Một số định lí thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tí

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

Thái nguyên -2010

Trang 2

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức nhiều biến Các kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu này ngày càng nhiều và đẹp đẽ Ngày nay nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề này với những cách tiếp cận khác nhau

Lịch sử phát triển của việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình tách vô cùng phong phú, đa dạng và đã thu được những kết quả vô cùng đẹp, có ứng dụng lớn trong giải tích hiện đại Nó được chia làm ba giai đoạn cụ thể sau

Đầu tiên là giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967 với những đóng góp quan trọng của các nhà bác học nổi tiếng như: Osgood, Hartogs, Hukuhara, Shimoda, Terada… Đặc trưng chủ yếu của giai đoạn này là nghiên cứu trên chữ thập 2-lá Trước tiên là vào năm 1899, Osgood đã khẳng định rằng nếu

một hàm chỉnh hình tách giới nội trong miền D thì chỉnh hình trong miền đó

Tiếp đó là vào năm 1906, Hartogs khẳng định rằng mọi hàm chỉnh hình trong

miền D đều chỉnh hình tách trong miền đó Bước đột phá quan trọng là nghiên

cứu của Hukuhara vào năm 1930 Ông đã khẳng định rằng hàm chỉnh hình

tách giới nội địa phương trên tập X(A 1 ,A 2 ; D 1 ,D 2 ) là chỉnh hình trên D 1 D 2

(trong đó A1 D A1, 2 D2) với điều kiện A 2 có ít nhất một điểm tụ trong D 2

thì khẳng định trên vẫn đúng” Và phải đến hơn 30 năm sau Terada mới trả

lời được câu hỏi trên với điều kiện A 2 là không đa cực

Giai đoạn tiếp theo là từ năm 1969 đến năm 1997 với các nghiên cứu của các nhà bác học Siciak năm 1969 và P Zahariuta năm 1976 khi ông phát minh ra

cơ sở chung của không gian Hilber Sau đó phương pháp của Zahariuta đã được

Trang 3

cải tiến bởi Nguyễn Thành Vân và Zeriahi trong các công trình của hai ông vào các năm 1991, 1995 và 1997 Đến năm 2001 với định lý chữ thập cổ điển của Alehyane và Zeriahi đã đưa ra công thức tổng quát cho giải tích phức

Giai đoạn thứ ba là từ năm 1998 đến năm 2001 Đặc trưng của giai đoạn này là nghiên cứu thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích, bắt đầu với nghiên cứu của Oktem sau đó được tổng quát hóa bởi Siciak Kết quả tổng quát nhất là định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích và kỳ dị đa cực của Jarnicki và Pflug

Với mục đích nghiên cứu một vài kết quả về thác triển các hàm chỉnh hình tách, luận văn gồm những nội dung cơ bản sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương chủ yếu trình bày các khái niệm đa tạp phức, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi, bao chỉnh hình, hàm cực trị tương đối, tập đa cực, đa cực địa phương, đa chính quy địa phương và hàm chỉnh hình tách, tập kỳ dị Tiếp đó chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ như thác triển các hàm chỉnh hình tách và tính chất của tập đa cực, đa cực đóng tương đối, đa chính quy địa phương để chuẩn bị cho việc trình bày chương 2

Chương 2 Định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực

Phần đầu chương chúng tôi trình bày sơ lược các kết quả nghiên cứu

về hàm chỉnh hình tách qua các giai đoạn phát triển của hướng nghiên cứu này Tiếp đó là một định lý về thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ

dị đa cực Phần cuối chương, chúng tôi trình bày chứng minh định lý này trong trường hợp chữ thập 2-lá và trong trường hợp tổng quát

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô

Trang 4

Em xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học

Sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế Tài chính Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa cơ bản và Bộ môn Toán

đã quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên

khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn

Trang 5

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức

n i i

Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x0X nếu f khả vi phức trong

một lân cận nào đó của x0 và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X

Một ánh xạ f X: m có thể viết dưới dạng f  f1, , f m trong đó

: , 1, ,

trên X nếu f i chỉnh hình trên X với mọi i=1,…,m

Ánh xạ f X:  f X n được gọi là song chỉnh hình nếu f là song

f cũng là ánh xạ chỉnh hình

Trang 6

1.1.2 Đa tạp phức

Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff

 Cặp U,  được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là

đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1.2 Hàm đa điều hòa dưới

1.2.1 Hàm điều hòa dưới

Giả sử D là một miền trong  Hàm u D:    ,  được gọi là điều

hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau:

Trang 7

i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập zD u z;  s là tập

1.2.2 Hàm đa điều hòa dưới

Giả sử G là một tập con mở trong n Một hàm :G   , được gọi là đa điều hòa dưới nếu:

i)  là nửa liên tục trên và  không đồng nhất với chỉ trên

thành phần liên thông của G

(là các miền trong  ) hoặc bằng hoặc là điều hòa dưới

1.2.3 Hàm đa điều hòa dưới trên không gian phức

Giả sử X là không gian phức Một hàm đa điều hòa dưới trên X là

hàm :X    ,  thoả mãn: Với mỗi xX tồn tại lân cận U mở của x

sao cho với một ánh xạ song chỉnh hình :h U V lên một không gian

G nào đó và một hàm đa điều hòa

Kí hiệu  X là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên X

1.3 Miền giả lồi

giả lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục  trên G sao cho tập

Trang 8

lồi compact tương đối D k ÐD k1ÐD với Dk1D k

hàm f H D  sao cho nếu có miền D1,   D,  nào đó và hàm

 

f H D là - mở rộng của hàm f thì D1,  tương đương với D, (tức là  là đơn trị hai chiều D lên D 1)

Trang 9

Trang 10

1.6 Tập đa chính quy địa phương

A U U

Định nghĩa 1.6.2 Tập A được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó đa

chính quy địa phương tại mọi điểm a A

1.7 Tập cực, tập đa cực

hàm đa điều hòa dưới khác hằng u trên  n sao cho:

 

A x u x  

thông của  và A z :u z  

zA có một lân cận mở V của z sao cho AV là đa cực trong V

Định lý 1.7.4 (Định lý Chirka) [9, tr 1254]

là một tập con đa cực đóng tương đối của D Khi đó tồn tại một tập con đa cực đóng tương đối S của D sao cho S D S và D S là bao chỉnh hình \

của D \ S

Trang 11

Vì D là miền đơn diệp nên ta có thể giả sử D D Hơn nữa, ta biết

rằng bao chỉnh hình của D là miền đơn diệp nếu O  D D= O D Vì vậy

O  \  \

D S

Mệnh đề 1.7.6 (Nguyên lý đồng nhất trên các tập không đa cực) [2, tr 23]

mọi hàm f  O  với f A 0 đồng nhất không trên 

Trong trường hợp đặc biệt, nếu ,f g O  và f  g trên A thì

D là một miền, n j, j = 1,…, N Giả sử U là tập con mở của D1  D N

và M Ulà tập đóng tương đối Cho a1, ,a N  D1  D NU và

1 j N , khi đó tập

Trang 12

Trang 13

(b) Giả sử C\M là đa cực Khi đó theo (a), tồn tại một tập đa cực

Theo (a) (áp dụng cho tập M( ,.)a ), tập b0( ) \r CU( ,.)a là đa cực Vì

vậy u(a,.) 0 trên tập

đa chính quy địa phương nên ta có

Trang 14

Trang 15

D là một miền, n j, j1, ,N và X = X(A 1 ,…,A N ; D 1 ,…,D N ) Giả sử U là

: \

a1, ,a N  A1 A N và j1, ,N, hàm f a 1, ,a j-1, , a j1, ,a N là một chỉnh hình trên tập mở

Trang 16

a

 Tập S là cực tiểu trong dãy nếu không tồn tại tập đóng tương đối

SØSsao cho mọi hàm thuộc F đều thác triển chỉnh hình trên \ S

Dễ thấy với mọi tập đa cực đóng tương đối S   và với mọi họ

F O\ S tồn tại một tập đóng tương đối S S sao cho mọi hàm f F thác triển thành f O\ S và S là một kỳ dị đối với họ {f: f  F }

Định lý 1.9.3 [9, tr 1254]

j

địa phương, j = 1, …, N Đặt X := XA1, ,A D N; 1, ,D N Khi đó mọi hàm thuộc Os(X) đều thác triển chỉnh hình trên miền giả lồi X

Định lý 1.9.4 [9, tr 1254]

j

D  là một miền giả lồi, A j D j là tập con đa chính quy địa

phương, j = 1,…, N Đặt X :=XA1, ,A D N; 1, ,D N Giả sử M ØU là tập con

giải tích của lân cận mở liên thông U của X Khi đó tồn tại một tập giải tích

 M U0 M với mỗi lân cận mở U 0 của X, U0 U

  f Os(X\M), tồn tại duy nhất một hàm f  O( X M ), với f\   f

trên X \ M

Miền  X M là giả lồi \

Trang 17

duy nhất một hàm f j O U j \S và j S j là kỳ dị đối với họ

F j := { f j: f F } O U j \S j

Giả sử với mọi ,i j J với U i U j   và f F ta có

i j

f  f trên U i U j\S i

Khi đó với mọi f F hàm  f :j J f j, f z :f j z :z U j \S j

là chỉnh hình trong U \ S và S là kỳ dị đối với họ { :f f F }

M E   và với mọi aA,

Trang 18

sợi M ,. là cực Khi đó tồn tại một tập đa cực đóng tương đối n-1

S E  sao cho:

Lấy ( , )a b  A  \M Vì M (a,.) là cực nên tồn tại một cung

Trang 19

Giả sử n j

j

địa phương, j = 1,…,N Đặt X := XA1, ,A D N; 1, ,D N Giả sử

Chúng ta chứng minh quy nạp theo N Trường hợp N = 2 được suy ra từ

định lý 1.9.3 và X T(chú ý nếu N = 2 thì T là một chữ thập 2-lá) Hơn nữa nếu N = 2 thì kết quả vẫn đúng với mọi f Os(T)

Giả sử rằng kết quả vẫn đúng với N -1 2 Lấy f Os(T)C T( ) Kí

hiệu Q là tập hợp tất cả z NA N sao cho tồn tại j1, ,N 1sao cho sợi

Z :=A A Y D S Q, N; , N; N,  A S\ ND NYA N \Q 

Trang 20

Hơn nữa g Os(Z) Đặt V := X A A Y D, N; , NZ Vì bổ đề đúng với

N = 2 nên chúng ta có thể thác triển chỉnh hình g trên  V

Bổ đề 1.9.8 [9, tr 1257-1259]

Giả sử D p,Gqlà các miền giả lồi Giả sử A D B, G là các

mở U của chữ thập X :=X( , ; , ) A B D G Lấy AA B, B sao cho

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Giả sử a a , Aj sao cho C: a(r a j, ) a(r a j, )  Cố định bBj

Tương tự chứng minh với b b ,  B G j

Lưu ý Xj U j  Xj Vì vậy bao chỉnh hình U trùng với  j Xj

Áp dụng định lý Chirka (định lý 1.7.4), ta tìm được một tập đa cực đóng tương đối M j Xj sao cho:

Trang 24

sợi M (a,.) là đa cực Khi đó tồn tại một tập đa cực đóng tương đối M  X sao cho:

Trang 25

Theo bổ đề 1.9.8, ta có với mọi a0A, và với bất kỳ miền

Khi đó f Os(Y) với mọi hàm f Os(X\M) Do đó, theo định lý 1.9.3

với mọi hàm thuộc Os(X\M) đều thác triển chỉnh hình trên Y  a0 V Co

Trang 26

Trong trường hợp đặc biệt, f chỉnh hình trên

rằng với mọi a  A a0( ), hµmf a , thác triển chỉnh hình trên G\M (a,.)

Do đó với bất kỳ a  A a0( ), hµmf  a, thác triển chỉnh hình trên

Trang 27

tương đối cần tìm của

M E    và với mọi aA sợi M (a,.) là đa cực Khi đó tồn tại một tập đa cực đóng tương đối M  X sao cho:

 M X M

Với mọi hàm f Os(X\M), tồn tại duy nhất f O( X M\  ) với

f  f trªn X M\

Tập M là kỳ dị đối với họ{  :f f Os(X\M)}

Trang 28

Chứng minh

Trường hợp q = 1, bổ đề trên được suy ra từ bổ đề 1.9.9 Vì vậy ta giả

sử q2 Theo bổ đề 1.9.8, ta có với mọi a0A và với bất kỳ R 1,R ,tồn

a b  A  r   R sao cho sợi M Sa b, ,. là đa cực Theo bổ

đề 1.7.8(a, c) C là đa chính quy Áp dụng bổ đề 1.9.9 cho chữ thập

S  Y M và với mọi hàm f Os(X\M) thác triển chỉnh hình trên  \ Y q S q

Từ tính chất của hàm cực trị tương đối, ta có

Trang 29

Trang 30

M E    vì mọi hàm f Os(X\M) đều chỉnh hình trên E p q

Do đó M  X M Điều này mâu thuẫn với giả sử R0 R ở trên Vì vậy

Trang 31

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN CỦA CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TÁCH

VỚI KỲ DỊ ĐA CỰC 2.1 Sơ lược các kết quả nghiên cứu về thác triển của các hàm chỉnh hình tách

là một miền, j = 1,…, N Đặt X :=XA1, ,A D N; 1, ,D N Giả sử M là tập con của n1   n N

 sao cho với mọi a1, ,a N  A1 A Nvà j1, ,N, sợi

a1 , ,a j-1 , ,a j1 , ,a N

M



điều kiện trên có tồn tại một miền (giả hội tụ)  1 

,

N

n n

X    X  X và một tập đóng tương đối (trong X ) tập  M   X M,  XM ( Xlà tập con của X) sao cho: f  OsX M\ , f O  X M\ : 

X M X M

f   f  , f xác định duy nhất”

Lịch sử phát triển của việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình tách được chia làm ba thời kỳ cụ thể

Thời kỳ thứ nhất (Từ 1899-1967): Điểm đặc trưng trong các kết quả nghiên

cứu ở thời kỳ này là nghiên cứu thác triển của các hàm chỉnh hình tách trên tập chữ thập 2-lá Trước tiên chúng ta nhắc lại định lý các mệnh đề tương đương:

Định lý 2.1.2 [2, tr 64]

tương đương

Tiêu đề	Một Số Định Lí Thác Triển Của Các Hàm Chỉnh Hình Tách Với Kỳ Dị Đa Cực
Tác giả	Nguyễn Thị Thu Hương
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai
Trường học	Đại Học Thái Nguyên
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Luận văn thạc sĩ toán học
Năm xuất bản	2010
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	0,99 MB