Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số

Bài viết Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các hàm số g(x) = x và f (x) là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f (x) = g (x) giao điểm của đồ thị hai hàm số f (x) và g (x). Mời các bạn cùng tham khảo!

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

TRUY HỒI BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Ngô Hùng Vương 1

1 Email: vuongnh@tdmu.edu.vn

TÓM TẮT

Bài viết này trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các hàm số g x( )= và ( ) x f x là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f x( )=g x( ) (giao điểm của đồ thị hai hàm số

( )

f x và ( ) g x )

Từ khóa: Công thức truy hồi, đồ thị, giới hạn dãy số

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Dãy số và tìm giới hạn dãy số là một trong những kiến thức nền tảng của môn giải tích Toán học ở bậc đại học, tuy nhiên các khái niệm về tính hội tụ và giới hạn của dãy số khá trừu tượng và khó hiểu Sinh viên, đặc là sinh viên năm thứ nhất gặp nhiều khó khăn khi giải các bài tập có nội dung liên quan đến dãy số cho bởi công thức truy hồi Các bài tập dạng này thường được giải theo phương pháp giải tích, tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi sinh viên ngoài hiểu

rõ lý thuyết về dãy số cần nắm chắc các kiến thức toán cơ bản khác như bất đẳng thức và phương pháp quy nạp toán học Do đó việc tìm ra một phương pháp giải mới để khắc phục các yếu tố trên là hết sức cần thiết

Bài tham luận này trình bày một cách giải khác đối với một số bài toán tìm giới hạn dãy

số cho bởi công thức truy hồi, gọi là phương pháp đồ thị Thông qua đồ thị của hàm sốg x( )= x

và f x – hàm số nhận được từ công thức truy hồi ( ) x n+1 = f x( n), xác định được các số hạng

1, 2, , n,

x x x của dãy  x n Từ đó biết được dãy  x n có hội tụ hay không, nếu dãy hội tụ thì giới hạn của dãy có thể là một trong các nghiệm của phương trình ( )f x = g x( ) (giao điểm

của đồ thị hai hàm số là f x và ( )( ) g x )

2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 Một ánh xạ từ tập số tự nhiên vào tập số thực được gọi là một dãy

số (Võ Khắc Thường, 2013)

Ký hiệu: x1, x2, , x n, hay viết gọn là  x n Trong đó ứng với mỗi giá trị n số x n

được gọi là số hạng thứ n của dãy

Ví dụ 1 a) Dãy số  x n được cho bằng cách liệt kê:   x n = 3; 4; 27;16; 243; 64;  Số hạng thứ 5 của dãy là x =5 243

b) Dãy số  x n được cho bằng công thức của số hạng tổng quát: ( 1)

n n

x

n

−

= Số hạng thứ 8 của dãy là

8 8

( 1) 1

c) Dãy số  x n được cho bằng công thức truy hồi: 1

1

1

3 1

x

x + x

=





Ta tính được:

3 1 3 1 1 2

3 1 3 2 1 5

3 1 3 5 1 14

= − =  − =

= − =  − =

= − =  − =

Định nghĩa 2 Dãy  x n được gọi là hội tụ nếu tồn tại số l  sao cho

0 n n ( ) n n : x n l

   =   − 

Khi đó ta nói dãy  x n có giới hạn và giới hạn này bằng l , ký hiệu:

lim n

n

x l

→ = hay x n →l khi n →  (Архипов Г.И và nnk., 2004)

Định nghĩa 3 Dãy  x n được gọi là phân kỳ nếu với mọi c 0 chỉ có hữu hạn các phần

tử của dãy thỏa mãn x n c Nói cách khác:

Khi đó ta nói dãy  x n có giới hạn ở vô cùng và được ký hiệu như sau:

lim n

n

x

→ =  hay x →  n khi n →  (Архипов Г.И và nnk., 2004)

Định lý 1 (định lý Weierstrass) Dãy  x n đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ và

 

lim n sup n

Định lý 2 Dãy  x n đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim n inf n

n

đọc có thể xem chứng minh định lý 1 và 2 trong tài liệu tham khảo [1]

Mệnh đề 1 Nếu dãy  x n cho bởi công thức truy hồi x n+1 = f x( n) hội tụ và có giới hạn bằng L thì L= f L( ), nói cách khác L là nghiệm của phương trình f x( ) =x)

Chứng minh Dãy  x n hội tụ và có giới hạn bằng L, do đó

1

lim n lim n lim ( n) ( )

3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

3.1 Phương pháp tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số

Giả sử cần tìm giới hạn của dãy truy hồi: 1

1

( ) ( ), 1, 2, 3,

x c c

x + f x n





Ta có phương pháp giải bài toán trên bằng đồ thị như sau:

Bước 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxyvẽ đồ thị các hàm số y=x và ( )

y= f x , với f x là hàm số thu được từ công thức truy hồi ( ) x n+1 = f x( n)

Bước 2 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( )và đường thẳng y=x bằng cách giải phương trình ( )f x = g x( )

Bước 3 (Xem hình 1) Trên đồ thị hàm sốy = f x( )lấy điểm M x x1( ;1 2), với x1 = và c

x = f x

Từ M x x1( ;1 2) kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt đường thẳng y=x tại

1( 2; 2)

N x x

Từ N x x1( 2; 2) kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt đồ thị hàm số y = f x( ) tại

2( 2; 3)

M x x

Lập lại như trên đối với điểm M2(x x ta tìm được các điểm 2; 3) M3( ;x x3 4),M4(x x4; 5),

1

,M n(x x n; n+ ),

Bước 4 Dựa vào đồ thị nếu M tiến gần đến giao điểm của đồ thị hàm số n y = f x( )và đường thẳng y=x thì dãy số đã cho hội tụ (ví dụ 1, hình 1), ngược lại thì dãy phân kỳ (ví dụ

2, hình 4) Nếu dãy hội tụ thì theo mệnh đề 1 giới hạn của nó bằng hoành độ và tung độ của giao điểm đồ thị y= f x( ) và y=x(nghiệm của phương trình f x( )= ) x

Vận dụng phương pháp vừa trình bày để giải một số bài toán sau

3.2 Một số bài toán minh họa

Bài toán 1 Chứng minh sự hội tụ và tính giới hạn của dãy số  x n cho bởi công thức truy hồi:

1

1

4 1 2

n n

x

x

x +

= −





=



Giải Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số ( ) 1

2

x

= và ( )g x = x

Hình 1 Sự hội tụ của dãy  x n

Áp dụng phương pháp đã nêu ta xác định được các điểm M1,M2,M3,M4,M5, Trên

đồ thị của ( )f x các điểm M1,M2,M3,M4,M5, tiến dần tới điểm cố địnhL( )1;1 là giao điểm của đồ thị hai hàm số ( )g x và ( ) f x , đồng thời các phần tử x x1, 2,x x3, 4,x5, của dãy tăng dần đến x = L 1 Vậy dãy hội tụ và lim n 1

n x

Kiểm tra kết quả nhận được bằng cách giải lại bài toán 1 bằng phương pháp giải tích

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh x n   1, n 1

Ta có x = − 1 4 1 Giả sử 1 1 1 1 1 1

n

x

  =  = nên dãy bị chặn trên

Mặt khác từ chứng minh trên suy ra 1 1 1 0

− = − =  nên dãy  x n tăng Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên hội tụ và có giới hạn hữu hạn Giả sử

1

lim n lim n

n x l n x + l

lim 1

n

n

x

→

+

vậy giống với phương pháp đồ thị, phương pháp giải tích cũng chứng minh đượclim n 1

n x

Dựa vào đồ thị của hình 1 ta có các lưu ý sau:

− Nếu x  − 1 ( ;1)thì  x n tăng và bị chặn trên bởi x = L 1, nên dãy hội tụ

− Nếu x 1 (1;)thì  x n giảm và bị chặn dưới bởi x = L 1, nên dãy hội tụ

− Nếu x =1 1 thì các phần tử tiếp theo dãy  x n cũng bằng 1 vì (1) 1 1 1

2

= =

Vậy dãy đã cho hội tụ  x1 và lim n 1

n

x

Qua bài toán này ta thấy rằng phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số vừa chứng minh được một dãy số là hội tụ (phân kỳ) vừa xác định được với giá trị nào của x thì dãy hội tụ (phân kỳ), mà phương pháp giải tích không tìm được 1

Bài toán 2 Cho dãy số  x n thỏa mãn

1 (0 ;1), n 1 n(2 n)

x  x + = x −x

Chứng minh  x n hội tụ và tìm giới hạn của dãy

Giải Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f x( ) = x(2 −x) và g x( )= Trên trục x

Ox lấy x1 tùy ý sao cho x 1 (0 ;1), từ đó tìm được x2,x x3, 4,x5, như trên hình 2 Dễ thấy trên đồ thị của ( )f x các điểm M M1, 2,M3,M4,M5, tiến dần đến giao điểm L( )1;1 của hai

đồ thị hàm số ( )g x và ( ) f x , đồng thời các phần tử x x1, 2,x x3, 4,x5, của dãy tăng dần đến

1

L

x = Vậy dãy hội tụ và lim n 1

n x

Hình 2 Sự hội tụ của dãy  x n khi x 1 ( )0;1

Mở rộng bài toán: Trường hợp x 1 ( )1; 2 theo hình 3 ta thấy dãy số  x n vẫn hội tụ và

lim n 1

n

x

→ = Tuy nhiên nếu giải bài toán này bằng phương pháp giải tích sẽ gặp nhiều khó khăn

do dãy số đã cho không phải là dãy tăng (x1  x2mà x2  x3)

Hình 3 Sự hội tụ của dãy  x n khi x 1 ( )1; 2 Trường hợp x =1 0 hay x =1 2 dãy  x n hội tụ và lim n 0

n x

→ = vì x n =  0, n 2 Trường hợp x  − 1 ( ; 0)(2;) dãy  x n phân kỳ và lim n

n x

→ = − (hình 4)

Hình 4 Sự phân kỳ của dãy  x n khi x  − 1 ( ; 0)(2;)

Qua bài toán này ta thấy rằng phương pháp giải bằng đồ thị hàm số có thể chứng minh một dãy số không đơn điệu là hội tụ hay phân kỳ

Bài tập 3 Tính

Giải Xét dãy  x n được cho bởi công thức truy hồi

1

1

0

2

x

=





= +



Ta có x = n 2+ 2+ 2 (n dấu căn), suy ra lim n

n

→

= Vậy thay vì tính A ta cần chứng minh dãy  x n hội tụ và tìm giới hạn của nó

Tương tự bài tập 1 và 2 trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f x( ) = 2 +x và ( )

g x = Từ điểm x x1trên trục Ox ta xác định được các điểm x x2, 3, như hình 5 Dễ thấy trên đồ thị của ( )f x các điểm M1,M2,M3, tiến dần đến điểm cố định L(2; 2)là giao điểm của hai đồ thị hàm số g x và ( )( ) f x , đồng thời các phần tử x x x1, 2, 3, của dãy tăng dần đến

2

L

x = Vậy dãy hội tụ và lim n 2

n

→

= =

Hình 5 Sự hội tụ của dãy  x n khi x 1 ( )1; 2

Kết luận Bài tham luận này trình bày phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số cho

bởi công thức truy hồi dựa vào đồ thị hàm số So với phương pháp giải tích, phương pháp đồ thị có một số ưu điểm như sau:

− Lời giải trực quan, đơn giản

− Có tính toàn cục Xác định được miền hội tụ (phân kỳ) của dãy số  x n theo số hạng đầu tiên của dãy là x1

− Có tính tổng quát Chứng minh được một dãy truy hồi bất kỳ hội tụ hoặc phân kỳ mà không cần biết dãy đó có đơn điệu hay không

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Архипов Г.И., Садовничиий В.А., В.Н Чубариков (2004) Лекции по математическому анализу Москва: издательство Дрофа

2 Krainer, Thomas (2016) Recursive sequences in first-year calculus International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 47, 299–314

3 Võ Khắc Thường (2013) Toán cao cấp – Giải tích toán học TPHCM: NXB ĐHQG TPHCM