3/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng 3/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có pt tổng quát 1 1 1 1 2 2 2 2 a 0; a 0x b y c x b y c∆ + + = ∆ + + = Số điểm chung của hai[.]
Trang 13/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có pt tổng quát
1: a1x b y c1 1 0; 2 : a2x b y c2 2 0
Số điểm chung của hai đường thẳng chính là số nghiệm của hệ: 1 1 1
x b y c
x b y c
Nếu a 2≠0,b 2≠ 0, c 2≠ 0 thì
∆1 cắt ∆2⇔ 1 1
a a
b b
≠ ; ∆1 // ∆2⇔ 1 1 1
a a
b c
b c
a a
b c
b c
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cạp đường thẳng sau:
a) d1: 4x−10y+1=0 và d2: x+y+2= 0 ⇒ cắt nhau b) d3: 12x−6y+10=0 và d4: 2x−y+5= 0 ⇒ song song c) d5: 8x+10y−12=0 và d6: 4x+5y−6= 0 ⇒ trùng nhau
4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ có pt tổng quát là ax+by+c= 0 và một điểm M0(x0;y0) Khi đó khoảng cách
từ M0 đến ∆ được xác định:
a
ax by c
d M
b
∆ =
+
* Nếu M 0 thuộc ∆ thì d(M 0 ,∆)=0
Ví dụ: Tính khoảng các từ điểm đến các đường thẳng sau
a) A(3;5), ∆1: 4x+3y+1= 0 Kết quả : 28/5
b) B(1;-2), ∆2: 3x-4y-26= 0 Kết quả :3
c) I(3;-2), ∆3:3x+4y-11=0 Kết quả : 2
5/ Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có pt tổng quát
x b y c vtpt n b
x b y c vtpt n b
uur uur
Khi đó, góc ϕ giữa hai đường thẳng (00 ≤ ϕ ≤ 900) được tính:
1 2 1 2
1 2
| |
b b
n n
uuruur
* Chú ý: +Khi hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau ta quy ước góc giữa chúng là 0 0
+ ∆1⊥∆2⇔k1.k2= -1 (⇔nur1 ⊥nuur2 ⇔a1.a2+b1.b2= 0)
Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: 4x−2y+6= 0; d2: x−3y+1=0 Tìm số đo góc tạo bởi hai đường thẳng d1, d2
Giải
cos(d1,d2)= 2| 4.1 ( 2).( 3) |2 2 2 1 22
2
Vậy góc giữa hai đường thẳng là 450
6/ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có pt tổng quát
x b y c vtpt n b
x b y c vtpt n b
uur uur Khi đó pt đường phân giác có dạng:
Trang 21 1 1 2 2 2
x b y c x b y c
Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù
Đặt 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
x b y c x b y c
=
1 2
n nuuruur
=a1.a2+b1.b2 Pt đường phân giác
(phương trình đường phân giác của góc tù lấy theo dấu của n nuuruur1 2
)
Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng:
a) d1: 3x−4y+12= 0 d2: 12x+5y−7= 0 b) d1: x−y+4= 0 d2: x+7y−12= 0
* Chú ý:
+ Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ pháp tuyến (cùng vectơ chỉ phương).
+ Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương
của đường thẳng kia và ngược lại
* Các dạng đặc biệt:
+ Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng trục Ox.
+ Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng trục Oy.
+ Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ.
+ Đường thẳng đi qua A(a;0), B(0;b) có phương trình x y 1
a b+ = (a≠0, b≠0) gọi là
phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.