Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:... DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến.. Tìm giá trị nhỏ nh

BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

1 Dạng hai số không âm x y,

 Dạng tổng sang tích: x y 2 xy

 Dạng lũy thừa: x 2 y 2 2xy hay 2 2

2 Dạng ba số không âm x y z, ,

 Dạng tổng sang tích: x  y z 3 3 xyz

 Dạng lũy thừa: x 3 y 3 z 3 3xyz hay

3 Dạng tổng quát với n số không âm x x 1 , 2 , ,x n

4 Bất đẳng thức trung gian

DẠNG TỔNG SANG TÍCH

Ví d ụ 1 Cho x0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2

Ví d ụ 2 Cho x0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1

Ví d ụ 2 Cho x y 0và xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 y 2

DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP

Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ 1 Chứng minh : a b 1 b a 1 ab

2 2 2 ab ab ab b a  a b b a   ab đpcm Dấu ‘=” xảy ra khi a = b = 2

Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ 1 Chứng minh: 11

2 3 2 2 2 12 bc ca ab c bc a ca b ab c a b c bc a ca b abc ab

Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a 2 + b 2 ≤ 2 Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: M = a b a( 2 )b b a b( 2 )a

Ví dụ 4 Cho x0, y0 vàx 2 y 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ 5 Cho x0, y0 và xy x   y    x y Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y

 x , y là hai nghiệm phương trình t 2      4t 2 0 t 2 2

QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

Ví dụ 1 Cho a, b, c0 và ab bc ac  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Thay 1ab bc ac  , ta đƣợc:

P a ab bc ac b ab bc ac c ab bc ac

Ví dụ 2 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c  1 Chứng minh:

3 2 ab bc ca c ab  a bc  b ca 

.1 1 1 ab bc ca ab bc ca c ab  a bc  b ca  c ab  a bc  b ca

 ab   bc   ca  c a b c ab a a b c bc b a b c ca

Ví dụ 3 Cho a0, b0, c0 và ab bc ac  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

Ví dụ 4 Cho a0, b0, c0 và a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nhân các bất đẳng thức dương, cùng chiều ta được:

GHÉP CẶP ĐÔI

Ví dụ 1 Cho a0, b0, c0 và a 2 b 2 c 2 1 Chứng minh: a) ab bc ac a b c c  a  b    ; b) bc ca ab 3 a  b  c 

2 2 2 ab bc ac bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a

2 2 2 bc ca ca ab ab bc a b c a b b c c a

      (đpcm) b) Xét bc ca ab 2 b c 2 2 2 c a 2 2 2 a b 2 2 2 2 2 2 2  a b c a b c a b c

Ví dụ 2 Cho a b c, , l| độ d|i ba cạnh của ABC Chứng minh (a b c b c  )(  a c)(   a b) abc

Vì a b c, , l| độ d|i ba cạnh của ABC nên a  b c 0, b c a  0, c a  b 0

Nh}n ba đẳng thức dương cùng chiều ta được

(a b c b c a c  )(   )(   a b) abc (điều phải chứng minh).

DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP

Bước 1:Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến.

Bước 2:Kẻ bảng xác định số nào sẽ đi với nhau.

Bước 3:Tách ghép thích hợp số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cô-si

Ví dụ 1 Cho a2 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 5

Từ bảng thứ nhất dự đo{n 13 min 2

Từ bảng thứ hai, ta suy ra 1 a sẽ đi với

Ví dụ 2 Cho x0, y0 và x y 6 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 6 24

Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n minF15 khi x2,y4 x 1 x y 1 y

Từ bảng thứ hai, ta suy ra 1 x sẽ đi với

Ví dụ 3 Cho x0, y0 và x y 3 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 28 1

Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n minP24 khi x2,y1 x 1 x y 1 y

Từ bảng thứ hai, ta suy ra 1 x sẽ đi với

Ví dụ 4 Cho 2 x 3, 4 y 6, 4 z 6 và x  y z 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pxyz

Nh ậ n xét: Do y và z vai trò nhƣ nhau nên sử dụng bất đẳng thức Cô-si đối với tích yz, ta đƣợc

Px yz x    x x x Đến đ}y ta kẻ bảng để dự đo{n gi{ trị lớn nhất của P x 2 3

Từ bảng thứ nhất dự đo{n 243 maxP 4 khi x3 x 12x

Từ bảng thứ hai, ta suy ra 3x sẽ đi với 12x nên ta biến đổi

KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ

 Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ

 Một số bất đẳng thức trung gian thường dùng:

 Với mọi a b, thì 2  a 2  b 2   ( a b  ) 2  4 ab Dấu bằng xảy ra khi ab

 Với mọi a b c, , thì 3  a 2  b 2  c 2   ( a b c   ) 2  3( ab bc   ca ) Dấu bằng xảy ra khi a  b c

            Dấu bằng xảy ra khi ab

 Dấu bằng xảy ra khi ab

  Dấu bằng xảy ra khi a  b c

 y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2y

Ví dụ 2 Cho x 0,y 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do m n p 2 3(mn np pm) x y 1 2 3 xy x y a 3

Ví dụ 3 Cho x 0,y 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 y 2 xy

A xy x y xy x y xy x y Đặt x y, 2 x y 2 2 t do x y xy t xy xy

Ví dụ 4 Cho a 0,b 0,c 0 thỏa mãn b 2 c 2 a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dặt 2 2 2 2 a b c bc 2 t bc bc bc ta đƣợc

Ví dụ 5 Cho x 0,y 0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 2 2

Ví dụ 6: Cho x 0, y 0và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 1

P xy x y xy xy Sử dụng 1 1 4

2 2 ( ) 1 do x y x y xy x y xy x y Suy ra 1

Ví dụ 7: Cho x,y >0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Cách 1: Sử dụng

K x y x y Đặt a x y, điều kiện 0 a 1, ta đƣợc:

K x y x y xy x y x y xy Đặt a xy,do

Ví dụ 8: Cho x 0,y 0và x y 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  Đặt a x y, điều kiện 0 a 1, ta đƣợc

TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA

Quy ước trong dấu " " xảy ra, nếu mẫu nào bằng 0 thì tử tương ứng bằng 0

Ví d ụ 1 Cho 4x + 9y = 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x 2 + 9y 2

Ví d ụ 2 Cho 4x + 3y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x 2 + 3y 2

Ví d ụ 3 Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 v| x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 + z 2

35 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y

10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 6a – 5b

4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z

Ví d ụ 7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x - 1 + 3 - x khi 1 ≤ x ≤ 3

Ví d ụ 8 Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 3 Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức

Ví d ụ 9 Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 1 Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức

Ví d ụ 10 Cho a, b, c ≥ 0 v| a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + b b + c c + a

ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG

Ví d ụ 1 Cho x ≥ - 2; y ≥ 1 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 5x - 6 2x + 7 - 4 3x + 1 + 2

Ví d ụ 3 Cho x1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví d ụ 4 Cho x 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy MinF 21 khi x 2 15  x   3 1 x 4 (thỏa mãn)

Ví d ụ 5 Cho a0,b0, c0 và a b c  6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vận dụng vào bài toán, ta có

Ví d ụ 6 Cho a0,b0, c0, x  y z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vận dụng vào bài toán, ta có 1.

TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M   a b c

Tương tự, ta cũng tìm được bb 2 6,c c 2 6

Ví dụ 2.Cho x0, y0, z0 thỏa mãn x  y z 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ax 2  y 2 z 2

Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)

Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đo{n min đạt tại x=y=z=2)

 hay  x y z ; ;  là hoán vị của  0;0;6 

Ví dụ 3.Cho a0, b0, c0 thỏa mãn a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K 3a 1 3b 1 3c1.

Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)

Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đo{n min đạt tại a=b=c=1)

Vậy MinK 102 khi  x y z , ,  là hoán vị của  1;1;10  nên  a b c ; ;  hoán vị của  0;0;3 

TẠO RA ab+bc+ca

Ví d ụ 1 Cho 0a b c, , 2 và a b c  3 Chứng minh ab bc ca  2

  8 4.3 2   ab bc ca     abc  0 (do a b c  3 )

abc  nên ab bc ca  2 (đpcm)

Ví d ụ 2: Cho a1, b 1, c  1 và ab+bc+ca =9

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =a 2 + b 2 + c 2

Vậy MaxP khi (a,b,c) là hoán vị của (1;1;4)

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH KHÔNG ÂM

Dấu “=” xảy ra khi a=0 hoặc a=1 nếu n lẻ, khi a=0 hoặc a=  1 nếu n chẳn

Tính chất 2: Nếu hai số a và b có tích ab  0 thì a   b a b

Tính chất 3: Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm

Bài toán cơ bả n: Cho -1  x, y, z  1, x+ y+ z =0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x  y z

Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm

Vậy MaxT =2 khi (x;y;z) là hoán vị (-1;0;1)

Ví d ụ 1 Cho -2  x, y, z  2, x+ y+ z =0 Chứng minh rằng a 4 +b 4 +c 4 32

Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm

2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x 2 +y 2 +z 2

Cách 1 ( Sử dụng bất đẳng thúc Bunhia)

Cách 2 ( Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đo{n min đạt tại x=y=z=1

Với ba số a, b, c bất kì, luôn tồn tại hai số có tích không âm

4 khi (a; b; c) là hoán vị của (- 1; 0; 1) hay (x; y; z) là hoán vị của 1 3

Ví d ụ 3: Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 2 v| x + y + z = 3 Tìm gi{ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Với ba số a, b, c bất kì, luôn tồn tại hai số có tích không âm

Vậy MaxM = 14 khi (a; b; c) là hoán vị của (- 1; 0; 1) hay (x, y, z) là hoán vị của (0; 1; 2)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca

Với ba số x, y, z bất kì, luôn tồn tại hai số có tích không âm

Giả sử xy ≥ 0  x  y     x y z z nên P4 z 24 4 2428 (do  1 z 1).

Vậy MaxP = 28 khi (x, y, z) là hoán vị của (- 1; 0; 1) nên (a, b, c) là hoán vị của

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1

* Nếu 0 x 1 thì x x Dấu “ ” xảy ra khi x  0 hoặc x  1

* Nếu 0 x 1 thì x n   x n * Dấu “ ” xảy ra khi x  0 hoặc x  1

Ví d ụ 1: Cho a0;b0;c0 và a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Cách 1: ( Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)

Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đo{n max đạt tại 1 a  b c 3 )

Sử dụng tính chất: 0 x 1 thì x x

Vậy MinP2 khi ( ; ; )a b c là hoán vị (1;0;0)

Ví d ụ 2: Cho a0;b0;c0 và a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Cách 1: ( Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)

Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đo{n max đạt tại a  b c 1 )

Sử dụng tính chất: 0 x 1 thì x x

Vậy MinT 2 3 khi ( ; ; )a b c là hoán vị (3;0;0)

Ví d ụ 3: Cho a0;b0;c0 và a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy MinF4 khi ( ; ; )a b c là hoán vị (0;0;1)

3 4 x y z x y z     F Vậy MinF4 khi ( ; ; )x y z là hoán vị (1;1; 4) nên  a b c , ,  là hoán vị (0;0;1)

Ví d ụ 4: Cho a0;b0;c0 và a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy MinM 7 khi ( ; ; )a b c là hoán vị (0;0;1).

DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU

Ví d ụ 1: Cho x y; 0 thỏa mãn x y 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   x 4  1  y 4  1 

P t t  t  t 2 Đến đ}y ta kẻ bảng dự đo{n MinP t 0 1 2 2,5

Từ bảng trên ta dự đo{n MinP45 khi t2 nên ta xét hiệu :

  là hai nghiệm của phương trình :

Ví d ụ 2: Cho a b 4ab4a 2 4b 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Nên 4  a b    2  a b   3 a b   2  a b    2  a b      0 0 a b 1 Đặt x a b thì 0 x 1 và 12ab4x 2 x

          Đến đ}y ta kẻ bảng dự đo{n MaxA t 0 1

Từ bảng trên ta dự đo{n MaxA2015 khi x1 nên ta xét hiệu

CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI VÀO LỚP 10 CÁC TỈNH NĂM 2019-2020

Câu 1: [TS10 TP Hà Nội, 2019-2020]

Cho biểu thức P a 4 b 4 ab , với a, b là các số thực thỏa mãn a 2 ab b 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P

Ta có: a 2  b 3  2ab 3 ab     3 ab   a b   2   0 ab   3

GTLN của P là 21 khi a 3,b  3 hoặc a  3,b 3

Câu 2: [TS10 Tỉnh Bắc Ninh, 2019-2020]

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mã: a 2 b 2 2 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

Ta có: a 3  b 3   4  a 3  b 3   1 3  AM GM   3ab 3 

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M l| 3 đạt đƣợc khi a = b = 1

Dấu “=” xảy ra khi      a ab 0 2  b 2   a b        0; 2 ; 2;0

Vậy giá trị lớn nhất của M là 4 2 2 khi     0; 2 ; 2;0

Câu 3: [TS10 Tỉnh Nghệ An, 2019-2020]

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 1 5; x 1 3 65

Câu 4: [TS10 Tỉnh Hải Phòng, 2019-2020] a) Cho x y z , , là ba số dương Chứng minh  x y z  1 1 1 9 x y z

  b) Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn a  b c 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có

3 2 9 2 ab ab ab a b c a c b c b a c b c b ab ab ab a a b c a c b c

Chứng minh tương tự ta có:

3 2 9 2 bc bc bc b b c a a b a c ca ac ac c c a b b c a b

Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1); (2) và (3) ta có

9 2 ac bc ab ac bc ab a b c

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 đạt đƣợc khi a b c  2.

Câu 5: [TS10 Tỉnh Thanh Hóa, 2019-2020]

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng:

4 4 4 4 4 4 ab bc ca 1 a b ab b c bc c a ca 

=>a 4 b 4 ab ab(a 2 b ) ab 2  a 4 b 4 ab ab(a 2 b ) abc 2  ( vì a;b;c > 0 và abc = 1)

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ab ab 1 1 1 c 2 c a b ab ab(a b ) ab a b 1 a b 1 1 1 c a b c

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

Vậy b|i to{n đƣợc chứng minh

Câu 6: [TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020]

Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c 1   Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương a b c 3 abc; 1 1 1 3 3 1 a b c abc

Bất đẳng thức đƣợc chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c  b) Ta có 2 2 2  a b c  2 1 ab bc ca a b c ab bc ca

Suy ra 2017 6051 ab bc ca

  Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có

1 1 1 a b c 2ab 2bc 2ca 9 ab bc ca ab bc ca a b c

Do đó ta đƣợc P 2 1 2 2 2019 6060 ab bc ca a b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6060

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1

Câu 7: [TS10 Tỉnh Bắc Giang, 2019-2020]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 y 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P là 19 6 2

Cho số thực dương x, y thỏa mãn x y 3 

Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 9: [TS10 Tỉnh Bình Định, 2019-2020]

Cho x y, là hai số thực thỏa

  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 y 2

 và xy1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 2

Dấu đẳng thức xảy ra 2 2

Câu 10: [TS10 Tỉnh Đắk Lắk, 2019-2020]

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2y 3z 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xy 3yz 3xz

Lời giải Đặt ax; b2y;c3z, ta đƣợc: a, b, c0; a b c  2

Khi đó: ab bc ac

Xét ab 2c ab   ab     a ab b c c    a  c b c ab     1 2 a   a  c  b c b   

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b a cb c

Tương tự ta có: bc 1 b c ac 1 a c bc 2a 2 b a c a ; ac 2b 2 a b c b

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b c b a c a

Vậy gi{ trị lớn nhất củaS bằng 3

   3 hay gi{ trị lớn nhất củaS bằng 3

Câu 11: [TS10 Tỉnh Đắk Nông, 2019-2020]

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn 1 a b c

  abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Theo bất đẳng thức côsi ta có:

P   a b a c      a 2  ab  ac bc   2 a a b c bc      2 Đẳng thức xảy ra khi:     1

Ta thấy hệ có vô số nghiệm dương chẳng hạn b c 1,a 2 1

Câu 12: [TS10 Tỉnh Đồng Nai, 2019-2020]

Cho ba số thực a b c, , Chứng minh rằng:

 a 2  bc   3  b 2  ca   3  c 2  ab   3  3 a 2  bc b  2  ca c  2  ab 

- Đặt x a 2 bc y, b 2 ca z, c 2 ab đƣa bất đẳng thức cần chứng minh về

- Chứng minh đẳng thức x 3  y 3   z 3 3 xyz   x   y z   x 2  y 2   z 2 xy  yz  zx 

- Từ đó đ{nh g{i hiệu x 3 y 3 z 3 3xyz và kết luận Đặt x a 2 bc y, b 2 ca z, c 2 ab

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : x 3 y 3 z 3 3xyz.

2 3 x y z xyz x y xyz z x y xy x y xyz z x y z xy x y z x y z x y x y z z xy x y z x y z x xy y xz yz z xy x y z x y z xy yz zx

2 x y z xy yz zx x xy y y yz z z zx x x y y z z x x y z

Do đó ta đi xét dấu của x y z

Ta có: x y z a 2 bc b 2 ca c 2 ab

 a 2  bc   3  b 2  ca   3  c 2  ab   3  3 a 2  bc b  2  ca c  2  ab  (đpcm)

Câu 13: [TS10 Tỉnh Hà Nam, 2019-2020]

Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thỏa mãn điều kiện abc1

Bất đẳng thức cần chứng minh 1 1 1

abbcca a  b c abc abbcca  a  b c

abbcca a  b c   abbcca  a  b c

Thật vậy {p dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có  ab  bc  ca  3 3  abc  2  3

Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn: a   b 3 ab  1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  6  2  2

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 7

Câu 15: [TS10 Tỉnh Hải Dương, 2019-2020]

Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện: a  b c 2019

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2a 2 ab2b 2  2b 2 bc2c 2  2c 2 ca2a 2

Câu 16: [TS10 Tỉnh Hậu Giang, 2019-2020]

Với x0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu “=” xảy ra khi t 1   tm

Câu 17: [TS10 Tỉnh Hòa Bình, 2019-2020]

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh đƣợc BĐT: Với x, y >0 ta có a 2 b 2  a b  2 x y x y

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 a b 2

Câu 18: [TS10 Tỉnh Hƣng Yên, 2019-2020]

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x 2 y 2 z 2 3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 x 2 4 y 2 4 z 2

       Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x ; y yz xzta có: 2

Tương tự ta cũng có: 2 2 y z ; z x xz xy x xy yz  y

2 2 2 x y y z z x yz xz xz xy xy yz z x y

2 x yz x yz x yz x x yz yz y z y z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3/2 khi x = y = z = 1

Câu 19: [TS10 Tỉnh Kon Tum, 2019-2020]

Câu 20: [TS10 Tỉnh Lai Châu, 2019-2020]

Cho c{c số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Ta chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1

   x y x y với x, y > 0 Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

Cộng vế với vế c{c bất đẳng thức với nhau ta đƣợc:

2 2 2 4 4 4 ab bc ca ab bc ca a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b

4 4 4 ab ab bc bc ca ca a c b c b a c a c b a b ab bc ab ca bc ca b a c a b c c b a a b c a c c b b a a c c b b a

Câu 21: [TS10 Tỉnh Lạng Sơn, 2019-2020]

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:

Ta có a2b c 4(1a)(1b)(1  c) a 2b c 4(bc)(ac)(ab) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

2 ( )( ) ( 2 ) 4( )( ) ( 2 ) ( ) 4( )( )( ) a   b b c ab b  c a bc  ab b  c a bc a c ab bc ac Áp dụng bất đẳng thức cô si

Câu 22: [TS10 Tỉnh Nam Định, 2019-2020]

Xét c{c số x, y, z thay đổi thoả mãn x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = 2

Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 2 2 2

Ta có: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2

 (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2

Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z

 x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0  x + y + z Đặt x + y + z = t (t > 0)  x² + y² + z² - xy - xz – yz t

  Áp dụng BĐT Cô si ta có: t 2 t 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6

Câu 23: [TS10 Tỉnh Ninh Bình, 2019-2020]

1 Tìm tất cả c{c số nguyên tố p sao cho tổng c{c ước nguyên dương của p 2 l| một số chính phương

2 Cho x y z, , l| c{c số thực dương thỏa mãn x  y z 2019 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

1 Ta có plà số nguyên tố ( p * )  p 2 là số có c{c ước dương l| 1; ;p p 2

Theo đề bài ta có tổng c{c ước nguyên dương của plà một số chính phương

         k p k p k k p k p p thỏa mãn) không thỏa mãn) Vậy không có số nguyên tố pnào thỏa mãn đề bài

2 Ta chứng minh bất đẳng thức a 2 b 2 c 2  a b c  2 x y z x y z

  với a,b,c, x, y,z 0 Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số a b c

Dấu “=” xảy khi khi a b c x  y z Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có y z z x x y yz ; zx ; xy

           Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 2019

Câu 24: [TS10 Tỉnh Phú Thọ, 2019-2020]

Giải hệ phương trình sau

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:

Hệ phương trình đã cho trở th|nh:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) =(0; 2)

Câu 25: [TS10 Tỉnh Quảng Nam, 2019-2020]

Cho hai số thực x y, thỏa mãn x3;y3

Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1

   Vậy gi{ trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3

Câu 26: [TS10 Tỉnh Quảng Ngãi, 2019-2020]

Cho hình vuông ABCD Gọi S1 là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn có đường kính AB và AD nằm trong hình vuông, còn S2 là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường tròn như hình vẽ Tính S1.

Gọi a l| cạnh hình vuông ABCD Ta cm đƣợc:

Câu 27: [TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020]

Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức zx yz xy z y

 yz zx xy Áp dụng BĐT   1 1 19

 zx yz xy zx yz z xy y ) x zx yz xy z y x

( zx yz xy zx yz z xy y x

) zx yz xy ( ) zx yz xy ( ) z y x

  zx yz xy zx yz z xy y

P Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi

Câu 28: [TS10 Tỉnh Sơn La, 2019-2020]

Bình phương hai vế phương trình đã cho, ta được:

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm 3 10 3 3

Câu 29: [TS10 Tỉnh Vĩnh Long, 2019-2020]

Cho x y, là các số thực dương thỏa x y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1

Ta có: x    y 1 y 1 x thay v|o A ta đƣợc:

  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 1 1

Câu 30: [TS10 Tỉnh Thái Nguyên, 2019-2020]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c ab bc ac     6 Chứng minh rằng:

Có a , b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

.  P a b 3  b c 3  c a 3  2  a 2  b 2  c 2    ab  bc  ac  , mà a b c ab bc ac     6

Có abbccaa 2 b 2 c 2  3  ab  bc  ac    a   b c  2

P3    Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c

Câu 31: [TS10 Tỉnh Vĩnh Phúc, 2019-2020]

Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

Mặt kh{c theo BĐT Bu-nhi-a-cốp –xki thì:

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

Ta có (1) đúng hiển nhiên do đó bất đẳng thức đƣợc chứng minh

Dấu “=” bằng xảy ra khi: ĐÁP ÁN CÁC CÂU PHÂN LOẠI CHYÊN NĂM 2019-2020

Câu 32: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020]

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: 4x 2 4y 2 17xy 5x 5y 1  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 17x 17y 16xy 2  2 

Ta có: 4x 2 4y 2 17xy 5x 5y 1   4 x y   2 9xy 5 x y   1 Đặt t x y, t 0   , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 4 2

Câu 33: [TS10 Chuyên Sƣ Phạm Hà Nội, 2019-2020]

Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6

Câu 34: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020]

Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab bc ca abc 4   

2) Tìm giá trị nhỏ nhất:

1 1 1 1 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 b 2 a 2 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 4 a b c 12 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8

    Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tương đương, do đó đẳng thức đã cho đƣợc chứng minh

2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:

Các bất đẳng thức (*), (**) xảy ra dấu “=” khi x = y

Lần lƣợt áp dụng (*) và (**) ta có:

Cộng theo vế ta đƣợc:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

Câu 35: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020]

Cho K ab 4ac 4bc   với a,b,c 0 và a + b + 2c = 1

2) Tìm giá trị lớn nhất của K

1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Mặt khác: 1 a,b,c 0 K ab 4ac 4bc 4bc

Do đó: 2b 2  a 2 b 2a 2a   2  K 0 *  Để tồn tại K thì phương trình (*) Phải có 2 nghiệm:

2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Mặt khác: a,b,c 0 K ab 4ac 4bc ab 4ac 2ab 4ac 2a b 2c   a b 2c  2 1.

Vậy giá trị lớn nhất của K là 1

Câu 36: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020]

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 81

Câu 37: [TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020]

Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng:

Câu 38: [TS10 Chuyên Hƣng Yên, 2019-2020]

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x 2 y 2 z 2 3y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

   (*) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

Câu 39: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 a 1 b 1 c 1  1.

   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức:

  Áp dụng AM – GM ta đƣợc:

Vậy bất đẳng thức (*) đƣợc chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc:

P Q a ab b b bc c c ca a a b a ab b b c b bc c c a c ca a a ab b b bc c c ca a a b b c c a

P Q a ab b b bc c c ca a a b a ab b b c b bc c c a c ca a a ab b b bc c c ca a

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2

Câu 40: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020]

Cho các số dương a, b, c dương thỏa mãn abc a b c 2    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu “=” xảy ra khi x y z  hay a b c 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 2

Câu 41: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5 x  2 y 2 z 2 9x y z 18yz 0.    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2x y z

  4 Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3.

Câu 42: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020]

Cho x, y, z không âm thỏa mãn x y z 3.   Tìm GTLN GTNN của biểu thức

Theo bất đẳng thức Minkowski ta có:

M a 16 b 16 c 16 a b c    4 4 4 6 5 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2

Sử dụng phương ph{p UCT với điều kiện 0 a 3  ta được a 2 16 a 12  *

Ho|n to|n tương tự và suy ra: M 14 Đẳng thức xảy ra khi  a,b,c    0,3,3  và các hóa vị

Cho x, y,z là các số dương thỏa mãn xy yz zx 1   Chứng minh rằng:

Ta có: 1 x  2  xy yz zx x    2   x y x z    

         Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

Nhƣ thế để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh:

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Cộng theo vế 3 bất đẳnng thức trên ta đƣợc bất đẳng thức (2) B|i to{n đƣợc chứng minh

Câu 44: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2019-2020]

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn 0; 2  thỏa mãn điều kiện: x y z 3.   a) Chứng minh rằng: x 2 y 2 z 2 6 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x 3 y 3  z 3 3xyz

2 x 2 y 2 z 0 8 4 x y z 2 xy yz zx xyz 0 x y z x y z 8 4 x y z 2 xy yz zx xyz x y z 4 x y z 8 xyz

Dấu “=” xảy ra khi  x,y,z    2,1,0  và các hoán vị

Câu 45: [TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xy yz 4zx 32  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2 16y 2 16z 2

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Cộng theo vế ta đƣợc: P x 2 16y 2 16z 2 4 xy xz 4yz   128

Dấu “=” xảy ra khi x = 4y = 4z , thay v| điều kiện ta đƣợc: 8 6 2 6 x ; y z

Câu 46: [TS10 Chuyên Quốc Học Huế, 2019-2020]

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2 Chứng minh rằng:

VT 2 xy x 2 2 yz y 1 zx 2z 2 y yz x xyz 2yz 2y

Câu 47: [TS10 Chuyên Tin Hòa Bình, 2019-2020]

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x y 1. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1 1 x y 2 2 x y

Theo AM-GM ta có:

P 2 xy 2 xy 2 2 xy xy 16xy 16xy 16xy 16xy

  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17

Câu 48: [TS10 Chuyên Tiền Giang, 2019-2020]

Cho hai số dương x, y thỏa mãn 2 x  3  y 3   6xy x y 2       x y    2 xy 4  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 1 x y 1

Dấu “=” xảy ra khi a = 6, b = 6 hay x 3  3,y 3  3 hoặc x 3  3,y 3  3

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 5

Câu 49: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020]

Cho các số thực dương x, y Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

P x 2 x y x y y x x y xy xy x y x y xy x y xy x y xy x y xy x y

 Theo AM – GM thì: x y 2 xy xy 1 t 1 1 2 x y 2 2 t

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5

Câu 50: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020]

Với x, y là các số thực thỏa mãn 1 y 2  và xy 2 2y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Theo giải thiết ta có: 4xy 8 8y. 

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 4x 2 y 2 4xy

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1

Câu 51: [TS10 Chuyên Hƣng Yên, 2019-2020]

Với x, y là cá số thực thỏa mãn  2 x y 1   9

  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ giả thiết ta đƣợc: a 1 b 1  9 a b ab 5

Theo AM – GM ta có:

Cộng theo vế (1) v| (2) ta đƣợc: 2 3  a 2  b 2     a b ab      1 5 1 3 2 4 2 4 a 2  b 2  1 2 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17

Câu 52: [TS10 Chuyên Bình Thuận, 2019-2020]

Cho các số dương x, y, z thỏa 1 xyz

2 2 2 yz zx xy xy yz zx. x y z y z x z x y   

Dấu “=” xảy ra khi nào:

2 2 2 yz zx xy xy yz zx x y z y z x z x y

Khi đó ta cần chứng minh:

Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc:

Câu 53: [TS10 Chuyên Hải Phòng, 2019-2020]

Cho x; y; z là ba số thực dương thỏa mãn x(x z) y(y z) 0.    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi 2 x 3 2 x 2 xz 2 2 x xz 2 x z

Câu 54: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020]

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với x, y dương ta có:  x y  2 0  x y  2 4xy 1 x y 1 1 1 1 x y 4xy x y 4 x y

 1 a  2 b 2 5 a 2 b 2 2a 6 2ab 2a 6 2 ab a 4   2 2 2 ab a 4 ab a 4 ab a 4 ab a 4 ab a 4

Tương tự:  1 b  2 c 2 5 2 2 ;  1 c  2 a 2 5 2 2 bc b 4 bc b 4 ca c 4 ca c 4

Tương tự: 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 bc b 4 4 bc b 1 3 ca c 4 4 ca c 1 3

4 ab a 1 bc b 1 ca c 1 2 ab a 1 bc b 1 ca c 1

2 abc ac c bc.ac abc 1 ca c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5

Câu 55: [TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020]

Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ab bc ca 1  a b c  a b 2c b c 2a c a 2b 4    

Với x, y dương ta có:  x y  2 0  x y  2 4xy 1 x y 1 1 1 1 x y 4xy x y 4 x y

Tương tự: bc bc 1 1 ; ca ca 1 1 b c 2a 4 b a a c c a 2b 4 c b b a

Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta đƣợc: ab bc ca a b 2c b c 2a c a 2b ab 1 1 bc 1 1 ca 1 1

1 ab bc ab ca bc ca

   Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu 56: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc 1. Chứng minh rằng: a b c 3 b ac  c ab  a bc  2

2 2 2 2 a b c ab bc ca 7 a b c 17 ab bc ca 8 a b c

Câu 57: [TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 4   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a a b b c c

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc:

P a 3 ab b 3 bc c 3 ac a b c a b c 3 ab bc ca

Mặt khác theo AM-GM: a b b c c a ab bc ca a b c

   3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

Câu 58: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020]

Cho các số dương a, b, c Chứng minh:

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc:

VT ab bc ca 3 a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca ab bc ca 2 a b c a b c 1 ab bc ca 1 ab bc ca a b c

2 ab bc ca a b c a b c 2 ab bc ca

             Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta đƣợc:

3 2 2 2 2 2 2 a b c 1 ab bc ca 1 ab bc ca 1

    Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu 59: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1.   Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc:

2 2 2 a b 1 b c 1 c a 1 ab a bc b ca c ab bc ca a b c ab bc ca 3 ab bc ca

Câu 60: [TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020]

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc:

Cộng theo vế 3 bất đẳng trên ta đƣợc:

  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của R là 3

Câu 61: [TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020]

Cho x, y, z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z 3

   2 Chứng minh rằng: x 2xy 4xyz 2  

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc:

        2 Vì thế: x 2xy 4xyz     x 2 x 1     2   2 2 (đpcm)

Câu 62: [TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b b c c a     8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3 1 1 1 1 a 2b b 2c c 2a

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

Thật vậy: a b b c c a        a b c ab bc ca abc   

Lại theo BĐT AM-GM ta có:  a b   b c   c a  a b b c c a   abc ab bc ca

Suy ra: a b b c c a        a b c ab bc ca abc   

Suy ra đpcm: a b b c c a    8 a b c ab bc ca 

  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta có:

Lại có:  ab bc ca   2 3 ab c a bc abc 2  2  2 3abc a b c    

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi a = b = c = 1

Câu 63: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 3 a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 a ab 3b 1 a 2ab b ab b 1 b a b ab b 1 b b ab 2b b a b 2

Với x, y dương ta có:  x y  2 0  x y  2 4xy 1 x y 1 1 1 1 x y 4xy x y 4 x y

Cộng theo vế và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc:

Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc:

Vậy giá trị nhỏ là P là 3.

Câu 64: [TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020]

Chứng minh  a b c   3 9abc 4 a b c ab bc ca        với x, y, z là các số thực không }m Đẳng thức xảy ra khi nào?

Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c là số thực không âm thì:

Biến đổi ta đƣợc hệ quả:

Mặt kh{c ta có đẳng thức:  a b c   3 a 3 b 3  c 3 3 a b b c c a      

Khi đó ta có:  a b c   3 9abc a 3 b 3  c 3 9abc 3 a b b c c a       

Do đó: a b c 2    b c a 2    c a b 9abc 3 a b b c c a 2           4 a b c ab bc ca     

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh

Câu 65: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020]

Cho 3 số dương x, y, z Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta đƣợc:

2x z 2y z 2x z 2y z xy yz zx xy yz zx

Tương tự:  2y x 2z x yz    xy yzzx yz;  2z y 2x y zx    xy zxzx yz

Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta đƣợc: xy zx yz

  Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1

Câu 66: [TS10 Chuyên Bình Phước, 2019-2020]

1) Cho x, y là các số dương thỏa mãn xy 1. Chứng minh rằng:

2) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x y   3  4xy 12 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1 2018xy

Bất đẳng thưc (1) đúng c{c phép biến đổi l| tương đương nên b|i to{n được chứng minh

2) Sử dụng AM-GM ta có:

12 x y 4xy 2 xy 4xy 8xy xy 4xy  Đặt xy t t 0     , khi đó:

  Áp dụng bất đẳng thức ở ý 1 ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 2019

Câu 67: [TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020]

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 Chứng minh rằng:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc:

) a 2b b 2c c 2a a 2ab b 2bc c 2ca a b c a b c a b c 2ab 2bc 2ca a b c 2 a b c a b c 3

) a 2b b 2c c 2a ab 2b bc 2c ca 2a a b c a b c ab bc ca 2 a b c a b c 2 a b c

Cộng theo vế ta đƣợc: a 3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 2 a 2b b 2c c 2a

Câu 68: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020]

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3; y 3. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 21 x 1 3 y 1 y x

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ

Bài 1 Cho x0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2

Bài 2 Cho x0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1

Bài 3 Cho x y 0 và xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 y 2

Bài 4 Cho a1; b1 Chứng minh a b 1 b a 1 ab

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  a b a   2 b   b a b   2 a 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  14 x  10 y   y  14 y  10 x 

Bài 8 Cho x0; y0 và xy x   y    x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y

Bài 9 Cho a b c, , 0 và ab bc ca  1

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 10 Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a b c  1 chứng minh 3

2 ab bc ca c ab  a bc  b ca 

Bài 11.Cho a0, b0, c0 và ab bc ca  3abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Bài 14 Cho a0, b0, c0 và a 2 b 2 c 2 1 Chứng minh : a) ab bc ca a b c c  a  b    b) bc ca ab 3 a  b  c 

Bài 15.Cho a b c, , l| độ dài ba cạnh của ABC

Bài 16 Cho a2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5

Bài 17.Cho x0, y0 và x y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 24

Bài 18 Cho x0, y0 và x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 28 1

Bài 19.Cho 2 x 3, 4 y 6, 4 z 6 và x  y z 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pxyz

 y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2y

Bài 21 Cho x0, y0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

Bài 22 Cho x0, y0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 y 2 xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2  2 2  2 2 2

Bài 24.Cho x0, y0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 2 2

Bài 25.Cho x0, y0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 1

Bài 26.Cho x0, y0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 27 Cho x0, y0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4

Bài 29.Cho a0, b0, c0 thỏa mãn 2  b 2  bc c  2    3 3  a 2 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 y 2

II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA

Bài 1.Cho 4x9y13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A4x 2 9y 2

Bài 2.Cho 4x3y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A4x 2 3y 2

Bài 3.Cho x0, y0, z0 và x  y z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ax 2 y 2 z 2

3 2 x  y 35 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S2x3y

4 25 a  b 10 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H6a5b

Bài 6.Cho 2 2 2 3 x y z 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x y z

Bài 7.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 1 3x khi 1 x 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K 4a 5 4b 5 4c5

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P b c  c a a b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Bài 1 Cho x 2, y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x y 2 x 2 4 y 1 24 

Bài 2 Cho 1 x 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:E5x 6 2x 7  4 3x 1 2 

Bài 3 Cho x1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T x x 1 3 x 7   28

Bài 4 Cho x 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho a0, b0, c0 và a b c  6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 6 Cho x0, y0, z0, x  y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 7 Cho  2 a, b, c3 và a 2 b 2 c 2 22 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  a b c

Bài 8 Cho x0, y0, z0 thỏa mãn x  y z 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: