ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN TOÁN - VÒNG 1 pptx

2 Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a].. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.. Trên đường thẳng tiếp xúc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM

2010

MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

1) Giải hệ phương trình



















2

23 12

8 3

2 2

2 2

y x

xy y

x

2) Giải phương trình

2x 1 3 4x  2x 1  3 8x 1

Câu II

1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

1x21y24xy2xy1xy25 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a] Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có

2

1.2 2.3 n n 1



Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB300 Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với đường tròn (O)

1) Tính độ dài đường thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo

R

2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B) Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC

Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức

4

9 ) 1 )(

1 ( a b  , hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P 1a4  1b4

_

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm

Giải

Vòng I Câu I

1)Giải hệ phương trình



















2

23 12

8

3

2

2

2 2

y

x

xy y

x

2 3x 8y 12xy 23 x y 0

17x 24x4 7y 0

x y 17x 7y 0

x y

7y

x

17









 



 Với xy ta có

x x 22x 2x  1 x  1 y  1

 Với x 7y

17

 ta có

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   1;1 ; 1; 1 ; 7 17; ; 7 ; 17

2) Giải phương trình

2x 1 3 4x  2x 1  3 8x 1.(1)

Đk x 1

2

 

1  2x 1 3 4x  2x 1  3 2x 1 4x 2x 1

Đặt

2













 Với a=3

2x 1  3 2x 1 9  x4

 Với b=1

2 2 2

x 0

x 2







 



Vậy nghiệm của phương trình là

1 x 2



 















Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

1x21y24xy2xy1xy25

2

1 x y x y 4xy 2 x y 1 xy 25

x 0; y 4

x 4; y 0





Vậy các số nguyên không âm thỏa mãn đề bài là 0; 4 ; 4; 0   

2)Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a] Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có

2

1.2 2.3 n n 1



Ta có

2

1

 

 

Thay vào ta được

2

 

    Vậy  A n (đpcm)

Câu III

1)Ta có  AC 0

AB



0

AH R 3

2) Ta có ACB HAB (cùng phụ với CAH ) 

Mà HABHNB (cùng bằng 1

2 số đo cung HB )

HNBACB

Từ đó tứ giác CMNH nội tiếp Tâm đường tròn nội tiếp CMNH thuộc đường trung trực của CH cố định

Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức

4

9 ) 1 )(

1 ( a b  , hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P 1a4  1b4

Ta có:

 

2

2

1 a 1 b 9

  

Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2 2  2  2

a b  c d  ac  c d Dấu bằng xảy ra khi

2 2

2



      (Bất đẳng thức Bunhiacopxki)

4 2



Dấu bằng xảy ra khi a b 1

2