Microsoft Word - SKKN hoan chinh cua Khoi.doc

Microsoft Word SKKN hoan chinh cua Khoi doc NguyÔn Huy Kh«i RÌn luyÖn t− duy häc sinh qua bµi to¸n "T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d y sè " 2 I §Æt vÊn ®Ò 1) C¬ së lý luËn §Êt n−íc ta ®ang trªn ®−êng ®æi m[.]

I- Đặt vấn đề

1) Cơ sở lý luận:

Đất nước ta đang trên đường đổi mới và phát triển, nền kinh tế tri thức đòi hỏi cần phải có những con người toàn diện, có đủ Đức - Trí - Thể - Mỹ Nhu cầu

đó đặt ra cho nền giáo dục nước ta nhiệm vụ mới, trước hết cần phải đổi mới nội dung chương trình sách giáo khoa sao cho phù hợp với thực tiễn, phải đưa ra

được phương pháp dạy học thích hợp, có hiệu quả Phương pháp dạy học mới phải làm thế nào để giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động tích cực

đồng thời biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tiễn một cách linh hoạt, sáng tạo, phương pháp đó phải lấy trò làm trung tâm, thầy là người hướng dẫn học sinh đi tìm tri thức - Đó là phương pháp dạy học tích cực, thầy thiết kế, trò thi công

2) Cơ sở thực tiễn:

Thực tế trong những năm qua, nhìn chung chất lượng giáo dục của nước ta nói chung và trường THPT Đô Lương 2 nói riêng còn thấp Đại bộ phận học sinh vẫn tiếp thu các kiến thức một cách thụ động và vận dụng các kiến thức đã học vào giải toán một cách máy móc, thiếu sáng tạo Hầu hết các em chưa có cách học tập hiệu qủa, việc học còn mang tính áp đặt, bắt buộc, các em chưa thấy được nhu cầu cần phải học - Chưa biết mình học để làm gì Số ít còn lại đã thấy được nhu cầu cần phải trang bị cho mình vốn tri thức để làm hành trang vào đời, tuy nhiên các em vẫn chưa thực sự chủ động, tích cực, sáng tạo trong việc chiếm lĩnh tri thức

Trước thực trạng đó, nghành giáo dục nước ta đã không ngừng sửa đổi, chỉnh

lý sách giáo khoa, đổi mới nội dung và phương pháp dạy học cho phù hợp phù hợp, trang bị các thiết bị, phương tiện dạy học phong phú, hiện đại… Cá nhân tôi, qua bốn năm giảng dạy tôi đã cố gắng sử dụng các phương pháp dạy học thích hợp để phần nào khắc phục các nhược điểm trên của học sinh; Qua thực tế cho thấy những kiến thức tôi đưa ra đều đã được các em tiếp thu một cách chủ

động tích cực, hầu hết các em đã biết linh hoạt sử dụng các kiến thức đó vào giải toán

3- Thực trạng

ài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi công thức truy hồi là một bài toán khó đối với học sinh THPT nói chung và học sinh khối 11 nói riêng Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo khoa đề cập đến, tuy nhiên có rất ít cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải mà chỉ đưa ra một công thức, một quy trình giải một cách “thiếu tự nhiên” Có thể vì trong phạm vi cuốn sách đó các tác giả không tiện đề cập đến hoặc việc chứng minh các công thức đó không phù hợp với kiến thức học sinh phổ thông Do không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại sao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?” ; Cũng chính vì không

có đủ cơ sơ lý thuyết nên các em rất khó nhớ công thức, không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quan trọng đối với người làm toán Việc nắm vững bản chất của dãy số và các kiến thức về dãy số sẽ giúp học sinh phát triển tư duy hàm, tạo nền cho việc học tốt môn giải tích phổ thông (học sinh bắt đầu được làm quen ở học kỳ 2 của lớp 11 cho đến hết bậcTHPT) Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới và đẹp về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về dãy số tôi đã tích luỹ, tìm tòi để đưa ra một hệ thống các bài toán cùng với quy trình giải các bài toán đó, qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học sinh

II- Giải quyết vấn đề A- Kiến thức áp dụng

1- Dãy số:

1.1) Định nghĩa:

B

Là một hàm số xác định trên M = {1,2,3, ,m} - dãy số hữu hạn, (hoặc xác định trên N * - dãy số vô hạn)

Kí hiệu: (u n ) hoặc nếu không sợ nhầm lẫn ta kí hiệu dãy số u là u n

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển:

u 1 , u 2 , , u n ,

u 1 : gọi là số hạng đầu hay số hạng thứ nhất

u 2 : gọi là số hạng thứ hai

u n : gọi là số hạng thứ n hay “số hạng tổng quát” của dãy số u

1.2) Cách cho dãy số:

Người ta thường cho dãy số dưới các dạng sau:

- Cho số hạng tổng quát u n của dãy số bằng công thức

- Cho bằng phương pháp truy hồi

- Cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng của dãy

2- Cấp số cộng

Là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn:

d là số thực không đổi gọi là “công sai”

2.2) Tính chất:

- Số hạng tổng quát của cấp số cộng:

- Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:

3- Cấp số nhân

3.1) Định nghĩa:

Là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn:

u n+1 = u n + d (n ∈ , n>1) Ν

u n+1 = u n + (n-1)d

S=u 1 + u 2 + u 3 + + u n = n(2u (n 1)d)

2 1+ ư = n(u1+u n)

2

q là số không đổi gọi là “công bội”

3.2) Tính chất:

- Số hạng tổng quát:

- Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

B- Nội dung

Chúng ta bắt đầu từ bài toán đơn giản sau :

1

1

2

1

N n u

u

u

n n

∈

∀







+

=

=

+

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

Nhận xét: Việc giải quyết bài toán trên không có gì khó khăn Ta có thể giải theo

2 cách như sau :

Cách 1:

Từ giả thiết ta có : u 1 = 1 = 1 = 1+(1-1).2

u 2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2

u 3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2

(Ta dự đoán )

Ta dễ dàng chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học

Cách 2 :

Từ giả thiết ta có : u n+1 – u n = 2 ∀n∈N *

Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (u n ) lập thành cấp số cộng với u 1 =1,

công sai d=2 suy ra : u n =u 1 +(n-1).d = 1+(n-1).2

Vậy :

u n+1 = u n q (n Ν ∈ , n>1)

u n+1 = u n q n-1 , (q ≠ 0)

S=u 1 + u 2 + u 3 + + u n =

1

1

ư

q

q u

n

, (q ≠ 1)

u n = 1+(n-1).2

u n = 1+(n-1).2

Việc định hướng để học sinh tìm ra các cách giải trên là không khó Tuy nhiên từ

cách giải trên giáo viên có thể đặt ra cho học sinh một vấn đề mới : "Liệu có thể

thể đề xuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"

Học sinh có thể đưa ra bài toán như sau :

Bài toán 1.1:

Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n ) xác định như sau :

Đây cũng là bài toán tổng quát nhưng ta thấy nó chưa có gì “đặc sắc”, cách giải bài toán này không có gì mới và khác với việc giải bài toán trên

Giáo viên có thể đặt vấn đề: Hệ số của u n trong bài toán trên là 1 Nếu ta thay hệ

số đó bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi Từ đó ta có bài toán mới:

Bài toán 2

Cho dãy số (u n ) xác định như sau :

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

(Chú ý rằng: nếu k= 1 thì bài toán trên trở thành bài toán 1.1 đã xét)

Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toán này đòi hỏi sự tư duy

và sáng tạo mới của học sinh Qua thực tế giảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán

mới này một số học sinh giải được theo cách 1 nhưng các em gặp khó khăn khi

đoán tìm số hạng tổng quát u n Liệu có thể giải quyết bài toán này theo cách 2 ?

Từ giả thiết bài toán ta có: u n+1 - u n = k(u n – u n-1 )

Đến đây nhiều học sinh có thể chưa nhìn nhận ra vấn đề, giáo viên có thể yêu cầu

học sinh : "Hãy lập hiệu u n – u n-1 = ? "

Giáo viên biểu diễn cho học sinh thấy :

u n+1 - u n = k(u n – u n-1 ) = k 2 (u n-1 – u n-2 ) = k 3 (u n-2 – u n-3 ) = …

Lúc này ta đã thấy rõ bản chất của vấn đề là : Dãy (u n+1 - u n ) lập thành một cấp

số nhân với công bội k, từ đó ta có cách giải quyết bài toán 2 như sau :

Từ giả thiết bài toán ta có: u n+1 - u n = k(u n – u n-1 )

* 1

b u u

a u

n n

∈

∀







+

=

=

+

1 ,

* 1







+

=

=

+

k N n b

u k u

a u

n n

Đặt v n = u n+1 - u n ∀n∈N *

lúc đó : v n+1 = k.v n , ∀n∈N *

suy ra dãy (v n ) lập thành cấp số nhân với công bội là k, v 1 = (k-1)a + b Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân thì : v n = v 1 k n-1

Mặt khác ta có :

u n = (u n - u n-1 ) + (u n-1 – u n-2 ) + (u n-2 – u n-3 ) + …+ (u 2 – u 1 ) + u 1 = v n-1 + v n-2 + v n-3 + … + v 1 + u 1

= v 1 k n-2 + v 1 k n-3 + v 1 k n-4 + … + v 1 + u 1

= v 1 (k n-2 + k n-3 + k n-4 + … + 1) + u 1

= v 1

1

1

1

ư

ư

ư

k

k n

+ u 1 (do k ≠ 1)

Vậy ta có :

Với kết quả này ta đã giúp học sinh giải quyết được một lớp nhiều các bài toán liên quan Nhưng đến đây ta có thể phát triển bài toán trên ở mức độ tổng quát

hơn ? ở bài toán trên nếu ta thay b bởi một biểu thức chứa u n-1 thì sao ? Cụ thể

hơn, nếu hệ thức truy hồi ở bài toán 2 được cho bởi dạng :

Thì việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này sẽ được giải quyết như thế nào?

Ví dụ: Cho dãy số (u n ) được xác định như sau:

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó

(Bài ra ở sách nâng cao ĐS&GT 11, NXBGD năm 1993 của Phan Huy Khải)

Với bài này, Sách giáo khoa đã trình bày bài giải như sau:

Trước hết ta xét phương trình: x 2 -px+q = 0 (*) Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình trên Theo định lý Vi-et ta có:

x + x = p ; x x = q

u n = ((k-1)a + b)

1

1

1

ư

ư

ư

k

k n

+ a

1 ,

1 1

2







ư

=

=

=

ư +

n N n qu

pu u

b u a

u

n n n

2 , 2

6

, 6 ,

2

1 1

2







ư

=

=

=

ư +

n N n u u u

u u

n n n

Đặt S n = x 1 n + x 2 2 dễ thấy : S n+1 = p.S n – q.S n-1

áp dụng cho bài toán trên với p = 6 ; q = 2 ta có phương trình x 2 - 6x + 2 = 0

Phương trình này có hai nghiệm là x 1 = 3 ư 11, x 2 = 3 + 11

Chú ý rằng: x 1 0 + x 2 0 = 2 ; x 1 1 + x 2 1 = 6

Vậy u n = S n = (3 ư 11) n + (3 + 11) n

Bài toán đã được giải quyết Tuy nhiên khi tham khảo cách giải này học sinh sẽ

thắc mắc: “Tại sao lại có phương trình (*) ?, Nếu (*) vô nghiệm thì sao?,… ” ở bài toán trên chúng ta thấy “rất may” là phương trình x 2 -px+q = 0 có nghiệm và

hơn nữa: 2 = u 1 = x 1 0 + x 2 0

Từ đó ta đặt ra câu hỏi: “Nếu ta thay 2 bởi một số thực bất kỳ thì bài toán trên có

giải quyết được không?” Chẳng hạn bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy

Fibonaci

(Dãy số Fibonaci là dãy u n được cho bởi công thức:

Tổng quát hơn ta đề xuất bài toán sau :

Bài toán 3: Cho dãy số (u n ) xác định như sau:

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó?

(Rõ ràng đây là bài toán tổng quát của cả bài toán 1 và bài toán 2)

Bây giờ ta tìm cách giải bài toán này Giáo viên có thể định hướng cho học sinh giải quyết bài toán trên theo hướng giải bài toán 2, muốn vậy ta cần tìm 2 số α

và β sao cho: u n+1 - αu n = β(u n - α u n-1 )

Do u n+1 = pu n – qu n-1 nên ta có :

(ta luôn có thể giả thiết rằng β ≠ 0, vì nếu β = 0 thì q = 0, bài toán trên trở thành bài toán 2 đã xét)

Đặt v n = u n+1 - αu n ta có v n = β.v n-1 do đó dãy số (v n ) lập thành cấp số nhân

với công bội là β và v 1 = u 2 – αu 1 = b – αa suy ra v n = βn-1 v 1

) 2 , 1

1 1

2







+

=

=

=

ư +

n N n u u u

u u

n n n

2 , ,

,

1 1

2







ư

=

=

=

ư +

n N n qu pu u

b u a u

n n n

(**)







=

= +

q

p

β α β α

Mặt khác ta có:

u n = (u n - αu n-1 ) + α(u n-1 – αu n-2 ) + α2 (u n-2 – αu n-3 ) + …+ αn-2 (u 2 – αu 1 ) + + αn-1 u 1

= v n-1 + αv n-2 + α2 v n-3 + …+ αn-2 v 1 + αn-1 u 1

= βn-2

v 1 + α βn-3

v 1 +α2βn-4

v 1 + …+ αn-2

v 1 + αn-1

u 1

= ( βn-2 + α βn-3 +α2βn-4 + …+ αn-2 )v 1 + αn-1 u 1

= (βn-2

) v 1 + αn-1

u 1

1 1

v

n n

β

α

β

α

ư

ư

+ αn-1

u 1

n n

α β

α

β

ư

+ αn-1

a

Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là :

Bài toán đã được giải quyết (Với chú ý rằng hệ (**) có thể có nghiệm thực hoặc

không có nghiệm thực Đối với học sinh THPT chưa đựơc trang bị các kiến thức

về số phức thì tất cả các bài toán ở dạng này đều được các tác giả lựa chọn các hệ

số p, q thích hợp để (**) có nghiệm thực Cách giải trên cũng hoàn toàn đúng

cho trường hợp hợp hệ (**) có nghiệm phức)

Trở lại với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci :

Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức :

Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó ?

u n = n n (b αa)

β α

β

ư

+ αn-1 a

) 2 , 1

1 1

2







+

=

=

=

ư +

n N n u u u

u u

n n n

1

1

1

ư

ư











β α β

Gi¶i :

¸p ông kÕt qu¶ trªn víi a = b = 1 ; p = 1 ; q = -1

Ta cÇn t×m c¸c sè α, β tho¶ m·n :

Gi¶i ra ®−îc : ;

Suy ra : u n = + αn-1 a

= +

= +

= +

=

VËy sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y Fibonaci lµ :

u n=

(**) 1

1







−

=

= +

β α

β α











− +

−

−











 +

−











2

5 1 1 2

5 1 2

5 1

2

5 1 2

5

1

2

5





















 +











 −

−











2

5 1 5

2

5 1 2

5

1

2

5











n











 + 2

5 1 5 1

(b a)

n n

α β

α

β

−

2

5

1−

=

α

2

5

1+

=

β











−











5 2

5 1 1 2

5



























 −

−











2

5 1 2

5 1 5 1



























 −

−











2

5 1 2

5 1 5 1

ắ Một số bài tập vận dụng

1

1

3

2

N n u

u

u

n n

∈

∀







ư

=

ư

=

+

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

Bài 2: Cho dãy số (u n ) xác định như sau :

* 1

1

1 2

2

N n u

u

u

n n

∈

∀







+

=

=

+

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

Bài 3: Cho dãy số (u n ) xác định như sau :

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

Bài 4: Cho dãy số u 1 , u 2 , …, u n , …thoả mãn đẳng thức :

u n+1 = au n + b, (n ≥ 1)

a) Hãy biểu diễn số hạng tổng quát u n qua u 1 và a, b và n ?

b) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số

Bài 5: Cho dãy số u 1 , u 2 , …, u n , …thoả mãn đẳng thức :

u n-2 = a 1 u n+1 + a 2 u n , (n ≥ 1) trong đó a , a 2 là hai số dương cho trước

Hãy biểu diễn số hạng tổng quát u n qua a 1 , a 2 , u 1 , u 2 và n ?

Bài 6: Cho dãy số u 1 , u 2 , …, u n , …được xác định như sau :

u 1 = 2, u n = nu n-1 + 1 , (n ≥ 2)

Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số trên là :

u n =[ ]n!e , (n ≥ 1) (Số e =

!

1

! 3

1

! 2

1

! 1

1

Bài 7: Cho dãy số u 1 , u 2 , …, u n , …thoả mãn các điều kiện :

0≤u n ≤1 và u nư1ư2u n +u n+1 ≥0, với mọi n > 1

Chứng minh rằng : 0≤(n+1)(u n ưu n+1)≤2

2 , 6

5

, 2 ,

1

1 1

2







+

=

ư

=

=

ư +

n N n u u u

u u

n n n

V – Kết Quả

Với cách xây dựng và phát triển các bài toán, xây dựng quy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” như vậy, trong quá trình giảng dạy toán tôi thấy các em đã nắm được vấn đề, các em đã biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyết các bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo Với hình thức như vậy tôi đã giúp cho các em yêu thích môn toán hơn, giờ học toán của tôi luôn được các em chờ đón và thực hiện giờ học một cách nghiêm túc, tự giác, chất lượng giờ học đã

được nâng cao rõ rệt Bài tập về nhà được các em tự giác nghiên cứu và trao đổi kết quả với nhau, ngoài ra các em còn đọc và nghiên cứu trao đổi thêm các bài tập ở các sách tham khảo

VI - Kết luận

Trên đây là một số kinh nghiệm tôi tích luỹ được trong quá trình giảng dạy

bộ môn toán (Tôi có may mắn là trong quá trình đi thực tập và 4 năm liên tục đều

được phân công giảng dạy bộ môn Đại số & Giải tích 11) Tôi đã có dịp trao đổi những suy nghĩ trên với nhiều bạn bè đồng nghiệp và đều được sự đồng tình hưởng ứng, thực tế tôi đã trực tiếp vận dụng vào giảng dạy và thấy có kết quả rõ rệt Do vậy tôi mạnh dạn viết ra đây không ngoài mục đích trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các thầy giáo, cô giáo

Vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, kinh nghiệm giảng dạy của tôi chưa nhiều nên đề tài chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự góp ý nhiệt thành của quý thầy cô để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn