SKKN xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh THPT

Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này được ứng dụng giải quyết một số bài toán sau: + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao 2021-2022 ĐHCN-ĐHQG

1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình

1 Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm:

T

Nơi công tác

Chức danh

Trình

độ chuyên môn

Tỷ lệ % đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến

Ghi chú

Kim Sơn A

Thư ký HĐGD Đại học 40%

Đồng tác giả

2 Đinh Cao Thượng THPT

Kim Sơn A

Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20%

Đồng tác giả

3 Lê Thị Lan Anh THPT

Kim Sơn A

Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20%

Đồng tác giả

4 Nguyễn Xuân Trường THPT

Yên Mô A

Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20%

Đồng tác giả

Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp - Xác suất của học sinh THPT

2 Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến:

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo

- Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020

3 Các từ viết tắt:

- THPT: Trung học phổ thông

- SGK: Sách giáo khoa

2

4 Nội dung sáng kiến

4.1 Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ

Trong chương trình toán THPT các bài toán đếm và xác suất luôn là các bài toán khiến đa số học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng

Xét bài toán nổi tiếng trong toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler”

“Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé”

Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này được ứng dụng giải quyết một số bài toán sau:

+ Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao (2021-2022) (ĐHCN-ĐHQGHN)

Alice vừa đoạt giải quán quân trong một kì thi lập trình danh giá Ban tổ chức

trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có quà đặc biệt Alice được phép chọn ra đúng k hộp và lấy tất cả quà trong k hộp

đã chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, không có hai hộp quà đặc biệt nào được xếp

cạnh nhau Nhằm tăng xác suất chọn được cả k hộp quà đặc biệt Alice quyết định sẽ chọn k hộp quà mà không có hai hộp nào cạnh nhau

Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n và k Gọi C là số cách chọn k hộp mà không có

hai hộp nào đứng cạnh nhau trong dãy n hộp, hãy tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép

toán chia lấy dư)

+ Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO)

Bài 6: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau

khi chia có thể có hộp không có viên bi nào)

a Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hau cách chia là khác nhau)

+ Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020

Câu 39 Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang Xếp ngẫu nhiên 6 học

sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng:

- (Bài toán liên quan vấn đề trồng rừng) Ông An trồng 3 cây lim, 4 cây long

não và 5 cây xà cừ trên một hàng một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có 2 cây

xà cừ nào được trồng cạnh nhau?

- (Bài toán bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu,

ứng cử viên B được b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu?

- (Bài toán mua vé): Có m + n m n người đang đứng quanh quầy vé, trong đó

có n người chỉ có tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000 Đầu tiên ở quầy không có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có bao nhiêu cách xếp m + n người thành một hàng để không

một người nào phải chờ tiền trả lại?

Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết các bài toán trong nội dung này

Các bài toán nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất phát từ những vấn đề trong thực tế Điều này phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT mới 2018 nhằm phát triển năng lực giải quyết tình huống

Để giải quyết các bài toán cần sử dụng toán nền tảng (kiến thức chương II ĐS&GT 11 Tổ hợp – Xác suất theo chương trình hiện tại và còn được trang bị trong nội dung chương trình cả 3 khối 10,11,12 theo chương trình GDPT mới 2018) và sử dụng phương pháp tư duy được đề cập đến trong bài toán “Chia kẹo Euler”

Sách giáo khoa viết còn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ chủ yếu dừng lại

mức nhận biết và thông hiểu; trong khi nội dung này được đề cập đến trong các đề thi đại học ; thi THPT Quốc gia trước đây (bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia; thi kiểm tra đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả mức

4

vận dụng và vận dụng cao Mặt khác các bài tập được đề cập trong sách giáo khoa cũng

không được phân chia theo dạng và định hướng các phương pháp tư duy cho học sinh

Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như không đề cập đến

một cách hệ thống các bài toán theo phương pháp tư duy được trình bày trong lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” mà chỉ xuất hiện rải rác

Vấn đề dạy học của giáo viên:

Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tổ hợp xác suất giáo viên gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho bài toán, chia các dạng toán sao cho hợp lý nhất Thông thường đa số giáo viên chỉ dạy sao cho học sinh nắm được càng nhiều bài càng tốt, để từ đó khi đi thi gặp bài quen thuộc là có thể làm được Hoặc nếu có định hình chia dạng để dạy cho học sinh thì cũng chỉ là chia theo đặc điểm của đối tượng tham gia vào bài toán (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rất nhiều cách tư duy để giải

quyết (đa dạng phương pháp trong cùng một dạng) Điều này hạn chế tính logic trong

việc xâu chuỗi các bài toán trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng toán Từ đó không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán

- Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấp

các dạng bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn:

+ Vận dụng kết quả của bài toán “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng 6) + Vận dụng tư duy của lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” đó là tư duy

“vách ngăn”

cùng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh

- Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất

5

- Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ thống, có phân chia các mức độ, quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giải trên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp các bài toán lạ

- Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân

* Nội dung giải pháp trong sáng kiến (Phụ lục 1)

Có thể được tóm tắt như sau:

- Phần thứ nhất: Cung cấp lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của đại số tổ

hợp và xác suất

- Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung bài toán “chia kẹo Euler”, cách giải và các kết quả

- Phần thứ ba: Xây dựng một số dạng toán thường gặp vận dụng kết quả và cách tư duy

của bài toán “chia kẹo Euler”, cụ thể gồm 7 dạng:

+ Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm

+ Dạng 3: Đếm số

+ Dạng 4: Đếm số tập con

+ Dạng 5: Đếm hình học

+ Dạng 6: Lưới tọa độ

+ Dạng 7: Các bài toán vận dụng “tư duy vách ngăn”

- Phần thứ tư: Hệ thống bài tập vận dụng dưới hình trắc nghiệm

- Phần thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức

giúp học sinh nắm được bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống có liên quan trong quá trình học tập

Như vậy: Giải pháp mới đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học

tập Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, không phải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trình mua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn Do

đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo một khuôn mẫu định sẵn

6

Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh được học ngay trên lớp Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận Việc vận dụng một cách phù hợp vào từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiện trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em học sinh

5 Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

5.1 Hiệu quả về kinh tế:

+ Tài liệu in ấn giá thành thấp

+ Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh được việc học thêm gây lãng phí và tốn kém

5.2 Hiệu quả xã hội

+ Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành Sáng kiến tập

trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải Hệ thống ví dụ và bài tập mang tính sáng tạo, đáp ứng được yêu cầu về đổi mới Bài tập được xây dựng kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm; đặc biệt bài tập tự luyện chỉ xây dựng dưới hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử hiện tại Các bài toán trong đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây; đề thi HSG tỉnh và quốc gia và các đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách định hướng tư duy của giải pháp có thể giải quyết một cách dễ dàng

+ Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh, phù hợp với các yêu cầu

của chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập Phát huy được sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập Từ đó tự tin tham gia các kì thi kiểm tra định kì hoặc các cuộc thi học sinh giỏi;

+ Tính kết nối và chia sẻ: Thông qua trao đổi và chia sẻ sáng kiến này với các

giáo viên trong trường cũng như các đơn vị khác đã giúp giáo viên trong việc dạy học theo phương pháp mới, xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều công sức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có được một số dạng toán hay để có thể áp dụng trong quá trình biên soạn đề thi Trong nhóm tác giả của sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề thi của Sở; ngân hàng đề thi của

Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ

7

+ Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh khi học tập và nghiên

cứu cần đề cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn

Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau:

Số lượng học sinh được

nhận giải thưởng Đinh

Điểm trung bình môn

Toán trong kì thi tốt

Số lượng học sinh

được nhận giải thưởng

Đinh Bộ Lĩnh do có

kết quả cao trong kỳ

thi THPT Quốc gia

Điểm trung bình môn

Toán trong kì thi tốt

- Các thầy cô trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảng dạy trực tiếp bộ môn Toán cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20

- Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 môn Toán, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bình ở 2 khối thi là B và D07

6 Điều kiện và khả năng áp dụng:

6.1 Điều kiện áp dụng:

- Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hiện hành; sau này cả lớp 10,11,12 THPT và học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới)

- Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT

+ Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018;

xu thế ra đề thi trong các kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL…

+ Trong tình hình dịch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể phải tiến hành theo hình thức trực tuyến Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trò có hạn chế hơn, yêu cầu với người học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìm tòi Vì vậy, càng thấy được tính khả thi của giải pháp được đề cập đến

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Ninh Bình, tháng 05 năm 2021

ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ

Doãn Huy Tùng

10

PHỤ LỤC 1 Phần 1 MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn tập cho các lớp và ôn thi học sinh giỏi tại 02 nhà trường THPT Kim sơn A và THPT Yên Mô A Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn

Nội dung sáng kiến được nhóm tác giả xây dựng thành các dạng toán thường gặp trong đó vận dụng kết quả và tư duy lời giải của bài toán “chia kẹo Euler”, ở mỗi dạng được thiết kế theo cấu trúc:

Ví dụ – Lời giải – Nhận xét, hướng suy luận và tư duy

Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn là tư liệu để các

em học sinh tự học một cách tốt nhất Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày trong sáng kiến

Phần 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VẬN DỤNG KẾT QUẢ VÀ TƯ DUY LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER”

2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

2.1.1 Hai quy tắc đếm cơ bản

Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n A  hoặc A.

2.1.1.1 Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện

+ Quy tắc cộng còn được mở rộng đối với các tập hợp hữu hạn, có giao khác rỗng Có

thể chứng minh được rằng, với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có:

Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho công việc được hoàn thành bởi nhiều hành động liên

tiếp

2.1.2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

2.1.2.1 Hoán vị

11

Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A

được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Số các hoán vị của n phần tử: P n n! n n.  1 2.1.

2.1.2.2 Chỉnh hợp

Cho tập A gồm n phần tử n 1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của

tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

A C k

Chú ý: n A  là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A,

còn n   là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử

Chú ý: Tính chất c) là công thức cộng xác suất và ta có hệ quả:

P A   1 P A A , là biến cố đối của biến cố A

2.2 BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER”

2.2.1 Nội dung bài toán:

Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé?

2.2.2 Lời giải:

Trước hết ta xét các bài toán sau:

12

Bài toán 1: “Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé sao cho em nào cũng

có kẹo, n k n k ; ,  ¥ ” *

Đặt n cái kẹo trên một hàng ngang, khi đó giữa n chiếc kẹo sẽ có n – 1 khoảng trống

Nếu ta đặt k – 1 chiếc que vào k – 1 khoảng trống bất kì trong số n – 1 khoảng trống trên ta thấy n chiếc kẹo sẽ được chia thành k phần để cho k em bé theo thứ tự

Do đó số cách chia kẹo bằng số cách chọn k – 1 khoảng trống trong số n – 1 khoảng trống tức

+ Từ lời giải trên ta nhận thấy, khi xếp các đối tượng trên một hàng thì giữa các đối

tượng luôn hình thành khoảng trống (hay còn gọi vách ngăn), và dễ thấy rằng để hai đối tượng trên

hàng đó không đứng cạnh nhau ta chỉ cần xếp một đối tượng khác vào khoảng trống đó Để cho đơn

giản ta gọi đây là “tư duy vách ngăn”

+ Nếu gọi số kẹo nhận được của k em bé ứng với mỗi cách chia lần lượt là x x1, , ,2 x k

thì x1x2  x k  Và hiển nhiên, số nghiệm của phương trình đó bằng chính số cách chia Từ đó n

ta có kết quả bài toán sau

Bài toán 2: “Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

Nhận xét: Đến đây, theo sự tương ứng giữa số cách chia kẹo và số nghiệm của phương trình thì

đáp số của bài toán “chia kẹo Euler” là: 1

2.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Từ kết quả của bài toán chia kẹo Euler cũng như cách tư duy để tìm ra kết quả đó, ta rút ra được một số kết luận quan trọng sau:

* KẾT LUẬN 1: Số cách chia (phân phối) n cái kẹo (sản phẩm) cho k em bé (đối tượng) sao

cho em nào cũng có kẹo (đối tượng nào cũng có sản phẩm) hay số nghiệm nguyên dương của phương



* KẾT LUẬN 2: Số cách chia (phân phối) n cái kẹo (sản phẩm) cho k em bé (đối tượng) hay

số nghiệm nguyên không âm của phương trình *

Sau đây ta sẽ xét một số dạng toán đếm thường gặp vận dụng các kết luận trên đây

2.3.1.DẠNG 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình

Ví dụ 1: Cho phương trình: x1x2x3x4 20 Tìm số nghiệm nguyên của

+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là: C233.

+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn x ³1 4 : Đặt y1= x1- 4 ®

Số nghiệm là: 3

19

C Suy ra: số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện: 3 3

23 19 802.

C - C =

Nhận xét:

Khi đếm số nghiệm có điều ràng buộc:

+ Điều kiện ràng buộc dạng: x i³ d i ® đặt ẩn phụ

+ Điều kiện ràng buộc dạng: x i£ d i

- Nếu chỉ có 1 biến có điều kiện đó thì áp dụng 2 cách trên

- Nếu có nhiều biến có điều kiện ràng buộc ta áp dụng cách giải 2 nhưng cần chú ý quy tắc bao hàm và loại trừ Cụ thể ta xét trong ví dụ tiếp theo

Ví dụ 2: Cho phương trình: x1x2x3x4 17 Tìm số nghiệm nguyên của

y + y + y + y = với điều kiện y i£ 2, " =i 1, 4.

* Gọi Y là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*), suy ra: 3

+ Cách 1: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình bằng tổng số nghiệm nguyên

không âm của 12 phương trình: x1+ x2+ x3+ x4= i i, = 0,11.

Số nghiệm là: 11 3

3 0

1365.

i i

+ Ta có thể hiểu đơn giản hơn rằng, việc phân phối 4 viên bi cho 3 hộp cũng là công việc chia

4 cái kẹo cho 3 em bé Do đó có thể suy ra ngay đáp án bài toán

+ Từ đó, một cách khác ta có thể phát biểu bài toán chia kẹo Euler theo “ngôn ngữ” khác như sau: Số cách phân phối n sản phẩm cho k đối tượng là: k 1 1

n k

C + - (trong toán học đây chính là số tổ hợp

-lặp chập n của k phần tử) Do đó, khi giải các bài toán tương tự ta có thể sử dụng ngay “ngôn ngữ” này

để giải quyết rất nhanh gọn

Ví dụ 2: Một cửa hàng có 6 loại kem khác nhau Một người khách muốn mua 9 que

kem Hỏi người khách đó có bao nhiêu sự lựa chọn?

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp (phân phối) 30 viên bi giống nhau vào 5 chiếc hộp

khác nhau sao cho:

1 Cách xếp là bất kì về số lượng viên bi trong mỗi hộp

1.Cách 1: + Ta viết các chữ số 1,2,3, ,9 theo thứ tự tăng dần

+ Ta chọn 5 số dãy 9 số đó được 1 số thỏa mãn

Do đó số các số thỏa mãn là: 5

9 126.

C = Cách 2: + Từ tổ hợp 9 chữ số tự nhiên ta chọn ra 5 chữ số khác nhau: 5

Nhận xét: cách lập luận thứ 2 là cách lập luận thông thường với các bài toán lập số, tức là

2.+ Chọn thành phần : chọn 5 số từ 9 số (các chữ số có thể lặp lại) bằng cách phân phối 5 số chọn được cho 9 chữ số tự nhiên, do đó số cách chọn là: 5

Ví dụ 4: (Vé hạnh phúc) Mỗi vé xe có một dãy 6 chữ số được gọi là vé hạnh phúc nếu

tổng 3 chữ số đầu bằng tổng 3 chữ số cuối Hỏi có tất cả bao nhiêu vé hạnh phúc?

Ví dụ 1: Cho tập hợp A gồm 100 số nguyên dương đầu tiên Tìm số tập con của tập hợp

A có 3 phần tử sao cho không có 2 phần tử nào của mỗi tập con đó là hai số tự nhiên liên

không được chọn trong tập con, số cách đặt là: 3

98

C Đó cũng chính là số tập con thỏa mãn điều kiện

Nhận xét: Rõ ràng cách đếm số 2 có vẻ ngắn và nhanh hơn, cách làm đó vận dụng tư duy vách

ngăn để giải quyết Tuy nhiên, cách làm đó chỉ áp dụng với bài có yếu tố không liên tiếp Còn cách làm số 1 áp dụng ngay cả khi khoảng cách giữa các phần tử của tập con tùy ý

Ví dụ 2: Một tháng làm việc tại công ty, Lan được nghỉ phép 4 ngày Hỏi Lan có bao

nhiêu cách chọn 4 ngày nghỉ phép trong tháng 1 năm 2021 sao cho không có 2 ngày nghỉ phép nào liên tiếp?

LỜI GIẢI

18

Tháng 1 năm 2021 có 30 ngày, khi chọn được 4 ngày nghỉ thì sẽ còn lại 26 ngày không được nghỉ

Ta đặt 4 ngày nghỉ vào 27 khoảng trống được tạo ra từ 26 ngày không được nghỉ, mỗi cách đặt

đó cho ta một cách chọn thỏa mãn yêu cầu Do đó, số cách chọn thỏa mãn: 4

27

C

Ví dụ 3: Cho tập hợp A gồm 2021 số nguyên dương đầu tiên Có bao nhiêu tập con của A

có 3 phần tử sao cho tổng các phần tử của tập con đó bằng 2019?

+ Số nghiệm nguyên dương mà a = b = c là: 1 nghiệm là (673;673;673)

+ Số nghiệm nguyên dương mà a= ¹b c: Phương trình (*) Û 2a+ =c 2019 ® c lẻ

Suy ra số nghiệm là: 1009 1 1008 - = , (trừ đi c nhận giá trị 673 và 2019)

+ Tương tự với 2 trường hợp a c b c b a= ¹ ; = ¹ cũng có số nghiệm là 1008

Do đó số nghiệm thỏa mãn yêu cầu: 2

Ví dụ 1: Cho đa giác đều có 2021 đỉnh Có bao nhiêu tam giác, tứ giác có đỉnh là đỉnh của

đa giác đều đã cho sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều đã cho?

LỜI GIẢI

Từ giả thiết suy ra các đỉnh của tam giác, tứ giác không là các đỉnh kề nhau của các đỉnh đa giác ban đầu, từ đó cho ta ý tưởng cách giải như dạng toán tập con Nhưng do các đỉnh của đa giác được xếp trên đường tròn nên khi đếm ta cần cố định một đỉnh trước, tức là chọn 1 đỉnh của tam giác,

tứ giác thỏa mãn trước

+ Đếm số tam giác thỏa mãn: Giả sử tam giác ABC là tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa

giác đều đã cho mà không cạnh nào là cạnh của đa giác

2021.

1369655952 3

C

=

19

+ Tương tự với số tứ giác thỏa mãn:

3 2016

2021. .4

C

Nhận xét: Dễ dàng có thể suy ra bài toán tổng quát: đếm số k – giác từ n – giác đều sao cho

không có cạnh nào của k – giác là cạnh của n – giác Đáp số là:

1 1

.

k

n k

n C k

-Ví dụ 2: Cho đa giác đều có 2013 đỉnh Người ta tô màu đỏ cho 100 đỉnh của đa giác đều

đó Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho giữa 2 đỉnh được tô có ít nhất 3 đỉnh không được tô màu?

LỜI GIẢI

+ Chọn đỉnh tô đầu tiên A : có 2013 cách chọn 1

+ Chọn 99 đỉnh còn lại: Gọi x x1, , ,2 x100 là số đỉnh giữa 100 đỉnh với nhau

2013.

100

C

Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích bằng 27 Một điểm P nằm trong tam giác được gọi là

“điểm tốt” nếu có thể tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giác thành 27 tam giác con có

cùng diện tích? Đếm số điểm P?

LỜI GIẢI

+ Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC đều thuộc 27 tia chung gốc P của điểm tốt P

- SDPAB,SDPBC,SDPCA đều là các số nguyên dương

+ Với mỗi điểm tốt P , đặt x= SDPBC,y= SDPCA,z= SDPAB® x+ + =y z 27,(*).

Dễ thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) là 2

26 325.

C =

Bổ đề: “Với mỗi điểm P nằm trong tam giác ABC, ta luôn có:

0

xPAuur+ yPBuur+ zPCuuur= r ”

Từ hệ thức này ta dễ dàng chứng minh được rằng với mỗi bộ (x; y; z) chỉ tồn tại duy nhất một điểm P

Do đó, số điểm tốt P là: 325

2.3.6 DẠNG 6: Lưới tọa độ

Ví dụ 1: Cho 1 lưới gồm các ô vuông, các nút được đánh số từ 0 đến m theo chiều từ trái

sang phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên (như hình vẽ):

20

Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0; 0) đến nút (m; n) nếu chỉ cho phép

đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên

LỜI GIẢI

+ Một con đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán trên trải qua m + n bước do mỗi bước chỉ có 2

cách di chuyển (đây cũng chính là con đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đến nút (m; n))

+ Trong m + n bước đó, ta chọn ra m bước để để di chuyển sang phải, còn n bước còn lại ta di

chuyển lên trên Khi đó số con đường di chuyển là: m n .

m n m n

Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 ô vuông như hình vẽ dưới đây, người chơi chỉ được di chuyển

quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được một cạnh Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A đến điểm B bằng 9 bước?

2.3.7 DẠNG 7: Vận dụng tư duy vách ngăn

Ví dụ 1: Thầy Bình trồng 3 cây lim, 4 cây long não và 5 cây xà cừ trên một hàng một

cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau?

LỜI GIẢI

21

+ Ta có: W= 12!.

+ Biến cố A: “Không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau”

- Trồng 7 cây gồm lim và long não có 7! cách

- Mỗi cách trồng 7 cây đó, giữa 7 cây có 8 khoảng trống, ta chọn 5 khoảng trống trong 8 khoảng trống đó để trồng các cây xà cừ, số cách chọn vị trí là: C85

Ví dụ 2: Trong một giải bóng đá có 10 trận đấu được diễn ra trong vòng 30 ngày Hỏi ban

tổ chức có bao nhiêu cách sắp xếp lịch thi đấu các trận đấu sao cho 2 trận đấu kề nhau phải cách nhau ít nhất một ngày?

LỜI GIẢI

Dựa theo giả thiết ta suy ra ngày thứ 1 và ngày thứ 30 mỗi ngày có 1 trận Do đó số cách sắp xếp các trận bằng số cách đặt 8 trận còn lại vào 19 khoảng trống giữa 20 ngày mà không có trận đấu diễn ra Do đó, số cách sắp xếp lịch thi đấu là: 8

19 75582.

C =

Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh được xếp theo một hàng ngang sao cho khoảng cách giữa hai

người cạnh nhau là 0,5 mét Có bao nhiêu cách chọn ra 10 học sinh trong hàng đó để sau khi chọn ra không tồn tại khoảng trống lớn hơn 1 mét giữa hai học sinh cạnh nhau trong số các học sinh còn lại trong hàng?

LỜI GIẢI

Yêu cầu bài toán chính là số cách chọn ra 10 người trong hàng sao cho không có 2 người nào đứng cạnh nhau Giữa 26 người không được chọn có 27 khoảng trống, số cách đặt 10 người được chọn vào 27 khoảng trống cũng chính là số cách chọn thỏa mãn yêu cầu

Do đó, số cách chọn là: 10

27 8436285.

C =

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế ngồi mà không có hai

bạn nữ nào được xếp cạnh nhau, nếu:

2.4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

DẠNG 1: ĐẾM SỐ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình: x1x2x3x4 10

Câu 3:Một nhóm học sinh gồm 4 bạn, mỗi bạn mang một số thứ tự 1; 2;3; 4 Cô giáo có bao nhiêu

cách chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấy số kẹo của mỗi bạn trừ đi số thứ tự của bạn đó ta luôn được một số không âm?

Câu 4:Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số

từ S Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số T mà tổng các chữ số T chia hết cho

C

3 14198 4 9000

C

3 36378 4 9000

C A

DẠNG 2: ĐẾM SỐ CÁCH PHÂN PHỐI ĐỒ VẬT, SẢN PHẨM

Câu 1: Xét tập Aa a1 ; ; ; 2 a n Số tập con của tập A là:

Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1,2,3,4,5 (sau khi

chia có thể có hộp không có viên bi nào) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp?

Câu 4:Có bao nhiêu cách chia 30 chiếc bánh cho An, Bình, Chi (có thể có bạn không được chiếc bánh

nào) sao cho An luôn hơn Bình ít nhất 5 cái bánh và số bánh của Chi luôn là 1 số lẻ ?

23

Câu 3:Cho tập hợp A 1; 2;3; 4;5;6 Gọi Slà tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S Tính xác suất để chọn được số có tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối 3 đơn vị

Câu 1: Từ 2021 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên sao cho không có hai số

liên tiếp nào được chọn?

Câu 2:Mỗi tháng Minh được chọn 5 ngày để nghỉ ngơi, nhưng không được phép chọn hai ngày nghỉ

liên tiếp Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn ngày nghỉ cho mình?

Câu 3: (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 001101001111011 có 4 cặp 01, 3 cặp 10, 5 cặp 11 và 2 cặp

00 đứng cạnh nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu xâu nhị phân cùng tính chất như thế?

A.560 B 640 C.540 D 420

Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dãy có 7 ghế mà:

 Mỗi ghế có một người ngồi

 Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy

 Ở giữa hai cô gái không có quá hai người

DẠNG 5: ĐẾM HÌNH HỌC

Câu 1: Cho đa giác lồi n cạnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác Có bao nhiêu tứ giác có đúng

một cạnh chung với đa giác?

Câu 2: (HSG Tỉnh Quảng Trị 2014) Có 17 cây cau trồng xung quanh một cái ao hình tròn Người ta

muốn chặt đi 4 cây Hỏi có mấy cách chặt sao cho không có 2 cây kề nhau bị chặt?

24

Câu 4: Trong không gian Oxyz, gọi S là tập hợp các điểm nguyên nằm phía trong hoặc ở trên đỉnh,

cạnh và mặt của hình lập phương cạnh 999, trong đó các cạnh song song hoặc vuông góc với trục tọa

độ, một đỉnh là gốc tọa độ và một đỉnh đối với nó là (999;999;999) Hỏi mặt phẳng x y z   2016 đi qua bao nhiêu điểm trong tập hợp S?

Câu 3: Một con thỏ di chuyển tử địa điểm A đến nhà tại địa điểm B bằng cách đi qua các điểm nút (

trong lưới như hình vẽ) biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì sẽ bị cáo ăn thịt Hỏi thỏ có bao nhiêu cách về nhà nhanh nhất mà không bị cáo ăn thịt

A.30 B 2 2 5 4 C 2 2

5 4

25

Câu 4: Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được 5 phiếu bầu, ứng cử viên B được 4 phiếu bầuCử

tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về

số phiếu bầu?

DẠNG 7: TƯ DUY VÁCH NGĂN:

Câu 1: Xếp 35 học sinh lớp 12B1 thành một hàng dọc, Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 12 người sao

cho trong 12 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau ?

Câu 3:Chị Lan có 10 cây hoa hồng, 7 cây hoa màu trắng và 3 cây hoa màu hồng Hỏi chị có bao nhiêu

cách trồng 10 cây hoa xung quanh ao sao cho 3 bông màu hồng không được trồng cạnh nhau?

Câu 4: Trong một giải cơ vua giữa các trường THPT gồm 5 đội thi đấu, hai đội bất kỳ nào cũng phải

đấu với nhau 1 trận Mỗi trận diễn ra trong 1 buổi Có bao nhiêu cách sắp xếp để đội trường A không phải đấu hai buổi nào liên tiếp ?

Bài toán quy về tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình (1)

Số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) là 4

9 126

C  A

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình (1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là : 3

27

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình(1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là: 3

11

Câu 4:Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số

từ S Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số T mà tổng các chữ số T chia hết cho

C

3 14198 4 9000

C

3 36378 4 9000

C A

Vì (8999>3618) nên bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình (1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là : 3

Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1,2,3,4,5 (sau khi

chia có thể có hộp không có viên bi nào) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp?

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình (1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là : 6 1 5

Bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của bất phương trình (1)

Số nghiệm không âm của bất phương trình (1) là 3 1 2

Câu 3:Cho tập hợp A 1; 2;3; 4;5;6 Gọi Slà tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một

khác nhau thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S Tính xác suất để chọn được số có tổng ba

chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối 3 đơn vị

Câu 1: Từ 2021 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên sao cho không có hai số

liên tiếp nào được chọn?

Câu 2:Mỗi tháng Minh được chọn 5 ngày để nghỉ ngơi, nhưng không được phép chọn hai ngày nghỉ

liên tiếp Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn ngày nghỉ cho mình?

Câu 3: (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 001101001111011 có 4 cặp 01, 3 cặp 10, 5 cặp 11 và 2 cặp

00 đứng cạnh nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu xâu nhị phân cùng tính chất như thế?

Giải:

Ta thấy rằng các xâu nhị phân thỏa mãn đề bài phải có dạng

XYXYXYXY trong đó X là một dãy các số 0 liên tiếp và Y là một dãy các số 1 liên tiếp Như thế, có tổng cộng 4 dãy

0 và 4 dãy 1

Rõ ràng trong một dãy có độ dài là k thì số lượng cặp giống nhau là k – 1 Gọi x,y,z,t là độ dài của 4 dãy 0 thì theo giả thiết, ta phải có

m- + - + - + - = Ûn p q m n+ + + =p q

Số nghiệm nguyên dương của phương trình này là C9 14 1- 56

- = Do hai dãy này chọn độc lập với nhau nên số xâu thỏa mãn là 10.56 = 560 xâu

A



Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dãy có 7 ghế mà:

 Mỗi ghế có một người ngồi

 Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy

 Ở giữa hai cô gái không có quá hai người

Câu 1: Cho đa giác lồi n cạnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác Có bao nhiêu tứ giác có đúng

một cạnh chung với đa giác?

Gọi số đỉnh giữa 3 đỉnh không kề nhau của tứ giác lần lượt là ;x i  i 1;3

Câu 2: (HSG Tỉnh Quảng Trị 2014) Có 17 cây cau trồng xung quanh một cái ao hình tròn Người ta

muốn chặt đi 4 cây Hỏi có mấy cách chặt sao cho không có 2 cây kề nhau bị chặt?

Giải:

Bốn cây cố định lần lượt là A, B,C,D

Khoảng cách giữa 4 cây lần lượt là x x x x 1; ; ;2 3 4

Ý tưởng tương tự ta sẽ giải phương trình nghiệm nguyên giống câu 1

4

1

*

13 (1)

i i i

x x

x y z y

Câu 4: Trong không gian Oxyz, gọi S là tập hợp các điểm nguyên nằm phía trong hoặc ở trên đỉnh,

cạnh và mặt của hình lập phương cạnh 999, trong đó các cạnh song song hoặc vuông góc với trục tọa

độ, một đỉnh là gốc tọa độ và một đỉnh đối với nó là (999;999;999) Hỏi mặt phẳng x y z   2016

đi qua bao nhiêu điểm trong tập hợp S?

Ta sẽ sử dụng nguyên lý bù trừ để giải quyết bài toán

Gọi A,B,C lần lượt là tập nghiệm của phương trình (*) mà x 1000;y 1000;z 1000

Số điểm thỏa mãn đề bài là 2

2018

C   A B C

2016 :

34

Câu 2: Trong bàn cơ 5x4 như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân trên các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được một cạnh của ô vuông đơn vị Có bao nhiêu cách di chuyển từ điểm A đến điểm B bằng 9 bước?

- 4 bước lên trên và 5 bước sang phải

Ta quy lộ trình đi thành dãy nhị phần có độ dài = 9 , số 0 là bước lên trên, số 1 là bước sang phải

 Số cách đi = số dãy nhị phân

Mỗi cách từ 9 vị trí chọn ra 4 vị trị để số 0 ta được một dãy nhị phân nên số dãy nhị phân tìm được là

Câu 3: Một con thỏ di chuyển tử địa điểm A đến nhà tại địa điểm B bằng cách đi qua các điểm nút (

trong lưới như hình vẽ) biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì sẽ bị cáo ăn thịt Hỏi thỏ có bao nhiêu cách về nhà nhanh nhất mà không bị cáo ăn thịt

Câu 4: Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được 5 phiếu bầu, ứng cử viên B được 4 phiếu bầuCử

tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về

DẠNG 7: TƯ DUY VÁCH NGĂN:

Câu 1: Xếp 35 học sinh lớp 12B1 thành một hàng dọc, Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 12 người sao

cho trong 12 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau ?

Ta sắp xếp 10 bạn nam vào bàn tròn trước có 9! Cách xếp

Ta sắp 9 bạn nữ vào 10 chỗ trống do 10 bạn nam tạo ra có 9

10 9!

C C



Câu 3:Chị Lan có 10 cây hoa hồng, 7 cây hoa màu trắng và 3 cây hoa màu hồng Hỏi chị có bao nhiêu

cách trồng 10 cây hoa xung quanh ao sao cho 3 bông màu hồng không được trồng cạnh nhau?

Câu 4: Trong một giải cơ vua giữa các trường THPT gồm 5 đội thi đấu, hai đội bất kỳ nào cũng phải

đấu với nhau 1 trận Mỗi trận diễn ra trong 1 buổi Có bao nhiêu cách sắp xếp để đội trường A không phải đấu hai buổi nào liên tiếp ?

về nội dung kiến thức cũng như phương pháp giảng dạy theo định hướng phát huy năng lực học sinh hiện nay

2 Nội dung thực nghiệm

Nội dung kiến thức dạy thực nghiệm: Dạy thử nghiệm một số dạng toán đếm dựa trên kết quả

và tư duy lời giải của bài toán chia kẹo Euler đã xây dựng được ở phần đầu trong sáng kiến theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động

tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

37

Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 11, 12 tại trường THPT Kim Sơn A và THPT Yên Mô A

ở các lớp có học sinh đăng ký thi Đại học các khối A, A1 B, D

Tại trường THPT Kim Sơn A: Lớp thực nghiệm là 11B1,12B4; lớp đối chứng là 11B2, 12B3 Trình

độ nhận thức ởcác lớp này được đánh giá là tương đương

Tại trường THPT Yên Mô A: Lớp thực nghiệm là 11A,12A; lớp đối chứng là 11E, 12C Trình độ nhận thức ở các lớp này được đánh giá là tương đương

Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn, vùng sâu Điều kiện kinh tế còn khó

khăn Học sinh ít có điều kiện tiếp xúc với Internet và các mạng xã hội do đó việc tiếp cận các kiến thức mới còn khá khó khăn

38

CHỦ ĐỀ DẠY HỌC

Các dạng toán đếm liên quan đến bài toán chia kẹo Euler

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán – ĐS&GT 11

Thời gian thực hiện: 03 tiết

I Mục tiêu

1 Về kiến thức:

- Hiểu được cách giải và kết quả của bài toán chia kẹo Euler

- Hiểu được phương pháp tư duy trong các bài toán đếm

- Hiểu được việc vận dụng kết quả bài toán cũng như lời giải của bài toán vào giải quyết các bài toán đếm khác

2 Về năng lực

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ, thái độ học tập; tự đánh giá

và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra những sai sót và khắc phục

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức, trao đổi học hỏi bạn bè thông qua việc thực hiện nhiệm vụ trong các hoạt động cặp đôi, nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe,

có phản ứng tích cực trong giao tiếp

- Năng lực hợp tác: Học sinh xác định được nhiệm vụ của tổ/nhóm, trách nhiệm của bản thân đề xuất được những ý kiến đóng góp, góp phần hoàn thành nhiệm vụ học tập

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh tiếp cận hệ thống câu hỏi và bài tập, những tình huống có vấn đề Phân tích được các vấn đề để đưa ra những giải pháp xử lí tình huống, những vấn đề liên quan đến bộ môn và trong thực tế

- Năng lực sáng tạo: Học sinh biết vận dụng tính sáng tạo để giải quyết tình huống của từng bài toán cụ thể

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học

3.Về phẩm chất

- Trách nhiệm: Biết chịu trách nhiệm với thành quả của cá nhân, tập thể; không đổ lỗi cho người khác Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao

- Trung thực: Học sinh biết tôn trọng kết quả của bản thân, tôn trọng lẽ phải; thật thà, ngay thẳng trong học tập và làm việc, lên án sự gian lận

- Chăm chỉ: Chăm làm, ham học, có tinh thần tự học, chăm chỉ tích cực xây dựng bài, nhiệt tình tham gia các công việc của tập thể, tinh thần vượt khó trong công việc

- Nhân ái: Yêu con người, yêu cái đẹp của toán học, tôn trọng sự khác biệt, ý kiến trái chiều; sẵn sàng học hỏi, hòa nhập và giúp đỡ mọi người

39

II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1 Về phía giáo viên:

- SGK, SGV Đại số và giải tích lớp 11, các sách tham khảo liên quan đến nội dung chuyên đề

- Bảng phụ, bút dạ, máy chiếu

- Phần mềm Microsoft Word

- Phần mềm Microsoft Power Point

- Mạng Internet (https://toanmath.com; http://www.vnmath.com )

III Phương pháp/kỹ thuật dạy học tích cực có thể sử dụng:

- Thảo luận lớp/nhóm nghiên cứu

- Đọc hợp tác

- Dạy học dự án

IV Tiến trình dạy học:

a) Mục tiêu:

+ Học sinh vận dụng kiến thức đã có để giải quyết các bộ câu hỏi định hướng

+ Học sinh tìm ra cách giải và kết quả của bài toán chia kẹo Euler cũng như các bài toán

Giáo viên đưa ra dự án nghiên cứu về “Bài toán chia kẹo Euler” dựa trên hệ

thống bộ câu hỏi định hướng Chia lớp thành 4 nhóm và yêu cầu các nhóm thực hiện