Ch­ng 1 : «n tËp vµ bæ tóc vÒ sè tù nhiªn

Ch­ng 1 «n tËp vµ bæ tóc vÒ sè tù nhiªn §Ò thi Häc sinh giái líp 8 Phßng gd ®t thêng xu©n Tiªn häc lÔ Trêng THCS Yªn nh©n HËu häc v¨n §§§§§§ §Ò thi häc sinh giái líp 8 n¨m häc 2006 2007 M«n thi to¸n T[.]

Phßng gd-®t thêng xu©n Tiªn häc lÔ

§§§§§§

§Ò thi häc sinh giái líp 8 n¨m häc 2006-2007

M«n thi : to¸n

Thêi gian lµm bµi 120 phót

Hä vµ tªn : ……… SBD: ………

-—µ– -§Ò bµi

Bµi 1 ( 2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :

           

P

1.Rót gän P

2.T×m c¸c cÆp sè (x;y)  Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3

Bµi 2 (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

Bµi 3 ( 2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:

2

2

x M x







Bµi 4 (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a Gäi E; F lÇn lît lµ

trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF

1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF

2.Chøng minh  MAD c©n

3.TÝnh diÖn tÝch  MDC theo a

Bµi 5 (1 ®iÓm) Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = 3

2

Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2  3

4

Híng dÉn gi¶i

***************

Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm)

MTC : xy x 1 1   y

     

       

     

P

P x yxy Với x 1;xy y;  1 thì giá trị biểu thức đợc xác định.

2 Để P =3  x yxy  3 x yxy 1  2

 x 1 y 1  2

Các ớc nguyên của 2 là :   1; 2.

Suy ra:



1 1 2



(loại)

1 2 3



1 2 1



(loại)

Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3

Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định:

2 3 4 5 6

x x x x x





 







 







Ta có :

   

   

   

   

2 2 2 2

Phơng trình đã cho tơng đơng với :

               

   

2

10 2

x

x





  

 thoả mãn điều kiện phơng trình

Phơng trình có nghiệm : x = 10; x = -2

Bài 3.(2điểm)

2

1

M

M

M lớn nhất khi  2

2

1 2

x x





nhỏ nhất

Vì x 12   0 x và  2 

2 0

x   x nên  2

2

1 2

x x





nhỏ nhất khi x  12= 0 Dấu “=” xảy ra khi x-1 = 0  x 1 Vậy Mmax = 1 khi x = 1

Bài 4 (3iểm)

a BEC CFD c g c( )  C—1D— 1

CDF vuông tại C — — 0 — — 0

        vuông tại M Hay CE  DF

b.Gọi K là giao điểm của AD với CE Ta có :

( )

AEK  BEC g c g  BCAK

 AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M

1 2

Do đó :

.

CMD

FCD





.

FCD

Vậy :

2

2 2

1 4

CMD

CD

FD



Trong DCF theo Pitago ta có :

.

Do đó :

2

2

.

4

MCD

CD

CD



Bài 5 (1điểm)

Ta có:

2

Tơng tự ta cũng có: 2 1

4

1 1

1

k

e

m

d

c f

b a

2 1

4

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:

4

a b c    a b c Vì 3

2

a  b c nên:

4

a b c  ( Điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1

2

L

u ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Bài hình

không vẽ hình không chấm điểm.