TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM THPT MÔN TOÁN

a Có bao nhiêu số tự nhiên được viết trong hệ thập phân gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 đôi một khác nhau.. Tìm xác suất của biến cố: Trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả c

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

THPT

MÔN TOÁN

NHÀ XUẤT BẢN HÀ NỘI

A P HẦN ĐỀ BÀI

PHẦN TỰ LUẬN

1 Tìm số tự nhiên n sao cho các số C1

n, C14n+1, C14n+2 theo thứ tự lập thành cấp

số cộng

2 Tìm số tự nhiên n sao cho

1 + C1

2 + + C1

n = 120 (Trong đó Ck

n là tổ hợp chập k của n phần tử)

3 Cho n ∈ , n ≥ 2 Tính tổng sau:

2

1

A + 2

3

1

A + + 2

n

1 A

4 Giải bất phương trình: 3

x

A + 5A ≤ 21x 2x

5 Chứng minh rằng với mọi n ∈ * ta có:

0 n

C

1 +

1 n

C

2 +

2 n

C

3 + +

n n

C

n + 1 =

n+1

2 - 1

n + 1

6 Có 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Hỏi có bao nhiêu cách viết các số:

a) Chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau

b) Có 6 chữ số khác nhau và là số lẻ

c) Có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000

d) Có 3 chữ số khác nhau và không nhỏ hơn 243

e) Có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 243

7 Một lớp có 15 học sinh nữ, 25 học sinh nam Có bao nhiêu cách chọn ra tổ

5 người

a) Tổ trưởng là nam và còn ít nhất 2 nam nữa

b) Một tổ trưởng, một tổ phó, 3 tổ viên

c) Mỗi người sẽ phụ trách một trong 5 đội thiếu niên cụ thể của phường X

8 Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

9 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi

số có 6 chữ số thỏa mãn điều kiện: Chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn ại xuất hiện một lần

10 Trong mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó chỉ có 4 điểm thẳng hàng, còn bất kì 3 điểm nào khác cũng không thẳng hàng

a) Hỏi có bao nhiêu đường thẳng nối các điểm đó?

b) Có bao nhiêu tam giác khác nhau có đỉnh tại các điểm đã cho

11 a) Tìm số giao điểm tối đa của:

- 10 đường thẳng phân biệt

- 6 đường tròn phân biệt b) Từ kết quả của a) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên

12 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?

13 Trên giá sách có 18 quyển sách gồm 6 quyển Toán, 5 quyển Lý, 4 quyển Hóa và 3 quyển sinh Hỏi có bao nhiêu cách xếp các sách đó lên giá sách sao cho các sách cùng một bộ môn thì đứng cạnh nhau

14 a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ thập phân) gồm 5 chữ số

mà các chữ số đều lớn hơn 4 đôi một khác nhau

b) Hãy tính tổng các số tự nhiên nói trên

15 Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ Có bao nhiêu cách chọn một nhóm 5 bạn mà trong đó có đúng 2 nữ ?

16 Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Thầy chủ nhiệm muốn chọn

3 học sinh để giam gia tổ chức lễ khai giảng Hỏi có bao nhiêu cách?

1) Chọn ra 3 học sinh trong lớp

2) Chọn ra 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ

3) Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam

17 Một lớp có 40 học sinh gồm 20 nam và 20 nữ Có bao nhiêu cách chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ gồm 5 nam và 5 nữ

18 Một buổn liên hoan có 10 nam và 6 nữ Có bao nhiêu cách chọn ra 3 cặp nhảy? (Mỗi cặp gồm 1 nam và 1 nữ)

19 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

n 2

3

1

x + x

  , biết rằng cả 1

n

C + C = 13n (n là số tự nhiên lớn hơn 2 và x là số thực khác 0) 3n

20 Tìm số hạng không chứa x trong khai tiển Newton của

12

1

x + x

(Đại học Kinh tế Quốc dân 1997)

21 Đặt (x - 2)100

= a0 + a1x + a2x2 + + a100x100 1) Tính hệ số a97

2) Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + + a100

3) Tính tổng M = a1 + 2a2 + 3a3 + 100 a100

22 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của biểu thức sau:

20 3

3

P = 2 x +

x

  (0 < x ∈ )

(ĐHKTQD - 1997)

23 Chứng minh rằng 0

m

C k n

C + 1

m

C k - 1 n

C + + k

m

n

C = k

m + n

C (Hệ thức Vanđecmon)

24 Chứng minh rằng k

2001

C + Ck + 12001 ≤ 1000

2001

C + C10012001, 0 ≤ k ≤ 2000, k nguyên, trong đó k

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử

(ĐHQG Hà Nội - Khối A - 2001)

25 Trong khai triển nhị thức (x3

x + x

18

-25)n, hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng n

n

C + Cn - 1n + Cn - 2n = 79

(ĐHSP Hà Nội - Khối A - 2001)

26 Cho triển khai nhị thức:

n -n

x - 1

3 2

2 + 2

0 n

C

n

x - 1 2

2

1 n

C

n - 1

x - 1 n

2

-x 3

2

  + +

+ Cn - 1n

x

x - 1 -3 2

n n

C

-x 3

2

(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó 3

n

C = 5 1

n

C và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm n và x

(ĐH, CĐ - Khối A - 2002)

27 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

n

5

3

1

+ x

x

  , biết rằng n + 1

n + 4

C - Cnn + 3 = 7(n + 3) (ĐH, CĐ - Khối A - 2003)

28 Áp dụng khai triển nhị thứ Newton (x2

+ x)100, chứng minh rằng

100 0

100

C

99 100 198 199

100 100 100

( k

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử)

29 Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + + anxn, trong đó x ∈ * và các hệ

số a0, a1, , an thỏa mãn hệ thức a0 + 1 n

n

+ +

2 2 = 4096 Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, , an

(ĐH, CĐ - Khối A - 2008)

30 Tìm một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng, và 8 quả cầu đỏ Giả thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt nhau Lấy hú họa ra 5 quả cầu Tìm xác suất của biến cố: Trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ

(Đại học Thủy lợi - 1997)

31 Một đề thi trắc nghiệm có 12 câu hỏi và mỗi câu có 5 cách trả lời nhưng trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng Biết mỗi câu trả lời đúng được 6 điểm, trả lời sai được (-1) Tính xác suất đề thi trong đề này:

a) Thí sinh được 51 điểm

b) Thí sinh được lớn hơn hoặc bằng 58 điểm

23 Cho một hộp bóng đèn có 12 bóng trong đó có 7 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bóng Tính xác suất để lấy được

a) 3 bóng tốt

b) Ít nhất 2 bóng tốt

c) Ít nhất 1 bóng tốt

(ĐHTCKT - 1997)

33 Một đội văng nghệ có 10 nam và 15 nữ Trong số nam có 4 người biết đàn và hát Trong số nữ có 6 người biết đàn và hát Gọi ngẫu nhiên 1 người trong đội Tính xác suất để:

a) Nếu người đó là nữ biết đàn và hát

b) Người đó là người biết đàn và hát nếu biết người đó là nữ

c) Người đó là người biết đàn và hát

34 Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ

1) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 người, ta được nhóm

đó có đúng 1 nữ

2) Cần chia tổ đó thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người để đi làm 3 công việc khác nhau? Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ? Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên ta được mỗi nhóm có đúng 1 nữ

(ĐHNN I - 1997)

35 Gieo một con xúc xắc vô tư ba lần

a) Hãy tính xác suất để ít nhất có hai lần gieo mà số chấm xuất hiện như nhau b) Gọi A là biến cố "có ít nhất một lần mặt 6 chấm xuất hiện" B là biến cố

"số chấm xuất hiện ở ba lần gieo là 3 số khác nhau" Tính P(A/B)

(ĐHXD - 1997)

PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Tìm x ∈ thỏa: Px A + 72 = 6(2x A + 2P2x x)

(Px là số hoán vị của x phần tử; 2

x

A là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử)

A x = 3 B x = 4 C x = -3 D x = 3

x = 4







Câu 2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta có thể thành lập được bao nhiêu số

tự nhiên có 4 chữ số

A 2058 B 2000 C 2050 D 2055

Câu 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta có thể thành lập được bao nhiêu số

tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A 2000 B 720 C 700 D 2050

Câu 4 Cho nhị thức:

n

1 1

-2 1 4

x + x 2

Xác định n biết rằng ba hệ số đầu tiên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó:

A n = 1 B n = 8 C n = -1 D n = -8

Câu 5 Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (với a ∈ ) của số hạng ax12 trong khai triển đó

A 200 B 190 C 210 D 220

Câu 6 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 5?

Câu 7 Giải hệ phương trình:

x x

y y

x x

y y

2A + 5C = 90 5A + 2C = 80







(Trong đó x

y

A là chỉnh hợp chập k của n phần tử, k

n

C là tổ hợp chập k của n

phần tử)

A x = 2

y = 5





x = 2

y = -4





x = 1

y = 5





x = 1

y = -5







Câu 8 Giải phương trình:

A + 53y A = 2 (x + 15) 2y

(Trong đó k

x

A là chỉnh hợp chập k của x phần tử, x là số nguyên dương)

A x = 5 B x = 3 C x = -1 D x = 2

Câu 9 Giải phương trình: 1

n

C + 6( 2 3

n n

C + C ) = 9n2 - 14n (Trong đó n là ẩn số, k

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử)

A n = 0 B n = 2 C n = 5 D n = 7

Câu 10 Tổng sau:

10 10

C + C

2 3 + +

10 10

1 C 11 Lấy gần đúng đến một chữ số thập phân là:

A 186 B 186,1 C 186,09 D 187

Câu 11 Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 9, có thể lập được bao nhiêu số lẻ mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau nhau?

Câu 12 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A 60 số B 96 số C 156 số D 200 số

Câu 13 Cho

3 x - 4

x + 1 x 4 x

A - C

23

24 thì x bằng:

A x = 1

x = 5





Câu 14 Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của

7

3

4

1

x +

x

  với x > 0

A 21 B 25 C C = 35 47 D 70

Câu 15 Tìm hệ số của x16 trong khai triển của (x2

- 2x)10

A 5040 B 2520 C 40320 D 3360

Câu 16 Tìm hệ số của x19 trong khai triển của

n 5 3

1 + x x

3 3

n + 5 n + 4

C - C = 8(n + 3) (n là số nguyên dương, k

n

C là tổ hợp chập k của n)

Câu 17 Cho m + 1

n + 1

C : m

n + 1

C : m - 1

n + 1

C = 5 : 5 : 3 Vậy m, n bằng:

A m = 3

n = 6





m = 2

n = 6





m = 3

n = 5





m = 6

n = 3







Câu 18 Giải phương trình: 1 2 x - 1

x x x

C + C + + C = 2007 -2

A x = 2007 B x = 2005 C x = 2006 D x = 2008

Câu 19 Giải phương trình: x - 2 x - 1 x

x x x

C + C + C = 11

A x = 5 B x = 6 C x = 7 D x = 4

Câu 20 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

II PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH,

ĐẠI SỐ, MŨ VÀ LOGARIT

PHẦN TỰ LUẬN

* Phương trình và hệ phương trình

1 Giải và biện luận phương trình theo tham số k

(k2 - 9)x - k2 - 4k - 3 = 0

2 Giải và biện luận phương trình:

(k - 2)x2 - 2kx + k - 3 = 0

3 Xác định k để phương trình x2 - 2(k - 2)x + k(k - 3) = 0 có 2 nghiệm x1, x2

thỏa mãn hệ thức 3 3

1 2

x + x = 0

4 Xác định k để phương trình:

(k + 1)x2 + 2(k + 4x + k + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt

5 Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm dương (x2 > x1)

6 Cho phương trình 3x4 + (7 - k)x2 + k - 2 = 0 (2)

Tìm k để phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt

7 Tìm m để phương trình -x3

+ 3x2 + m3 - 3m2 = 0 có ba nghiệm phân biệt

8 Giải phương trình: 5x - 1 - 3x - 1 - x - 1 = 0 (3)

9 Giải phương trình: 3

2x + 1 + 32x + 2 + 32x + 3 = 0

10 Giải phương trình: x - 6x + 6 = 2x - 1 2 (4)

(ĐHXD - 2001)

11 Giải phương trình: x2

+ 3x + 1 = (x + 3) x + 1 2 (5) (ĐHQG Hà Nội 2001)

12 Tìm x để phương trình sau có nghiệm thực:

3 x - 1 + m x + 1 = 24x - 1 2

(ĐH, CĐ - A - 2007)

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

13 Giải phương trình: x + 2 7 - x = 2 x - 1 + 2

-x +8x - 7 + 1 (x ∈ )

14 Giải phương trình: x + 2

4 - x = 2 + 3x 4 - x 2 (ĐHM - 2001)

3 + 8 + ( )x

3 - 8 = 6

3sin2x - 2sinx

sin2xcosx

17 Giải các phương trình sau:

a) 4x + 5x = 41

x

b) 9-x - 2 - 4 3-x - 2 - a = 0 (2) c) log2x + 2log7x = 2 log2x log7x (3) d) log (2 + x) + logx 2 x + 2x = 2 (4)

3 3

log x + log x + 1 - 2m - 1 = 0 (6) 1) Giải phương trình (6) khi m = 2

2) Tìm m để phương trình (6) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3

] (ĐH, CĐ - A - 2002)

19 Giải hệ phương trình: 3x 2x - y y - z 2z 1 5 (1)(2)

x - 2y - 3z 0 (3)





20 Nghiệm của hệ phương trình:







= + +

= + + +

5 y x xy

8 y x y

x2 2

21 Cho hệ phương trình:







+

=

= +

m 2 m y x m

1 m 2y 1)x (m

2 2

Xác định m ∈ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên với x, y ≥ 3

22 Với giá trị nào của k thì hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:







=

= +

y) (x m y x

1 y x

3 3

23 Giải hệ phương trình: x + xy + y = 42 2

x + xy + y = 2





24 Giải hệ phương trình: x(x + 2) (2x + y) = 92

x + 4x + y





(ĐHAN - 2001)

2

3 2x + y =

x 3 2y + x =

y











26 Giải hệ phương trình: 3x - y = x - y

x + y = x + y + 2





(ĐH - Khối B - 2002)

27 Giải hệ phương trình: log y4 log x4

4 4

x + y = 4 log x - log y = 1





28 Giải hệ phương trình:

x + y x + y

3 6

2 2

2 + 2 = 6 (1)







29 Tìm nghiệm của hệ phương trình:

3

log xy log

2 2

x y 2x 2y - 1

30 Tìm nghiệm của hệ phương trình:

x y

2 2

2 2

e - e (log y - log x)(xy 1) (1)







* B ất đẳng thức và bất phương trình:

31 Chứng minh ∀x ∈ : 1 x - x + 122

3 ≤ x + x + 1 ≤ 3

32 Chứng minh rằng nếu a ≥ b ≥ c > 0 thì:

a + b + c

b c a ≥ 3

33 Cho x2 + y2 + z2 > 0, chứng minh rằng

5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz > 0

34 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có bất đẳng thức: (a + 1) (b + 1) (c + 1) ≥ (1 + 3abc )3

35 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 thì ta có:

b) 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1

36 Cho ba số a, b, c bất kì, chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

2) (ab + bc + ca)2 ≥ 3 abc (a + b + c)

(ĐHSP Tp Hồ Chí Minh - 2000)

37 Chứng minh rằng với n ∈ , n ≥ 2 ta có bất đẳng thức:

n3 + 2 2 + 3 - 2 2 > 2 n

38 Với a, b, c ∈ thỏa mãn đẳng thức ab + bc + ac = abc

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

a + 2a c + 2b a + 2c

39 Cho a, b, c là ba số khác 0 Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

(ĐH Y TP Hồ Chí Minh - 1999)

40 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 2 bc 2 + 2 ac 2 + 2 ab 2

a b + a c b a + b c c a + c b (ĐHNN - A - 2000)

41 Giải bất phương trình: 2 x > 2 x

x - 3x + 1 x + 3x + 2 (1)











42 Giải tuyển bất phương trình:

2

1

x

x - 3x + 1 <0 (3)

≥

43 Giải và biện luận bất phương trình: (m + 1)x2

- 4x + m - 2 > 0

44 Tìm a để hệ: x + y + 2x 2 2 1 (1)

x - y + a = 0 (2)







Có nghiệp duy nhất và tìm lời giải trong từng trường hợp

45 Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình:

(x + 3 - 2a) (x + 3a - 2) < 0 (1)

đúng với mọi x thuộc [2; 3]

46 So sánh các số -1 và 1 với nghiệm của phương trình:

x2 + mx + 1 - 2 = 0

47 Xác định m để hệ bất phương trình:

5x - 7 < 13 (2)





48 Tập nghiệm của bất phương trình: 3x 2 < x - 2

49 Giải bất phương trình sau:

x + 3x + 2 + x + 6x + 5 2 2 ≤ 2x + 9x + 72

(ĐHBK - D - 2000)

50 Giải bất phương trình:

x + 2 - 3 - x + 5 - 2x (1)

(ĐHTL - 2000)

51 Giải bất phương trình:

a) x - 3 + 2x + 1 ≥ 0 2

b) 3 + 5x - 2x < 2 1 - x

2

52 a) Giải bất phương trình (x2

- 5x + 4) log3(x - 2) ≤ 0 b) Xác định m để mọi x ∈ [0; 2] đều thỏa mãn bất phương trình:

log2 x2 2x+m + 4 log4(x2 2x+m) ≤ 5

53 Giải bất phương trình:

3 x log

3 x) (log

2

2 2

+

+ > 2

54 Giải bất phương trình: log0,7

2 6

x + x log

x + 4

  < 0 (ĐHCĐ - B - 2008)

55 Giải bất phương trình:

log5(4x + 144) - 4 log52 < 1 + log5(2x - 2 + 1) (ĐHCĐ - B - 2006)

56 Giải bất phương trình:

(logx8 + log4x2) log2 2x ≥ 0

PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 01 Tìm điều kiện của m để phương trình (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 (1) vô nghiệm

A m < 1 B m = 2 C m < 0 D m = 1

Câu 02

a) Phương trình x3 - 2x2 - x + 2 = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm?

A 3 nghiệm B 2 nghiệm C 1 nghiệm D vô nghiệm

b) Phương trình x3

+ 3x2 - 4x - 12 = 0 có tập nghiệm là:

A {2} B {-3} C {± 2; - 3} D {± 2; 3}

Câu 03 Giải phương trình 5 +

16 x

96

4 x

1 x 2 + - 4-x

1 -3x

Câu 04 Nghiệm của phương trình |x - 1| + |x + 2| + |x - 3| = 14 là:

3 16