Từ một điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM.. AN với đường tròn M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC.. Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắ
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (5 điểm):
a) Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: 2 2
7
a b M Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 7
b) Cho A = n2012 + n2011 + 1
Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố
Câu 2 (4.5 điểm)
a) Giải phương trình:
2
x x x
b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn:
xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
yz zx xy M
Câu 3 (4.5 điểm)
a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6
Chứng minh rằng:
2 2 2
3
x y z b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
P
Câu 4 (6.0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một dây BC cố định không đi qua O Từ một điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC) Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P
a) Chứng minh rằng: NP song song với BC
b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng OI là K Xác định vị trí của điểm
A trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất
- Hết -
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN 2012
Câu 1:a) Nhận xét: nếu a không chia hết cho 7 thì a2 chia cho 7 dư 1,2,4
thực vậy khi a không chi hết cho 7 thì a có dạng a=7k 1,a=7k 2,a=7k 3
từ nhận xét trên
*) nếu a không chia hết cho 7 và b không chia hết cho 7 thì a2+b2 chia cho 7 dư là
2,3,4,6 ( 1)
*)Nếu aM7 và b không chia hết cho 7 thì a2+b2 không chia hết cho 7 (2)
*)Nếu a không chia hết cho 7 và b M 7 thì a2+b2 không chia hết cho 7(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra a và b phải chia hết cho 7
b) A = n2012 + n2011 + 1
Nếu n=0 => A = 1(loại)
Nếu n = 1 => A =3( thoả mãn)
Nếu n > 1 thì A> 3
Xét A = n2012 + n2011 + 1
=> A=[(n670)3-1]n2 + [(n670)3-1]n +n2 + n + 1
=> AM( n2 + n + 1) mà A> n2 + n + 1 nên A là hợp sô
Vậy n= 1 thì A nhận giá trị là một số nguyên tố
Bài 2:a)
2
Đặt
1 0
5
x
x
=> u2-v2=4 x
x
Thay vào phương trình ban đầu ta có : u2-v2+u-v=0
<=> (u-v)(u+v+1)=0
<=> u-v=0 ( vì u+v+1>0)
=>x=2 hoặc x=-2 bằng cách thử trưc tiếp ta thấy x= 2 thoả mãn bài toán
b)nhận xét nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3=3abc
áp dụng nhận xét trên vào biểu thức M ta có
( ) ( ) ( ) 3( )
3
yz zx xy yz yx xz xyz
M
Bài 3:a) Từ x2+1 2x
y2+1 2y
z2+1 2z
2(x2+y2+z2) 2(xy+yz+xz)
Trang 3cộng các BĐT trên ta có
3(x2+y2+z2)+3 2(x+y+z+xy+yz+xz)
=> 2 2 2
3
x y z (ĐPCM)
b)Xét
a b a b ab
Tương tự:
3
2 2
2
b
b c ,
3
2 2
2
c
c a
cộng BĐT trên ta có
2 2 2 2 2 2
3
P
vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3/2 khi a=b=c=1
Câu 4:
K
I
C
O
P
N
B
M
A
Câu a)
Ta có 5 điểm A,M,I,O,N thuộc cùng một đường tròn bán kính OA
2
Mặt khác ·NOM 2·AOM mà ·2 AOM ·NPM (2)
từ (1) và (2) => ·AIM ·NPM
=> BC//NP
Câu b:
SOKN=1/2OK.KN
1
OK ON R
Vậy điện tích lơn nhất của tam giác ONK là R2/4 khi MO = MA