
3 3
2 4 2 2 4 2 2 4 2 3
3 3
4 4 4 4 4 4 3
3 3
8 8
abc c
b a abc bc
a ab
c ac
) (
1 ) (
1 2 + 2+ 2 ≥ + + = + +
= + +
=
1,5
đ
2
Ta có :
2 2
1 1
2 2
2 2
ab a b
ab a b
ab a b
a
−
=
−
≥ +
−
=
Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc cho các trờng hợp còn lại Khi đó:
1 2 1 2 1 2 ≥ + + − + 2 + ≥ 23
+
+ +
+ +
ca bc ab c b a a
c c
b b
a
(Do a+b+c=3 nên dễ có: ab+bc+ca≤ 3)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
1đ