CHƯƠNG 1: ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ Giới thiệu Trong chương này sẽ giới thiệu về mệnh đề, biểu thức mệnh đề, các phép toán, ví dụ ứng dụng, giới thiệu một số thuật ngữ chuyên dùng, tương đương l
ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ
PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ
Mệnh đề toán học là một phát biểu có thể được gán giá trị đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai Đây là khái niệm cơ bản trong logic toán học, giúp xác định chính xác tính hợp lệ của các phát biểu Hiểu rõ về mệnh đề toán học là nền tảng quan trọng để phân tích và xây dựng các luận đề phức tạp hơn trong lĩnh vực toán học và logic.
Thường ký hiệu mệnh đề toán học bằng các chữ cái Latin hoa: P, Q, R, S,
- Các khẳng định sau là mệnh đề:
“Thành Phố Cao Lãnh là trung tâm của tỉnh Đồng Tháp”
- Các khẳng định sau không phải mệnh đề:
Lưu ý: Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh, hàm phán đoán, không phải là mệnh đề.
1.1.2 Phân loại mệnh đề: gồm 2 loại
Mệnh đề phức hợp là loại câu được xây dựng từ các mệnh đề đơn lồng ghép lại với nhau thông qua các liên từ như và, hay, nếu thì , khi và chỉ khi, hoặc trạng từ “không” Loại mệnh đề này giúp diễn đạt ý phức tạp hơn và thể hiện mối liên hệ logic rõ ràng giữa các ý trong câu Hiểu rõ về mệnh đề phức hợp là kiến thức nền tảng quan trọng trong ngữ pháp tiếng Việt, hỗ trợ người học nâng cao khả năng sử dụng câu và câu văn mạch lạc hơn.
- Nếu thông minh thì tôi sẽ học giỏi.
- 2 là số nguyên tố và là số lẻ.
- B đang học toán rời rạc hoặc học kỹ thuật lập trình
- Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề không thể xây dựng từ các mệnh đề khác thông qua liên từ hoặc trạng từ “không”
Chân trị của mệnh đề thể hiện tính chất đúng hoặc sai của nó trong logic Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không có khả năng đồng thời vừa đúng vừa sai Khi mệnh đề P đúng, ta nói P có chân trị đúng; ngược lại, khi P sai, ta gọi P có chân trị sai Hiểu rõ chân trị của mệnh đề là nền tảng quan trọng trong logic học và phân tích ngôn ngữ logic chính xác.
P có chân trị đúng ta viết P = 1 (hoặc Đ, T), P có chân trị sai ta viết P = 0 (hoặc S, F)
- P = “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô nước Việt Nam” P =0
Bảng chân trị là bảng thể hiện tất cả các giá trị chân lý của một mệnh đề logic, giúp biểu diễn rõ ràng mối quan hệ giữa các giá trị chân lý của các mệnh đề Nó là công cụ quan trọng trong logic học để xác định tính đúng sai của các mệnh đề phức tạp dựa trên các mệnh đề con Bảng chân trị cung cấp cách trực quan và hệ thống để phân tích các biểu thức logic, từ đó hỗ trợ việc xác định tính hợp lệ và logic của các luận điểm.
1.3 Các phép toán về mệnhđề
Cho trước mệnh đế P, định nghĩa một mệnh đề mới, kí hiệu P hay P , đọc là
“không P” hoặc “phủ định của P” Gọi P là mệnh đề phủ định của P.
Bảng chân trị của phép phủ định:
Ví dụ 5: a) P = “ Minh giỏi lập trình”.
P = “ Minh không giỏi lập trình”
1.3.2 Phép hội (phép nối liền, giao)
Cho trước hai mệnh đề P, Q mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu là
Mệnh đề P Q đúng khi cả P và Q cùng đúng, còn sai trong các trường hợp còn lại. Bảng chân trị của phép hội.
Ví dụ 6: a) P = “ 3 là số nguyên tố”
P Q = “ 3 là số nguyên tố và 3 là số chẳn”
Ta có P = 1, Q = 0, do đó P Q = 0 b) P = “Hôm nay là chủ nhật”
Mệnh đề "P Q" đúng vào ngày Chủ nhật khi trời mưa, nhưng sai vào bất kỳ ngày nào không phải là Chủ nhật hoặc vào ngày Chủ nhật mà trời không mưa Điều này cho thấy mối liên hệ rõ ràng giữa thời tiết mưa và tính đúng của mệnh đề này vào ngày Chủ nhật Nội dung này giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa ngày trong tuần, thời tiết và tính đúng của các mệnh đề logic, hỗ trợ tối ưu hóa cho các từ khóa liên quan đến logic và dự báo thời tiết.
- Khi nối hai mệnh đề bởi từ và trong phép hội, thường ta bỏ bớt một số từ trùng lặp hoặc sửa đổi chút ít câu văn.
Ví dụ 7: Dây đồng (dẫn điện) và dây chì dẫn điện
- Phép hội đôi khi còn diễn đạt bởi liên từ khác nhƣ: đồng thời, nhƣng, mà, hoặc bằng một dấuphẩy
Ví dụ 8 : - “ An giỏi tin học nhưng yếu anh văn”
- “ Lan vừa giỏi tin học vừa giỏi anh văn”
- “ Anh, chị có thể đọc sách ở thƣ viện”
- “ Món này cay mà ngon”
- Không phải từ và bao giờ cũng là ý nghĩa của phép hội
Ví dụ 9 : - “Lý luận và thực hành phải đi đôi với nhau”
- “Trắng và đen là hai màu sắc đối lậpnhau”
1.3.3 Phép tuyển (phép nối rời,hợp)
Cho trước hai mệnh đề P, Q, mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q là một mệnh đề, kí hiệu P Q (đọc là “P hay Q”). đúng.
Mệnh đề P Q sai khi cả hai P, Q cùng sai, trong các trường hợp khác P Q
Bảng chân trị của phép tuyển.
P = 0,Q = 0 P Q = 0 b) P = “An là ca sĩ”, Q = “An là nhạc sĩ” Khi đó ta có mệnh đề nối rời của P và Q là
Trong logic học, mệnh đề P Q = "An là ca sĩ hoặc An là nhạc sĩ" phản ánh quy tắc kết hợp mệnh đề theo phép luận Mệnh đề này đúng nếu ít nhất một trong hai mệnh đề "An là ca sĩ" hoặc "An là nhạc sĩ" đúng, hoặc cả hai đều đúng Ngược lại, nếu cả hai mệnh đề P và Q đều sai, thì mệnh đề hợp P Q sẽ sai Điều này thể hiện quy tắc logic về phép "hoặc" trong việc xác định tính đúng sai của các mệnh đề liên kết.
Trong lập luận logic, mệnh đề P Q dùng từ "hoặc" để biểu thị rằng P hoặc Q hoặc cả hai đều đúng Tuy nhiên, trong một số trường hợp, chỉ có P hoặc chỉ có Q đúng mà không có trường hợp cả hai cùng đúng Để làm rõ sự khác biệt này, ta sử dụng phép tuyểnchặt (phép "hoặc chặt"), giúp xác định chính xác rằng chỉ có một trong hai mệnh đề đúng mà không có trường hợp nào cả hai đều đúng Đây là kiến thức quan trọng trong phân tích logic để tránh nhầm lẫn khi diễn đạt các mệnh đề chứa yếu tố "hoặc".
- P hoặc Q để chỉ P hoặc Q và có thể cả P lẫn Q, dùng kí hiệu , gọi là phép tuyển không chặt (phéptuyển)
- P hoặc Q để chỉ P hoặc Q không thể cả P lẫn Q, dùng kí hiệu , gọi là phép tuyển chặt Bảng chân trị của phép tuyển chặt
Ví dụ 11 : Hôm nay là thứ 7 hoặc là chủ nhật
1.3.4 Phép kéo theo (mệnh đề có điềukiện)
Mệnh đề "P kéo theo Q" có nghĩa là nếu P đúng thì Q cũng đúng Đây còn được gọi với các tên khác như "Nếu P thì Q", "P là điều kiện đủ của Q" hoặc "Q là điều kiện cần của P" Trong logic học, mệnh đề này thể hiện mối quan hệ logic rõ ràng giữa hai mệnh đề, đảm bảo rằng khi P xảy ra, Q chắc chắn xảy ra theo Việc hiểu đúng mệnh đề P kéo theo Q giúp xác định chính xác các điều kiện liên quan và cải thiện khả năng phân tích các luận đề phức tạp hơn trong lĩnh vực logic và toán học.
Xét ví dụ: P = “A trúng số”, Q = “A mua laptop mới”, khi đó mệnh đề P kép theo
Q sẽ là “Nếu A trúng số thì A sẽ mua laptop mới” Ta có các trường hợp sauđây:
- A đã trúng số và anh ta mua laptop mới: hiển nhiên mệnh đề P Q là đúng.
- A đã trúng số nhƣng anh ta không mua laptop mới: rõ ràng mệnh đề P Q là sai
- A không trúng số nhƣng anh ta vẫn mua laptop mới: mệnh đề P Q vẫn đúng.
- A không trúng số và anh ta không mua laptop mới: mệnh đề P Q đúng.
Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng Q sai, và đúng trong mọi trường hợp còn lại. Bảng chân trị của phép kéo theo
1.3.5 Phép kéo theo hai chiều (Phép tươngđương)
Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q, đồng thời mệnh đề Q cũng kéo theo mệnh đề P, được gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu là P ≡ Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q”) Mệnh đề này thể hiện rằng P và Q cùng đúng hoặc cùng sai, phản ánh mối quan hệ điều kiện cần và đủ giữa hai mệnh đề trong logic học.
Trong ví dụ này, ta có P là "Bình trúng số giải cao nhất" và Q là "Bình trúng số độc đắc" Mệnh đề P Q diễn đạt ý "Nếu Bình trúng số giải cao nhất thì Bình trúng số độc đắc và ngược lại" Điều này thể hiện mối quan hệ có điều kiện giữa hai sự kiện trúng số cao nhất và trúng số độc đắc, phù hợp với các nguyên tắc logic trong toán học.
P Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị Bảng chân trị của phép kéo theo hai chiều:
CÁC TÍNH CHẤT
2.1 Biểu thức logic (dạng mệnhđề)
- Các mệnh đề cụ thể (các hằng mệnh đề: P, Q, R, S, )
- Các biếnmệnhđề p, q, r, s …,tức là các biếnlấy giá trị là các mệnh đề nào đó
- Các phép toán logic , , , , và dấu đóng mở ngoặc () để chỉ rõ thứ tự thực hiện của các phép toán
Ví dụ 13: - E(p,q, r) = (p q) ( r P) là một dạng mệnh đề trong đó p, q, r là các biến mệnh đề, P là hằng mệnh đề.
- E(p,q, r,s) = (p q) ( r s) Độ ƣu tiên của các toán tử logic:
Bảng chân trị của một biểu thức logic là bảng liệt kê tất cả các giá trị chân trị của biểu thức theo các trường hợp khác nhau của chân trị các biến mệnh đề trong biểu thức Nó mô tả rõ ràng các kết quả logic của biểu thức dựa trên các bộ giá trị của bộ biến mệnh đề Bảng chân trị giúp phân tích chính xác tính đúng/sai của biểu thức logic trong các tình huống khác nhau, là công cụ quan trọng trong lý thuyết logic và thiết kế mạch logic.
Ví dụ 14 minh họa rằng với một biến mệnh đề, có hai trạng thái là 0 hoặc 1 Khi có hai biến mệnh đề p và q, số trường hợp chân trị của bộ biến (p, q) là bốn, tương ứng với các bộ giá trị (0,0), (0,1), (1,0) và (1,1) Điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các mệnh đề logic trong lý thuyết mệnh đề.
Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát, nếu có n biến mệnh đề thì ta có 2 n trường hợp chân trị cho bộ n biến (trừ dòng tiêu đề).
Ví dụ 15 : E( p, q, r) = ( p q) ( r p) có bảng chân trị sau: p q r r p q r p E( p, q, r)
Lập bảng chân trị mệnh đề sau a) ( p q) ( p q) b) (s ( p r) ((p (r q)) s)
2.1.2 Một số tínhchất a) Tương đương logic Định nghĩa: Hai biểu thức logic E và F theo các biến mệnh đề nào đó đƣợc gọi là tương đương logic với nhau nếu chúng có cùng bảng chân trị.
Kí hiệu: E F ( E tương đương với F)
Chú ý: Nếu P và Q tương đương logic thì dạng mệnh đề P Q luôn lấy giá trị là 1 dù các biến có lấy bất cứ giá trị nào
Thật vậy: ta có bảng chân trị p q p p q p q ( p q) ( p q)
Chứng minh ( p q) p q b) Hằng đúng, hằng sai
- Hằng đúng: Một dạng mệnh đề đƣợc gọi là một hằng đúng nếu nó luôn luôn nhận lấy giá trị logic bằng 1 (đúng)
Ví dụ 17: P P là hằng đúng
- Hằng sai: Một dạng mệnh đề đƣợc gọi là một hằng sai nếu nó luôn luôn nhận lấy giá trị logic bằng 0 (sai)
Ví dụ 18: P P là hằng sai
- Tiếp liên: là một mệnh đề không phải là hằng đúng và không phải là hằng sai.
Ví dụ 19: (P Q) Q là tiếp liên
0 0 1 1 1 Định lý: Hai biểu thức logic E và F tương đương với nhau khi và chỉ khi E F là hằng đúng.
Hệ quả logic: F đƣợc gọi là hệ quả logic của E nếu E F là hằng đúng
Ví dụ 20: (p q) p c) Tính ƣu tiên của các phép toán logic
Trong lý thuyết logic, để tránh sử dụng nhiều dấu ngoặc trong biểu thức, người ta đã thiết lập một thứ tự ưu tiên trong việc thực hiện các phép tính Thứ tự này giúp đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu trong các biểu thức logic phức tạp Việc áp dụng chính xác quy tắc ưu tiên giúp giảm thiểu lỗi trong quá trình diễn giải và xử lý các biểu thức Do đó, cuối cùng, việc xác định thứ tự ưu tiên các phép toán trong logic đóng vai trò rất quan trọng trong việc xây dựng các biểu thức rõ ràng và chính xác.
Cấp ƣu tiên Thực hiện
1 Các phép toán trong ngoặc
5 Phép suy diễn và tương đương ( , )
Trong phép toán có cùng cấp ưu tiên, phép toán nào đứng trước được ưu tiên trước.
Ví dụ 21 : - P Q R S có nghĩa là ( P Q) (R S)
- (P Q) R S có nghỉa là (P Q) (R S ) d)Các quy luật logic
Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai, ta có các tương đương logic:
1) Phủ định của phủ định:
7) Luật trung hòa và p p p p 1 p và p 0 p
8) Luật về phần tử bù p p 0 và
11) Luật về phép kéo theo p q p q p q q p ( luật chứng minh phản chứng thứ nhất)
( p q) p q (luật chứng minh phản chứng thứ 2)
Chứng minh: Để chứng minh 11 luật trên có thể lập bảng chân trị 2 vế của tương đương logic
Ví dụ 22 : Dùng bảng chân trị chứng minh quy tắc De Morgan a) b)
0 0 1 1 0 1 1 1 b) Tương tự a) Sử dụng các quy luật logic để chứng minh dạng mệnh đề
( p q) q p q q p 1 1 b) Chứng minh dạng mệnh đề sau là hằng đúng.
Trong quá trình chứng minh, ta thay r thành p và thay t u bằng q để xác định tính đúng đắn của mệnh đề logic Cụ thể, ta đã chứng minh rằng mệnh đề [p(p q)] q là một mệnh đề luôn đúng, đảm bảo tính chu toàn của logic trong phần này Do đó, ta kết luận rằng biểu thức [(r s) [(r s) ( t u)]] ( t u) cũng là một mệnh đề đúng bất biến Cuối cùng, phần chứng minh của biểu thức ((p q) r) (p (q r)) thể hiện quy luật chuyển đổi trong logic, khẳng định tính đúng đắn của mệnh đề này trong hệ thống lý thuyết mệnh đề.
Ta có thể dùng bảng chân trị để chứng minh Ở đây ta dựa vào quy luật logic
( p (q r)) a) Chứng minh mệnh đề sau là một hằng đúng [( p q) p] q b) Cho p, q, r là các biến mệnh đề Chứng minh rằng:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN
Suy luận là quá trình rút ra một kết luận mới từ các giả thiết hoặc tiền đề đã có, giúp mở rộng kiến thức và lý thuyết Trong quá trình suy luận, các mệnh đề ban đầu được gọi là giả thiết hoặc tiền đề, còn mệnh đề mới được xác lập là kết luận Phương pháp suy luận đóng vai trò quan trọng trong logic và tư duy phân tích, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các ý tưởng và xác định chân lý Do đó, hệ thống suy luận logic là yếu tố then chốt trong phát triển kiến thức và nghiên cứu khoa học.
Ví dụ: Nếu Minh chăm học thì Minh thi đạt môn Toán rời rạc Mà Minh chăm học.
Vậy Minh thi đạt môn Toán rời rạc p = “Minh chăm học”, q = “Minh thi đạt Toán rời rạc”
Ta có bảng chân trị p q p q ( p q) p [( p q) p] q
Trong các chứng minh toán học, giả thiết (tiền đề) gồm các khẳng định đúng p₁, p₂, , pₙ được sử dụng để làm cơ sở cho quá trình suy luận Các quy tắc suy luận giúp chuyển đổi các giả thiết này thành các mệnh đề hợp lệ, từ đó chứng minh được chân lý của khẳng định q là hệ quả logic của tập giả thiết ban đầu Việc xác định đúng các giả thiết và áp dụng chính xác các quy tắc suy luận là yếu tố then chốt để xây dựng và chứng minh các kết luận toán học một cách chính xác.
Dạng lý luận này là đúng khi ta có biểu thức ( p 1 p 2 p n ) q Để tiện mô tả ta mô hình hóa phép suy luận theo sơ đồ sau: p 1 p 2 p n q là hằng đúng.
3.1 Quy tắc khẳng định (Modus Ponens)
Quy tắc này thể hiện ở dạng hằng đúng [( p q) p] q
Hoặc dưới dạng sơ đồ:
Ví dụ 24: p q p q a) Mọi người đều sẽ chết
An là người Vậy: An sẽ chết b) Nếu Nam lười học thì sẽ không đạt môn Toán rời rạc
Mà Nam lườihọc Kết luận: Nam không đạt môn Toán rời rạc.
Lưu ý: Trong suy luận người ta có thể đổi thứ tự hai tiền đề Chẳng hạn ở ví dụ trên ta có thể nói:
Nam lười học Nếu Nam lười học thì sẽ không đạt môn Toán rời rạc
Kết luận: Nam không đạt môn Toán rời rạc.
3.2 Quy tắc phủ định (Modus Tollens)
Quy tắc này đƣợc thể hiện bởi hằng đúng [( p q) q] p
Hoặc dưới dạng sơ đồ:
Ví dụ 25: p q q p a) Nếu An đi học đầy đủ thì An sẽ đƣợc dự thi môn Toán rời rạc
An không đƣợc dự thi môn Toán rời rạc Suy ra: An không đi học đầy đủ. b) Nếu mặt trời ở đỉnh đầu, thì bóng ngắn nhất
Vậy mặt trời không ở đỉnh đầu.
Quy tắc này đƣợc thể hiện bởi hằng đúng [( p q) (q r)] ( p r)
Hoặc dưới dạng sơ đồ:
Ví dụ 26: p q q r p r a) Nếu trúng số độc đắc An sẽ giàu có
Nếu giàu có An sẽ mua xe sang
Vậy: Nếu trúng số độc đắc An sẽ mua xe sang. b) Minh đi chơi thì Minh không ôn Toán rời rạc
Minh không ôn Toán rời rạc thì Minh sẽ thi rớt Toán rời rạc
Mà Minh lại đi chơi.
Vậy Minh thi rớt Toán rời rạc Nếu thể hiện các mệnh đề ở ví dụ b thành p, q, r thì lý luận trên có dạng: p q q r p r
Quy tắc tam đoạn luận rời. Đƣợc thể hiện bởi hằng đúng
Ví dụ 27: Hôm nay là ngày chủ nhật hoặc là ngày lễ
Mà hôm nay không phải là ngày chủ nhật,
Hôm nay, chúng ta học về ý nghĩa của quy tắc logic: nếu trong hai khả năng xảy ra, có một khả năng sai thì chắc chắn khả năng còn lại phải đúng Quy tắc này giúp xác định chính xác tình huống đúng sai trong các vấn đề phức tạp, nâng cao kỹ năng phân tích và suy luận logic Việc nắm vững quy tắc này sẽ hỗ trợ bạn đưa ra các quyết định chính xác và hợp lý trong nhiều tình huống khác nhau.
3.4 Quy tắc mâu thuẩn (chứng minh bằng phản chứng)
Quy tắc này thể hiện qua dạng logic tương đương (p q) [(p q) 0], giúp chứng minh rằng nếu thêm giả thiết phụ q vào giả thiết ban đầu p mà dẫn đến mâu thuẫn thì q là hệ quả logic của p Điều này cho phép xác định mối liên hệ giữa hai giả thiết, góp phần nâng cao hiệu quả trong các chứng minh logic Quy tắc này là công cụ quan trọng trong lý thuyết chứng minh, giúp xác định các điều kiện dẫn đến mâu thuẫn và suy ra các kết luận hợp lý dựa trên giả thiết ban đầu.
Ví dụ 28: Hãy sử dụng phương pháp phản chứng cho chứng minh sau: p r p q q s r s
Phủ định của kết luận sẽ tương đương với : ( r s) (r s) r s
Ta thêm vào tiền đề hai giả thiết phụ r và s p r p q q s r s
0 và chứng minh suy luận sau là đúng:
Ta có các bước sau đây: p q q s p s s
Kết luận r cùng với giả thiết phụ r cho ta: (r r) 0 Ta có điều phải chứng minh
3.5 Quy tắc chứng minh theo trườnghợp
Quy tắc này thể hiện qua biểu thức logic: [(p ∨ r) ∧ (q ∨ r)] ⇒ [(p ∨ q) ∨ r], mang ý nghĩa rằng nếu giả thiết có thể chia thành hai trường hợp p đúng hoặc q đúng, và đã chứng minh rằng kết luận r đúng trong từng trường hợp riêng biệt, thì kết luận r cũng đúng trong mọi trường hợp Điều này giúp hiểu rõ cách áp dụng quy tắc hợp lý trong lập luận logic, đảm bảo tính chính xác khi kết luận dựa trên phân tích các giả thiết tách rời.
Chứng minh rằng hàm số f(n) = n(n + 1) luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n, chúng ta xem xét hai trường hợp là n chẵn và n lẻ, và nhận thấy trong cả hai trường hợp, f(n) đều chia hết cho 2 Do đó, ta kết luận rằng f(n) luôn chia hết cho 2 với mọi n tự nhiên, hoàn thành bài toán chứng minh.
3.6 Phản vídụ f (n) luôn chia hết cho 2 với mọi số tự Để chứng minh một phép suy luận là sai hay không là một hằng đúng, ta chỉ cần chỉ ra một phản vídụ. Để tìm một phản ví dụ ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp về chân trị của các biến mệnh đề sao cho các tiên đề trong phép suy luận là đúng còn kết luận là sai.
Ví dụ 30 : Hãy kiểmtra suy luận: p r p r q q
Ta tìm thấy một phản ví dụ p =1, q =0, r = 1 Khi đó p r =1, p=1 r q=1 q=0
Vì vậy suy luận đã cho không đúng.
3.7 Một vài ví dụ cụ thể có sử dụng kết hợp nhiều quy tắc suy diễn
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Suy ra nếu ông Minh không bán xe thì vợ ông ta đã không đi làm trễ Suy luận này đúng hay sai?
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Ta có suy luận nhƣ sau: p q q r s t r p s t
Dùng phản ví dụ ta chọn: p = 1, không đúng. q =0, r =1, s =0, t = 1 Ta sẽ thấy đây là suy luận
Dưới đây là phân tích suy luận dựa trên các biến mệnh đề: p: “nghệ sĩ Văn Ba đã trình diễn”, q: “số vé bán ra ít hơn 50 vé”, r: “đêm diễn bị hủy bỏ”, s: “ông Bầu rất buồn”, t: “trả tiền vé lại cho người xem” Suy luận được xây dựng như sau: Nếu Văn Ba không trình diễn hoặc số vé ít hơn 50 thì đêm diễn sẽ bị hủy bỏ, và nếu đêm diễn bị hủy bỏ thì phải hoàn lại vé cho người xem, nhưng thực tế khách hàng không được hoàn tiền, do đó kết luận nghệ sĩ Văn Ba đã trình diễn.
Ta có mô hình thể hiện suy luận sau:
Suy luận trên được thể hiện theo các bước sau:
(Tiền đề) (Hằng đúng) (Tiền đề) (Tam đoạn luận mở rộng) (Tiền đề)
(Quy tắc De Morgan và phủ định của phủ định) (Hằng đúng)
(Phương pháp khẳng định)Vậy suy luận ban đầu là chính xác
VỊ TỪ VÀ LƢỢNG TỪ
Vị từ là một khẳng định p(x, y, ) , trong đó có chứa một số biến tự do x, y, thuộc tập hợp A, B, cho trước sao:
- Bản thân p(x, y, ) không phải là mệnhđề
- Nếu thay x, y, thành những giá trị cụ thể x =a A, y =b B, thì p(a,b, ) là một mệnh đề.
Ví dụ 33 a) p(n) = "n 1 là số nguyên tố” b) p(x) =" x 2 2x 3 =0, c) p(x, y) =" x y là sốchẳn, x R" x, y Z "
4.1.2 Các phép toán trên vịtừ
Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x A Khi đó ta cũng có các phép toán tương ứng như trên mệnh đề:
Phép nối liền (hội, giao):
Phép nối rời (tuyển, hợp): p(x) q(x) p(x) q(x)
Phép kéo theo hai chiều: p(x) q(x)
Ví dụ 34 : p(x) =" x là số nguyên tố”, q(x) = " x là số chẵn” Khi đó ta có:
- Phủ định của p: p(x) = " x không là số nguyên tố”
- Phép nối liền của p và q:
4.2 Lƣợngtừ p(x) q(x) = " x là số nguyên tố va x là số chẵn”
Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A Các mệnh đề lƣợng từ hóa của p(x) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
- Mệnh đề “Với mọi x thuộc A,
Kí hiệu: " x A, p(x)" p(x) ”, là mệnh đề đúng khi và chỉ khi là lƣợng từ phổ dụng. p(a) luôn đúng với mọi giá trị a A đƣợc gọi
- Mệnh đề “Tồn tại (có ít nhất một) x thuộc A,
Kí hiệu " x A, p(x)" p(x) ” là mệnh đề đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x = b A nào đó sao cho mệnh đề
Ví dụ 35: p(b) đúng đƣợc gọi là lƣợng từ tồn tại.
Ví dụ 36: Xét các câu sau, trong đó ba câu đầu là tiền đề và câu thứ tƣ là kết luận đúng
“Tất cả chim ruồi đều có màu sặc sỡ”
“Không có con chim lớn nào sống bằng mật ong”
“Các con chim không sống bằng mật ong đều có màu xám”
Gọi P(x) =" x là chim ruồi”, Q(x) =" x là lớn”, R(x) =" x sống bằng mật ong”,
S (x) =" x có màu sặc sở” Giả sử rằng tập hợp A là tất cả các loài chim Hãy diễn đạt các câu trong lý luận trên bằng cách dùng
Ta có thể biểu diễn các câu trong suy luận trên nhƣ sau: x x x x
4.3 Lƣợng từ hóa vị từ haibiến
Xét một vị từ p(x, y) theo hai biến x và y Khi thay x bằng một phần tử cố định a thuộc tập A, ta được vị từ p(a, y) theo biến y Điều này cho phép ta lượng từ hóa theo biến y để mở rộng phạm vi diễn đạt Kết quả là ta có các mệnh đề như "y B, p(a, y)", thể hiện mối quan hệ logic giữa các phần tử trong tập xác định.
" y B, p(a, y)" Do x đƣợc thay bằng một phần tử cố định nhƣng tùy ý a của A, nên ta có hai vị từ sau đây là hai vị từ theo biến x A : " y B, p(x, y)"và " y B, p(x, y)"
Tiếp tục lƣợng từ hóa hai vị từ trên theo biến x , ta đƣợc 4 mệnh đề sau đây: x A, y B, p(x, y) x A, y B, p(x, y) x A, y B, p(x, y) x A, y B, p(x, y)
Tương tự ta cũng có thể lượng từ hóa đƣợc 4 mệnh đề nữa: y B, x A, p(x, y) y B, x A, p(x, y) y B, x A, p(x, y) y B, x A, p(x, y) p(x, y) theo biến x trước rồi biến y sau để
Giải: p(x, y) là câu " x y =y x" Xác định giá trị chân lý của các lƣợng từ x, y, p(x, y) là ký hiệu của mệnh đề:
“ Với mọi số thực x, với mọi số thực y, x y = y x ”
Vì p(x, y) đúng với mọi số thực x và y, nên mệnh đề x, y, p(x, y) là đúng
Các mệnh đề sau đúng hay sai. a) " x R, x 2 6x 5 0" b) " x R, y R, 2x y 0, >0, x R : x a < f (x) f (a) < "
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1
1/ Trong các khẳng định sau khẳng định nào là mệnh đề: a) Trần Hưng Đạo là một vị tướng tài b) x + 2 là một số nguyên dương. c) 5 là một sốchẳn. d) Hôm nay trời đẹp làm sao! e) Hãy học Toán rời rạc đi! f) Nếu bạn đến trể thì tôi xem bóng đá trước. g) Bạn có thích xem bóng đá không?
2/ Gọi P, Q, R là các mệnh đề: P = “ A đang học Toán rời rạc”, Q = “A đang học Tin học”, R = “A đang học Anh văn” Hãy viết lại các mệnh đề dưới đây dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép nối. a) A đang học Toán rời rạc và Anh văn nhƣng A không học tin học. b) A đang học Toán rời rạc và tin học nhƣng không học cùng một lúc Tin học và Anh văn. c) Không đúng là A đang học Anh văn mà không học Toán rời rạc. d) Không đúng là A đanghọc Anh văn hay Tin học mà không học Toán rờirạc. e) A không học Tin học lẫn Anh văn nhƣng đang học Toán rời rạc.
3/ Giả sử P và Q là hai mệnh đề nguyên thủy sao cho P Q của các mệnh đề sau: sai Hãy xác định chân trị a) P Q b) P Q c) Q P
4/ Xác định chân trị của các mệnh đề sau: a) nếu 3 + 4 = 12 thì 3 + 2 = 6 b) ( 16 thì x < 4 hay x >4 e) Với mọi số thực x, nếu x 3 < 7 thì 4 < x < 10
14/ Gọi p(x) và q(x) là 2 vị từ theo một biến, hãy lấy phủ định và đơn giản các mệnh đề sau: a) x, p(x) q(x) c) x, p(x) q(x) b) x, p(x) q(x) d) x,[ p(x) q(x)] p(x)
PHÉP ĐẾM
TẬP HỢP
Trong toán học, tập hợp là một khái niệm cơ bản không thể định nghĩa bằng các đối tượng khác, phản ánh sự phân loại các đối tượng dựa trên một tính chất chung Tập hợp giúp tổ chức và phân loại các phần tử dựa trên các đặc điểm nhất định, là nền tảng để xây dựng các lĩnh vực toán học phức tạp hơn Khái niệm tập hợp đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu và phân tích các mối quan hệ toán học, đồng thời không thể thay thế bằng các khái niệm khác trong toán học.
Ký hiệu tập hợp bằng chữ cái in hoa A, B, C, X, Y
Ký hiệu phần tử cập hợp bằng chữ cái thường: a, b, c, x, y,
Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta viết a A , nếu a không là phần tử của tập hợp
1.1.2 Biểu diễn tậphợp Để biểu diễn tập hợp ta thường dùng các cách sau:
- Cách 1: Nếu tính chất đặc trƣng của các phần tử tạo thành tập hợp:
A = {x U / p(x)} U đƣợc gọi là tập hợp vũ trụ Nếu U hiểu ngầm thì ta có thể viết A
Ví dụ 1: a) A ={x /x là số nguyên tố} b) A ={x R, x 2 x