Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông

H Ệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG H ệ thức về cạnh và đường cao KI ẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các

H Ệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

H ệ thức về cạnh và đường cao

KI ẾN THỨC CƠ BẢN

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác

vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường

hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

1) a2 b2 c 2

2) b2 a b c '; 2 a c '

3) h2 b c ' '

4) a h b c

5)

h b c

6)

2

2

'

a a

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: 1

2

S ab

Ví d ụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết

AB AC và AB AC 21cm

a) Tính các cạnh của tam giác ABC

b) Tính độ dài các đoạn AH BH CH , ,

b' c'

h c

b

a

B

A

THCS.TOANMATH.com

Gi ải:

a) Theo giả thiết: AB AC: 3 : 4,

Do đó AB 3.3 9 cm ;

3.4 12

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore ta có:

b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có AH BC AB AC , suy ra

7,2 15

AB AC

2

AH BH HC Đặt BH x 0 x 9 thì HC 15 x, ta có:

x x x hoặc x 9, 6 (loại)

Vậy BH 5, 4cm Từ đó HC BC BH 9, 6 cm

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

2

AB BH BC suy ra

9

5, 4 15

AB

Ví d ụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC 2a, cạnh bên bằng

b b a

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BK AC Tính tỷ số AK

AC

THCS.TOANMATH.com

Gi ải:

a) Gọi H là trung điểm của BC Theo định lý Pitago ta có:

ABC

2BC AH 2BK AC S ABC

Suy ra BC AH 2a 2 2

AC b Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKB ta có:

2

2

2

2

AK

b do đó

2

2

AK

Ví d ụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh , ,A B C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: , ,a b c

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a

b) Chứng minh: a2 b2 c2 4 3S

Gi ải:

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

,

ABC B C là các góc nhọn Suy ra chân

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

K

H

C B

A

H

C B

A

THCS.TOANMATH.com

H thuộc cạnh BC

Ta có: BC BH HC Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

,

AHB AHC ta có: AB2 AH2 HB AC2, 2 AH2 HC2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

c b

HB HC

a ta cũng có:

2

a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông

2

2

Đặt 2p a b c thì

2

2

16

2 4

p p a p b p c

p p a p b p c

a

Từ đó tính được 1

2

S BC AH p p a p b p c

b) Từ câu )a ta có: S p p a p b p c Áp dụng bất đẳng thức

Cô si ta có:

ra

2

12 3

a b c

S Mặt khác ta dễ chứng minh

được: a b c 2 3 a2 b2 c2 suy ra

3

4 3

12 3

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví d ụ 4 Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK; H là trực tâm của tam giác Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB 900 S S S, ,1 2 theo thứ

tự là diện tích các tam giác AMB ABC và , ABH Chứng minh rằng

1 2

S S S

Gi ải:

Tam giác AMB vuông tại M có

MK AB nên MK2 AK BK (1)

AHK CBK vì có

0

90

AKH CKB ; KAH KCB

(cùng phụ với ABC) Suy ra AK HK

CK BK , do đó AK KB CK KH (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2

MK CK HK nên MK CK HK ;

1 2

AMB

Vậy S S S 1 2

Ví d ụ 5 Cho hình thang ABCD có

A D B CD cm CA CB Tính diện tích của hình

D

K

M

H

C B

A

THCS.TOANMATH.com

thang

Gi ải:

Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB), vì thế trong tam giác vuông ACD ta có AC 2AD

Theo định lý Pythagore thì: 2 2 2

AC AD DC hay

Suy ra 3AD2 900 AD2 300 nên AD 10 3 cm

Kẻ CH AB Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có A D H 900, suy ra AH CD 30cm CH; AD 10 3 cm

Tam giác ACB vuông tại C , ta có: CH2 HA HB , suy ra

2

10

CH

2

.10 3 40 30 350 3

ABCD

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm2

T ỉ số lượng giác của góc nhọn

KI ẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

+ Nếu là một góc nhọn thì

0 sin 1; 0 cos 1;

2 Với hai góc , mà 0

90 ,

ta có: sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan

Nếu hai góc nhọn và có sin sin hoặc cos cos thì

3 sin2 cos2 1;tg cotg 1

4 Với một số góc đặc biệt ta có:

sin 30 cos 60 ; sin 45 cos 45

tan 45 cot 45 1;cot 30 tan 60 3

Ví d ụ 1 Biết sin 5

13 Tính cos , tan và cot

Gi ải:

Cách 1 Xét ABC vuông tại A

sin

13

AC

suy ra

k, do đó

α Cạnh đối Cạnh huyền

B

A

C

A

THCS.TOANMATH.com

AC k BC k Tam giác ABC vuông tại A nên:

cot

Cách 2 Ta có 5

sin

13 suy ra

sin

169, mà

169 169, suy ra

12 cos

13

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính

cos , tan , cot Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin 5

13 để tính sin2 rồi tính cos từ 2 2

sin cos 1 Sau đó ta tính tan và

cot qua sin và cos

Ví d ụ 2 Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại

H Biết HD HA: 1 : 2 Chứng minh rằng tgB tgC 3

Gi ải:

Ta có: tgB AD;tgC AD

Suy ra

2

tan tan

AD

BD CD (1)

H E

B

A

HBD CAD (cùng phụ với ACB); HDB ADC 900

Do đó BDH ADC (g.g), suy ra DH BD

DC AD, do đó

BD DC DH AD (2) Từ (1) và (2) suy ra

2

tan tan

DH AD DH (3) Theo giả thiết 1

2

HD

AH suy ra

1

HD

1 3

HD

AD , suy ra AD 3HD Thay vào (3) ta được: tan tanB C 3HD 3

Ví d ụ 3 Biết sin cos 12

25 Tính sin , cos

Gi ải:

Biết sin cos 12

25 Để tính sin ,cos ta cần tính sin cos rồi

giải phương trình với ẩn là sin hoặc cos

Ta có:

25 25 Suy

5 nên

7

5 Từ đó ta có:

2

2

cos

5 hoặc cos 3

5

+ Nếu cos 4

5 thì

25 5 5

THCS.TOANMATH.com

+ Nếu cos 3

5 thì

25 5 5

Vậy sin 3

5,

4 cos

5 hoặc sin 4, cos 3

H ệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

KI ẾN THỨC CƠ BẢN

1 Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc

kề

c b tgC b gC

2 Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam

giác vuông đó

Ví d ụ 1 Cho tam giác ABC có AB 16,AC 14 và B 600

a) Tính độ dài cạnh BC

b) Tính diện tích tam giác ABC

Gi ải:

a) Kẻ đường cao AH

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

2

2

Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:

A

H

Vậy BC CH HB 2 8 10

ABC

ABC

Ví d ụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết 0 0

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R

Gi ải:

Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam

giác ABClà tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam

giác vuông bằng cách Dựng các đường

thẳng qua ,C B lần lượt vuông góc với

,

AC AB Gọi D là giao điểm của hai đường

thẳng trên Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

vuông và 4 điểm , , ,A B C D cùng nằm trên đường tròn đường kính

2

AD R

2

AB AD AD R Kẻ đường cao AH suy ra

H BC.Tức là: BC BH CH Tam giác AHB vuông góc tại H nên

H

D

A

THCS.TOANMATH.com

giác ACH vuông tại H nên 2 2 2

2

R

2

R

BC Từ đó tính được diện tích

4

R

Ví d ụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh , ,A B C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: , ,a b c Chứng minh rằng:

a) a2 b2 c2 2bccosA

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A Chứng minh:

2 cos

2

A bc

AD

b c

Gi ải:

a) Dựng đường cao BH của tam giác

ABC ta có:

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC

Ta có: AC AH HC

Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

,

AHB BHC ta có: AB2 AH2 HB BC2, 2 BH2 HC2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

c a

HA HC

b ta cũng có:

c

b

a

A

B

C H

THCS.TOANMATH.com

2

b Xét tam giác vuông AHB ta có:

2

Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:

2

Ta có: AH CB.cosA suy ra

2 cos

2 cos

BC BA AC AC CB A a2 b2 c2 2bccosA

b) Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:

+ sin2 2sin cos

sin

2

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M là trung điểm của

BC, dựng đường cao AH Đặt ACB AMB 2

Ta có sin sinC AH h

AC b

BC a

2 sin 2 sin

2

AMH

AM a a

Từ đó ta suy ra: sin2 2sin cos

*) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có:

h

b

B

A

E A

THCS.TOANMATH.com

ABC

S BE AC BE b (1)

Mặt khác trong tam giác vuông AEB

ta có:sinA BE BE c.sinA

thay vào (1)

Ta có: 1

sin 2

Tr ở lại bài toán:

ABD

A

2

ACD

A

Suy ra

1

sin

A

2

ABC

2 cos

2

sin 2

A bc

c b A

b c

Chú ý r ằng: Ta chứng minh được kết quả sau:

cos 2 2 cos 1 1 2 sin

Thật vậy xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M là trung điểm của

BC, dựng đường cao AH Đặt ACB AMB 2

2 1

B

A

THCS.TOANMATH.com

Ta có : cos cosC AC b

BC a

BC a,

cos 2 cos

AMH

AM MB

2

2

2 2

cos 2 2 cos 1 1 2 sin

2

A

thức đường phân giác ta có:

2 2

2

2 cos

4 2

A bc

bc AD

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

b c a b c a

b c

2p a b c

Áp d ụng công thức: 2 2 2

2 cos

a b c bc A Ta cũng chứng minh được

hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:

‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:

AB CD AC BD BC AB BD DC ’’

c

a

b

B

A

A

THCS.TOANMATH.com

+ Thật vậy :Ta giả kẻ AH BC

không mất tính tổng quát,

ta giả sử D nằm trong đoạn

HC Khi đó ta có:

Tương tự ta có: 2 2 2

AC AD DC DH DC (2) Nhân đẳng thức (1)

với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có:

AB CD AC BD BC AB BD DC

Ví d ụ 3 Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng

sin 75

Gi ải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A

với BC 2a (a là một độ dài tùy ý)

, C 150, suy ra B 750

Gọi I là trung điểm của BC, ta có

IA IB IC a Vì AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân

IAC nên AIB 2C 300 Kẻ AH BC thì

.cos 30

2

a

2

a

3

a a

I

B A

Tam giác AHC vuông tại H, theo định lý Pythagore, ta có:

2

2

2

4

a

2

sin 75 sin

AC a B

2

4

sin 75