Tìm m để Cm cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.. Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới P vuông góc với nhau
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu 1: (5 điểm)
Cho hàm số y= x +
1
x
m
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2 Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại
đó vuông góc với nhau
Câu 2: (3 điểm)
1 Giải phương trình sau: x - 22006 + x - 12006 = 1
2 Giải bất phương trình sau: x log22 x - 2x log2 x - log22 x + 5 log2 x -
6
Câu 3: (4 điểm):
1 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng x-2;4
- x2 + 2x + 4 x2 2x 8+ m 0
x
x
) 4 sin(
2
2 sin
Câu 4: (5 điểm)
1 Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau Tính tổng tất cả các số đó?
2 Cho Parabol (P): y2 = 8x Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ
M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) vuông góc với nhau
Câu 5: (3 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 đứng có tất cả các cạnh bằng a Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1 và CC1, I là trọng tâm tam giác
Trang 2ABC Đường thẳng d qua I cắt AB1 và MN lần lượt tại P và Q Tính độ dài đoạn PQ theo a
Hết _
Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu 1: (5.0 điểm)
1 m = 1 hàm số trở thành y = x +
1
1
x
3đ
TXĐ: D = R 1; y’ = 1 '
) x ( 1 2
1
, y’ = 0
2
0
x
x
0,5đ
y’ > 0 <=> x (- ; 0) U (2; + )
y’ < 0 x(0;1) U (1; 2)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 0) và (2; + )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1; 2)
0,5đ
ycđ = y (0) = - 1 , yct = y (2) = 3
0,5đ
1
x
limy =
1 x
1
1
x
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x
lim (y - x) =
x
1
1
x = 0 ĐT y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số
x lim y =
1
1
x
0,5đ
Bảng biến thiên:
y’
x
-
-1
0
-
+
1
+
Trang 3y
Đồ thị:
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt trục Oy tại điểm (0; - 1)
2 Bài toán tìm m để:
1 ) ( ' ).
( '
0 1 2
1 y x x y x
m x
(1) x2 - x + m = 0 (3) có 2 Nopb x1, x2 khác 1
0 1
1
0
m
0
4 / 1
m m
0,5đ
1 1 ) (
1
x
m
) 1 (
1
2
x
m
= -1 m = 1/5 (Theo ĐL Viet PT (3)) 0,75đ
KL: m =
5
1
là giá trị cần tìm
0,25đ
Câu 2: (3 điểm)
có 2 N0pb x1, x2 khác 1 (1) 2,0đ
(2) 0,5đ
1
3
- 1
y
x
0.5đ
0.5đ
I
Trang 41 Giải phương trình: x -12006 + x -22006 = 1
1.5đ
Nhận xét: x = 1 và x = 2 là hai nghiệm của phương trình
0.5đ
+ x > 2 => x -1 > 1 => x -12006 > 1 => VT > 1 = VP => PTVN
+ x < 1 => x -1 > 1 => x -22006 > 1 => VT > 1 = VF => PTVN
0 < x -2 < 1 + 1 < x < 2 =>
0 < x -1 < 1 => VT < x -2 + x -1 = x - 1 + 2 - x = 1 = VF
=> PTVN 0.75đ KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2
0.25đ
2 ĐK: x > 0
1.5đ
BPT <=> (x + 1) log22 x - (2x + 5) log2 x + 6 > 0
<=> (log2 x - 2) (log2 x -
1
3
0.5đ
4 2
2 1 2
3 2 0 1 3 1
3
2
2 2
2
2
1 1
3
x log
x x log x x log (*) : x x
(Vì hàm số y = log 2 x -
1
3
x đồng biến trên (0; + ))
=> x
;
; 2 4 2
1
0.5đ
TH2: 2 <
1
1
x <=> x <
2
1
: (*) <=> 4
2
x
x => x (0;
2 1
)
Trang 5TH3: 2 =
1
3
x <=> x =
2
1
: (*) <=> (log2 x - 2)2 > 0, x > 0 => x = 1/2 t/m Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: (0;24;+)
0.5đ
Câu 3: (4 điểm)
1 Xét f(x) = - x2 + 2x + 8 với x -2;4
2,0đ
Ta có: x0 = 1-2;4, f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) = 0
=> Tập giá trị của f(x) trên -2;4 là (0;9
1,0đ
Đặt: t = x2 2 x 8, 0 < t < 3
=> Bài toán <=> tìm m để t2 + 4t + m - 8 > 0, t 0;3
0.5đ
Xét g(t) = t2 + 4t + m - 8 trên đoạn 0;3
Ta có: t0 = 2 0;3, g(t) đồng biến trên đoạn 0;3, g(0) = m - 8,
g(3) = m + 13 Suy ra g(t) > 0, t 0;3 <=> m - 8 > 0 <=> m > 8
0.5đ
dx ) x sin(
) x cos x (sin dx
x cos x sin
) x cos x (sin
4 2
1 1
2
2,0đ
) x sin(
dx 4 2
1
0.5đ
) x ( Sin
) x sin(
) x sin(
dx
4
4 4
2
dx
0.5đ
Trang 6=
)) x cos(
))(
x cos(
(
) x cos(
d
4
1 4 1
4
2 1 4
1 4 2
1
C )
x cos(
) x cos(
0.5đ
) x cos(
) x cos(
1 4
1 4 2
2
1
0.5đ
Câu 4: (5 điểm)
1 - Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được 3
6
A = 120 số tự nhiên có 3
2,5đ
chữ số khác nhau
- Tính tổng các số lập được:
0.5đ
5
A số có chữ số 6 đứng ở hàng đơn vị
5
A số có chữ số 5 đứng ở hàng đơn vị
5
A số có chữ số 4 đứng ở hàng đơn vị
5
A số có chữ số 3 đứng ở hàng đơn vị
5
A số có chữ số 2 đứng ở hàng đơn vị
5
A số có chữ số 1 đứng ở hàng đơn vị
=> Tổng các chữ số hàng đơn vị là:
2
5
A (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6) = 420
1,0đ
Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là: 420
Trang 7Tổng các chữ số hàng trăm là: 420 0.5đ
Vậy tổng các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là:
420 100 + 420.10 + 420 = 46620
0.5đ
2 Gọi M (x0; y0), hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của (P) qua M là d1và d2
2,5đ.
Giả sử PT d1 là: A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (A2+B2 0)
<=> Ax + By - (Ax0 + By0) = 0 0.5đ
=> Phương trình d2 là: Bx - Ay - (Bx0 - Ay0) = 0
0.5đ
Theo giả thiết: d1, d2 tiếp xúc với (P) nên ta có hệ phương trình
0.5đ
4B2 = 2A (-Ax0 - By0) (1) 4A2 = 2B (-Bx0 - Ay0) (2)
Từ hệ phương trình suy ra A.B 0
0.5đ
Từ (2) ta có: y0 =
AB
A x B AB
x B
2 0 2
2
2
thay vào (1) ta được x0 = -2 0.5đ
Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng x = -2
0.5đ
Câu 5: (3 điểm)
P
J
C 1
Trang 80,25
đ
Theo giả thiết lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều cạnh a, ba mặt bên
là ba hình vuông cạnh a
0.25đ
- Dựng PQ: Kẻ qua I đường thẳng song song CB cắt AB tại F Trong mặt phẳng (ABA1B1), đường thẳng FM cắt đường thẳng AB1tại P
IF // BC // MN => Trong mặt phẳng (IFMN) đường thẳng IP cắt MN tại
Q Vậy P, Q là hai điểm cần xác định
1,0đ
- Tính PQ: Đường A1B1 cắt PF tại J Do M là điểm BB1 nên BF = B1J
I là trọng tâm tam giác đều ABC nên BF =
2
1
AF = a/3
=> B1J =
2
1
AF => 4PM = 3FP (vì M là trung điểm của FJ và J là trung điểm PF) => 4 PQ = 3 PI
0.5đ
- Mặt khác: FP = 4 MF = 4
3
13 2 2
BF
FI =
3
1
BC =
3
a
, MI =
3 2
7 2
BI
BM
B1
M N
A1
Q
I
A F
Trang 9=> Cos IFM =
13
1 2
IM IF
IM FM IF
0.5đ
=> IP2 = IF2 + FP2 - 2IF.FP cos IFM =
3
57 9
IP
a
=> PQ =
4
3
PI =
4
57 a
Vậy PQ =
4
57 a
0.5đ
(Thí sinh có thể làm bài này theo phương pháp toạ độ)
Hết _
