T×m hiÓu s©u thªm to¸n häc phæ th«ng

T×m hiÓu s©u thªm to¸n häc phæ th«ng NguyÔn Huy Kh«i Thpt ®« l– ¬ng 2 Mét sè tÝnh chÊt t¬ng tù gi÷a tam gi¸c vµ tø diÖn C¸c b¹n trÎ yªu to¸n th©n mÕn! C¸c b¹n ® lµm quen víi mét sè tÝnh chÊt rÊt thó v[.]

Nguyễn Huy Khôi – Thpt đô l ơng 2

Một số tính chất tơng tự giữa tam giác và tứ diện.

- Các bạn trẻ yêu toán thân mến!

Các bạn đã làm quen với một số tính chất rất thú vị tơng tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông (khối tứ diện có 3 mặt vuông) Chẳng hạn:

- Trong một tam giác vuông OAB (AOB = 900) ta có hệ thức:

AB2 = OA2 +OB2 (Định lý Pithagore)

- Trong tứ diện vuông OABC (OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một)

ta có hệ thức tơng tự:

S2 ABC = S2

OAB+ S2

OAC+ S2

OBC,…,

- Trong bài báo này chúng tôi xin đợc gới thiệu một số tính chất khá thú vị

t-ơng tự giữa tam giác và tứ diện

ở đây, chúng tôi giới thiệu các tính chất tơng tự nói trên thông qua các bài toán sau đây:

Bài toán 1: Cho tam giác ABC (BC = a1, CA = a2, AB = a3) M là một

điểm nằm trong tam giác đó Gọi Ra, Rb, Rc lần lợt là các khoảng cách từ M

đến các dỉnh A, B, C; còn da, db, dc lần lợt là khoảng cách từ M đến các cạnh

BC, CA, AB

Chứng minh bất đẳng thức kép sau đây:

dadbdc 





3 1

i S

(



8

R R R

c b

(Trong đó S1 = SMBC, S2 = SMCA, S3 = SMAB)

Lời giải: Dựng AH  BC, khi đó ta có bất đẳng thức sau:

Ra + da  ha (ha = AH)

 a1Ra  a1ha - a1da  a1Ra2S – 2S1 (1)

(2S – 2S2)  2 a 1 a 3 d a d c

(2S – 2S3)  2 a 1 a 2 d a d b

Vậy (2S – 2S1)(2S – 2S2) (2S – 2S3)  8a1a2a3dadbdc (5)

Từ (4), (5) ta suy ra bất đẳng thức kép cần chứng minh:

dadbdc 





3 1

i S

(



8

R R R

c b

Bài toán (1) ta có thể mở rộng ra bài toán trong không gian

Bài toán 2: Cho tứ diện bất kỳ A1A2A3A4 M là một điểm bất kỳ nằm

Chứng minh một cách hoàn toàn tơng tự

ta cũng có:

a2Rb  2S – 2S2 (2)

a3Rc  2S – 2S3 (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra:

a1Ra a2Rb a3Rc  (2S – 2S1)(2S – 2S2)

 (2S – 2S3) (4)

Chúng ta lại có:

(2S – 2S1)  a2db+a3dc  2 a 2 a 3 d b d c

trong tứ diện đó Gọi Ra, Rb, Rc,Rd lần lợt là các khoảng cách từ M đến các

đỉnh A1, A2, A3, A4; còn da, db, dc,dd lần lợt là khoảng cách từ M đến các mặt

đối diện với các đỉnh Ai (i = 1 , 4); V; Vi (i = 1 , 4); Si (i = 1 , 4) lần lợt là thể

tích các khối tứ diện A1A2A3A4; MA2A3A4; MA1A3A4; MA1A2A4 ;

MA1A2A3; diện tích các mặt của các khối tứ diện A1A2A3A4 Chứng minh bất

đẳng thức kép sau:

dadbdcdd 



 4 1

i Si

) i V (V



81

R R R R

d c b

Với cách giải hoàn toàn tơng tự nh bài toán phẳng 1, các bạn sẽ chứng minh

đ-ợc bất đẳng thức kép dạng (6) Mời các bạn chứng minh nó

Bài toán 3: Cho tam giác ABC (BC=a, CA =b, BA = c) Gọi la là độ dài đ-ờng phân giác trong của tam giác đó kẻ từ đỉnh A Chứng minh rằng:

a a)

a

l 2

A cos 2

= c

1 + b

b) la<

2

c +

b ;

Lời giải: a) Lời giải câu a) khá đơn giản xin đợc nhờng lời chứng minh cho

các bạn

b) Từ câu a) ta suy ra

2 cos

= c

1 + a 1

2

A

a

l

> la (7)

Lại có

c

1 + a 1

2

 bc

2

c +

b (8).

Từ (7), (8) ta suy ra la <

2

c +

b (Đpcm).

Từ bài toán 3 ta đi đến bài toán mở rộng sau:

Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AB của

tứ diện đó cắt cạnh CD tại E Đặt diện tích các ABC, ABE, ABD tơng ứng

là S1, S2, S3

a Chứng minh hệ thức

2 3

φ 2 1





S S

(Trong đó 2 là số đo nhị diện cạnh AB của tứ diện ABCD)

b Chứng minh hệ thức: S2 <

2

S S 3

1

;

Lời giải: Dựng mặt phẳng ()

qua E vuông góc với AB và

M = mf()AB Qua C và D kẻ các

đờng thẳng song song với AB chúng

cắt () lần lợt tại C’ và D’, khi đó ta

có:

dtABC’ = S1; dtABD’ = S3, do

AB(), D’M  AB, C’M  AB,

EM  AB và do mf(ABE) là mặt

phẳng phân giác của nhị diện cạnh

AB nên: C’ME = D’ME = 

( 0< <900).

Giả sử AB = a, C’M = b, D’M = c, EM = l; Khi đó :

S1 = ab/2, S2 = al/2, S3 = ac/2 suy ra: S2/S1 = l/b; S2/S3 = l/c (9)

Mặt khác theo bài toán 3:

l

2cos c

1 b

1  φ (10).

Từ (9) và (10) 

2 3

2 1





S

b Từ câu a, ta suy ra (

3

1 + S

1

).S2 = 2cos < 2;

Từ đó suy ra:

S2 <

3

1 S 1

2

  S 1 S 3 

2

S

S1  3

 Đpcm

Bài toán 5: Cho tam giác ABC M là một điểm bất kỳ nằm trong tam

giác đó Đặt diện tích các tam giác MBC; MCA; MAB lần lợt là S1, S2, S3

a Chứng minh rằng: S1MA + S2MB+ S3MC = 0

b Chứng minh rằng với mọi điểm I ta có hệ thức:

S1IA + S2IB+ S3IC = SABC.IM; Lời giải của bài toán này đợc trình bày trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 5-1992 ở đây chúng ta quan tâm đến bài toán mở rộng của nó Ta đi đến bài toán 6:

Bài toán 6: Cho tứ diện ABCD I là một điểm bất kì nằm trong tứ diện

đó, kí hiệu Vi (i = 1 , 4) lần lợt là thể tích các khối tứ diện IBCD, IACD, IABD, IABC

a Chứng minh rằng: V1IA + V2IB+ V3IC + V4ID = 0;

b Chứng minh rằng với mọi điểm O trong không gian ta có hệ thức:

V1OA + V2OB+ V3OC + V4OD = VABCD.OI;

(V2+V3+V4)IJ = V2IB+ V3IC + V4ID (3)

Với nhận xét rằng:

IJ

IA=-

1

4 3 2

V

V + V +

(

(4)

Từ (3) và (4) ta có: V1IA + V2IB+ V3IC + V4ID = 0 (Đpcm)

b Từ câu a ,  V1(OA-OI) + V2(OB-OI) + V3(OC-OI) + V4(OD

-OI) = 0

 V1OA + V2OB+ V3OC + V4OD = VABCD.OI (Đpcm)

Bài toán 7: Cho tam giác ABC M là một điểm bất kì nằm trong tam

giác đó Chứng minh bất đẳng thức:

a.MA + b.MB + c.MC  4S ABC Lời giải bài toán 7 dành cho bạn đọc

Chúng ta lại mở rộng bài toán trên trong không gian

Bài toán 8: Cho tứ diện ABCD M là một điểm bất kì nằm trong tứ diện

đó Gọi SA, SB, SC, SD lần lợt là diện tích các mặt của tứ diện đối với các đỉnh

A, B, C, D Chứng minh: SA.MA +SB.MB +SC.MC +SD.MD  9VABCD

Lời giải: Gọi Vi (i = 1 , 4) lần lợt là thể tích của các khối tứ diệnMBCD, MACD, MABD, MABC Ta có: AA1 MA + MA2  VABCD 

3

1

SA.MA +V1 Chứng minh một cách hoàn toàn tơng tự:

VABCD 

3

1

SB.MB + V2; VABCD 

3

1

SC.MC + V3; VABCD 

3

1

SD.MD +

V4

Từ đó suy ra:

SA.MA +SB.MB +SC.MC +SD.MD  9VABCD (Đpcm)

Lời giải:

Ta đặt SCJD = S2; SBJD = S3, SBJC

= S4 Theo bài toán 5 ta có hệ thức

sau:

SBCDIJ = S2IB+ S3IC + S4ID

(1)

Mặt khác dễ dàng chứng minh

đ-ợc:

S2/V2= S3/V3= S4/V4 (4)

Từ (1) và (2) ta đi đến kết quả:

*

* * Vì khuôn khổ bài báo, chúng tôi xin dừng ở đây Xin mời các bạn tiếp tục cuộc hành trình với các cặp bài toán sau:

Bài tập 1: Cho ABC nhọn Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác

đó Các đờng thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện lần lợt tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng:

AA1+BB1+CC1 

2

R 9

(R- bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Bài tập 1’: Cho tứ diện ABCD Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

đó (O nằm trong tứ diện ABCD) Các đờng thẳng AO,BO,CO,DO cắt các mặt

đối diện lần lợt tại A1, B1, C1, D1 Chứng minh rằng:

AA1+BB1+CC1 + DD1

3

R 16

(R- bán kính đờng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)

Bài tập 2: Cho ABC Gọi ha, hb, hc, r lần lợt là độ dài các đờng cao, bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác đó Chứng minh rằng:

ha + hb + hc  9r

Bài tập 2’ Cho tứ diện ABCD Gọi hi (i = 1 , 4), r lần lợt là độ dài các đ-ờng cao, bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đó Chứng minh rằng:

h1 + h2 + h3 + h4  16r

Bài tập 3: Cho ABC Gọi a, b, c; ma, mb, mc lần lợt là độ dài các cạnh

và độ dài các đờng trung tuyến của tam giác đó Chứng minh rằng:

ma2 + mb + mc2 =

4

3

( a2 + b2 + c2)

Bài tập 3 :’ Cho tứ diện ABCD Gọi ai (i = 1 , 6) là độ dài các cạnh và

ma, mb, mc là độ dài các đờng trọng tuyến của tứ diện đó Chứng minh rằng:

ma2 + mb + mc2+ md =

9

4





6 1

i ai

2

(Hớng dẫn: Sử dụng công thức Leibnitz)

Bài tập 4: Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ Gọi G, G’ lần lợt là trọng

tâm của 2 tam giác đó, Chứng minh rằng:

GG’ 

3

1

(AA’ + BB’ + CC’) Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài tập 4’: Cho 2 tứ diện ABCD và A’B’C’D’ ở vị trí bất kì trong không

gian Gọi G, G’ lần lợt là trọng tâm của chúng Chứng minh rằng:

GG’ 

4

1

(AA1 + BB1 + CC1+ DD1) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài tập 5: Cho tam giác ABC ( A = 900) Dựng AD BC Gọi AE, AF lần lợt là các đờng phân giác của các góc  BAD,  CAD Chứng minh rằng:

ABC

AEF S

S Δ

Δ

 2-1 Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài tập 5’: Cho tứ diện vuông OABC, Góc tam diện đỉnh O là tam diện

vuông Các mặt phẳng phân giác của góc nhị diện ( [OAB], OA, [OAH]); ([OAC], OA, [OAH]) cắt BC lần lợt tại E, F (H là trực tâm của tam ABC) Chứng minh rằng:

OABC

OAEF

V

V

 2-1 Dấu bằng xảy ra khi nào?

Chúc các bạn thành công!