Tìm nghiệm còn lại b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.. Tính nghiệm kép đó Bài tập 8... b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.. c/ Xác định m để phương trình c
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘTẨN
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
Bài tập 1 Giải các phương trình sau :
a/ x2 - 3x = 0 b/ 5x2 - 20 = 0 c/ -3x2 + 9 = 0 d/ (x-3)2 - 4 = 0
e/ x2 + 4x – 21 = 0 f/ 2x2 + 5x – 3 = 0 g/ x2 – 4x + 2 = 0
h/ -3x2 +5x + 2 = 0 i/ 3x2 – 5x – 8 = 0 k/ -0,4x2 + 0,3x + 0,7 = 0
(Học sinh tự giải)
Bài tập 2 Giải các phương trình sau :
a/ 3x4 – 2x2 – 5 = 0 b/ 2x4 + x2 – 7 = 0
c/(x2 – 3x – 7)2 – (2x2 + 3x – 12)2 = 0 d/ 3x3 + 4x2 – 7x = 0
e/ x3 – 5x2 – 2x +10 = 0 f/ (x -1)(x-2)(x+3)(x+4)=24 g/ 4 2 3 17
2
4 0 3
Bài tập 3 Tìm 2 số a và b biết
3.1 a + b = 9 và a2 + b2 = 41
3.2 a b = 5 và ab = 36
3.3 a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Bài tập 4 Cho phương trình : x2 - 3x - 4 = 0 Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau (x1; x2 là nghiệm của phương trình)
S = x1 + x2 ; P = x1 x2 ; A = x1 + x2 ; B =
2
1 x
1 x
1 ;
Bài tập 5 Cho phương trình 5x2 + (2m – 1)x – 3m2 = 0
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c/ Tính tổng và tích các nghiệm theo m
Bài tập 6 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
a/ x2 – 2(m+3)x + m2 + 3 = 0 b/ (m – 1)x2 + 4mx + 4m – 1 = 0
Bài tập 7 Cho phương trình x2 – mx + 3 – m = 0
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
Bài tập 8 Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (1)
a/ Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có nghiệm
b/ Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó tính tổng hai nghiệm của phương trình
Bài tập 9 Cho phương trình x2 + 2(m+1)x + m2 – 3m + 2 = 0 Tìm giá trị m để ptrình (1) : a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm thỏa mãn x1 + x2 = 16
Trang 2Bài tập 10 Cho phương trình x2 – 2mx +m2 – m +1 = 0
a/ Giải phương trình với m = 1
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 11 Cho phương trình x2 + 2(m +1)x + m2 + 2m – 8 = 0 (m là tham số)
a/ Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 vơi mọi m
b/ Xác định m để x1– 2x2 = 1
c/ Xác định m để – 5 < x1< x2 < 7
Bài tập 12 Cho phương trình x2 – 2(m +1)x + m – 4 = 0 (m là tham số)
a/ Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
b/ Chứng minh giá trị biểu thức A= x1(1–x2) +x2 (1–x1) không phụ thuộc vào m
c/ Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau nhưng có giá trị tuyệt đố bằng nhau
Bài tập 13: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2 1 1
1
x x
1 2 2
1
x x
y với x1; x2 là nghiệm của phương trình
ở trên
Bài tậ 14: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 2m 1xm2 2 0 (I)
a) Giải phương trình khi m = – 2
b) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm? Có hai nghiệm phân biệt?
c) Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu
d) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x12 x22 4
e) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x1 2x2
f) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu
g) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng âm
h) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng dương
i) Tìm m để phương trình (I) có 1 nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại
j) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa 2x1 4x2 3
D LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài tập 1 Giải các phương trình sau :
(Học sinh tự giải)
Bài tập 2 Đáp án a) 5
3
4
3
; 3 14 d) 0;1; 7
3
e) 5; 2 f) (x -1)(x+3) (x-2)( (x+4)=24(x2+2x-3)(x2+2x-8)=24
Trang 3Đặt: t=x 2 +2x ĐS: (0; -2; 1 2)
g) 5; 1
4
Bài tập 3
3.1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a và b
2
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 2 1
2
4
5
x
x
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4 3.2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 2 1
2
4
9
x
x
Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
13
13
a b
a b
a b
*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 2 1
2
4
9
x
x
Vậy a = 4 thì b = 9
*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 2 1
2
4
9
x
x
Vậy a = 9 thì b = 4
3.3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
2 61 2.30 121 11
11
a b
a b
*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 2 1
2
5
6
x
x
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5
*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 2 1
2
5
6
x
x
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5
Trang 4Bài tập 4 Đáp án S=3; P= - 4; A= 17; B= 3
4
Bài tập 5 a) Thay m = 1 vào pt(1):
5x2 + x – 3 = 0
= 1 – 4.5.(-3) = 61 >0
x1,2 = 1 61
10
b) Ta có: 2 2
2m 1 4.5.( 3m )
2
2
4 16 16
c) S=1 2
5
m
2
3 5
m
' (m 3) m 3
= 6m + 6
Pt có hai nghiệm phân biệt:
6m + 6 > 0
<=> m > -1
b) Đk: m 1
2
' (2 )m (m 1)(4m 1)
= 5m -1
Pt có hai nghiệm phân biệt:
5m -1 > 0
<=> m > 1
5 (Thỏa)
Bài tập 7
a) Thay x = 1 vào pt (1)
1 – m.1 + 3 – m = 0
<=> m = 2
Ta có:
x1 + x2 = m
1 + x2 = 2
x2 = 1
b) 2
4.1.(3 )
= m2 + 4m - 12
Pt (1) có nghiệm kép:
m2 + 4m – 12 = 0
m1 = 2; m2 = -6
m=2 , pt: x2 – 2x + 1 = 0
x 1 =x 2 = 1;
m=-6 , pt: x2 + 6x + 9 = 0
x 1 =x 2 = -3
Bài tập 8
a) ĐK: ĐK: m 1
Ta có:
2
' m (m 1)(m 1)
= m2 – m2 + 1
Tổng hai nghiệm của pt:
x1 + x2 = 2
1
m
Trang 5= 1 > 0 m
b) Pt có tích hai nghiệm bằng 5
1
5 1
m
m
2
m
(thỏa)
x1 + x2 =
3 2.
3 1 2
Bài tập 9
a) Ta có:
' (m 1) 1(m 3m 2)
= 5m -1
Pt có hai nghiệm phân biệt:
5m – 1 > 0
<=> m > 1
5
b) Pt có hai nghiệm thỏa x1 + x2 = 16
2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 5
16
m
(x x ) 2x x 16 4m2 + 8m + 4 – 2m2 + 6m – 4 = 16
m2 + 7m – 8 = 0
m1 = 1 (thỏa)
m2 = -8 (loại)
Bài tập 10
a) Thay m = 1 vào pt (1):
x2 - 2 x + 1 = 0
a + b + c = 1 + (-2) + 1 = 0
x1 = x2 = 1
b) Ta có:
' m 1(m m 1)
= m -1
Pt có hai nghiệm phân biệt:
m – 1 > 0
<=> m > 1
Bài tập 11
a) Ta có: 2 2
' (m 1) 1.(m 2m 8)
= 9 >0 m b) Ta có:
2
1 2
1 2
x
Từ (3) => x1 = 1 + 2x2, thế vào (1) và (2) ta được:
m2 – 81 = 0
m = 9
c) Ta có:
Trang 6x1 = -(m+1) – 3 = -m – 4 ; x2 = -(m+1) + 3 = -m +2
Theo giả thiết: -5 < -m – 4 < -m +2 < 7
-5 < m < 1
Bài tập 12
a) Ta có: 2
' (m 1) 1.(m 4)
= m2 + m + 5 = 1 2 19
m > 0 m b) Ta có: A= x1(1–x2) +x2 (1–x1) = x1 + x2 – 2x1x2 = 2m + 2 – 2m + 8 = 10 không phụ thuộc vào m
c) Pt (1) có hai nghiệm trái dấu nhau, có giá trị tuyệt đối bằng nhau:
4 0
m
m
4 1
m m
Vậy m = -1 thì Pt (1) có hai nghiệm trái dấu nhau nhưng có giá trị tuyệt đối bằng nhau
Bài tập 13:
a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
2
2 1
1
0 2
1
0
'
m
m m
m P
Vậy m = 2
b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
c) Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
(m≠1)
2
m
y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 -
m
m
1
2 y +
1
2
m
m
= 0 (m≠1) Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
Bài tập 14
Trang 7a) Khi m = -2, pt (I) trở thành: x2 6x 2 0
Ta cĩ ' b'2ac321.270 Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
7 3 1
7 3
; 7 3 1
7 3
2
1 x
x
2
3 0
3 2 0 2 1 1
Pt (I) cĩ nghiệm phân biệt khi
2
3 0
3 2 0 2 1 1
c) Tìm m để phương trình (I) cĩ hai nghiệm trái dấu
2 2
0 2
a c
d) Điều kiện phương trình cĩ nghiệm x1; x2 là:
2
3
m
2 1 2
a
c x x m a
b x x
Do đĩ x12 x22 4x1x22 2x x x2 4 2m 1 2 2 m2 2 4 2m2 4m 2 0
2
(thỏa điều kiện)
e) Điều kiện phương trình cĩ nghiệm x1; x2 là:
2
3
m
Theo hệ thức vi ét và đề bài ta cĩ
(3) 2x
x
(2) 2 m x x
(1) 1
m 2 x x
2 1
2 2 1
2 1
3
1 4
; 3
1 2
1 2
2
2 m 1 4 m 1
m 8 3 10 (thỏa)
m 8 3 10 (không thỏa)
f) Phương trình cĩ hai nghiệm cùng dấu khi
3
2
Trang 8g) Pt có hai nghiệm âm 2
2 2 1 2 3
0 2
0 1 2 3
0 0 0
2
'
m m m m
m m m
a c a b
h) Pt có hai nghiệm dương
2
3 2
2 2 1 2 3
0 0
0
'
m m m m
a c a b
i) pt có nghiệm bằng 1 a b c 0 1 2 m 1 m 2 2 0
m 2m 1 02 m 1 2 0 m 1
1
2 1 1
2
2 m
a
c x
j) Pt có hai nghiệm thỏa: 2x1 4x2 3
Điều kiện
2
3
m (đề phương trình có nghiệm)
Theo hệ thức Vi_ét và đề bài tai có:
(3) 4 -4x -2x
(2) 2 m x x
(1) 1
m 2 x x
2 1
2 2 1
2 1
Từ (1) và (3) ta có
3
2
; 3
6 4
2 1
m x
m
x thay vào (2) ta được
6 3 6
6 3 6 0
18 12 2
9 6 4 2 2 3
2 3
6
m
m m
m m
m m m
m m
(TM)
Trang 9A TÓM TẮT KIẾN THỨC :
Công thức nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
> 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x 1 =
2
b a
; x 2 =
2
b a
/ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x 1 =
b a
x 2 =
b a
= 0 : Phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 =
2
b a
/ = 0:Phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 =
/
b a
< 0 : Phương trình vô nghiệm / < 0 : Phương trình vô nghiệm
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Hệ thức Vi-ét : Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì S x1 x2 b
a
; P x x1. 2 c
a
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
* Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 = 1, x2 = c
a
* Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 = –1, x2 = –c
a
* Nếu u + v = S, u.v = P thì u, v là nghiệm của phương trình x2– Sx+P= 0
(ĐK để có u và v là S 2 – 4P 0)
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ VÍ DỤ
1./ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chuyển vế c: ax2 c;
Chia hai vế cho a: x2 c
a
;
Dùng định nghĩa CBH x c
a
( c 0
a
)
Biến đổi về phương trình tích: x(ax + b) = 0
Giải phương trình tích: x(ax + b) = 0 0
0
x
ax b
Giải theo công thức nghiệm hoặc vận dụng Vi-ét để nhẩm nghiệm
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau :
a) 3x2+6x=0 b) 3x2 27 0 c) 2x2 6 0
d/ 2x2 – 5x – 3 = 0 e/ x2 – 4x – 12 = 0 f/ x2 – 6x + 5 = 0
Trang 10Giải
a) 3x2+6x=0
x(3x + 6) = 0
x = 0 hoặc x = -2
Vậy phương trình có nghiệm là: x1= 0 và x2= -2
b) 3x2 27 0
2 2 2
9
x x x x
Vậy phương trình có nghiệm là: x 3
2 2 2
x x
suy ra phöôngtrình voânghieäm
d/ 2x2 – 5x – 3 = 0 = b2 – 4ac = (-5)2 – 4.2.(-3) = 49
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : x1 =
2
b a
= 5 7 3 2.2
; x2 =
2
b a
= 5 7 1
e/ x2 – 4x – 12 = 0 / = b/2 – ac = (-2)2 – 1(-12) = 16
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : x1 = b' '
a
= 2 + 4 = 6 ; x2 = b' '
a
2 – 4 = -2 f/ x2 – 6x + 5 = 0
Do a + b + c = 1 – 6 + 5 = 0 nên x1 = 1; x2 = 5
2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1 Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
Đặt t = x2 (ĐK: t 0) Giải phương trình at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) tìm t Nếu t thỏa đk thế vào t = x2 tìm x
2.2 Phương trình tích hoặc đưa về dạng tích
0
A B
2.3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
B1: ĐKXĐ B2: Qui đồng hai vế rồi khữ mẫu B3: Giải phương trình khữ mẫu B4: Xác định nghiệm theo ĐKXĐ
Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau đưa về dạng phương trình bậc hai
a/ x4 – 13x2 + 36 = 0 b/ x3 – x2 – 3x + 3 = 0 c/
2
2
Trang 1111
Giải
a/ x4 – 13x2 + 36 = 0 (a)
Đặt x2 = t 0 thì (a) ⇒ t2 – 13t + 36 = 0 ⇒ t1 = 9 (nhận) ; t2 = 4 (nhận)
▪ t1 = x2 = 9 x 9 3 ▪ t2 = x2 = 4 x 4 2
Vậy phương trình (a) có 4 nghiệm S = 3; 3; 2; 2 b/ x3 – x2 – 3x + 3 = 0 (x3 – x2) – (3x – 3) = 0
x2(x – 1) – 3(x – 1) = 0 (x2 – 3)(x – 1) = 0
x2 – 3 = 0 hoặc x – 1 = 0 x2 = 3 hoặc x = 1 x 3 hoặc x = 1
Vậy phương trình (b) có 3 nghiệm S = 1; 3; 3
c/
2
2
(ĐK : x ≠ -1; x ≠ 4)
QĐKM: x2 + 4 – 2x(x – 4) = 2(x + 1)(x – 4) x2 – 2x – 3 = 0
⇒ x1 = -1 (loại) ; x2 = 3 ( a – b + c = 1 + 2 – 3 = 0)
Vậy phương trình (c) có 1 nghiệm x = 3
Ví dụ 3 : Tìm hai số u và v, biết: a/ u + v = 11; u.v = 28 b/ u– v = –3 ; u.v = 28
Giải
a/ Hai số u và v cần tìm là nghiệm của phương trình : x2 – 11x + 28 = 0
= (–11)2 – 4.1.28 = 121 – 112 = 9; x1 = 11 3 7
2
; x2 = 11 3 4
2
Vậy nếu u = 7 thì v = 4 hoặc nếu u = 4 thì v = 7
b/ Ta có u– v = –3 ; u.v = 28 ⇒ u + (–v) = -3 ; u.( –v) = –28
Hai số u và (-v) cần tìm là nghiệm của phương trình : x2 + 3x – 28 = 0
= 32 – 4.1.( –28) = 9 + 112 = 121 ; 1 3 11 4
2
; 2 3 11 7
2
Vậy nếu u = 4 thì v = 7
Phương trình bậc hai một ẩn x có dạng : ax2+ bx +c = 0 (1) (a ≠0) chưa tham số m
Có ∆ = b2 – 4ac ( hoặc ∆’ = b2 – ac) và S = x1 + x2 = b
a
; p = x1.x2 = c
a
Dạng 1: Xác định giá trị tham số m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt (nghiệm kép hoặc vô nghiệm)
B1: Tính ∆ ( hoặc ∆’ )
Trang 1212
B2: Biện luận : Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khi 0
0 ( ' 0)
a
B3: Giải BPT tìm giá trị tham số m
(Tìm hai nghiệm theo m : Tính x 1 = b
2a
; x 2 = b
2a
trong có chứa tham số m)
o Phương trình (1) vô nghiệm khi Δ < 0 giải BPT tìm giá trị tham số m
o Phương trình (1) có nghiệm kép khi 0
0 ( ' 0)
a
giải PT tìm giá trị tham số m (Tìm nghiệm kép : x1 = x2 = b
2a
thay giá trị m vừa tìm được để tìm nghiệm kép )
Ví dụ : Cho phương trình : 2x2 – 10x + m – 1 = 0 (1) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có
a/ Hai nghiệm phân biệt
b/ Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
c/ Vô nghiệm
Giải
/ = b/2 – ac = (-5)2 – 2.(m – 1) = 25 – 2m + 2 = 27 – 2m a/ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 0 1 0
a
m
– 2m > – 27 m 27
2
b/ Phương trình (1) có nghiệm kép khi / = 0 27 – 2m = 0 m 27
2
Nghiệm kép x = ' 5
2
b a
c/ Phương trình (1) vô nghiệm khi / < 0 27 – 2m < 0 m > 27
2
Dạng 2: Xác định giá trị tham số m để pt(1) có một nghiệm x = k cho trước
B1: Thay giá trị k vào vị trí ẩn x ta được PT chỉ còn tham số m
B2: Giải PT tìm giá trị tham số m
*Tìm nghiệm còn lại :
Cách 1: Dùng hệ thức Viets rồi thay x1=k và giá trị m vừa tìm được để tìm x2
Cách 2: thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình (1) rồi giải phương trình ẩn x
Ví dụ : Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – 7 = 0
Tìm m đề phương trình có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm còn lại
Giải: