Điều 30.3 trong Luật Giáo dục Số 43/2019/QH14 ghi rỏ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng môn học,
NỘI DUNG
Cơ sở lý luận
Tư duy là hiện tượng tâm lý quan trọng thể hiện hoạt động nhận thức cao cấp của con người, có cơ sở sinh lý quan trọng là hoạt động của vỏ đại não Hoạt động tư duy đồng nghĩa với hoạt động trí tuệ, giúp con người phát triển các triết lý, lý luận, phương pháp luận và giải pháp phù hợp trong các tình huống hoạt động khác nhau Mục tiêu của tư duy là khám phá và xây dựng các phương pháp tối ưu nhằm giải quyết các vấn đề trong cuộc sống và công việc.
1.1.1 Đặc điểm của tư duy
Con người chỉ nảy sinh ý thức khi gặp phải vấn đề cần giải quyết Tuy nhiên, vấn đề đó phải được nhận thức đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ cá nhân dựa trên những gì đã biết và những gì còn cần phải biết, đồng thời phù hợp với khả năng hiểu biết và nhu cầu tìm kiếm của cá nhân Ý thức luôn phản ánh bản chất chung nhất của nhiều sự vật, nhóm, loại hoặc phạm trù, đồng thời loại bỏ những đặc điểm cụ thể, cá biệt Ngoài ra, ý thức còn phản ánh thực tại một cách gián tiếp, thoát khỏi giới hạn của kinh nghiệm cảm tính.
1.1.2 Các giai đoạn tư duy
Quá trình tư duy là quá trình giải quyết nhiệm vụ phát sinh trong nhận thức hoặc hoạt động thực tiễn, bắt đầu từ việc xác định vấn đề – bước quan trọng nhất của quá trình này Tiếp theo, chủ thể huy động kiến thức, kinh nghiệm và liên tưởng để phân tích vấn đề đã xác định Khi giả thuyết được xác nhận và chính xác, nó sẽ chuyển thành câu trả lời hoặc đáp số cho vấn đề, từ đó khởi đầu cho quá trình tư duy mới.
1.1.3 Các thao tác tư duy
TD diễn ra thông qua các thao tác
Phân tích là quá trình sử dụng trí óc để chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, thành phần khác nhau nhằm xác định đặc điểm và thuộc tính của chúng Quá trình này giúp làm rõ các bộ phận của tổng thể thông qua so sánh, phân loại và đối chiếu, từ đó làm sáng tỏ tổng thể một cách rõ ràng hơn Theo đó, phân tích là bước quan trọng giúp hiểu rõ cấu trúc và đặc điểm của đối tượng trong quá trình nghiên cứu và nhận thức.
Tổng hợp là quá trình sử dụng trí óc để hợp nhất, sắp xếp và kết hợp các bộ phận, thành phần hoặc thuộc tính của đối tượng đã được phân tích tách rời thành một thể thống nhất Quá trình này giúp nhận thức về đối tượng một cách toàn diện và bao quát hơn, đặc biệt trong lĩnh vực đào tạo, tổng hợp được xem là thao tác quan trọng để phát triển khả năng nhận thức toàn diện.
5 dấu ấn sáng tạo Khi nói người có “đầu óc sáng tổng hợp” thì cũng tương tự như nói người có “đầu óc sáng tạo”
- So sánh – tương tự: là thao tác tư duy nhằm “xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật hiện thực”
1.2 Khái niệm và đặc trưng về tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo (TDST) là một phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người, thể hiện qua khả năng tìm ra những cái mới, độc đáo và có giá trị xã hội Hoạt động sáng tạo diễn ra liên tục, ở mọi nơi, mọi lúc và trong mọi lĩnh vực Các giải thích về khái niệm TDST đều thống nhất rằng đó là một thuộc tính quan trọng, giúp con người phát huy khả năng đổi mới và sáng tạo trong cuộc sống và công việc.
- Đặc trưng của tư duy sáng tạo
TDST được đặc trưng bởi các yếu tố chính như tính mềm dẻo, tính thuần thục, tính độc đáo, tính chi tiết và tính nhạy cảm
Tính mềm dẻo trong hoạt động trí tuệ là khả năng chuyển đổi dễ dàng giữa các hoạt động tư duy khác nhau, giúp hệ thống tri thức dễ dàng thích nghi và đổi mới Nó cho phép xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối liên hệ mới và thay đổi các thái độ cố hữu, từ đó nâng cao khả năng sáng tạo và linh hoạt trong quá trình xử lý thông tin.
Tính thuần thục thể hiện khả năng tư duy linh hoạt, làm chủ kiến thức và kỹ năng, đồng thời phản ánh sự đa dạng trong cách xử lý vấn đề Đây là năng lực giúp cá nhân nhanh chóng phối hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống và hoàn cảnh để đưa ra giả thuyết và ý tưởng mới một cách sáng tạo.
- Tính độc đáo là khả năng tìm tìm kiếm và quyết định phương thức lạ và duy nhất
- Tính chi tiết: là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng
Tính nhạy cảm là khả năng phát hiện vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm và sự bất hợp lý một cách nhanh chóng, nhờ vào sự tinh tế của cơ quan cảm giác, khả năng trực giác và cảm xúc phong phú Tính nhạy cảm giúp cá nhân thích ứng nhanh, linh hoạt trong mọi tình huống, từ đó nâng cao khả năng xử lý công việc và giao tiếp hiệu quả hơn.
1.3 Dạy học phát triển tư duy sáng tạo
Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp giúp kích hoạt khả năng sáng tạo và mở rộng khả năng tư duy của cá nhân hoặc tập thể Phương pháp này thúc đẩy người học tìm ra các phương án và lời giải phù hợp để giải quyết các vấn đề phức tạp trong một đề tài hoặc lĩnh vực Đây là kỹ thuật thiết thực giúp học viên thực hành tư duy phản biện, phân tích và sáng tạo từ các phần nhỏ đến các vấn đề toàn diện, góp phần nâng cao năng lực tư duy và khả năng giải quyết vấn đề hiệu quả.
1.4 Một số cách phát triển tư duy thông qua hoạt động dạy học
- Tạo lập không khí trong lớp học
- Định hướng động cơ học tập đúng đắn cho HS
- Tạo ra sự thử thách vì sự thủ thách sẽ làm nảy sinh sự sáng tạo
- Tạo cơ hội cho HS hình thành thói quen xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau
- Khuyến khích học sinh giải quyết vấn đề bằng nhiều cách, biết hệ thống hóa và vận dụng kiến thức vào thực tiễn
- Rèn thói quen tìm tòi cách giải hay, mới cho bài toán, vấn đề học tập
- Sử dụng các câu hỏi kích thích nhu cầu nhận thức, khám phá của học sinh
- Rèn thói quen nhanh chóng phát hiện sai lầm , thiếu lôgic trong bài giải hoặc trong quá trình giải quyết vấn đề
- Tạo lập thói quen mò mẫm – phát hiện vấn đề trong quá trình học tập
- Rèn luyện việc vận dụng linh hoạt các thao tác TD trong quá trình học tập của HS
- Rèn luyện kĩ năng suy luận lôgic trong học tập
- Kích thích trí tưởng tượng sáng tạo của HS.
Thực trạng vấn đề phát triển TDST cho HS
Sau nhiều năm giảng dạy tại các môi trường khác nhau, qua các tiết dự giờ và thăm dò ý kiến học sinh, tôi nhận thấy khả năng phát triển tư duy sáng tạo của học sinh trong các trường THPT hiện nay còn hạn chế, chủ yếu dựa vào lối mòn và trở nên ì ạch nhiều Điều này thể hiện rõ qua việc học sinh vẫn còn duy trì tư duy cũ kỹ, thiếu sự đổi mới sáng tạo trong quá trình tiếp cận kiến thức Do đó, cần có những phương pháp và chiến lược mới nhằm thúc đẩy khả năng phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, giúp các em trở nên linh hoạt, tư duy phản biện và sáng tạo hơn trong học tập.
- Trong một tiết học gần như HS hoàn toàn phụ thuộc vào SGK, thụ động tiếp nhận kiến thức mà không phát hiện ra được những vấn đề mới
- Phần lớn HS rất lúng túng khi GV đặt câu hỏi "vì sao?", "tại sao lại như thế này mà không phải như thế kia?", "nếu như", "giả sử"
- HS chưa biết vận dụng kiến thức được học vào xử lý linh hoạt, sáng tạo các tình huống thực tiễn
- HS áp dụng máy móc kiến thức kĩ năng, cách giải
- HS chưa biết và chưa có thói quen tìm ra nhiều cách giải quyết cho một vấn đề
Chưa có khả năng nhìn nhận tổng thể và toàn diện các vấn đề, đồng thời chưa nhận thức rõ rằng mọi sự vật đều có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả, cần phát triển khả năng phân tích toàn diện và vận dụng cách tiếp cận linh hoạt, mềm dẻo, nhằm đảm bảo sự đồng bộ trong giải pháp.
Thực trạng này xuất phát từ nhiều nguyên nhân, trong đó nguyên nhân chủ yếu là do ảnh hưởng của lối dạy học truyền thống, nặng về truyền thụ tri thức dẫn đến cách tổ chức dạy học thụ động, không phát huy được tính tích cực học tập cũng như tiềm năng tư duy sáng tạo của học sinh Trong giờ dạy, đa số giáo viên chỉ chú trọng giảng hết nội dung trong sách giáo khoa, ít hoặc không sử dụng các câu hỏi hoặc bài tập mở rộng, khuyến khích tư duy của học sinh Giáo viên chưa dành đủ thời gian để học sinh suy nghĩ và tranh luận về các vấn đề, nhiều người còn sợ mất thời gian hoặc không muốn để học sinh tự do tranh luận vì sợ ảnh hưởng tới tiến độ giảng dạy Điều này khiến học sinh thường không được thể hiện ý kiến, các hoạt động thảo luận diễn ra nhanh chóng, gấp gáp, làm giảm khả năng kích thích tư duy sáng tạo và tìm kiếm các phương án độc đáo, góp phần hạn chế phát huy tiềm năng tư duy sáng tạo của học sinh.
Trong môn Toán học của học sinh THPT, tình trạng thực hiện bài giải chủ yếu dựa trên việc làm theo trình tự các bước tính toán mà không linh hoạt trong việc gộp hoặc rút ngắn các phép tính, khiến quá trình giải bài thiếu tính sáng tạo và hiệu quả Học sinh còn thiếu kỹ năng kết hợp giữa tính toán và suy luận vấn đề, chưa vận dụng linh hoạt các tính chất của phép tính và các phương pháp giải điển hình để giải quyết bài toán một cách sáng tạo Ngoài ra, các em chưa biết cách vận dụng các dạng bài toán, mẫu bài toán khác nhau vào thực tiễn, dẫn đến khó khăn trong việc phối hợp các thao tác tính toán và phương pháp suy luận để mở rộng khả năng giải quyết các đề tài khác nhau.
2.1 Thực trạng năng lực học, giải toán cực trị của hàm số
2.1.1 Thực trạng Đánh giá việc tiếp thu và làm bài và làm bài ở các mức độ: Đối với mức độ nhận biết, thông hiểu các em làm khá tốt Tuy nhiên ở mức độ vận dụng, vận dụng cao có rất ít các em có thể giải được các bài toán HS gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán vận dụng, vận dụng cao
* Qua khảo sát HS 2 trường THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm:
Em nhận thấy các bài cực trị của hàm số ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong cấu trúc đề thi TNTHPT khó ở mức độ nào?
+ Mức độ vận dụng: A Rất khó B Khó C Bình thường D Dễ Kết quả:
Rất khó Khó Bình thường Dễ K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,2 % 30,4% 4,1% 0 %
+ Mức độ vận dụng cao: A Rất khó B Khó C Bình thường D Dễ Kết quả:
Rất khó Khó Bình thường Dễ K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,5 % 34,5% 0% 0%
* Qua bài kiểm tra khảo sát thường xuyên ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh năm học 2021 - 2022 (Đề được ra ở 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao)
Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu
12A3 0% 23,5% 71% 5,5% Đánh giá kết quả làm bài của HS:
- Mức độ nhận biết, thông hiểu: Đa số các em HS làm tốt mức độ này
- Mức độ vận dụng: Chỉ có một số em vận dụng tốt phương pháp và làm bài tốt
- Mức độ vận dụng cao: Hầu hết các em không nắm được phương pháp giải.
Cơ sở khoa học
Hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn (a, b), và điểm x₀ nằm trong (a, b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x trong khoảng (x₀ - h, x₀ + h), x ≠ x₀, thì hàm số đạt cực đại tại x₀ Ngược lại, nếu tồn tại số h > 0 để f(x) > f(x₀) với mọi x trong khoảng (x₀ - h, x₀ + h), x ≠ x₀, thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.
3.2 Các dấu hiệu cực trị
Giả sử hàm số y f x ( ) liên tục trên khoảng K x h x h 0 ; 0 và có đạo hàm trên
K hoặc trên , với h 0 a Nếu f x '( ) 0 0 trên x h x 0 ; 0 và f x '( ) 0 0 trên x x h 0 ; 0 thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f x ( ) b Nếu f x '( ) 0 0 trên x h x 0 ; 0và f x '( ) 0 0 trên x x h 0 ; 0 thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x ( )
Giả sử hàm số y f x ( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x h x h 0 ; 0 , với h 0 Khi đó: a Nếu f x '( ) 0, ''( ) 0 0 f x 0 thì x 0 là một điểm cực tiểu b Nếu f x '( ) 0, ''( ) 0 0 f x 0 thì x 0 là một điểm cực đại
3.2.3 Các quy tắc tìm cực trị
* Quy tắc 1 (Áp dụng dịnh lí 3.2.1)
B2 Tính f x '( ) Tìm các điểm tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định B3 Lập bảng biến thiên
B4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
* Quy tắc 2 (Áp dụng định lí 3.2.2)
B2 Tính f x '( ) Giải phương trình f x '( ) 0 và kí hiệu x i i , ( 1,2, , ) n là các nghiệm của nó
B4 Dựa và dấu f x ''( ) i suy ra tính chất cực trị của điểm x i
Lưu ý: Khi áp dụng Quy tắc 2, nếu xảy ra trưởng hợp f x ''( ) 0 i thì ta không kết luận được tính chất cực trị của điểm x i , nên phải áp dụng Quy tắc 1
3.3 Phương pháp giải bài toán tương giao
Giả sử hàm số y f x ( ) có đồ thị ( ) C 1 và hàm số y g x ( ) có đồ thị ( ) C 2
Khi đó, hành độ giao điểm của hai đồ thị ( ) C 1 và ( ) C 2 là nghiệm của phương trình sau: f x ( ) g x ( ) (1)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị ( ) C 1 và
Phát triển tư duy qua khai thác bài toán
Trong nội dung này, chúng tôi sẽ sử dụng các bài toán cực trị gốc đơn giản để hướng dẫn học sinh khai thác mở rộng thành các bài toán vận dụng cao, giúp nắm vững quy trình và phương pháp giải bài toán cực trị Việc phân tích và khai thác các bài toán góp phần hình thành thói quen tư duy động và kỹ năng khám phá nhiều khía cạnh của đề bài Qua đó, học sinh phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết các bài toán vận dụng cao trong kỳ thi THPT Quốc gia.
4.1 Phát triển tư duy qua việc khai thác bài toán gốc đơn giản
4.1.1 Phát triển đối với hàm bậc 3 f x ( ) ax bx 3 2 cx d
Bài toán 1(bài toán gốc) Tìm điểm điểm cực đại cực tiểu của hàm số
3 2 y f x x x x Đây là bài toán đơn giản có thể giải theo 2 phương pháp (Quy tắc 1 và Quy tắc 2) Hướng dẫn (Áp dụng Quy tắc 1)
Hàm số đạt CĐ tại x 2 ; y CÐ 7 3 ; hàm số đạt CT tại 1; 13
Chúng ta cần tránh giải quyết bài toán một cách cứng nhắc để không khiến bài toán trở nên “chết” Thay vào đó, việc đặt ra các tình huống cho học sinh bằng cách thay đổi dữ kiện giúp thúc đẩy quá trình phân tích từ mức độ hiểu biết đến vận dụng và vận dụng cao, hình thành các lớp bài toán liên kết về Cực trị Phương pháp này không những phát triển tư duy sáng tạo và tư duy giải toán cho học sinh mà còn giúp các em nhìn nhận tổng thể và nắm vững phương pháp giải về bài toán Cực trị của hàm số, từ đó nâng cao khả năng tư duy toán học một cách hiệu quả.
Cụ thể, ta sẽ định hướng học sinh mở rộng bài toán theo trình tự các hướng sau:
Hướng 1 (Chuyển về dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối)
Bài toán 1.1 Tìm số điểm cực trị của hàm số a y 1 3 x 3 1 2 x 2 2 1 x b y 1 3 x 3 1 2 x 2 2 x 1 c y 1 3 x 3 1 2 x 2 2 x 1 Hướng dẫn giải
Câu 1.1.a Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y f x ( )
Nhận xét Đối với dạng bài toán này học nhiều học sinh sẽ rơi vào 2 tình huống
- Tình huống 1: “Áp dụng Quy tắc 1, 2 một cách máy móc”, để nguyên giá trị tuyết đối tính đạo hàm
- Tình huống 2 Tìm cách mở dấu giá trị tuyệt đối của hàm số (đối với hàm số này không làm được)
Do đó, ta cần lưu ý và dẫn dắt định hướng HS tìm ra phương pháp khác Đó là từ bảng biến thiên của hàm số 1 3 1 2 2 1
3 2 y f x x x x suy ra bảng biến thiên của hàm số y 1 3 x 3 1 2 x 2 2 1 x như sau:
Dựa vào BBT hàm số có 5 cực trị
Qua bài toán chúng ta cho HS rút ra phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số
B1 Lập bảng biến thiên của hàm số y f x ( )
B2 Suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x ( )
B3 Từ bảng biến thiên suy ra điểm cực trị
(Trong cách này chúng ta hướng dẫn thêm HS giải theo phương pháp vẽ đồ thị) B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
Từ đồ thị hàm số y = f(x), ta có thể dễ dàng suy ra đồ thị của hàm số y = -f(x) bằng cách giữ nguyên phần trên trục hoành của hàm số y = f(x) và lấy phần dưới của đồ thị đối xứng qua trục hoành Đây là một phép biến đổi quan trọng trong hình học phân tích giúp xác định nhanh các đặc điểm của đồ thị hàm số Việc hiểu rõ cách thực hiện phép đối xứng qua trục hoành giúp nâng cao khả năng vẽ đồ thị chính xác và phân tích tính chất của hàm số một cách dễ dàng hơn.
B3 Từ đồ thị kết luận cực trị
Cách 2 Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm chứa giá trị tuyệt đối y ' ( ( ) )' f x f x f x '( ) ( ) f x ( ) x x 1 2 x 2 1 x 3 f x ( ) 7
Số nghiệm của phương trình y ' 0 (1) bằng số nghiệm của phương trình
'( ) ( ) 0 f x f x (2) Do đó số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình (2) (Do hàm số luôn đổi dấu qua nghiệm bội lẻ)
Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình
3 2 x x x x Dễ dàng chứng minh phương trình này có 5 nghiệm phân biệt, do đó hàm số có 5 điểm cực trị
Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm CĐ, CT thì ta tìm nghiệm cụ thể và xét dấu y '
Chúng ta có thể đưa ra các ví dụ giải theo cách thứ 3 như sau:
B1 Mở dấu giá trị tuyệt đối của hàm số: ( ) ( ), ( ) 0
B2 Ta áp dụng phương pháp xét hàm số y f x ( ) theo các trường hợp
Câu 1.1.b Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y f x ( ) Đối với dạng toán này chúng ta hướng dẫn HS làm theo 2 cách
- Vẽ đồ thị hàm số y f x ( )
Để vẽ đồ thị hàm số y = f(x), bạn có thể giữ nguyên phần bên phải của đồ thị, tức là bỏ phần bên trái Sau đó, lấy đối xứng phần bên phải qua trục tung để có được hình dạng của toàn bộ đồ thị hàm số Phương pháp này giúp dễ dàng xác định hình dạng của hàm số dựa trên phần đã biết.
Từ đồ thị suy ra hàm số có 3 điểm cực trị
Qua bài toán chúng ta cho HS rút ra phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số
B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
B2 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x ( )
B3 Từ đồ thị kết luận cực trị
Ngoài cách giải trên, ta có thể hướng dẫn HS giải theo cách sau:
B1 Mở dấu giá trị tuyệt đối y f x ( ) f x khi x f x khi x ( ), ( ), 0 0
B2 Ta xét hàm số theo 2 trường hợp
Câu 1.1.c Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y f x
Phương pháp giải câu c là tổng hợp của phương pháp giải Câu 1.1.a và 1.1.b
- Vẻ đồ thị hàm số y f x
- Vẻ đồ thị hàm số y f x theo quy tắc Câu 1.1.a
- Xem y h x f x là một hàm mới, vẻ đồ thị hàm y h x ( ) f x theo quy tắc Câu 1.1.b
Ta được kết quả như sau:
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tất cả 5 điểm cực trị
Qua bài toán chúng ta cho HS rút ra phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số
B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
B2 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x
B3 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x
B4 Từ đồ thị suy ra cực trị của hàm số
Chúng ta có thể thay đổi các bước vẻ đồ thị hàm số như sau:
B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
B2 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x ( ) (Câu1.1.b)
B3 Từ đồ thị hàm số y h x ( ) f x ( ), suy ra đồ thị hàm số y h x ( ) f x
B4 Từ đồ thị suy ra cực trị của hàm số
Hướng 2 (Chuyển bài toán về dạng chứa tham số)
Bài toán 1.2: Cho hàm số: 1 3 1 2 (2 3) 1
3 2 y f x x x m x a Tìm m để hàm số có cực trị b Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x 1, x 2 sao cho
Hàm số có 2 cực trị khi phương trình y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt
Lưu ý: Chúng ta có thể thay đổi yêu cầu bài toán: Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại một điểm nào đó
Câu 1.2.b Ta có điều kiện để hàm số có 2 cực trị tại x 1, x 2 là 11 m 8 Với x 1, x 2 là
Kết hợp điều kiện ta có
Chúng ta có thể điều chỉnh điều kiện của điểm cực trị để phù hợp với bài toán mới Câu 1.2.c tập trung vào dạng toán tìm giá trị m sao cho hàm số y = f(x, m) có cực trị Việc xác định m để hàm số đạt cực trị là phần quan trọng trong các bài toán tối ưu hóa hàm số tham số Thay đổi điều kiện cực trị giúp mở rộng phạm vi ứng dụng và tạo ra các bài toán đa dạng hơn trong lĩnh vực phân tích hàm số.
Để giúp học sinh giải quyết dạng toán này, giáo viên yêu cầu học sinh tìm ra mối liên hệ giữa số điểm cực trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) Tình huống đặt ra là xác định điều kiện để hàm số y = f(x) có cực trị, từ đó để hàm số y = g(x) có đúng 5 cực trị Qua đó, học sinh sẽ suy luận ra điều kiện để hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị dương, từ đó giải quyết bài toán một cách chính xác.
3 2 y x x m x có 5 cực trị thì hàm số
3 2 y f x x x m x có 2 điểm cực trị dương phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 0
hệ BPT vô nghiệm Vậy không tồn m thỏa mãn bài toán
Trong quá trình giảng dạy, cần hướng dẫn học sinh khai thác đầy đủ tất cả các tình huống liên quan đến mối liên hệ điểm cực trị của hàm số y = f(x) Việc nắm vững cách xác định điểm cực trị của hàm số giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong toán học Ngoài ra, giáo viên cần giới thiệu các phương pháp phân tích đồ thị hàm số, từ đó giúp học sinh nhận biết các điểm cực trị một cách dễ dàng và chính xác Đây là kỹ năng quan trọng trong việc làm các đề toán liên quan đến cực trị của hàm số, góp phần nâng cao năng lực giải quyết các bài tập liên quan đến hàm số y = f(x).
- TH1 Hàm số y f x không có cực trị thì hàm số y f x ( ) có 1 cực trị Cụ thể:
+ Nếu hàm số y f x luôn luôn ĐB thì hàm số y f x ( ) có 1 điểm cực trị là điểm CT
+ Nếu hàm số y f x luôn luôn NB thì hàm số y f x ( ) có 1 điểm cực trị là điểm CĐ
- TH2 Hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương, thì hàm số y f x ( ) có 5 điểm cực trị Cụ thể:
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương và hệ số a dương thì hàm số
( ) y f x có 2 điểm CĐ, 3 điểm CT
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương và hệ số a âm thì hàm số y f x ( ) có 3 điểm CĐ, 2 điểm CT
- TH3 Hàm số y f x có 2 điểm cực trị trái dấu, thì hàm số y f x ( ) có 3 điểm cực trị Cụ thể:
- TH4 Hàm số y f x có 2 điểm cực trị âm, thì hàm số y f x ( ) có 1 điểm cực trị Cụ thể:
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị âm và hệ số a dương thì hàm số y f x ( ) có 1 điểm CT
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị âm và hệ số a âm thì hàm số y f x ( ) có 2 điểm CĐ
Trong khuôn khổ đề tài hạn chế, tác giả chỉ đưa ra một bài toán minh họa để trình bày nội dung chính Giáo viên có thể mở rộng kiến thức bằng cách giới thiệu các bài toán tương ứng với các trường hợp khác nhau, phù hợp với từng dạng hàm số Ngoài ra, việc xác định điều kiện ràng buộc cho các điểm cực trị là rất quan trọng để nâng cao hiệu quả dạy học và giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách xác định cực trị của hàm số.
Ngoài việc khai thác bài toán cực trị của hàm số y = f(x), giáo viên còn có thể tận dụng các dạng hàm số dạng y = f(x, m) để mở rộng kiến thức Việc phân tích cực trị của các hàm số này tương tự như bài toán trên, thông qua việc xác định mối liên hệ giữa cực trị của hàm số y = f(x, m) và hàm số y = f(x) Để giúp học sinh dễ dàng giải quyết dạng bài này, hướng dẫn xác định mối liên hệ cực trị theo quy luật cụ thể sẽ giúp nâng cao khả năng vận dụng kiến thức và đạt hiệu quả trong học tập.
+ Do y ' ( ( ) )' f x f x f x '( ) ( ) f x ( ) , suy ra nghiệm của phương trình
Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y = f(x) cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành, tức là số nghiệm của phương trình f(x) = 0, và nghiệm này không trùng với điểm cực trị của hàm số.
+ Số điểm cực trị của hàm số y f x ( ) bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y f x ( ) cộng thêm 1
+ Số điểm cực trị của hàm số y f x ( ) bằng số điểm cực trị của hàm số
( ) y f x a , y f x ( )+b; số điểm cực trị của hàm số y f x ( ) bằng số điểm cực trị
17 của hàm số y f x a ( ) ; số điểm cực trị của hàm số y f x ( )bằng số điểm cực trị của hàm số y f x ( ) b
Quy luật trên đúng cho mọi hàm số
Hướng 3 (Mở rộng đối với các dạng hàm hợp)
Bài toán 1.3: Cho hàm số: 1 3 1 2 2 1
3 2 y f x x x x a Tìm số cực trị của hàm số y g x ( ) f x (3 9) b Tìm số cực trị của hàm số y g x ( ) f x ( 2 3 ) x c Tìm cực trị của hàm số y g x ( ) f (2x 1) 8x+3 d Tìm m để hàm số y g x ( ) f x ( 2 3 x 2 ) m có 5 cực trị
Câu 1.3.a Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( ))
Vậy g x '( ) 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số g x ( ) f x (3 9) có 2 cực trị Lưu ý:
- Để xác định rỏ tính chất của điểm cực trị ta dựa vào dấu của f x '( ) lập bảng biến thiên của hàm số g x '( ) 3 '(3 9) f x
- Bài toán có thể giải theo cách khai triển hàm hợp sau đó áp dụng quy tắc tìm cực trị ( ( ) (3 9) 1 (3x 9) 3 1 (3x 9) 2(3x 9) 1 2
Câu 1.3.b Phương pháp tương tự bài toán 1.3.a
Vậy g x '( ) 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số
Từ 2 bài toán 1.3.a và 1.3.b hướng dẫn HS rút ra phương pháp giải bài toán: Tìm cực trị của hàm số dạng y g x ( ) f u x ( ( ))
B1 Lập bảng xét dấu đạo hàm f x '( )
B2 Tính đạo hàm hàm hợp g x '( ) ( ( ( )))' f u x u x f u x '( ) '( ( )) và tìm nghiệm
B3 Dựa vào dấu f x '( ) lập bảng biến thiên của hàm số y g x ( ) f u x ( ( ))
B4 Từ bảng biến thiên kết luận
Trong phạm vi đề tài, tác giả chỉ trình bày một bài toán minh họa để làm rõ ý tưởng chính Bên cạnh đó, còn có thể mở rộng cuộc nghiên cứu bằng cách đưa ra các bài toán dạng khác nhằm đáp ứng các yêu cầu đa dạng của lĩnh vực Đây là cách để nâng cao khả năng áp dụng và Đảm bảo tính thực tiễn của các giải pháp đề xuất Việc trình bày nhiều dạng bài toán giúp tăng cường khả năng phân tích và vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tế.
- Tìm cực trị của hàm số y f u x ( ( ))
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( )) suy ra cực trị hàm số
- Tìm điểm cực trị của hàm số y f u x ( ( ) )
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( )) suy ra cực trị hàm số
( ( ) ) y f u x (phương pháp giải theo câu 1.1.b)
- Tìm điểm cực trị của hàm số y f u x ( ( ) )
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( )) suy ra cực trị hàm số
( ( ) ) y f u x (phương pháp giải theo câu 1.1.c)
19 Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm hợp dạng y g x ( ) f u x ( ( )) ( ) v x
Phương pháp giải tương tự câu 1.3.a và 1.3.b
Dựa vào dấu f x '( ) ta lập bảng xét dấu g x '( )
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số g x ( ) có 2 điểm cực trị (đạt CĐ tại x 1, CT tại x 3 2
Hàm số y = g(x) có dạng f(u(x)) + v(x), và phương pháp giải tương tự như các phương pháp trong câu 1.3.a và 1.3.b Ngoài ra, chúng ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác các dạng hàm số như y = g(x) hoặc v(x) = f(u(x)), giúp tối ưu hóa quá trình xử lý bài toán Khi xây dựng các bài tập với dạng hàm số này, cần chú ý lựa chọn phương pháp phù hợp để giải quyết hiệu quả và đảm bảo tính logic trong bài toán.
( ), ( ), w( ) u x v x x phù hợp để việc giải phương trình g x '( ) 0 xác định được nghiệm (số nghiệm), tùy thuộc yêu cầu cần đặt ra
- Chúng ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối như bài 1.1 vào các hàm hợp trên Câu 1.3.d
Dễ thấy các nghiệm của phương trình (2), (3) luôn khác nhau Do đó, để hàm số
( ) ( 2 3 2 ) g x f x x m có 5 cực trị thì phương trình g x '( ) 0 có 5 nghiệm đơn phân x 1 3 2
20 biệt Khi đó phương trình (2), (3) đồng thời phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 3 2 nên ta có điều kiện là:
Dựa trên bài toán trên, chúng tôi hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải hiệu quả Đề bài là tìm tham số m sao cho hàm số y = g(x, m) = f(u(x), m) có cực trị thỏa mãn các điều kiện đã cho Phương pháp này giúp học sinh nắm vững kỹ năng xác định cực trị của hàm số phụ thuộc tham số, đồng thời nâng cao khả năng áp dụng lý thuyết vào bài tập thực tế.
B1 Lập bảng xét dấu đạo hàm f x '( )
B2 Tính đạo hàm hàm hợp g x m '( , ) ( ( ( , )))' f u x m u x m f u x m '( , ) '( ( , )) và tìm nghiệm phương trình g x m '( , ) 0 (1)
B3 Tìm điều kiện m để phương trình (1) có số nghiệm đơn hoặc bội lẻ bằng số cực trị của hàm số g x m ( , )
Chúng ta có thể tích hợp dấu giá trị tuyệt đối vào các hàm hợp có chứa tham số để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị Khi tìm giá trị của m để hàm số đạt điểm cực trị phù hợp với yêu cầu đề bài, học sinh chỉ cần nhớ mối liên hệ theo Quy luật (I), giúp đơn giản hóa quá trình phân tích và đạt hiệu quả chính xác.
4.1.2 Phát triển đối với hàm bậc 4 trùng phương: f x ( ) ax bx c 4 2 Đối với hàm trùng phương việc khai thác theo các hướng hoàn toàn tương tự như Bài toán 1 (hàm bậc 3) Trong nội dung này tác giả chỉ đưa ra một số hướng khai thác mang tính đặc trưng của hàm trùng phương để HS nắm vững đặc điểm của nó Bài toán 2:
Cho hàm số f x( )x 4 2x 2 3 Điểm cực đại của hàm số là
Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x0
Hướng 1 (Chúng ta đưa dấu giá trị tuyết đối vào bài toán)
Bài toán 2.1 Tìm số điểm cực trị của hàm số a y x 4 2x 2 3 b y x 4 2x 2 3
Hướng dẫn giải: a Để giải bài toán này ta áp dụng phương pháp Câu 1.1.a Áp dụng cách 2 Câu 1.1.a Với ( ) ( )
nên số điểm cực trị là số nghiệm bội lẻ của phương trình f x f x( ) ( ) 0 (4x 3 4 ).(x x 4 2x 2 3) 0
Dễ dàng, chứng tỏ phương trình có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị
Kết quả đạt được
Chương trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán cực trị trong đề thi TN THPT” đã xây dựng cơ sở lý thuyết vững chắc và khảo sát thực trạng chất lượng đầu vào, kết quả thi môn Toán của học sinh Chúng tôi đã khảo sát khả năng tiếp thu lý thuyết và vận dụng kiến thức vào làm bài tập về bài toán cực trị của hàm số trong đề thi TN THPT ở cả 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Dựa trên đó, đề xuất các giải pháp giúp học sinh nắm vững cơ sở khoa học và phương pháp giải các dạng bài toán cực trị của hàm số, từ đó nâng cao kết quả thi môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Trong quá trình nghiên cứu lý luận, thực trạng và thực nghiệm tại hai trường THPT, chúng tôi đã áp dụng các giải pháp tối ưu nhằm hỗ trợ ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đặc biệt tập trung vào bài toán cực trị của hàm số Kết quả đạt được cho thấy phương pháp này giúp nâng cao hiệu quả học tập của học sinh, chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi THPT Quốc Gia Các nghiên cứu đều phản ánh rõ ràng về tính khả thi và tính ứng dụng của giải pháp trong việc nâng cao kiến thức và kỹ năng làm bài thi của học sinh trung học phổ thông.
Học sinh đã nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán cực trị của hàm số, giúp các em tự tin hơn khi tiếp cận với các bài tập này Hầu hết các em không còn cảm giác lo sợ hay gặp khó khăn khi làm các bài toán về cực trị, từ mức nhận biết đến vận dụng cao Nhiều em đã hoàn thành thành công các bài tập ở mức vận dụng cao, nâng cao kỹ năng và kiến thức của bản thân.
Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trong ôn thi TN THPT giúp học sinh cảm thấy bớt khó khăn, tạo hứng thú và đam mê học tập môn toán Hiệu quả của phương pháp này đã thúc đẩy động lực cho giáo viên cùng áp dụng, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy Đồng thời, việc này còn thúc đẩy hoạt động chuyên môn, nghiên cứu giải pháp nâng cao hiệu quả dạy học trong nhà trường.
Trong những năm qua, qua sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi đã vận dụng thành công vào công tác giảng dạy môn học mà mình đảm nhiệm, đem lại những kết quả rõ rệt và có ý nghĩa.
Việc luyện đề thi THPT Quốc gia giúp học sinh nắm vững kiến thức về cực trị ở các mức độ nhận biết và thông hiểu Hầu hết các em đều có khả năng làm tốt các bài tập ở mức độ vận dụng, thể hiện sự hiểu rõ kiến thức đã học Khoảng 10% học sinh xuất sắc có thể làm được các bài tập vận dụng cao, chứng tỏ khả năng tư duy và ứng dụng kiến thức linh hoạt trong đề thi.
- Về kết quả thi THPTQG: trong năm học 2020-2021, trường THPT DTNT Tỉnh có tỷ lệ đậu tốt nghiệp 100 % trong đó môn Toán có nhiều em đạt điểm khá giỏi
Dù kết quả chưa cao bằng các trường khác trong thành phố, nhưng so với kết quả đầu vào, thành tích này vẫn thể hiện sự cố gắng và tiến bộ đáng ghi nhận.
- Kết quả khảo sát làm bài kiểm tra sau khi áp dụng đề tài
- Kết quả thi TN THPT trường THPT DTNT tỉnh năm 2020-2021 Điểm Từ 9-10 Từ 8-