PHÒNG GD & ĐT THANH OAI

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 NĂM HỌC 2020 2021 Môn thi Toán Ngày thi 14/11/2020 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi : Toán Ngày thi : 14/11/2020

Thời gian làm bài : 150 phút

(không kể thời gian giao đề )

Câu 1: (6,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2 2

4x  20x 28  3x  15x 20 2) Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : x  y z 0 Chứng minh rằng:

3

x y z xyz 3) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn điều kiện:

(ab)  (bc)   (c a)  378 Tính giá trị của biểu thức A     a b b c c a

Câu 2: (3,0 điểm)

1) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho 12

Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y , z thỏa mãn điều kiện :

3 3 3

2020

Câu 3: ( 3,0 điểm)

1) Cho x,y là hai số thực dương Chứng minh rằng:

2 2

2 2

4 0

y x

y  x    

2) Cho số thực x thỏa mãn 0 x 2 Tìm GTNN của biểu thức:

2021 2



A

Câu 4: (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại

H

1) Chứng minh: BH BD BC BK và BH BD CH CE  BC2 2) Chứng minh BH  AC.cotABC

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt

đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P Chứng minh : MPMQ

Câu 5: ( 1,0 điểm)

Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực

hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới

bằng a b 2 lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

- Hết -

Họ tên Thí sinh: SBD

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh nộp lại đề khi thi xong

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM Năm học 2020-2021 Môn thi : Toán

4x 20x28 3x 15x20 3,0 đ

Phương trình trở thành: 2

2t 3t 1

0,5 đ

2

1

3







 



t

1,0 đ

+/ Ta có : 1 0

3

t    ( loại),

1

+/ Với t = 1, ta có :

0,5 đ

Vậy phương trình có tập nghiệm là S  2;3 0,5 đ

2 Cho x   Chứng minh rằng: y z 0 3 3 3

3

Ta có : x      y z 0 z xy 0,5 đ

 3

3 Cho các số nguyên , ,a b c thoả mãn (ab)3 (bc)3  (c a)3 378

Tính giá trị của biểu thức A     a b b c c a

1,5 đ

Đặt a b x; b c y; c  a z x  y z 0

Ta có: 3 3 3

Do x y z, , là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 126 x y z   ( 2).( 7).9 

Nên

0,25 đ

0,25 đ Suy ra : A      a b b c c a 18. 0,5 đ

2 1 Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho

12.Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12 1,5 đ

Ta có:

P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) – 6abc (*)

Do (a + b)(b + c)(c + a)= (a+b+c)(ab+bc+ca) – abc 0,5 đ Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1)

Mà a + b + c 12  a + b + c 2 (theo giả thiết) (2)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn  Điều giả sử là sai 0,5 đ

Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2

2 Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y , z thỏa mãn :

3 3 3

2020

Ta có: 3  2     

Tương tự ta có: 3

3



;z z 3

Biến đổi PT thành: x3 x  y3 y  z3  z 2020

Mà 2020 3 

Vậy không tồn tại ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện :

3 3 3

2020

3

1 Cho x,y là hai số thực dương

Chứng minh rằng:

2 2

2 2

4 0

y x

y  x    

2,0 đ

2



     với mọi x, y > 0

0,5 đ

       

0,5 đ

      

0,5 đ

 x22  y22 3x 3y  4 0

0,5 đ

2 Cho 0 x 2 Tìm GTNN của biểu thức 4 100 2021

2



A

0,25 đ

Mà 0 x 2 suy ra : 2  x 0

Áp dụng BĐT : a b 2 ab với a b, 0, dấu bằng xảy ra khi a b ta có:

10036 120

 x x ,dấu bằng xảy ra khi 5

3

x 

 

4

2

 x x  , dấu bằng xảy ra khi 5

3

x 

0,25 đ

0,25 đ Vậy MinA = 2093 khi và chỉ khi

5 3

x 

Cách 2: Sử dụng BĐT:

 2



0,25 đ

P

H

M

E

D

B

A

0,5 đ

1 Chứng minh: BH BD  BC BK và BH BD CH CE BC2 4,0 đ Xét tam giác: BHK đồng dạng BCD có:

KBH chung

0 90

0,25 đ

nên BH  BK

Cộng vế với vế hai đẳng thức ta được :

Chứng minh :BEH đồng dạng CEA g g ( ) BH  BE

Xét BEC vuông tại E  cotABC BE

 BH  BE  ABCBH  AC ABC

0,5 đ

3 Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần

lượt tại Q và P Chứng minh : MPMQ 1,0 đ

Chứng minh PAH đồng dạng AMB g g( )  PA  AH

Chứng minh: QAH đồng dạng MAC g g( )  QA  AH

Do MBMC( gt)  QA  PA

5 Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó

thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và

viết một số mới bằng a b  2 lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

1,0 đ

Tổng tất cả các số ban đầu trên bảng: S     1 2 3 99 100   5050 0,5 đ Qua mỗi bước ta thấy tổng giảm đi 2

Lúc đầu tổng S 5050 sau 99 bước số còn lại sẽ là 5050 2.99   4852

0,25 đ 0,25 đ

Tổ giám khảo thống nhất để chia nhỏ điểm thành phần nhưng không được thay đổi tổng điểm Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa Bài thi làm tròn 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy theo quy định