SKKN mối liên hệ giữa một số bài toán hình học không gian và bài toán hình học phẳng

Khi dạy học sinh lớp 11 và 12 giải toán hình học không gian tôi thường gặp các bài toán tương tự ở hình học phẳng và thực tế có nhiều bài toán hình học không gian để dễ hiểu chúng ta phả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

M ỤC LỤC

A M Ở ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của đề tài 2

B N ỘI DUNG 3

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 3

1.1Các kiến thức cơ bản về hình học không gian 5

1.2 Các kiến thức cơ bản về hình học phẳng 6

1.3 Cơ sở thực tiễn 8

2 M ột số giải pháp 10

2.1 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề quỹ tích của một điểm 10

2.2 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm 12

2.3 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề diện tích tam giác, tứ giác 13

2.4 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề tiếp tuyến 16

2.5 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trọng tâm tam giác, tứ giác 18

2.6 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trực tâm 19

2.7 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề bán kính đường tròn 20

2.8 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề hệ thức lượng 23

2.9 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề đường tròn ngoại tiếp 26

2.10 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề Vec-tơ 31

C K ẾT LUẬN 34

D.TÀI LI ỆU THAM KHẢO 35

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xu thế của dạy học hiện đại là dạy học theo phương pháp kiến tạo, trải nghiệm thông qua các hoạt động Trong hoạt động dựa vào tri thức đã biết để xây dựng các tri thức mới thì các kiểu giải bài tập tương tự là hoạt động phù hợp

và cần thiết đối với học sinh Khi dạy học sinh lớp 11 và 12 giải toán hình học không gian tôi thường gặp các bài toán tương tự ở hình học phẳng và thực tế có nhiều bài toán hình học không gian để dễ hiểu chúng ta phải quy về mặt phẳng

để tìm lời giải hoặc minh họa cho học sinh dễ hiểu Trong quá trình giảng dạy tôi thường xuyên đưa ra các gợi ý tìm bài toán liên quan giữa hình học không gian và hình học phẳng giúp học sinh dễ hiểu về bài toán hình học không gian hơn, từ đó dần hình thành cho học sinh phương pháp “tương tự hóa” Muốn giải

một bài toán ta thường thực hiện 2 bước: Huy động kiến thức và tổ chức kiến

thức Huy động kiến thức là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp Do

đó, học sinh phải biết và cần phân tích ý tưởng: ta đã gặp bài toán nào gần gũi

với kiểu bài toán này hay chưa? Polia đã viết một quyển sách chỉ với nội dung

“Giải bài toán như thế nào”, trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều kiện thiết yếu

Nhằm giúp các em học sinh lớp 11 và 12 có cách nhìn toàn diện hơn, bản

chất hơn các bài toán hình học không gian, từ đó nâng cao hiệu quả học tập, góp

phần nâng cao chất lượng dạy học để có kết quả tích cực trong kỳ thi THPT

quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh khá - giỏi Với những lí do như trên, tôi

Tìm ra phương pháp dạy phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho

học sinh, từ đó nâng cao kiến thức và chất lượng học tập trong tiết học

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán hình học không gian và hình học phẳng THPT

4 Phạm vi nghiên cứu

Tập trung vào toán hình học không gian và hình học phẳng lớp 11

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11, 12

Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường Trung học

phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

• Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài

• Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và học sinh)

• Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn)

• Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

• Phương pháp thực nghiệm

7 Đóng góp của đề tài

Đề tài góp phần mang tới cho giáo viên một phần giải pháp giúp các em

học sinh có thể học tốt môn toán, đặc biệt là trong toán hình học phẳng và hình

học không gian Đồng thời, giáo viên biết được hiện trạng của các em hiện nay

B NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những

cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam

Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc

lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá

IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng

nền văn hoá mới và con người mới” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề” Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò,

vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri

thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ

có trí tưởng, kỹ năng trình bày, vẽ các hình trong không gian và giải nó Như

mọi người đều biết, hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng Trong quá trình dạy học ở trường

phổ thông để giải quyết một vấn đề của hình học không gian nhiều giáo viên đã chuyển vấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thức của hình không gian thành Rèn luyện tư duy giải toán hình học không gian thông qua mối liên hệ

giữa hình học phẳng và hình học không gian những phần đơn giản hơn mà có

thể giải nó trong các bài toán phẳng Đó là một việc làm đúng đắn, nhờ nó làm cho quá trình nhận thức, rèn luyện năng lực lập luận, sự sáng tạo, tính linh hoạt

khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học không gian của học sinh

Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian, với cơ sở

là mặt phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian bằng các hình vẽ (các phần được tách ra thường là thiết diện, giao tuyến.) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài toán hình học

phẳng để từ đó giải quyết được bài toán ban đầu

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên

Trong chương trình toán phổ thông, hình học không gian là phần kiến

thức tương đối khó với hầu hết các em học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi

Bởi để giải quyết tốt các bài toán hình học không gian, học sinh không những nắm vững các kiến thức cơ bản của hình học không gian, hình học phẳng mà còn phải có trí tưởng tượng phong phú, biết cách liên hệ giữa hình học phẳng

với hình học không gian Có nhiều cách để tiếp cận một bài toán mới, một trong

những phương thức hiệu quả là phương pháp tương tự hóa, tức là tìm hiểu xem bài toán cần giải quyết có vấn đề gì tương tự với các bài toán mà ta đã giải quyết trước đây chưa, đó cũng là nguồn gốc của sự sáng tạo Học sinh thường lúng túng trước một bài toán hình học không gian ở các mặt: vẽ hình, chưa hiểu rõ các khái niệm, định lý liên quan và đặc biệt là không nhớ hay phát hiện được các bài toán tương tự Trong hình học không gian có những bài toán này là bài toán con của bài toán khác

Để giải bài tập hình học không gian và hình học phẳng một cách thành

thạo thì một trong yếu tố quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của hình học

không gian và hình học phẳng, phải tìm ra mối liên hệ của chúng sự tương tự

giữa hình học phẳng và hình học không gian, giúp học sinh ghi nhớ lâu các kiến

thức hình học, vận dụng tốt các kiến thức đã học

1.1 Các ki ến thức cơ bản về hình học không gian

Tất cả các bề mặt như mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ phản chiếu cho ta thấy được hình ảnh của mặt phẳng Cũng như mặt phẳng thì không có bề dày và không có giới hạn Để vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian ta dựa vào các quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, tương ứng của đoạn thẳng thì sẽ là đoạn thẳng

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, tương tự của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau

- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ giữa điểm và đường thẳng

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn các đường nhìn thấy và dùng nét đứt để vẽ

những đường bị che khuất

1.1.1 Quan hệ song song

Hai mặt phẳng song song khi đáp ứng yêu cầu không có điểm chung thì ta nói hai mặt phẳng song song với nhau

- Nếu đường thẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau là a b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau

- Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta chỉ vẽ được một và chỉ

một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho

Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng đồng thời cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến của chúng song song với nhau

- Định lý Ta-lét: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến

bất kỳ những đoạn tương ứng tỷ lệ

Ví dụ: nếu d, d’ là hai cát tuyến bất kỳ cắt ba mặt phẳng song song thì

     α , β , γ lần lượt tại các điểm A,B,C và A',B',C' thì AB = BC = AC

A'B' B'C' A'C'

1.1.2 Vectơ trong không gian

Vector trong không gian là đoạn thẳng có hướng nhất định Ký hiệu là 

chỉ điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng Các quy tắc về việc sử dụng vector trong không gian bao gồm các quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, quy tắc trung tuyến, quy tắc trọng tâm, quy tắc hình hộp Tất cả những kiến thức này chúng ta sẽ được học trong sách giáo khoa hình học 11

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: trong không gian, ba vectơ được gọi

là đồng phẳng với nhau nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

1.1.3 Quan hệ vuông góc

Trong bài tập về quan hệ vuông góc cần hiểu được những kiến thức cơ

bản về đường thẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng khi nào? Những định nghĩa, tính chất và lý thuyết chung của nó Cách chứng minh đường thẳng vuông góc

học trong sách giáo khoa thôi là không đủ, học sinh cần phải làm bài tập thường xuyên và nhiều để rèn luyện kỹ năng về phản xạ với hình không gian

1.2 Các ki ến thức cơ bản về hình học phẳng

- Định lý Menelaus

Cho tam giác ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các đường

thẳng BC, CA, AB Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

Tổng quát : (bất đẳng thức Ptolemy) Với mọi tứ giác ABCD bất kì, ta có

bất đẳng thức AB.CD + AD.BC AC.BD  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD

là tứ giác lồi nội tiếp

- Định lý Stewart

- Đường thẳng Simson

Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng

BC, CA, AB Khi đó X, Y, Z thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi

là đường thẳng Simson của điểm M đối với tam giác ABC

Tổng quát: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng tam giác Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng

BC, CA, AB Khi đó điều kiện cần và đủ để M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là X, Y, Z thẳng hàng

- Đường thẳng Steiner

Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

Gọi X, Y, Z lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB Khi đó X, Y, Z

thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi là đường thẳng Steiner của điểm

M đối với tam giác ABC Đường thẳng Steiner luôn đi qua trực tâm tam giác

- Điểm Miquel của tam giác, tứ giác toàn phần

Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P tương ứng nằm trên các đường

thẳng BC, CA, AB Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ANP, BPM, CMN đồng quy tại điểm Miquel X của M, N, P đối với tam giác ABC Khi M, N,

P thẳng hàng, ta có X điểm Miquel của tứ giác toàn phần ABCMNP Khi đó X nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần

Cho tứ giác toàn phần ABCDEF, điểm Miquel M của tứ giác và tâm ngoại tiếp các tam giác AEF, CDE, BDF, ABC cùng nằm trên đường tròn Miquel của tứ giác

- Định lý Pascal

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trên một conic bất kì Gọi G, H, K theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng (AB,DE), (BC,EF), (CD,FA) Khi đó G, H, K thẳng hàng

- Định lý Pappus

Cho hai đường thẳng a, b Trên a lấy các điểm A, B, C; trên b lấy các điểm D, E, F Gọi G, H, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng

(AE,DB), (AF,CD), (BF,CE)

Khi đó G, H, K thẳng hàng Định lý Pappus là trường hợp suy biến của định lý Pascal khi conic suy biến thành cặp đường thẳng

- Bất đẳng thức AM-GM

- Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

- Bất đẳng thức Nesbitt

1.3 Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình dạy học môn Toán, nhất là môn Hình học thì quá trình

học tập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt Đặc điểm cơ bản của

môn học là rèn luyện tư duy giải toán hình học không gian thông qua mối liên

hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình không gian

Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi

khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho học sinh Nhiều em không biết cách trình bày bài giải, sử dụng các kiến

thức hình học đã học chưa thuần thục, lộn xộn trong bài giải của mình Cá biệt

có một vài em vẽ hình quá xấu, không đáp ứng đươc yêu cầu của một bài giải hình học Vậy thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh?

Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là:

+) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một bài toán hình không gian

+) Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử dụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với học sinh

+) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử

dụng trong hình không gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học

phẳng cho hình không gian

+) Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách

+) Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tôt làm giảm nhận thức của học sinh v.v

Học sinh thường suy nghĩ hay giải từ các bài toán liên quan theo dạng (các loại tứ diện, hình chóp, hình hộp, các cách chứng minh sự vuông góc hay

song song …) mà không để ý xa hơn là có bài toán hình phẳng tương tự và giải các bài toán này Học sinh ít suy nghĩ là từ đâu ta có đề toán này (thực ra đối với

thầy cô giáo thì việc ra đề bài hoàn toàn dựa trên nền tảng lý thuyết cũng như bài tập các em đã được học Đề cho học sinh giỏi là đề biến hóa từ một bài toán nào đó mà giả thiết bị giấu đi hoặc khai thác một tính chất được tổng quát hóa hay mở rộng cho đối tượng khác)

2 Một số giải pháp

Đề giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường

kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:

Hướng dẫn học sinh vẽ hình trong không gian, giải thích các vẽ nhằm giúp học sinh vẽ hình đẹp, để dần giải quyết các bài tập Tăng cường vấn đáp

nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình không gian như quan hệ song song của hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng v v

Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS,Geogebra

Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia

từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất

Trong quá trình dạy học tỏi đề ra một hướng giải quyết là “Rèn luyện tư day giải toán Hình học cho học sinh thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng

và hình học không gian"

2.1 Góp ph ần rèn luyện kĩ năng học chủ đề quỹ tích của một điểm Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho hai nửa đường thẳng q và p cắt nhau tại I Một đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng q và p Một đường thẳng di động song song với  và cắt hai đường thẳng q, p lần lượt tại A và B Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB

Nh ận xét: Bài toán này có phương pháp giải khá đơn giản và được kết quả: Quỹ

tích trung điểm đoạn thẳng AB là đường thẳng IM trong đó M là trung điểm của đoạn thẳng AB (hình 1)

Bây giờ ta xét bài toán tương tự bài toán này trong không gian như sau:

Bài toán 1': Trong không gian, cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q), có giao tuyến

là đường thẳng d và một đường thẳng  cắt (P) và (Q) Một đường thẳng di động luôn song song với  cắt (P) và (Q) lần lượt tại A và B Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB

Gi ải

Ta xét trường hợp đặc biệt khi đường thẳng di động và song song với 

nằm trong mặt phẳng (R) chứa đường thẳng  và cắt đường thẳng d tại I

Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) và (Q) theo hai đường thẳng q và p Trong mặt phẳng (R) quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là đường thẳng IM như hình vẽ 2

Cho mặt phẳng (R) di động và song song với chính nó thì đoạn thẳng IM

vạch trên nửa mặt phẳng (d,M) và đó là kết quả bài toán

Tóm lại, quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là nửa mặt phẳng chứa đường thẳng d và trung điểm của một đoạn thẳng PQ bất kì

I

Hình 2

2.2 Góp ph ần rèn luyện kĩ năng học chủ đề khoảng cách lớn nhất

gi ữa hai điểm

Bài toán 2: Trong mặt phẳng, chứng minh rằng độ dài cạnh dài nhất của tam giác là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên cạnh của tam giác

Gi ải:

Gọi M, N là hai điểm bất kì nằm trên hai cạnh của tam giác ABC Ta xét trường hợp đặc biệt:

+ Nếu M và N lần lượt trùng với hai điểm là hai đỉnh của tam giác ABC

thì suy ra MN max AB, BC, CA   

+ Nếu M hoặc N trùng với một đỉnh của tam giác Giả sử M trùng với A

- Nếu N thuộc cạnh AB hoặc AC thì hiển nhiên

- Nếu N thuộc BC:

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC

Nếu N thuộc đoạn thẳng BH  MN AB 

Nếu N thuộc đoạn thẳng CH  MN AC 

 MN max AB, BC, CA   

+ Nếu M và N không trùng với đỉnh nào của tam giác

Giả sử M AB, N AC   Nối B với N (hình 3)

Như trên suy ra

MN max AB, BN, NA   max AB, NB, CA  max AB, BC, CA

Tóm lại ta luôn có: MN max AB, BC, CA   

Hình 3H

Bây giờ ta xét bài toán tương tự bài toán này trong không gian như sau:

Bài toán 2': Trong không gian, chứng minh rằng cạnh dài nhất của tứ diện là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên tứ diện

Nếu bài toán này trực tiếp giải thì đây có thể nói là một bài toán khá khó đối với học sinh phổ thông Tuy nhiên nếu ta nhìn bài toán này ở một góc độ đơn giản hơn thì ta dễ thấy có một bài toán trong hình học phẳng tương tự với bài toán này khi coi hình tứ diện trong hình học không gian tương tự với tam giác trong hình học phẳng

MN max AQ, AP, PQ   max AB, BC, CA, PQ, AP  max AB, BC, CA, BD, CD, AD

Vậy ta có: MN không lớn hơn cạnh lớn nhất của tứ diện nên cạnh dài nhất của tứ

diện là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên tứ diện (đpcm)

2.3 Góp ph ần rèn luyện kĩ năng học chủ đề diện tích tam giác, tứ giác Bài toán 3: Trong mặt phẳng, cho góc xOy và một điểm M nằm trong góc đó; 

là một đường thẳng qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác OAB đạt giá trị lớn nhất

Do SOPQ không đổi nên: maxS OAB = 4S OPQ

Dấu bằng có được khi OP OQ=

Từ đó ta có cách dựng: Qua M kẻ các đường thẳng song song với Ox và

Oy, cắt Oy và Ox lần lượt tại P và Q Qua M kẻ đường thẳng  song song với

PQ thì  là đường thẳng cần dựng

Nh ận xét: Qua lời giải trên ta thấy bước quan trọng nhất là kẻ thêm hình

(MP//Oy và MQ//Ox) và tìm mối liên hệ giữa diện tích của tam giác OAB và

Hình 6

diện tích tam giác cố định OPQ Khai thác phương hướng như vậy, ta giải quyết bài toán trong không gian như sau:

Bài toán 3': Trong không gian, cho góc tam diện Oxyz và một điểm M nằm trong góc tam diện; (α) là một mặt phẳng qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,

B, C Xác định vị trí của mặt phẳng   để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn

nhất

Gi ải

Qua M kẻ lần lượt các đường thẳng song song với các tia Ox Oy Oz, , ;

cắt các mặt phẳng Oyz, Ozx, Oxy lần lượt tại các điểm A', B' và C' (hình 4)

Do M cố định nên các điểm A', B' và C' cố định

Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của đường thẳng AM với OA', CM với OC', BM với OB' Suy ra P  BC, Q  AB, R  AC

Lấy các điểm A'',B'',C'' lần lượt đối xứng với các điểm A',B',C' qua điểm M Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A ,B ,C 0 0 0 sao cho:

Suy ra: VOABC  VOA'B'C'

 MinVOABC=27VOA'B'C'  MA' MB' MC'= =

 M là trọng tâm tam giác ABC

Từ đây ta có cách dựng hình của bài toán:

Gọi  là đường thẳng qua M và song song với Ox cắt mặt phẳng (Oyz) tại A'

Gọi (α) là mặt phẳng chứa Ox và M cắt mặt phẳng (Oyz) theo đường

thẳng '  A '

Trên ' lấy điểm P sao cho A' nằm giữa O và R thõa mãn: OP = OA'3

2

Đường thẳng MR cắt Ox tại A

Dựng các điểm B, C tương tự với điểm A

Theo chứng minh thì ta dựng được mặt phẳng  α qua M cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất Theo cách dựng thì

mặt phẳng  α là duy nhất (đpcm)

2.4 Góp ph ần rèn luyện kĩ năng học chủ đề tiếp tuyến

Bài toán 4: Trong mặt phẳng, tìm những điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với một đường tròn cho trước và vuông góc với nhau

Nh ận xét: Đây là một bài toán rất đơn giản và dễ dàng ta có kết quả: Quỹ tích

những điểm thỏa mãn bài toán là một đường tròn đồng tâm với đường tròn đã cho và có bán kính là 2R.( với R là bán kính đường tròn đã cho)

Với kết quả như vậy ta có thể dự đoán kết quả của bài toán sau:

Bài toán 4': Trong không gian, tìm quỹ tích những điểm từ đó có thể dựng đến một mặt cầu cho trước ba tiếp tuyến đôi một vuông góc nhau

D ự đoán: quỹ tích là một mặt cầu đồng tâm với mặt cầu đã cho