CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC: 1 Tiên đề 1: Tiên đề về hai lực cân bằng Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn được cân bằng là chúng phải trực đối nhau.. hình 1-1 Tác dụng củ
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1 Khái niệm cơ học lý thuyết- tĩnh học a Đối tƣợng nghiên cứu: Vật rắn tuyệt đối b Nôi dung:
- Các tiên đề tĩnh học
+ Trình bày đƣợc các khái niệm cơ bản trong cơ học.
+ Trình bày được phương pháp tổng hợp và phân tích lực.
+ Phân tích đƣợc chuyển động của vật rắn.
+ Tính toán đƣợc các áp lực, phản lực theo yêu cầu
2 Khái niệm sức bền vật liệu a Đối tƣợng nghiên cứu: Các thanh có tiết diện mặt cắt bất kỳ chịu tải trọng b Nội dung:
+ Trình bày đƣợc các khái niệm cơ bản trong sức bền vật liệu
+ Tính toán đƣợc các thông số nội lực, ứng suất và biến dạng của vật chịu kéo, nén, cắt, dập, xoắn, uốn của các bài toán đơn giản
3 Chi tiết máy: a Đối tƣợng nghiên cứu: Các khâu, khớp, chuỗi, cơ cấu, chi tiết máy b Nội dung:
- Truyền động bánh răng c Mục tiêu:
+ Trình bày đƣợc các khái niệm cơ bản trong chi tiết máy
+ Giải thích đƣợc các khái niệm về khâu, chi tiết máy, khớp động, chuỗi động, cơ cấu, máy
+ Trình bày đƣợc các cấu tạo, nguyên lý làm việc và phạm vi ứng dụng của các cơ cấu truyền động cơ bản
- Giáo trình môn học Cơ ứng dụng do Tổng cục dạy nghề ban hành
- Đỗ Sanh - Giáo trình Cơ ứng dụng - NXB GD - 2002
- Nguyễn Khang - Cơ học ứng dụng - NXB GD – 2005
- Giáo trình cơ kỹ thuật ( phần tĩnh học, động học ) Nguyễn Trọng ( chủ biên ), Tổng danh đạo, Lê Thị Hoàng Yến – Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật.
- Cơ kỹ thuật, nhà xuất bản Giáo dục.
Giáo trình cơ kỹ thuật, vụ trung học chuyên nghiệp và dạy nghề, Nhà xuất bản Giáo dục
CƠ HỌC LÝ THUYẾT - TĨNH HỌC Bài 1: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC I.VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
Tiên đề 1 về hai lực cân bằng khẳng định điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn được cân bằng là chúng phải trực đối nhau.
2 Tiên đề 2: Tiên đề thêm, bớt hai lực cân bằng (hình 1-1)
Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi thêm vào ( hay bớt đi ) hai lực cân bằng nhau.
Hệ quả: Tác dụng của lực lên một vật rắn không thay đổi khi trƣợt lên đường tác dụng của nó.
3 Tiên đề 3 : Tiên đề hình bình hành lực (hình 1-2)
Hai lực tác dụng tại cùng một điểm có thể thay thế bằng một lực duy nhất tác dụng tại chính điểm đó; vectơ tổng của hai lực được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành có hai cạnh bằng hai lực đã cho Việc ghép hai vectơ lực theo quy tắc bình hành cho ta vectơ tổng, với hướng và độ lớn tương ứng với đường chéo hình bình hành nối hai đỉnh của các lực ban đầu Đây là cách diễn đạt lực tổng khi các lực tác động đồng thời tại một điểm, giúp phân tích và hình học hóa quá trình cộng vectơ lực một cách trực quan và chuẩn xác.
4 Tiên đề 4: Tiên đề tương tác (hình 1-3)
Lực tương tác và phản lực là hai lực trực đối
III LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1 Vật liên kết và vật chịu liên kết
Gọi là vật tự do khi các di chuyển của nó không bị các vật khác cản trở, vật tự do còn đƣợc gọi là vật khôngchịu liên kết
Vật không tự do là những vật có một vài phương chuyển động bị cản trở; vì vậy, nó được gọi là vật chịu liên kết hoặc là vật khảo sát.
Trong cơ học, những điều kiện cản trở chuyển động của vật được gọi là liên kết Liên kết là các ràng buộc làm giới hạn hoặc định hướng chuyển động của vật thể, và chúng thường được thể hiện bằng sự tiếp xúc trực tiếp giữa hai vật hoặc giữa vật với một phần cố định của hệ thống Sự tiếp xúc này xác định nơi phát sinh lực tại điểm tiếp xúc, ảnh hưởng đến ma sát, hướng di chuyển và quỹ đạo của vật Hiểu và mô hình hóa các liên kết giúp xây dựng các mô hình động học chính xác cho các hệ cơ khí, từ máy móc giản đơn đến các cấu trúc phức tạp.
Ví dụ: quyển sách đặt trên bàn thì quyển sách là vật khảo sát và bàn là vật gây liên kết.
Theo tác dụng tương hỗ, tại mối liên kết xuất hiện một lực tác động lên vật khảo sát (do lực gây liên kết tác động vào vật) Chính lực này ngăn trở chuyển động của vật và được gọi là phản lực liên kết.
Phản lực liên kết chỉ xuất hiện để cản trở chuyển động của vật Các quy tắc của phản lực:
+ Phản lực nằm ngược với hướng mà theo đó chuyển động bị cản trở
Trong chuyển động theo một phương nhất định mà không bị cản trở, tức là theo phương tiếp tuyến của quỹ đạo, lực tác dụng lên vật sẽ vuông góc với phương ấy Nói cách khác, thành phần lực theo hướng tiếp tuyến bằng không nên chỉ còn lại thành phần lực vuông góc, hay lực pháp tuyến Vì vậy lực pháp tuyến quyết định độ cong của quỹ đạo và sự biến thiên của vận tốc khi vật di chuyển theo đường cong, trong khi hướng tiếp tuyến không có lực tác dụng.
) Phản lực có các tính chất:
Đƣợc đặt lên vật khảo sát ở chỗ tiếp xúc với vật gây liên kết.
Cùng phương và ngược chiều với chuyển động bị cản trở của vật khảo sát.
Trị số phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật khảo sát.
Các liên kết cơ bản bao gồm Liên kết hoàn toàn trơn (hay liên kết tựa) không có ma sát (hình 1-4) Liên kết hoàn toàn trơn cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung giữa vật khảo sát và vật gây liên kết; vì thế phản lực có phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung và có chiều đi về phía vật khảo sát Ký hiệu: N⃗.
Liên kết mềm cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của dây Phản lực có phương theo dây, ký hiệu : T c Liên kết thanh: (hình 1-6)
Liên kết thanh cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của thanh.
Phản lực có phương dọc theo thanh, ký hiệu S d Liên kết bản lề (hình 1-7)
Gối đỡ bản lề di động:
Phản lực của gối đỡ bản lề di động có phương như liên kết tựa, đặt ở tâm bản lề Ký hiệu Y (ổ bi máy suốt )
Gối đỡ bản lề cố định:
Bản lề cố định giới hạn chuyển động của vật khảo sát theo hai phương: nằm ngang và thẳng đứng, do đó phản lực tác dụng lên vật có hai thành phần X và Y, và tổng hợp thành phản lực toàn phần R.
Để khảo sát một vật rắn, ta phải tách nó ra khỏi các liên kết và xác định hệ lực tác dụng lên vật Để làm được điều này, ta lần lượt thay thế các liên kết bằng các phản lực tương ứng, mô tả toàn bộ tác động lực lên vật rắn Quá trình thay thế liên kết bằng phản lực như vậy được gọi là giải phóng liên kết.
Quả cầu đồng chất có trọng lượng P được treo vào mặt tường nhẵn thẳng đứng nhờ dây OA Hãy đặt tất cả các lực tác dụng lên quả cầu.
Khảo sát quả cầu Các lực tác dụng lên quả cầu có:
Trọng lực P đặt tại tâm O và hướng thẳng đứng xuống dưới
Phản lực liên kết tựa N C của tường đặt tại C, hướng vào tâm quả cầu.
Lực căng T đặt tại O hướng về A
Nhƣ vậy, hệ lực tác dụng lên quả cầu là (P , N C , T
Chú ý: Để cho gọn, sau này ta vẽ ngay các phản lực và lực đã cho vào hình vẽ có cả các liên kết.
1 Lất một vài ví dụ minh họa lực tác dụng và phản lực.
2 Người ta biểu diễn một lực có giá trị 300N bằng một độ dài 10mm Hỏi một lực có độ dài
18mm sẽ có giá trị là bao nhiêu?
1 Khi nào vật được coi là vật rắn tuyệt đối.
2 Lực là gì? Cách biểu diễn một lực.
3 Điều kiện để hai lực tác dụng vào một vật rắn đƣợc cân bằng?
1 Người ta biểu diễn một lực có trị số 300N bằng độ dài 10mm Vậy một lực có độ dài 18mm có trị số là bao nhiêu? ĐS: 540N
2 Ở điểm A của giá gồm hai thanh AB và AC người ta treo vật có trọng lượng P Hãy xác định hệ lực tác dụng lên mút A
3 Thanh đồng chất AB có trọng lƣợng P đƣợc treo vào một điểm cố định C bởi hai dây AC và BC Hãy xác định hệ lực tác dụng lên thanh AB.
4 Thanh đồng chất AB có trọng lƣợng P, ở A bắt bản lề cố định và tựa lên mặt cầu nhẵn ở C Xác định hệ lực tác dụng lên thanh AB.
5 Xác định hệ lực tác dụng lên dầm AB, biết dầm có trọng lƣợng P
6 Thanh đồng chất AB trọng lƣợng P tựa trên mặt phẳng ngang tại điểm A Thanh nghiêng một góc 60 o so với phương nằm ngang Ngoài ta thanh được giữ tại hai điểm C và D Hãy xác định hệ lực tác dụng lên thanh.
LỰC I LỰC
HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUI
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm (hình 2-3a)
Theo hệ quả của tiên đề 2, ta có thể trượt các lực dọc theo đường tác dụng của chúng về điểm đồng qui O; do đó hệ lực đồng qui có thể được thay bằng một hệ lực đặt tại một điểm duy nhất (hình 2-3b) Việc quy đổi này cho phép mô tả toàn bộ tác dụng của các lực bằng một lực duy nhất tại một điểm, tối ưu hóa phân tích và giải bài toán cơ học liên quan.
2 Hợp lực của hai lực đồng qui: a Quy tắc hình bình hành lực : (hình 2-2)
Giả sử F 1 và F 2 đồng quy tại O
Trị số của R Áp dụng định lý cosin cho OAC
Các trường hợp đặc biệt: (hình 2-3) a) b) c) Hình 2-2
Phương và chiều của R Áp dụng định lý hình sin cho OAC
, 2 xác định theo phương và chiều của R b Quy tắc tam giác lực:
Ta có thể xác định hợp lực R bằng cách: từ mút A của lực F 1 đặt lực F 2 ' song song, cùng chiều và có cùng trị số với lực F 2
Rõ ràng hợp lực R có gốc đặt tại O, mút trùng với mút C của lực F 2 '
Ta thấy rằng:hợp lực R đã khép kín tam giác lực tạo bởi hai lực thành phần F 1 và F 2
( h 2-4 ) c Phân tích một lực thành hai lựclực đồng quy:
Ngược với việc tìm hợp lực của hai lực đồng quy, người ta cũng có thể phân tích một lực bất kỳ thành hai lực đồng qui theo hai phương đã cho Khi biết phương của hai lực cần phân tích, ta đặt hai vectơ đơn vị theo đúng hướng đó là n1 và n2 và tìm hai độ lớn F1 và F2 sao cho F = F1 n1 + F2 n2 Để giải, lập hệ phương trình theo các thành phần: Fx = F1 n1x + F2 n2x, Fy = F1 n1y + F2 n2y; từ đó có thể giải 2x2 để tìm F1 và F2 Cách phân tích này cho phép ta phân rã mọi lực thành tổng hai lực đồng qui nằm trên hai phương đã cho, phục vụ các bài toán cân bằng lực và phân tích lực theo phương hướng đã xác định.
Giả sử biết lực R đặt tại điểm O và hai phương Om và On Ta cần phải phân tích lực R ra thành hai lực F 1 và F 2 đặt trên các phương đó (h 2-5)
Để phân tích lực R theo hai phương Om và On, từ mút C của lực vẽ các đường song song với Om và với On Các đường này gặp Om và On tại các điểm tương ứng là A và B Nhờ đó, OA và OB sẽ đại diện cho hai thành phần của vectơ lực R theo hai hướng Om và On, cho phép ta diễn giải lực R thành tổng của hai thành phần OA và OB trên các phương Om và On Cách làm này giúp dễ dàng xác định các thành phần của lực và thuận lợi cho tính toán trong các bài toán cơ học liên quan đến phân tích vectơ.
OA là các lực cần phải tìm. b Khi biết phương chiều và trị số của một lực:
Giả sử biết lực R và một lực thành phần, R 1 chẳng hạn, ta phải phân tích lực
Muốn vậy, ta nối hai mút A và B của R và R 1
, ta đƣợc vectơ AB Từ O kẻ vectơ R 2 song song cùng chiều với AB , ta đƣợc lực thành phần thứ hai R 2 của R d Quy tắc hình hộp lực:
Ở trên ta đã xét trường hợp các lực phẳng đồng quy tác dụng lên vật; trong kỹ thuật, nhiều khi các chi tiết chịu tải trọng là tập hợp các lực đồng quy không nằm trong cùng một mặt phẳng, giống như lực cắt gọt khi tiện (h.2-7).
Trong mặt phẳng chứa lực R và trục Z: R là hợp lực của các lực F và F z
Trong mặt phẳng ngang, lực F có thể phân tích thành hai lực thành phần F x hướng theo trục chi tiết, thành phần F y hướng theo bán kính vuông góc với trục: y x F
Từ các biểu thức trên cho ta công thức tính lực cắt R theo quy tắc hình hộp lực (h.2-7a): z y x F F
Trong quá trình tiện mặt đầu bằng dao vai (h.2-7c) có = 90 o , khi đó Fy
Trong quá trình tiện rãnh bằng dao cắt (h.2-7d) có = 0 o , khi đó lực
16 hướng trục là Fx= 0 Lực cắt sẽ là:
Theo tiên đề tương tác, dao sẽ tác dụng lên chi tiết một lực R' có độ lớn bằng lực R nhưng ngược hướng và đặt vào chi tiết Lực R' sau đó được phân tích thành các lực thành phần theo quy tắc hình hộp lực, nhằm mô tả và nhận diện tác động của lực lên từng mặt và toàn bộ chi tiết.
4 Hợp lực của một hệ lực phẳng đồng qui: a Phương pháp đa giác lực : (h.2 – 8)
) đồng quy tại O Tìm hợp lực:
R là hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy đã cho b Phương pháp chiếu: (h.2-9)
- Chiếu một lực lên hai trục tọa độ
- Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp chiếu:
Hợp lực R có hình chiếu lên hai trục x và y là Rx và Ry
Về phương chiếu: tg * Phương pháp:
Để tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy, có hai phương pháp chính: phương pháp đa giác lực (phương pháp hình học) và phương pháp giải tích (phương pháp chiếu) Trong bài viết này, ta chỉ nghiên cứu hệ lực bằng phương pháp giải tích.
Chiếu một lực lên hai trục tọa độ
Gọi hình chiếu của lực F lên hai trục vuông góc Oxy là X và Y, ta có (h.2-10):
X (2-1) trong đó: - góc nhọn hợp bởi lực F với trục x
Hình chiếu lấy dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của mút cùng chiều (+) với trục, lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại. Đặc biệt
Nếu F vuông góc, chẳnng hạn với trục Ox thì X = 0 và Y = F
Nếu F song song, chẳng hạn với trục Ox thì X = F còn Y = 0
Ngƣợc lại, khi biết hình chiếu X, Y của lực F trên hai trục vuông góc Oxy, ta hoàn toàn xác định đƣợc nó:
Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích
Cho hệ lực phẳng đồng qui (F 1
) có hình chiếu tương ứng trên các trục của hệ tọa độ vuông góc là (X1, X2,…, Xn) và (Y1, Y2,…, Yn) (h.2-
Chú ý Đáng lẽ phải viết là
1 k F k nhƣng để cho gọn, ta quy ƣớc viết F k hoặc
Theo phép tính vectơ, thì: “Hình chiếu của vectơ tổng bằng tổng đại số hình chiếu của của các vectơ thành phần”.
Hệ lực phẳng đồng quy gồm các lực có trị số F 1 = F 2 = 100N; F 3 = 150N; F 4 =
200N; góc giữa các lực cho trên hình vẽ
Hãy xác định hợp lực của hệ lực đó
Chọn hệ trục xOy nhƣ hình vẽ Hình chiếu của hợp lực lên các trục là:
Trị số của hợp lực R :
Phương và chiều của hợp lực R : tg = 1 , 4
5 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy: a Phương pháp hình học:
Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trị số của hợp lực R phải bằng không Khi đó đa giác lực tự đóng kín, nghĩa là đa giác lực có mút của lực cuối cùng trùng với gốc của lực đầu.
Ta có kết luận: “Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là đa giác lực tự đóng kín” b Phương pháp giải tích:
Tương tự như trên, muốn hệ lực đồng qui cân bằng thì hợp lực R phải bằng 0.
Mà theo phương pháp giải tích, thì:
Vì ( X ) 2 và ( Y ) 2 là những số dương cho nên điều kiện cân bằng là
Vậy: “điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ đều phải bằng không”.
Hệ phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng đồng quy.
Ví dụ 2-2 Ống trụ đồng chất có trọng lƣợng P = 60N đặt trên máng ABC hoàn toàn nhẵn và vuông góc ở B Mặt BC của máng hợp với mặt nằm ngang góc
= 60 Hãy xác định các phản lực của máng lên ống ở hai điểm tiếp xúc D và E
Trọng lượng P của ống trụ có phương thẳng đứng, hướng về tâm Trái Đất và có giá trị P = mg = 60 N Mặt khác, ống trụ tựa trên hai mặt nghiêng tại các điểm tiếp xúc D và E nên chịu các phản lực tiếp xúc tại hai điểm này Các phản lực tương ứng được ký hiệu là N_D và N_E, là các phản lực pháp tuyến vuông góc với các mặt nghiêng tại D và E.
E, các phản lực này vuông góc với các mặt nghiêng BD và BE Nhƣ vậy, ống trụ được cân bằng dưới tác dụng của ba lực đồng quy tại O: ( P ,N
Ta có thể giải bài toán này theo hai phương pháp: hình học và giải tích. a)Phương pháp hình học
E) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín
Ta dựng tam giác lực đó bằng cách: từ một điểm I bất kỳ vẽ vectơ lực P , từ gốc I và mút K của P kẻ các đường thẳng song song với N D, N
E, chúng cắt nhau tại L Tam giác IKL chính là tam giác lực cần dựng Trên tam giác lực, đi theo chiều của P ta xác định đƣợc chiều của N D và N
E Độ dài mỗi cạnh của tam giác lực biểu thị trị số của các lực tương ứng Từ đó, ta có:
Chọn hệ trục x, y như hình vẽ và lập phương trình cân bằng của hệ lực đồng qui
Giải hệ phương trình này, ta có: NE = 30N và ND = 51,96N
Từ ví dụ trên, ta có thể tóm tắt cách giải một bài toán hệ lực phẳng đồng quy gồm các bước sau:
Bước 1: Phân tích bài toán Đặt các lực tác dụng lên vật cân bằng đƣợc chọn, bao gồm lực đã cho và các phản lực liên kết.
Bước 2: Lập phương trình cân bằng (ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích vì đó là phương pháp thường gặp nhất)
Chọn hệ trục tọa độ vuông góc thích hợp với bài toán, có thể chọn tùy ý sao cho bài toán đƣợc giải đơn giản nhất
(các trục song song hoặc vuông góc với nhiều lực của hệ nhất).
Viết phương trình cân bằng
Giải bài toán và nhận định kết quả (cần thử lại hoặc liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp không)
Trường hợp giải ra lực có trị số âm, cần đổi chiều ngược lại.
HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG
Hệ lực phẳng song song là hệ lực nằm trong cùng một mặt phẳng và có các đường tác dụng song song.
2 Hợp hai lực song song cùng chiều:
Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song với chúng, có trị số bằng tổng của hai lực ấy Điểm đặt của lực hợp thành được xác định bằng cách chia đường nối giữa hai điểm đặt lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn của hai lực ấy.
Giả sử có hai lực F1 và F2 song song cùng chiều tác dụng tại hai điểm A và B trên vật, ta cần tìm hợp lực của chúng Kết luận là hợp lực R bằng tổng vector của hai lực, tức R = F1 + F2 và có cùng chiều với chúng; lực hợp lực tác dụng tại một điểm X nằm trên đoạn AB sao cho AX:XB = F2:F1 (tức AX = AB × F2/(F1+F2)).
Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực, có:
Phương song song và cùng chiều với hai lực đã cho;
Trị số bằng tổng trị số của hai lực, tức:
R = F1 + F2 (2-9) Điểm đặt chia trong đường nối điểm đặt của hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với trị số của hai lực ấy, tức là
Vectơ hợp lực R luôn luôn nằm ở trong đoạn AB và ở gần lực có trị số lớn.
Ví dụ 2-3 Ở hai đầu thanh AB dài 0,6m người ta treo hai vật có tải trọng PA = 60kN và PB= 20kN Xác định điểm đỡ O để thanh AB nằm ngang.
Bài giải Để cho thanh AB nằm ngang thì điểm đỡ O chính là điểm đặt hợp lực
Theo công thức hợp lực của hai lực song song cùng chiều, ta có:
Trong bài toán cơ học, dầm AB dài 7 m treo một vật nặng có trọng lượng P = 14 kN tại một vị trí trên dầm Hỏi phải treo vật cách gối A bao nhiêu để áp lực tác dụng lên gối A có trị số là một giá trị cho trước, đồng thời đảm bảo cân bằng tĩnh của hệ thống dầm và hai gối Bài viết tập trung xác định khoảng cách từ gối A đến điểm treo sao cho phản lực tại gối A đạt giá trị mong muốn, dựa trên điều kiện cân bằng về lực và moment.
Nếu áp lực lên gối A là F A = 5kN thì áp lực lên gối B là:
Theo công thức hợp lực của hai lực song song cùng chiều, ta có: x
3.Hợp lực của hai lực song song ngƣợc chiều
Giả sử cĩ hai lực F 1 và F 2 song song
23 ngƣợc chiều đặt ở A và B (F1 > F2) Ta phải tìm hợp lực R của chúng (h.2-
12) Ở đây, ta cũng không chứng minh mà chỉ nêu kết luận:
Hai lực song song ngƣợc chiều không cùng trị số có hợp lực là một lực
Phương song song và cùng chiều với lực có trị số lớn;
Trị số bằng hiệu trị số của hai lực:
Trong cơ học, khi hai lực F1 và F2 được đặt tại hai điểm trên một đường thẳng và có cùng hướng hoặc song song, hợp lực của chúng có độ lớn R = |F1 − F2| Điểm đặt của hợp lực trên đường nối hai điểm đặt lực được chia thành hai đoạn ngoài theo tỉ lệ nghịch với trị số của hai lực đã cho, tức là đoạn tiếp giáp với lực lớn hơn nằm ở phía ngoài lực có trị số lớn Nguyên lý này giúp xác định vị trí tác dụng của lực hợp một cách chính xác và hữu ích trong phân tích cân bằng, thiết kế cấu trúc và các bài toán động lực học liên quan đến các lực song song.
Trường hợp đặc biệt, nếu F1 = F2 thì R = F1– F2 = 0, hệ lực thu về ngẫu lực, ta sẽ xét ở phần thứ III
Hai lực song song ngƣợc chiều có
Hãy xác định hợp lực của 2 lực ấy.
Theo công thức hợp lực song song ngƣợc chiều, ta có:
1 Trình bày cách tìm hình chiếu của một lực trên hệ trục tọa độ vuông góc.
2 Trình bày cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp giải tích.
3 Viết công thức tính hình chiếu hợp lực của hệ phẳng đồng qui.
4 Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp giải tích
5 Phương, chiều, trị số và điểm đặc của hợp lực hai lực song song cùng chiều được xác định nhƣ thế nào?
6 Ngẫu lực là gì? Vì sao nói ngẫu lực không tương đương với một lực?
7 Nêu tính chất của ngẫu lực, từ đó suy ra cách biểu diễn nó trên hình vẽ.
1 Cho hai lực đồng qui tại O là (F 1
) với F1 = F2 Cần phải đặt vào điểm O một lực
F 3 nhƣ thế nào để hệ lực (F 1
Trả lời: F 3 nằm trên đường phân giác của góc (F 1
2 Thanh đồng chất AB trọng lƣợng P1= 200N đƣợc treo bằng các dây song song AE và BD Vật nặng có khối lƣợng Q = 80kg đƣợc treo vào điểm C của thanh AB Xác định lực kéo của vật lên 2 dây, biết AC = 30cm, BC = 50cm ĐS: TA = 60N;
3 Dầm có hai gối đỡ A và B chịu tác dụng bởi ngẫu lực (P 1
) có mômen 3.10 5 Nm Xác định phản lực tại các gối đỡ của dầm. ĐS: NA = NB PN
4 Otô tải trọng 50kN độ trên cầu, cách đầu cầu này 4m và đầu cầu kia 6m Xác định những lực tác dụng và hai mố cầu A và B. ĐS: PA = 30kN; PB = 20N
Sau khi học xong bài này, người học có khả năng:
- Trình bày momen của lực đối với một , momen của hợp lực đối với một điểm.
- Tính toán đƣợc momen của lực đối với một , momen của hợp lực đối với một điểm.
- Rèn luyện tính cẩn thận trong học tập và làm việc.
I MOMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MÔT ĐIỂM
Momen của lực F đối với tâm O là tích số giữa trị số của lực và cánh tay đòn của lực đối với điểm đó (h 3-1) m0( F
(+) nếu chiều của lực F làm vật quay quanh tâm
O ngƣợc chiều kim đồng hồ.
(-) nếu chiều của lực F làm vật quay quanh tâm
O cùng chiều kim đồng hồ. m0( F
): momen của lực F lấy đối với điểm O
F: Lực tác dụng a: Khoảng cách từ tâm quay tới đường tác dụng của lực
Khi đường tác dụng của lực F đi qua tâm O thì m o ( F )
Xác định momen của các lực F 1 và F 2 đối với các điểm A và B Biết F1 kN,
I.2 Định lý về momen của hợp lực đối với một điểm ( định lý Varinhong)
Momen của hợp lực của một hệ lực phẳng đối với một điểm bất kỳ nằm trên mặt phẳng bằng tổng đại số momen của các lực thành phần tại điểm đó Với các vectơ vị trí r_i từ điểm tham chiếu đến đường lực của từng lực F_i, momen tại điểm P được cho bởi M_P = Σ_i (r_i × F_i) Như vậy, hợp lực có momen bằng tổng momen của các lực thành phần, cho phép phân tích và tính toán momen tổng một cách dễ dàng trong các bài toán cơ học phẳng.
)= m 0 ( F ) a Trường hợp hệ lực là hai lực đồng quy: (h 3-2)
=2 S ABC = OA.Ob m0( F 2 )=2 S ABD = OA.Oc m0( R )
Theo hình vẽ: Od=Ob+Oc
Ta có: bd=Oc Od = Ob + Oc
+ m0( F 2 ) b Trường hợp hệ là hai lực song song: (h 3-3) m0( R )
Ta có: ac bc AC
= F1 Oa + F2 Ob c Trường hợp hệ gồm nhiều lực phẳng bất kỳ:
Giả sử hệ là các hệ lực phẳng bất kỳ F 1
O là một điểm nào đó nằm trên mặt phẳng của hệ lực này. m0( R )
+……+ m0( F n ) Để chứng minh đƣợc hệ lực này ta xét từng đôi lực, đầu tiên F 1
Hai lực này hoặc đồng quy hoặc song song nên: m0( R 1 )
Tiếp tục xét R 1 và F 3 đƣợc R 2
MÔ MEN I.MÔ MEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM
NGẪU LỰC
Một trường hợp đặc biệt của hai lực song song ngược chiều là khi hai lực có độ lớn bằng nhau Trong trường hợp này, hợp lực của hệ bằng không (R = F1 − F2 = 0); tuy nhiên hệ vẫn không cân bằng vì hai lực tác dụng tại hai điểm khác nhau tạo ra một mô men quay (bộ đôi lực) Nói cách khác, dù tổng lực bằng 0, hệ có thể quay và không duy trì trạng thái cân bằng tĩnh.
Trong thực tế, ngẫu lực là một hệ hai lực song song ngược chiều có trị số bằng nhau nhưng không cùng đường tác dụng, từ đó gây quay cho vật mà không làm thay đổi tổng lực tác động lên vật.
Ngẫu lực gồm hai lực F 1
), khoảng cách giữa hai đường tác dụng gọi là cánh tay đòn, ký hiệu d.
Ta có thể trƣợt các lực để cho đoạn nối hai điểm đặt đúng là cánh tay đòn và từ đây ta qui ƣớc vẽ ngẫu lực nhƣ vậy (h.3-4b)
Ngẫu lực đươc xác định bởi ba yếu tố:
Mặt phẳng tác dụng:là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực;
Chiều quay của ngẫu lực là hướng quay của vật bị tác động bởi ngẫu lực, tức là vật quay quanh trục do ngẫu lực gây ra theo chiều của lực; chiều quay này được ký hiệu bằng mũi tên vòng để biểu thị sự quay và định hướng của ngẫu lực.
Chiều quay là dương khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm khi thuận chiều kim đồng hồ (h.3-4c)
Trị số mômen của ngẫu lực: m = F.d (2-12) trong đó: F - trị số của lực còn d - cánh tay đòn Đơn vị của mômen là Niutơn-mét (Nm)
2.Tính chất của ngẫu lực trên một mặt phẳng
Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó.
Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực miễn là trị số và hướng quay của mômen được bảo toàn Đối với tập hợp ngẫu lực, ta có thể biến đổi để chúng có chung cánh tay đòn sao cho tổng mômen và chiều quay vẫn không đổi Từ các tính chất này rút ra các quy tắc biến đổi ngẫu lực: các ngẫu lực có thể được ghép thành một hệ ngẫu lực có cùng tổng mômen và cùng cánh tay đòn, qua đó thuận lợi cho phân tích lực, cân bằng và ứng dụng trong phân tích kết cấu.
Ngẫu lực tác dụng lên một mặt phẳng được đặc trưng đầy đủ bởi hai tham số: chiều quay và trị số mômen của nó Do đó, ngẫu lực có thể được biểu diễn bằng chiều quay và trị số mômen của nó, như minh họa ở hình (h.3-5).
3.Hợp hệ ngẫu lực phẳng
Người ta chứng minh được rằng khi hợp các ngẫu lực phẳng với nhau sẽ xuất hiện một ngẫu lực tổng hợp Ngẫu lực tổng hợp này vẫn nằm trên cùng một mặt phẳng với các lực thành phần và có mômen bằng tổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ.
Nếu hệ có n ngẫu lực thành phần, thì:
Hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực có momen m1 = 100 Nm, m2 = -80 Nm, m3 = 250 Nm và m4 = -200 Nm Tổng ngẫu lực có momen hợp thành bằng tổng các momen riêng lẻ, cụ thể M_tong = 100 - 80 + 250 - 200 = 70 Nm Do đó ngẫu lực tổng hợp có momen là 70 Nm Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 2 m thì trị số của lực là F = M_tong / d = 70 / 2 = 35 N.
Ngẫu lực tổng hợp có trị số momen là: m m m m
Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 2m thì:
ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG
1 Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
Muốn hệ ngẫu lực cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng, nghĩa là M = 0
Mà M = m , nên điều kiện Hình 3-5 d
29 cân bằng của hệ ngẫu lực phải là:
Điều kiện cân bằng của một hệ ngẫu lực phẳng là tổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ bằng không Nói cách khác, hệ ngẫu lực phẳng cân bằng khi tổng mômen lên vật rắn do các ngẫu lực gây ra bằng 0 Điều này làm cơ sở để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới tác dụng của một hệ ngẫu lực phẳng.
Dầm chịu tác dụng của các ngẫu lực có trị số momen m1 = 20kNm, m2
= 15kNm, m3kNm Hãy xác định phản lực ở các gối A và B của dầm.
Trên dầm chỉ có các ngẫu lực tác dụng, nên để cân bằng phản lực ở hai gối, các phản lực này cũng phải lập thành một ngẫu lực Phản lực N_B vuông góc với mặt tựa và được giả định có chiều đi lên; tương ứng, phản lực R_A phải song song với N_B và có chiều giả định đi xuống.
Theo điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực, ta có: m
RAcó dấu (+), nhƣ vậy chiều giả định của R A là đúng với chiều thực, tương ứng NB= 3,75kNm và chiều trên hình vẽ là đúng với chiều thực.
2 Điều kiện cân bằng của đòn: Đòn là vật rắn có thể quay quanh một trục cố định, chịu tác dụng của các lực nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với trục đó Giao điểm O của trục với mặt phẳng của lực gọi là điểm tựa của đòn Sơ đồ tời đơn giản trên hình 3-6 là một ví dụ về đòn.
Vì đòn có thể quay quanh điểm tựa, nên nó chỉ cân bằng khi hợp lực của các lực tác dụng lên nó đi qua điểm tựa, tức: m o ( R ) 0 mà m o ( R ) m o ( F )
Vì vậy, đòn cân bằng khi: m o ( F ) 0
Để một đòn được cân bằng, điều kiện cần và đủ là tổng đại số mômen của các lực tác dụng lên đòn về điểm tựa bằng không Nói cách khác, trong cân bằng tĩnh, mọi lực tác dụng lên đòn tạo ra mômen quanh điểm tựa và các mômen này phải triệt tiêu lẫn nhau để tổng bằng 0 Cách tính mômen lực là bằng tích của lực và bán kính (khoảng cách từ điểm tựa đến tác dụng của lực), với dấu được xác định theo chiều quay, từ đó xác định trạng thái cân bằng của đòn.
Để nâng vật nặng P bằng tay quay của tời, mô-men quay do lực F tác dụng lên tay quay bằng F·l cân bằng với mô-men do tải tác động lên trống tời bằng P·r (bỏ qua ma sát) Do đó F·l = P·r, nên F = (P·r)/l Với r = 0,15 m, l = 0,5 m và P = 1000 N, ta có F = 1000 × 0,15 / 0,5 = 300 N Như vậy, cần một lực khoảng 300 N tác động lên tay quay để nâng vật nặng 1000 N, bỏ qua ma sát.
Xét sự cân bằng của tời, theo điều kiện cân bằng của đòn , ta có:
3 Điềukiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ:
Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực mà các đường tác dụng của các lực nằm bất kỳ trong cùng một mặt phẳng (h.3-3)
Thực tế chứng tỏ rằng dưới tác dụng của một hệ lực phẳng, vật rắn vừa tịnh tiến vừa quay.
Như vậy, hệ lực phẳng có hợp lực bằng 0 vẫn chưa đủ để bảo đảm cân bằng của vật rắn Điều kiện hợp lực bằng 0 chỉ cho biết vật không tịnh tiến, nhưng vẫn có thể quay quanh một trục bất kỳ Đặc trưng cho khả năng quay là mô-men của các lực đối với một điểm O trên vật: M_O = ∑ r_i × F_i Vì thế, để vật rắn ở trạng thái cân bằng thực sự, cả hợp lực bằng 0 và tổng mô-men gây quay tại mọi điểm O phải bằng 0.
Cho nên muốn cho hệ lực phẳng đƣợc cân bằng thì ngoài điều kiện R
= 0, phải có thêm điều kiện:
Nếu gọi R ' là vectơ chính và M o là mômen chính Ta có điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng là:
“Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và mômen chính đều bằng không”
Vì vectơ chính R ' có hình chiếu trên các trục x, y là:
= m O ( F n ) nên có thể biểu diễn điều kiện dưới dạng phương trình sau đây:
Điều kiện cân bằng của một hệ lực phẳng là điều kiện cần và đủ để hệ không mất cân bằng Cụ thể, tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ vuông góc với nhau bằng không, và tổng mômen của các lực đối với một điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng chịu lực phải bằng không.
Phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng bất kỳ
Xác định phản lực ngàm tại A của dầm AB
Thay lực phân bố đều trên đoạn
EB bằng lực tập trung Q = qa =8.12 = 16kN đặt ở giữa đoạn EB.
Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực, ta có:
(XA, YA, mA, m, F, Q) ~ 0 Đây là hệ lực phẳng bất kỳ, viết phương trình cân bằng, ta có:
Thay bằng số và giải, ta có
XA = 7,07kN; YA 23,07kN; mA
4 Điều kiện cân bằng của hệ lực song song:
Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng Vì vậy từ điều kiện cân bằng của mọi hệ lực phẳng ta suy ra điều kiện cân bằng cho hệ lực phẳng song song Trong một tập hợp các lực song song, cân bằng xảy ra khi tổng các lực theo phương của chúng bằng không và tổng moment về một điểm bất kỳ bằng không Nói cách khác, để hệ lực phẳng song song ở trạng thái cân bằng ta phải thỏa mãn hai điều kiện: tổng lực F1 + F2 + … = 0 và tổng moment M_O = ∑ F_i d_i = 0, với d_i là khoảng cách vuông góc từ đường tác động của lực thứ i tới điểm tham chiếu.
Chọn hệ trục Oxy có Ox vuông góc với đường tác dụng của các lực (h.3-
4) Khi đó X = 0, nên từ điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song là:
Xác định phản lực ở hai gối A và B cho dầm
Lực phân bố đều q có hợp lực: R = AC.q = 2.4 =8kN đặt tại điểm giữa đoạn
AC, có phương thẳng đứng Phản lực N A , N B có phương song song với R Như vậy, dầm được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực (N A , N B
) và ta có phương trình:
Từ phương trình (2), ta có: NB= 2kN và từ (1), ta có: NA = 6kN
1 Trình bày cách tìm hình chiếu của một lực trên hệ trục tọa độ vuông góc.
2 Trình bày cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp giải tích
3 Viết công thức tính hình chiếu hợp lựccủa hệ phẳng đồng qui.
4 Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp giải tích
5 Phương, chiều, trị số và điểm đặc của hợp lực hai lực song song cùng chiều đƣợc xác định nhƣ thế nào?
6 Ngẫu lực là gì? Vì sao nói ngẫu lực không tương đương với một lực?
7 Nêu tính chất của ngẫu lực, từ đó suy ra cách biểu diễn nó trên hình vẽ.
1 Cho hai lực đồng qui tại O là (F 1
) với F1 = F2 Cần phải đặt vào điểm O một lực F 3 nhƣ thế nào để hệ lực (F 1
Trả lời: F 3 nằm trên đường phân giác của góc (F 1
2 Thanh đồng chất AB trọng lƣợng P1= 200N đƣợc treo bằng các dây song song
AE và BD Vật nặng có khối lƣợng Q = 80kg đƣợc treo vào điểm C của thanh
AB Xác định lực kéo của vật lên 2 dây, biết AC = 30cm, BC = 50cm.
3 Dầm có hai gối đỡ A và B chịu tác dụng bởi ngẫu lực (P 1
) có mômen 3.10 5 Nm Xác định phản lực tại các gối đỡ của dầm. ĐS: NA = NB PN
4 Otô tải trọng 50kN độ trên cầu, cách đầu cầu này 4m và đầu cầu kia 6m Xác định những lực tác dụng và hai mố cầu A và B. ĐS: PA = 30kN; PB = 20N
SỨC BỀN VẬT LIỆU Bài 4: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU I.NHIỆM VỤ, ĐỐI TƢỢNG
NGOẠI LỰC, NỘI LỰC
Để có phân biệt lực gây ra biến dạng và lực chống lại biến dạng của vật, ta có khái niệm ngoại lực và nội lực.
Ngoại lực là lực từ những vật thể khác hoặc môi trường xung quanh tác dụng lên vật thể đang xét và làm cho nó bị biến dạng.
Ngoại lực gồm lực tác động(còn gọi là tải trọng) và các phản lực.
1.1.Căn cứ theo cách tác dụng thì ngọai lực gồm có tập trung (lực hoặc momen tập trung) và phân bố.
Lực (hoặc mômen) tập trung là lực tác dụng lên vật thể theo một diện tích rất nhỏ, gần như tại một điểm Trọng lực và phản lực tại các gối đỡ là những ví dụ điển hình về lực tập trung Đơn vị của lực tập trung là newton (N), còn đơn vị của mômen tập trung là newton-mét (Nm).
Lực phân bố là lực tác dụng lên một đoạn dài hoặc lên một diện tích của vật thể, phản ánh cách lực tác dụng trên phần của vật theo không gian Ví dụ áp lực gió tác động lên tường nhà là một trường lực phân bố trên diện tích bề mặt Đơn vị của lực phân bố trên một đoạn dài là N/m, còn trên một diện tích là N/m^2 (thường được gọi là áp suất).
Hình vẽ (h.4-2), lực tập trung, ký hiệu P , Y A , Y B
, mômen tập trung, ký hiệu M, lực phân bố đều, ký hiệu q.
1.2.Căn cứ theo tính chất thay đổi theo thời gian , phân ra lực tĩnh và lực động.
Lực tĩnhlà lực không thay đổi theo thời gian Ví dụ: trọng lƣợng bản thân của vật, áp lực nước lên thành bể…
Lực động là lực thay đổi theo thời gian; khi lực động tác dụng lên một vật, nó sinh ra gia tốc và làm vận tốc của vật biến đổi theo thời gian Nói cách khác, lực động khiến vật tăng hoặc giảm tốc độ tùy thuộc vào độ lớn và thời gian tác dụng Ví dụ điển hình cho lực động là lực do máy búa tác dụng lên cọc: cú đánh có đặc trưng biến thiên theo thời gian, truyền lực vào cọc và gây ra rung động hoặc chuyển động tùy thuộc vào điều kiện tác động.
Dưới tác dụng của ngoại lực, vật thể bị biến dạng và các lực liên kết giữa các phần tử của vật bị thay đổi, từ đó xuất hiện những nội lực chống lại sự biến dạng Khi ngoại lực tăng lên, nội lực cũng tăng để cân bằng với ngoại lực; tuy nhiên nó chỉ tăng tới một giới hạn nhất định và nếu ngoại lực vượt quá ngưỡng này thì nội lực không đủ sức chống đỡ, vật bị phá hỏng.
Người ta dùng phương pháp mặt cắt để xác định nội lực.
ỨNG SUẤT, PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT
Vì nội lực là một hệ lực phân bố liên tục trên mặt cắt, ta có thể xác định nội lực trên mỗi đơn vị diện tích Thành phần của nội lực được gọi là ứng suất.
Vậy: Ứng suất là cường độ nội lực trên một đơn vị diện tích của mặt cắt, kí hiệu p, đơn vị là N/m 2
Thanh chịu kéo (hoặc nén) là trường hợp mà nội lực là lực dọc N⃗ tác dụng lên thanh và vuông góc với mặt cắt ngang, vì vậy ứng suất kéo hoặc nén được gọi là ứng suất pháp, ký hiệu σ Với thanh chịu kéo, trạng thái ứng suất pháp được xác định bởi σ = N/A, trong đó N là lực dọc tác dụng lên thanh và A là diện tích mặt cắt ngang.
Thanh chịu cắt, nội lực là lực cắt Q nằm trên mặt cắt, nên ứng suất cắt là ứng suất tiếp (nằm trên mặt cắt đó), ký hiệu c
Thanh chịu xoắn, nội lựclà mômen xoắn Mxnằm trên mặt cắt, nên ứng suất xoắn là ứng suất tiếp, ký hiệu x
Thanh chịu uốn, nội lực là mômen uốn Mutác dụng vuông góc với mặt cắt, nên ứng suất là ứng suất pháp, ký hiệu u
Cần chú ý là u = Mu và c = Mx
Giả sử có thanh thẳng cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực (h.9-3) Tưởng tượng cắt vật thể ra làm hai phần A và B bằng một mặt phẳng và gọi
F là diện tích của mặt cắt Giả sử ta bỏ phần B đi và giữ lại phần A để xét sự cân bằng Rõ ràng, để phần A vẫn cân bằng, ta phải tác dụng lên diện tích F của mặt cắt một hệ lực phân bố; hệ lực phân bố này chính là các lực tác động lên phần A, được mô tả bằng mật độ lực phân bố trên diện tích F và các thành phần lực liên quan đến trạng thái cân bằng của phần A.
37 nội lực cần tìm Nội lực này cũng chính là lực của phần B đã tác dụng lên phần A.
Phần A ở trạng thái cân bằng khiến nội lực và ngoại lực tác dụng lên nó hợp thành một hệ lực cân bằng, qua đó ta có thể áp dụng điều kiện cân bằng tĩnh học để xác định nội lực của phần A dưới tác dụng của hệ lực cân bằng.
Hình 4-3 biểu diễn nội lực trên các mặt cắt của các thanh chịu kéo, nén, cắt, xoắn và uốn.
Hình a, thanh chịu kéo (hoặc nén), nội lực vuông góc với mặt cắt, gọi là lực dọc, ký hiệu N
Hình b, thanh chịu cắt, nội lực nằm trên mặt cắt, gọi là lực cắt, ký hiệu
Hình c, thanh chịu xoắn, nội lực nằm trên mặt cắt, gọi là mômen xoắn, ký hiệu M x
Hình d, thanh chịu uốn, nội lực là ngẫu lực tác dụng thẳng góc với mặt cắt, gọi là mômen uốn Mu
Trong phân tích nội lực, có thể bỏ phần A và chỉ giữ phần B để xét cân bằng; từ kết quả cân bằng tại mặt cắt của phần B ta có thể xác định nội lực và giá trị của nó sẽ bằng về độ lớn nhưng ngược chiều với kết quả ở phần A Vì vậy, để xác định nội lực, ta có thể xét cân bằng của bất kỳ phần nào.
1 Nhiệm vụ và đối tƣợng của sức bền vật liệu.
2 Nêu những giả thuyết về vật liệu Vì sao phải đƣa ra những giả thuyết đó?
3 Ngoại lực là gì? Nêu cách phân loại ngoại lực và đơn vị đo của chúng.
4 Nội lực là gì? Phân biệt nội lực của thanh chịu kéo, nén, cắt, xoắn, uốn.
5 Ứng suất là gì? Đơn vị của ứng suất? Tên gọi và ký hiệu của ứng suất kéo, nén, cắt, xoắn, uốn?
KÉO VÀ NÉN I.KHÁI NIỆM VỀ KÉO NÉN
TÍNH TOÁN VỀ KÉO NÉN
Để biết rõ tính chất cơ học của vật liệu, người ta tiến hành thí nghiệm kéo và nén các mẫu thử vật liệu dẻo (thép) và giòn (bê tông) nhằm nghiên cứu hiện tượng xảy ra trong quá trình biến dạng cho đến khi bị phá hỏng Kết quả thí nghiệm được ghi trên biểu đồ quan hệ lực và biến dạng dọc tuyệt đối (hình 5-5).
Quá trình biến dạng của vật liệu gồm các giai đoạn nhƣ sau:
Trong giai đoạn đàn hồi, còn được gọi là giai đoạn tỉ lệ, vật liệu chịu lực và tuân theo định luật Húc Lực tác dụng và biến dạng có mối quan hệ tuyến tính khi vật liệu còn ở phạm vi đàn hồi Gọi Fo là diện tích mặt cắt ngang ban đầu của mẫu thử, ta có quan hệ giữa lực và biến dạng thông qua ứng suất σ và biến dạng ε và công thức F = σFo với σ = Eε, cho thấy sự đồng nhất giữa lực và diện tích ở giai đoạn này.
tl = P tl / F Ứng suất tlgọi là giới hạn tỉ lệ
Giai đoạn chảy dẻo, có lực tương ứng Pch, vật liệu có hiện tượng trượt (biến dạng tăng trong khi lực không tăng, biểu đồ nằm ngang), ta có:
ch = P ch /F Ứng suất chgọi là giới hạn chảy dẻo
Trong giai đoạn đứt, mẫu thử xuất hiện ở chỗ thắt và chịu lực cho đến khi đạt giá trị cực đại P_b; sau đó lực giảm dần cho tới khi đứt tại lực P_d (thanh bị đứt ở tại chỗ thắt), tạo nên đặc trưng hành vi của mẫu về tải trọng và độ bền.
B = P B / F Ứng suất B gọi là giới hạn bền
Khi ứng suất của mẫu đạt đến giới hạn bền, mẫu được xem như đã bị phá hỏng Các giới hạn tỉ lệ, chảy dẻo và bền (σ_tl, σ_ch và σ_b) là những đặc trưng chịu lực của vật liệu.
Qua các biểu đồ trên, ta thấy:
Vật liệu dẻo chịu kéo, nén nhƣ nhau, vật liệu giòn chịu nén tốt hơn chịu kéo rất nhiều.
Giới hạn bền của vật liệu dẻo lớn hơn giới hạn bền của vật liệu giòn.
2.Khái niệm về ứng suất cho phép –hệ số an toàn
Người ta dựa vào các giới hạn của vật liệu để tính toán các cấu kiện sao cho an toàn và tiết kiệm nhất.
Với vật liệu dẻo thường chọn ứng suất nguy hiểm (ký hiệu 0) là giới hạn chảy, còn với vật liệu dòn 0 là giới hạn bền.
Nhưng để bảo đảm cấu kiện làm việc an toàn, phải hạn chế ứng suất tối đa phát sinh trong nó không vượt quá một phần của ứng suất nguy hiểm Trị số này được gọi là ứng suất cho phép, ký hiệu σ, và được tính bằng công thức sau:
Hệ số an toàn và ứng suất cho phép của các vật liệu đƣợc qui định sẵn, có thể tra trong sổ tay kỹ thuật.
BẢNG ỨNG SUẤT CHO PHÉP CỦA MỘT SỐ VẬT LIỆU
3.Tính toán về kéo (nén)
Muốn đảm bảo điều kiện cường độ (điều kiện bền) cho một thanh chịu kéo hoặc chịu nén, ứng suất pháp lớn nhất ở bên trong thanh phải không vượt quá giới hạn cho phép của vật liệu Nói cách khác, để đảm bảo an toàn và độ tin cậy của kết cấu, giá trị ứng suất pháp tối đa phải không vượt quá giới hạn chịu lực (yield strength hoặc ultimate strength) mà vật liệu đó có Vì vậy thiết kế liên quan đến hình dạng, tiết diện và vật liệu cần được tối ưu để ứng suất pháp tối đa khớp với giới hạn cho phép, từ đó xác định độ dày, kích thước và vật liệu phù hợp.
43 nhỏ hơn hay tối đa là bằng ứng suất cho phép của vật liệu làm thanh đó, nghĩa là:
3.2.Chọn kích thước mặt cắt
Từ điều kiện cường độ, ta có công thức tính diện tích mặt cắt của thanh:
Một thanh thép tròn đường kính 40mm chịu tác dụng của lực kéo đúng tâm P = 100kN Hãy kiểm tra cường độ của thanh Biết ứng suất cho phép [] = 1,2 10 2 MN/m 2
Diện tích mặt cắt của thanh thép:
Ứng suất phát sinh trong thanh:
Vậy thanh thép tròn an toàn về cường độ khi chịu kéo.
Thanh thép tròn 1 và 2 bắt bản lề vào tường thẳng đứng Tại nút bản lề B tác dụng lực thẳng đứng P = 10 kN và α = 30° Xác định đường kính thanh từ điều kiện bền, biết [σk].
Bài giải a)Xác định ngọai lực tác dụng lên thanh
Phân tích lực P ra hai thành phần: P1 gây kéo; P2 gây nén
P 3 o b)Xác định nội lực tác dụng lên thanh:
Thanh 1 chịu kéo, có nội lực N1 = P1 =5,78kN
Thanh 2 chịu nén, có nội lực N2 = P2 ,54kN
Từ điều kiện bền, ta suy ra:
1 Thế nào là thanh chịu kéo (nén)? Cho ví dụ.
2 Phát biểu định luật Húc trong kéo (nén).
3 Viết công thức tính ứng suất trong kéo (nén).
4 Định nghĩa biến dạng dọc tuyệt đối, tương đối của thanh chịu kéo (nén)
5 Viết và giải thích công thức tính biến dạng dọc tuyệt đối
6 Ứng suất cho phép là gì? Tại sao phải có ứng suất cho phép?
7 Viết, giải thích công thức về điều kiện cường độ trong kéo (nén)
8 Viết, giải thích công thức tính mặt cắt trogng kéo (nén).
1 Với thanh thép dài 4m, đường kính 12mm, cần phải đặt lực như thế nào để nó bị giãn 0,5cm? Ứng suất phát sinh khi tác dụng lực đó Cho E = 2.10 5 MN/m 2 ĐS: 2,8.10 3 kN 200MN/m 2
2 Kiểm tra cường độ của một thanh gỗ Trên thanh có các lỗ thủng có kích thước và chịu lực nhƣ hình vẽ Bỏ qua hiện tƣợng tập trung ứng suất, cho biết P = 72kN, []
= 10MN/m 2 ĐS:max = 9MN/m 2 < 10MN/m 2 = []: an toàn
3 Ởcuối đòn khuỷu (a = 450mm, b = 150mm) treo vật nặng 15kN Thanh BC đƣợc gia công từ thép có d = 15mm và [] = 100MN/m 2 Kiểm tra thanh BC theo điều kiện cường độ. ĐS: max 255N/m 2 > 100MN/m 2 [k]
4 Một thanh AB có diện
Tiết diện của hệ thanh có diện tích F = 7,10×10^-4 m^2 Phía dưới treo một dầm CD tuyệt đối cứng; các lực và kích thước khác được cho trong hình vẽ Nhiệm vụ của đề bài là tính ứng suất phát sinh trong thanh AB và biến dạng dọc tuyệt đối của nó Kết quả thu được là σ = 1,4×10^2 MN/m^2.
5 Cho kết cấu nhƣ hình vẽ, cho biết các thanh AB và CB làm bằng gang có [k] 30MN/m 2 , [n] = 90MN/m 2 Thanh AB có diện tích mặt cắt bằng10cm 2 , còn thanh
CB bằng6,5cm 2 Xác định trị số lớn nhất của tải trọng Q theo điều kiện cường độ của thanh AB và BC. ĐS: Q = 50kN
Sau khi học xong bài này, người học có khả năng:
- Trình bày đƣợc khái niệm thanh chịu cắt dập.
- Tính toán đƣợc các giá trị khi thanh chịu cắt dập.
- Rèn luyện tính cẩn thận trong học tập.
Thanh chịu cắt khi nó chịu tác dụng hai lực P bằng nhau trái chiều, có đường tác dụng song song và rất gần nhau (h.6-1)
Dựa trên phương pháp mặt cắt, ta tưởng tượng cắt thanh tại vị trí giữa hai lực P và xét cân bằng của một phần thanh Trên mặt cắt Fc xuất hiện các nội lực nằm trong mặt cắt, đó là các ứng suất tiếp τ có hợp lực bằng P Với giả thiết phân bố đều của ứng suất tiếp τ trên mặt cắt, ta có mối liên hệ P = τ · A(Fc), hay τ = P / A(Fc), trong đó A(Fc) là diện tích của mặt cắt Fc.
F C - diện tích mặt bị cắt
P - Lực sinh ra lực cắt
c - ứng suất tiếp hay là ứng suất cắt.
Trong quá trình gia công cắt, hình hộp ABCD giữa hai mặt cắt biến dạng thành hình hộp lệch ABC'D' (h.6-2): cạnh AB cố định còn cạnh CD bị dịch chuyển sang vị trí C'D' Biến dạng này được gọi là biến dạng trượt Đoạn CC' = DD' = Δs được gọi là độ trượt tuyệt đối (h.6-3).
t đƣợc gọi là độ trượt tỉ đối
CẮT DẬP I.CẮT
D ẬP
Dập là hiện tượng nén cục bộ xảy ra trên một diện tích nhỏ của 2 vật ép vào nhau
Thí dụ nhƣ thân đinh tán bị dập do thành lỗ ép vào nó (h.6-4)
Trên mặt bị dập của cấu kiện xuất hiện những ứng suất pháp gọi là ứng suất dập, kí hiệu d
Giả thiết ứng suất dập đƣợc phân bố đều trên mặt cắt bị dập, ta có:
P là hợp lực của nội lực đặt vào mặt tựa của vật tiếp xúc.
Fdlà diện tích của mặt bị dập
3.1.Điều kiện cường độ Để thanh chịu dập tốt, phải thỏa mãn:
Hai tấm tôn, mỗi tấm dày 10mm đƣợc ghép lại bằng đinh tán Trên mối ghép tác dụng lực P = 5kN Kiểm tra cường độ đinh tán nếu d = 10mm, [c]
Lực P có tác dụng làm cho hai phần của đinh tán trƣợt lên nhau theo mặt cắt m-n, ta có:
Vì c < [c] = 80MN/m 2 Vậy đinh tán an toàn về cường độ khi cắt.
2)Về dập: Để đơn giản, ta giả thiết ứng suất dập phân bố đều trên mặt cắt đi qua trục đinh tán:
Ta thấy rằng d < [d] = 30MN/m 2 Vậy đinh tán an toàn về cường độ khi dập.
1 Định nghĩa hiện tƣợng cắt Tìm một ví dụ về cắt.
2 Phát biểu định luật Húc về cắt.
3 Hiện tƣợng dập là gì? Dập khác với nén nhƣ thế nào?
4 Viết và giải thích công thức về điều kiện cường độ trong cắt và dập.
1 Một tấm thép dày 10mm đƣợc đột bằng máy ép lỗ vuông có cạnh 20mm Xác định lực cần thiết để đột lỗ, nếu giới hạn bền về cắt bền = 400MN/m 2 ĐS: P = 320kN
2 Hai cấu kiện được cho trên hình vẽ Xác định xem chôt đường kính d chịu hình thức biến dạng nào? Ở mặt cắt nào xảy ra biến dạng đó? a) Lực vuông góc với trục dọc của chốt; b) Lực hướng dọc trục của chốt.
3 Chi tiết bằng thép có mặt cắt tròn chịu tác dụng dọc theo trục lực kéo P = 20.10 3 kN Xác định đường d kính của chi tiết về kéo và đường kính D của vành theo ứng suất dập Cho [k] = 60MN/m 2 ,
[d] = 108MN/m 2 ĐS: d 20,6mm (về kéo)
4 Người ta nối hai tấm tôn bằng rivê Đường kính của rivê là 20mm Hãy xác định số rivê Cho biết rivê có: [c] = 1,4.10 2 MN/m 2 và [d] = 3,2.10 2 MN/m 2 ĐS: n = 4 cái
Sau khi học xong bài này, người học có khả năng:
- Trình bày đƣợc khái niệm thanh chịu xoắn.
- Tính toán đƣợc các giá trị khi thanh chịu xoắn.
- Rèn luyện tính cẩn thận trong học tập.
Một thanh chịu xoắn khi ngoại lực là các ngẫu lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục của thanh và cân bằng nhau.
Ví dụ: Thanh mặt cắt tròn có một đầu cố định, chịu ngẫu lực m
= P.a (h.7-1) nằm trong mặt cắt ở đầu tự do, thanh sẽ biến dạng xoắn, m được gọi là mômen xoắn ngoại lực
2.Nội lực Để xác định nội lực tại mặt cắt bất kỳ của thanh người ta dùng phương pháp mặt cắt (h.7-2)
Tưởng tượng cắt thanh bằng một mặt cắt vuông góc với trục, hai đầu cố định ở khoảng cách x và giữ phần B để xét cân bằng Để phần B được cân bằng, cần đặt lên mặt cắt mô men xoắn nội lực M_x có trị số bằng và ngược chiều với mômen ngẫu lực m, hay nói cách khác M_x = -m Như vậy điều kiện cân bằng cho phần B được xác định bởi sự đối xứng giữa nội lực và ngoại lực tại mặt cắt.
Xét một thanh tròn, các đường sinh được kẻ để biểu thị các thớ dọc và các đường vuông góc được kẻ để biểu thị các mặt cắt của thanh Các đường này xen kẽ tạo thành các ô hình chữ nhật, như minh họa trong hình h.7-3.
Khi chịu mômen ngẫu lực m, ta thấy:
Sau khi chịu xoắn, các mặt cắt ngang của thanh xoay quanh trục một góc nhƣng vẫn tròn, vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.
XOẮN I.KHÁI NIỆM VỀ XOẮN
ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT THANH CHỊU XOẮN
Từ quan sát trên, ta có thể kết luận:
Trên mặt cắt của thanh ở trạng thái không có ứng suất pháp (σ = 0), chỉ tồn tại ứng suất tiếp τ Phương của τ vuông góc với bán kính đi qua điểm đang xét Do đó ta lập công thức tính τ dựa trên đặc trưng của ứng suất tiếp và hình học mặt cắt, nhằm xác định giá trị của ứng suất tiếp tại điểm đó.
Theo định luật Húc về biến dạng trƣợt:
Trị số thay đổi từ 0 đến lớn nhất ứng với ở tâm mặt cắt và vành ngoài cùng của nó Do đó, ứng suất tiếp thay đổi từ 0 đến max:
Như vậy, ứng suất tiếp τ tỉ lệ thuận với khoảng cách từ điểm đang xét đến trục và được biểu diễn bằng đồ thị (h.7-5) Theo đồ thị này, ta có mối quan hệ giữa τ và khoảng cách r từ điểm tới trục, với giá trị tối đa đạt tại max r.
Người ta có thể chứng minh được rằng:
M trong đó: Jo–Mômen quán tính đối với trọng tâm O của mặt cắt.
M xoắn –mômen xoắn nội lực
Tại trọng tâm của mặt cắt có = 0, suy ra: = 0
Tại các điểm trên chu vi mặt cắt có = r, suy ra: = max o xoaén
M r Đặt J r o = W o ta có max o xoaén
W o gọi là mômen chống xoắn của của mặt cắt ngang Với thanh có mặt cắt hình tròn:
TÍNH TOÁN VỀ XOẮN
Để bảo đảm điều kiện cường độ của một thanh chịu xoắn (còn gọi là điều kiện bên), ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt nguy hiểm của thanh không vượt quá ứng suất tiếp cho phép, nghĩa là τmax ≤ τcho phép Điều này làm cơ sở cho thiết kế an toàn và hiệu quả của thanh xoắn trong các ứng dụng cơ khí, giúp tối ưu vật liệu và kích thước để chịu được tải xoắn và ngăn ngừa hỏng hóc.
: Ứng suất tiếp cho phép của vật liệu.
2.Chọn diện tích mặt cắt
Từ điều kiện cường độ, ta suy ra công thức chọn kích thước mặt cắt:
Mômen xoắn ngoại lực đƣợc tính theo công thức: m = 9,55 n
53 trong đó: công suất P tính bằng W tốc độ góc n tính bằng vg/ph
Ví dụ 7-1: Một thanh có tiết diện hình tròn đường kính d = 6,5 cm chịu hai mô-men xoắn Mz = 2 kNm tác dụng ở hai đầu tự do Để kiểm tra cường độ, dùng τ = M c / J với c = d/2 và J = π d^4 / 32 Với d = 6,5 cm, J ≈ 175,2 cm^4 ≈ 1,75×10^-6 m^4 và c = 3,25 cm = 0,0325 m Nếu mô-men xoắn truyền qua thanh là M = 2 kNm, τ ≈ 37 MPa Nếu hai đầu cùng lúc chịu 2 kNm, tổng M = 4 kNm, τ ≈ 74 MPa So sánh τ với giới hạn chịu lực của vật liệu để kết luận về cường độ của thanh.
Biết rằng [] = 40MN/m 2 Bài giải
Với mặt cắt hình tròn, ta có: Wo = 0,2d 3 = 0,2.0,065 3 T.10 -6 m 3
Ta thấy rằng max < [] = 40.10 6 N/m 2 Vậy thanh đảm bảo điều kiện cường độ.
Ví dụ 7 -2 Một trục bằng thép có công suất 295kW quay với n = 300vg/ph Tính đường kính trục theo điều kiện cường độ Biết [] = 80MN/m 2
Từ điều kiện cường độ, ta suy ra:
Vậy, có thể chọn d = 4cm
1 Thế nào là một thanh chịu xoắn? Xác định nội lực trong thanh chịu xoắn.
2 Qui luật phân bố của ứng suất tiếp ra sao? Viết và giải thích công thức tính ứng suất max
3 Phát biểu điều kiện cường độ của thanh chịu xoắn.
4 Lập công thức tính đường kính của một trục tròn chịu xoắn.
1 Xác định đường kính trục truyền Mxoắn= 300Nm Biết [] = 25MN/m 2 ĐS: d = 4cm
2 Trục truyền đường kính 10cm làm bằng thép Trục này quay với vận tốc 300 vg/ph, công suất 330kW Biết [] = 80MN/m 2 , G = 8.10 4 MN/m 2 Kiểm tra trục theo điều kiện cường độ. ĐS: max = 52MN/m 2 < [] = 80MN/m 2 : an toàn về cường độ
3 Đường kính hai trục chịu xoắn sẽ khác nhau như thế nào khi truyền động cùng công suất nhƣng với vận tốc góc khác nhau (trục I có n1= 100 vg/ph, trục II có n2 500 vg/ph) Biết hai trục đều bằng thép có [c] = 80MN/m 2 ĐS: d2 = 2 d 1
4 Tời nâng tải trong Q = 2,5kN, hiệu suất n = 0,85 Xác định đường kính của trục dẫn và trục bị dẫn Cho biết vật liệu trục là thép cácbon trung bình. ĐS: d1 = 26mm; d2 = 37mm
Sau khi học xong bài này, người học có khả năng:
- Trình bày đƣợc khái niệm thanh chịu uốn.
- Tính toán đƣợc các giá trị khi thanh chịu uốn.
- Rèn luyện tính cẩn thận trong học tập.
KHÁI NIỆM VỀ UỐN
Trong cơ học kết cấu, khi một thanh thẳng ở trạng thái cân bằng chịu tác dụng của các ngẫu lực và nằm trong một mặt phẳng đối xứng của thanh, thanh sẽ chịu uốn và sinh ra hiện tượng uốn cong (h.8-1) Những thanh chịu uốn như vậy được gọi là dầm, là yếu tố chịu tải trọng và chịu biến dạng do uốn trong các hệ kết cấu.
Mặt phẳng đối xứng của thanh chứa lực tác dụng gọi là mặt phẳng tải trọng.
Ví dụ: Thân dao bào khi cắt gọt
(h.8-2), dầm chuyên chở vật nặng
Dầm chịu uốn có thể xuất phát từ hai loại tải trọng chính: lực tập trung tại một điểm và lực phân bố dọc theo chiều dài dầm Cả hai loại lực này đều có phương vuông góc với trục dầm và nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm, gây ra hiện tượng uốn cong của dầm.
2.Nội lực Để xác định nội lực người ta dùng phương pháp mặt cắt
Chẳng hạn, xét nội lực của dầm chịu uốn trên hình (h.8-4a)
Lực tác dụng lên dầm gồm tải trọng P và các phản lực ở hai gối đỡ có trị số bằng P/2.
Tưởng tượng cắt dầm làm hai phần tại mặt cắt 1-
Để phân tích cân bằng của một đoạn dầm từ đầu B đến vị trí z, ta cắt và giữ lại phần bên phải của mặt cắt để đánh giá cân bằng Để phần dầm này vẫn cân bằng như khi dầm còn nguyên vẹn, trên mặt cắt tại vị trí 1-1 cần đặt đúng các nội lực tác động lên mặt cắt này.
Trên mặt cắt chịu uốn nội lực, hai thành phần chính là lực cắt Q và mômen uốn M_u; với mục đích phân tích, ta tập trung vào thành phần mômen uốn M_u, thành phần chủ yếu gây uốn, và bỏ qua thành phần lực cắt Q.
Mu = P / 2.z cho ta thấy mômen uốn của dầm trên các mặt cắt biến đổi bậc nhất theo z Vì vậy, mối quan hệ giữa mômen uốn Mu và z là tuyến tính, cho phép Mu tăng theo tỉ lệ với z Do đó, ta có thể biểu diễn sự phụ thuộc này bằng đồ thị (h.8-4d) để hình dung trực quan cách Mu thay đổi trên các mặt cắt dầm Đồ thị này hỗ trợ phân tích mô men uốn và thiết kế dầm, đồng thời cung cấp nền tảng cho đánh giá phân bố ứng suất theo trục z và các biện pháp tối ưu hóa kết cấu.
Cách vẽ biểu đồ mômen uốn M u :
Vẽ trục hoành song song trục dầm,
Vẽ các tung độ Muvuông góc với trụchoành về thớ giãn của dầm.
Qua biểu đồ Mucủa dầm, ta thấy dầm chịu uốn trên mặt cắt C ở giữa dầm chịu uốn lớn nhất và đƣợc gọi là mặt cắt nguy hiểm, có
Bằng cách làm tương tự, ta có biểu đồ mômen uốn của các dầm chịu uốn đơn giản thường gặp cho bởi bảng sau:
Để quan sát biến dạng một cách thuận tiện, ta xét một dầm thẳng có mặt cắt chữ nhật Trên mặt bên của dầm, ta kẻ những đường thẳng song song với trục dầm tượng trưng cho các thớ dọc và kẻ những đường vuông góc với trục dầm tượng trưng cho các mặt cắt (h.8-5).
Sau khi thanh chịu uốn, những đường thẳng kẻ vuông góc với trục dầm vẫn duy trì tính vuông góc với trục dầm dù trục dầm đã bị uốn cong Hiện tượng này cho thấy hình học của thanh uốn giữ được tính liên tục ở mọi vị trí, với các đường vuông góc đóng vai trò làm tham chiếu cho quá trình phân tích uốn Nhờ vậy, phân tích mô hình uốn và thiết kế cấu kiện có thể dựa trên sự xác định này để đánh giá phân bố ứng suất, độ võng và độ bền của thanh.
Hình 8-5 truùc daàm m Lớp trung hòa m x x y y F
58 những đường thẳng kẻ song song với trục dầm trở thành những đường cong đồng dạng với trục dầm đã bị uốn cong.
Giả sử biến dạng trong dầm tương tự như biến dạng ở mặt ngoài của nó, ta có kết luận:
Trước và sau khi dầm chịu uốn, các mặt cắt F đều phẳng và vuông góc với trục dầm.
Khi dầm chịu uốn, các thớ dọc thay đổi chiều dài một cách liên tục từ các thớ bị co lại đến các thớ giãn dài ra; giữa hai vùng này có một lớp thớ chiều dài không đổi gọi là lớp thớ trung hòa Giao tuyến của lớp thớ trung hòa với mặt cắt được gọi là trục trung hòa Với một mặt cắt có dạng đối xứng, trục trung hòa là vuông góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm của mặt cắt (trên hình 13-5, trục x-x là trục trung hòa).
ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT CỦA DẦM CHỊU UỐN
Từ quan sát biến dạng ở trên, ta thấy trên mặt cắt của dầm chịu uốn phát sinh ứng suất pháp, ký hiệu u Ta thiết lập công thức để tính u
Trong bài toán phân tích dầm, ta tưởng tượng cắt dầm tại vị trí 1-1 (h.8-6) và giữ lại phần I để nghiên cứu Để phần I cân bằng như khi dầm còn nguyên vẹn, ta phải đặt vào mặt cắt một mômen nội lực gọi là mômen uốn M_u.
Ap dụng phương trình cân bằng tĩnh học, ta có:
Vì ứng suất uốn là ứng suất pháp, nên mômen tổng của các ứng suất pháp trên mặt cắt bằng mômen uốn nội lực, nghĩa là:
Trong đó y là ứng suất tại lớp thớ có diện tích F cách trục trung hòa khoảng y.
Mặt khác, các lớp thớ giãn dài hay co lại tỉ lệ với khoảng cách y đó, nghĩa là:
Trên lớp thớ trung hòa: y = 0
u = 0, Lớp xa đường trung hòa nhất: y = ymax
Ta biểu diễn biến thiên bậc nhất của σu trên mặt cắt của dầm chịu uốn bằng biểu đồ ứng suất (h.8-6) Trong biểu đồ này, các lớp thớ chịu kéo được xác định là nơi ứng suất kéo đi ra khỏi mặt cắt, trong khi các lớp thớ chịu nén được nhận diện là nơi ứng suất nén hướng vào mặt cắt.
Từ biểu đồ ứng suất, ta có: max max y y
Do đó Mu = F max max y y y max max y
F.y 2 Đặt F.y 2 = Jxvà gọi là mômen quán tính của mặt cắt đối với trục trung hòa, có đơn vị là m 4
J = Wx và gọi là mômen chống uốn của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa, có đơn vị m 3 ,ta có:
Tổng quát, ta có: max
Trong đó: * Mulà mômen uốn.
Trong thiết kế dầm chịu uốn, σmax là ứng suất kéo lớn nhất trên mặt cắt dầm và được ký hiệu bằng dấu (+), còn σmin là ứng suất nén lớn nhất trên mặt cắt dầm và được ký hiệu bằng dấu (−) Việc nhận diện đúng hai giá trị này giúp đánh giá trạng thái ứng suất trên mặt cắt và đảm bảo an toàn cho kết cấu dầm chịu uốn khi làm việc dưới tải trọng.
Jx và Wxcủa một số mặt cắt thường gặp cho bởi bảng.
Dạng mặt cắt Mômen quán tính J x
TÍNH TOÁN VỀ UỐN
1.Điều kiện cường độ (còn gọi là điều kiện bền) d d b D a x y
Để bảo đảm điều kiện cường độ của một dầm chịu uốn, ứng suất pháp lớn nhất tại tiết diện nguy hiểm (nơi có M_max) phải không lớn hơn hoặc bằng ứng suất cho phép Nghĩa là σ_max ≤ σ_cho phép Với σ_max = M_max · c / I, điều kiện này được viết lại thành M_max · c / I ≤ σ_cho phép, hoặc M_max ≤ σ_cho phép · I / c Kết quả này cho phép đánh giá và thiết kế dầm sao cho cường độ chịu lực đáp ứng yêu cầu an toàn, bằng cách kiểm tra M_max và các tham số hình học I, c và hệ số chịu lực liên quan.
Khi sử dụng công thức này cần chú ý: Đối với dầm làm bằng vật liệu dẻo, ta có:
Nên ta chỉ cần kiểm tra cường độ ứng suất kéo:
max , Đối với dầm làmbằng vật liệu có:
[k ] n Nên điều kiện cường độ của dầm bao gồm cả hai điều kiện:
2.Chọn kích thước mặt cắt
Từ điều kiện cường độ, kích thước mặt cắt chọn theo công thức:
Ở mục (8-3), cần chú ý đến biểu đồ phân bố ứng suất theo khoảng cách từ trục trung hòa: vật liệu càng gần trục trung hòa chịu ứng suất càng nhỏ, trong khi vật liệu càng xa trục trung hòa chịu ứng suất càng lớn Vì vậy, cần đưa phần lớn vật liệu của mặt cắt ra xa trục trung hòa để tăng mômen chống uốn của mặt cắt và cải thiện khả năng chịu uốn.
W x của mặt cắt sẽ tăng lên và trị số
Các σk và σn sẽ giảm xuống Mặt khác, với vật liệu có khả năng chịu kéo và chịu nén như nhau thì dạng mặt cắt hợp lý là khi σmax = |σmin| Khi đó, mặt cắt hợp lý là hình chữ I, có trục trung hòa x là trục đối xứng (h.8-7) Đối với vật liệu mà khả năng chịu kéo kém hơn khả năng chịu nén thì dạng mặt cắt sẽ hợp lý nếu có σmax
< min, Khi đó, mặt cắt hợp lý là mặt cắt không đối xứng qua trục trung hòa x, đó là hình chữ I không đối xứng hoặc hình chữ T ngƣợc (h.8-8)
Một dầm gỗ có mặt cắt hình tròn đường kính d = 0,26 m, chiều dài L = 4 m chịu tải phân bố đều q = 8 kN/m và tựa trên hai gối đỡ Với giới hạn cường độ [σ] = 10 MPa, kiểm tra cường độ cho dầm này cho thấy: mô men uốn tối đa Mmax = qL^2/8 = 16 kN·m Diện tích tiết diện A = πd^2/4 ≈ 0,0531 m^2; moment quán tính I = πd^4/64 ≈ 2,24×10^-4 m^4; hệ số uốn S = I/(d/2) ≈ 1,726×10^-3 m^3 Cường độ uốn tối đa σmax = Mmax/S ≈ 16 000 / 1,726×10^-3 ≈ 9,27 MPa, nhỏ hơn giới hạn cho phép 10 MPa, cho thấy dầm đáp ứng cường độ Lực cắt tối đa Vmax = qL/2 = 16 kN và ứng suất cắt τ = Vmax/A ≈ 16 000/0,0531 ≈ 0,301 MPa, cũng ở mức thấp và không gây ra trượt hay phá hỏng Do đó hệ số an toàn cường độ FS ≈ [σ]/σmax ≈ 10/9,27 ≈ 1,08, cho thấy dầm gỗ này có cường độ đủ đảm bảo dưới tải đã cho.
Dầm có mặt cắt nguy hiểm nằm tại giữadầm và có:
Mômen chống uốn của mặt cắt:
Vì max < [] Vậy dầm bảo đảm về cường độ.
Một dầm làm bằng thép chữ I có chiều dài l = 4m; [] = 10 5 kN/m 2 , dùng để nâng tải trọng P 40kN (xem hình 13-3) Hãy chọn kích thước mặt cắt
Mặt cắt nuy hiểm nằm ở giữa dầm và có:
Từ điều kiện bền, ta suy ra:
Căn cứ bảng thép hình ta chọn I 27a, có Wx = 4,07.10 -4 m 3
Đề bài cho biết thân dao bào chịu lực cắt gọt P = 10 kN tác dụng như hình 8-2 Mặt cắt thân dao có kích thước b × h = 30 × 40 mm Xác định chiều dài chìa lớn nhất l của dao sao cho vật liệu làm dao có giới hạn chịu lực [σ] = 100 MPa Ta xem lực cắt tạo moment uốn M = P·l trên phần cantilever của dao; với hình chữ nhật, diện tích để tính mô men uốn cho mặt cắt S = b h^2 / 6 Với b = 30 mm, h = 40 mm, S = 8000 mm^3 Để không vượt quá giới hạn, σ = M / S = P·l / S ≤ [σ], nên l_max = [σ] × S / P = 100 N/mm^2 × 8000 mm^3 / 10000 N = 80 mm Vậy chiều dài chìa lớn nhất l của dao là 80 mm.
Thân dao chịu uốn có sơ đồ nhƣ hình vẽ, có mômen uốn lớn nhất tại mặt cắt ngàm (chỗ bắt dao):
Mômen chống uốn của mặt cắt dao:
Từ điều kiện bền, suy ra:
Có thể lấy lƣợng chìa lớn nhất là l = 80mm
IV KHÁI NIỆM VỀ UỐN DỌC
Khi nghiên cứu về nén, ta giả thiết kích thước ngang và chiều dài thanh không khác nhau nhiều lắm Nhưng nếu kích thước ngang của thanh nhỏ hơn rất nhiều so với chiều dài thì hiện tƣợng nén của thanh có thể trở thành hiện tƣợng uốn dọc
Chẳng hạn, xét một thanh thẳng dài chịu nén đúng tâm bởi lực P có trị số tăng dần
Dưới tác dụng của lực đó, đầu tiên thanh chỉ bị nén và trục của nó vẫn giữ thẳng, ta nói rằng thanh chịu nén ở trạng thái ổn định (h.8-9a)
Tiếp tục tăng lực nén P lên tới một trị số nào đó, trục thanh trở nên cong, lúc đó ta nói thanh chịu nén ở trạng thái mất ổn định (h.8-9b)
Biến dạng của thanh có kèm theo sự uốn cong của trục thanh dưới tác dụng của những lực nén dọc được gọi là uốn dọc Trị số của lực nén là cho thanh chuyển từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định đƣợc gọi là lực tới hạn, ký hiệu Pth
Để các thanh chịu nén hoạt động đúng tâm và ở trạng thái bình thường, đặc biệt với các bộ phận như cần trượt, thanh truyền, cột nhà và trụ cầu, ta phải bảo đảm trục của chúng luôn ở vị trí thẳng và giữa Điều này đồng nghĩa với việc thường xuyên kiểm tra, căn chỉnh và duy trì sự ổn định của trục để tránh lệch tâm, biến dạng và tăng cường hiệu quả chịu lực trong kết cấu.
Mất ổn định của một thanh trong kết cấu có thể dẫn đến phá hoại một phần hoặc toàn bộ công trình Vì vậy, khi tính toán các cấu kiện, cần xác định lực tới hạn Pth Bên cạnh điều kiện cường độ, điều kiện ổn định cũng cần được đặc biệt quan tâm trong nghiên cứu khả năng chịu lực của các cấu kiện nhằm đảm bảo an toàn và bền vững cho công trình.
V KHÁI NIỆM VỀ THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
Trong những chương trước, ta đã nghiên cứu các hình thứcbiến dạng cơ bản của thanh thẳng chịu kéo (nén), cắt, xoắn, uốn.
Trong thực tế, nhiều bộ phận máy hoặc công trình phải chịu đồng thời tác dụng của nhiều loại lực khác nhau Ví dụ, một trục truyền có thể vừa chịu uốn vừa chịu xoắn, hoặc một thanh chịu nén và uốn cùng lúc Những trường hợp như vậy cho thấy hệ thống đang chịu lực phức tạp và đòi hỏi phân tích, thiết kế kỹ thuật để đảm bảo độ bền và an toàn.
1.Uốn đồng thời kéo (nén)
Một thanh chịu tác dụng đồng thời hai loại lực: lực gây uốn và lực kéo (hoặc nén), hoặc chịu tác dụng của một lực nhưng có thể phân tích ra hai loại lực như trên Ta gọi thanh ấy là thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén).
Giả sử lực đặt tâm mặt cắt nằm trong mặt phẳng đối xứng.
Lực Pxgây kéo có, ứng suất tương ứng:
Lực Pygây uốn, có ứng sưất tương ứng:
Bằng phương pháp cộng đại số các ứng suất thành phần, ta xác định được ứng suất tổng phát sinh trên mặt cắt nguy hiểm (ngàm) của thanh chịu đồng thời uốn và kéo Phương pháp này ghép các thành phần ứng suất do uốn và do kéo thành một tổng hợp duy nhất, giúp đánh giá độ bền của ngàm và mức độ nguy hiểm dưới tải kết hợp Qua phân tích này, ta dự báo được hành vi của cấu kiện dưới tải, từ đó tối ưu thiết kế và lựa chọn vật liệu dựa trên giới hạn chịu lực của chúng Kết quả là một biểu thức tổng hợp thể hiện đóng góp của từng thành phần và tổng các thành phần, dùng để đối chiếu với giới hạn bền của vật liệu và xác định vùng nguy hiểm trên mặt cắt.
2.1.Khái niệm Ở chương trước, khi nghiên cứu về xoắn, ta bỏ qua hiện tƣợng uốn do trọng lƣợng của trục và các chi tiết lắp ở trên trục cũng nhƣ các lực truyền chuyển động tới trục. Đối với các trục lớn, trọng lƣợng bản thân cũng nhƣ lực căng của dây đai, lực đẩy tiếp tuyến của các bánh răng không thể bỏ qua đƣợc, nên phải
max (Vuông góc với mặt phẳng cắt)
max (Naèm treân mặt phẳng cắt) z
64 tính toán trục trong điều kiện vừa chịu xoắn, vừa chịu uốn và trục chịu uốn xoắn đồng thời
Xét một trục chịu uốn xoắn đồng thời, tại mọi mặt cắt ta có hai thành phần nội lực: mômen xoắn Mxv và mômen uốn Mu; tương ứng với hai thành phần này trên mặt cắt là sự xuất hiện của ứng tiếp τ và ứng suất σ Các thành phần ứng suất này được biểu diễn trên hình vẽ (h.8-11).
Người ta đã chỉ ra:
M đƣợc gọi là mômen tính toán, ký hiệu Mtính
Vậy, điều kiện cường độ của một trục vừa chịu uốn xoắn đồng thời là:
Tính đường kính d của một trục tời chịu lực như hình ví dụ 8-4, trong đó P = 800N, ứng suất cho phép của vật liệu làm trục [] = 8.10 7 N/m 2
Bài giải Để tính tóan trục, đƣa lực P về trọng tâm của mặt cắt Ta đƣợc một một lực gây uốn và ngẫu lực gây xoắn
Tại mặt cắt nguy hiểm ở chính giữa trục, có:
Theo điều kiện cường độ, ta suy ra:
1 Thế nào là một thanh chịu uốn, cho một vài thí dụ minh họa.
2 Vẽ và giải thích biểu đồ ứng suất u trên mặt cắt của dầm chịu uốn Từ đó nêu mặt cắt hợp lý của dầm chịu uốn.
3 Phát biểu điều kiện cường độ của dầm chịu uốn.
4 Lập công thức tính đường kính của một trục chịu uốn xoắn đồng thời.
1 Dầm thép vuông đặt trên hai gối đỡ (xem hình vẽ) cách nhau 4m, tải trọng P 4.10 4 N đặt chính giữa dầm Mặt cắt vuông có kích thước 10x10, [] = 300M
N/m 2 Kiểm tra cường độ của dầm. ĐS:max = 240MN/m 2 < 300MN/m 2 :
2 Chọn kích thước mặt cắt chữ nhật (b = 2/3h) của dầm gỗ chịu mômen uốn lớn nhất
Mmax = 30kNm Biết [] 10MN/m 2 ĐS: h = 0,3m; b = 0,2m
3 Cũng đầu bài của ví dụ 13-3, với lực cắt gọt P = 20kN lƣợng chìa của dao l 80mm Hãy xác định kích thước mặt cắt của thân dao với b = 4 3 h
4 Tính đường kính của một trục truyền mômen xoắn Mx= 500Nm đồng thời chịu uốn bởi Mu= 1700Nm, biết [] = 55MN/m 2 ĐS: d = 70mm