TIỂU LUẬN đạo hàm và ỨNG DỤNG của đạo hàm TRONG vật lý

TIỂU LUẬN ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ Trong khuôn khổ bài tiểu luận này sẽ nghiên cứu những lý thuyết về đạo hàm đã rất quen thuộc trong chương trình phổ thông và ý nghĩa vật lý của đạo hàm thông qua những bài toán minh họa tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời, cường độ tức thời. Củng cố lại kiến thức về đạo hàm, và vận dụng vào giải các bài toán thực tế trong vật lý. Để thấy rõ hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của đạo hàm không chỉ được ứng dụng trong toán học mà còn được ứng dụng trong các môn học khác. Cụ thể trong khuôn khổ của bài tiểu luận này là ứng dụng của đạo hàm trong vật lý

MỤC LỤC II

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 1

1.1 Lý do chọn chủ đề 1

1.2 Mục đích chủ đề 1

1.3 Khái niệm liên quan 2

1.3.1 Đạo hàm tại 1 điểm 2

1.3.2 Ý nghĩa của đạo hàm 3

1.3.3 Đạo hàm trên một khoảng 6

1.3.4 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp 6

1.3.5 Đạo hàm cấp cao 9

1.3.6 Cực trị của hàm số 10

1.3.7 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 12

CHƯƠNG 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 13

2.1 Bài toán 13

2.2 Công cụ 17

2.3 Giải quyết bài toán 17

2.4 Nhận xét 23

CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN 24

3.1 Kết luận liên quan đến chủ đề 24

3.2 Kết luận cho quá trình làm chủ đề 24

TÀI LỆU THAM KHẢO 26

PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC 27

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

Trong phần chương 1 sẽ giải thích lí do chọn đề tài,trình bày mục tiêu của chủ đề và các khái niệm liên quan đến đạo hàm

1.1 Lý do chọn chủ đề

Đạo hàm thường được biết là những công thức toán học mà bất cứ học sinh, sinh viên nào cũng đều biết tới Đạo hàm ra đời lấy cảm hứng từ hai nguồn động lực chính Động lực này đến từ nhu cầu phải giải quyết hai bài toán quan trọng trong hai lĩnh vực khác nhau Một đến từ hình học đó là bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong và một đến từ vật lí là bài toán xác định vận tốc tức thời của chất điểm Đạo hàm cho ta biết tốc độ thay đổi của một đại lượng so với đại lượng khác ở vài vị trí hay điểm riêng biệt (nên ta gọi là “tốc độ thay đổi tức thời”) Điều này có thể được

áp dụng cho tất cả các loại đại lượng như vận tốc, gia tốc, lực, động lượng và nhiều loại khác Hiểu và nắm bắt được tầm quan trọng của toán học trong trong cuộc sống cũng như mối quan hệ giữa toán học và vật lý, nhóm chúng em đã chọn đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý” Qua đề tài này, chúng ta sẽ được tìm hiểu cụ thể hơn

về các lý thuyết về đạo hàm cũng như các ứng dụng quan trọng của đạo hàm nhằm giải các bài toán trong vật lý

1.2 Mục đích chủ đề

Trong khuôn khổ bài tiểu luận này sẽ nghiên cứu những lý thuyết về đạo hàm đã rất quen thuộc trong chương trình phổ thông và ý nghĩa vật lý của đạo hàm thông qua những bài toán minh họa tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời, cường độ tức thời

Củng cố lại kiến thức về đạo hàm, và vận dụng vào giải các bài toán thực tế trong vật

lý Để thấy rõ hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của đạo hàm không chỉ được ứng dụng trong toán học mà còn được ứng dụng trong các môn học khác Cụ thể trong khuôn khổ của bài tiểu luận này là ứng dụng của đạo hàm trong vật lý

1.3 Khái niệm liên quan

1.3.1 Đạo hàm tại 1 điểm

a.Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

𝐥𝐢𝐦

𝐱→𝐱 𝟎

𝐟(𝐱) − 𝐟(𝐱𝟎)

𝐱 − 𝐱𝟎 Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và ký hiệu là f′(x0) (hoặc y’(x0)), tức là:

Đại lượng ∆𝐱 = 𝐱 − 𝐱𝟎 được gọi là số gia của đối số tại x0

Đại lượng ∆𝐲 = 𝐟(𝐱) − 𝐟(𝐱𝟎) = 𝐟(𝐱𝟎+ ∆𝐱) − 𝐟(𝐱𝟎) được gọi là số gia tương ứng

của hàm số Như vậy

c Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

ĐỊNH LÝ:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó

CHÚ Ý:

Định lý trên tương đương với khẳng định:

Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại

điểm đó

Mệnh đề đảo của định lý 1 không đúng

Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) của hàm số y=f(x) tại điểm

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s= s(t), với s = s(t) là một hàm số

có đạo hàm Vận tốc tức thời cùa chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm

số s = s(t) tại t0

v(t0) = s’(t0)

Giải thích:

s’ O s(t0) s(t) s

Một chất điểm M chuyển động trên trục s'Os

Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t: s = s(t)

Trong khoảng thởi gian từ t0 đến t , chất điểm đi được quãng đường là:

s − s0 = s(t) − s(t0) Vận tốc trung bình của chất điểm chuyển động trong khoảng thời | t-t0| là

s(t) − s(t0)

t − t0

Khi t càng gần t0 tức là |t-t0| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0

Từ nhận xét trên, người ta dưa ra đinh nghĩa sau đây:

Giới hạn hữu hạn ( nếu có):

lim

t→t0

s(t) − s(t0)

t − t0Được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0

Hệ quả: v(t0) = s'(t0) = lim

t→t 0

s(t)−s(t 0 ) t−t0

+Cường độ tức thời của dòng điện

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t: Q=Q(t) Cường độ trung bình bình của dòng điện trong khoảng thời gian |t-t0| là:

ItbQ(t) − Q(t0)

t − t0Nếu |t- t0| càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm t0 Người ta đưa ra định nghĩa sau đây

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

lim

t−t 0

Q(t) − Q(t0)

t − t0

Được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0

Hệ quả: I(t0) = Q′(t0) = lim

t−t 0

Q(t)−Q(t 0 ) t−t 0

+Gia tốc tức thời

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình vận tốc v = v(t),

với v = v(t) là một hàm số có đạo hàm Khi đó giá tốc tức thời tại thời điểm t = t0 giới hạn (nếu có):

1.3.3 Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm

tại mọi điểm x trên khoảng đó

Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a:b), kí hiệu là y′ hay f′(x)

1.3.4 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Việc tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa nói chung phức tạp.Đối với một số hàm số thường gặp, ta có những công thức cho phép tính một cách nhanh chóng đạo hàm của chúng tại một điểm

c Đạo hàm của hàm số lượng giác

(𝐜𝐨𝐬𝐮)′ = −𝐮′ 𝐬𝐢𝐧𝐮

+Đạo hàm của hàm số 𝐲 = 𝐭𝐚𝐧𝐱

Hàm số y= tanx có đạo hàm tại mọi x ≠π

2+ kπ, k ϵ ℤ và (𝐭𝐚𝐧 𝐱)′ = 𝟏

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP

1.3.6 Cực trị của hàm số

Định nghĩa: Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, (D ⊂ R) và x0  D

• x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b)

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x)

• x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f(X) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa

x0 sao cho (a,b)  D và f(x) > f(x0) với xx (a;b)\x0

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x)

Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Các định lý:

Định lý 1 (điều kiện cần):

Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f có đạo hàm tại

x0 thì f '(x0) = 0

Lưu ý: Điều ngược lại của định lý 1 không đúng Đạo hàm f' có thể bằng

0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 ví dụ như hàm

y=x3 hoặc hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không

có đạo hàm ví dụ như hàm 𝑦 = |𝑥|

Định lý 2 (Quy tắc 1 - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b)

chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0 ;b) Khi đó

Nếu f '(x) đổi dấu từ (+) sang (−) tại x0 thì f đạt cực đại tại x0

• Nếu 𝑓′(𝑥)đổ𝑖 𝑑ấ𝑢 𝑡ừ (+) 𝑠𝑎𝑛𝑔 (−) 𝑡ạ𝑖 𝑥0 𝑡ℎì đạ𝑡 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 𝑡ạ𝑖 𝑥0

• Nếu 𝑓′(𝑥)đổ𝑖 𝑑ấ𝑢 𝑡ừ (−) 𝑠𝑎𝑛𝑔 (+) 𝑡ạ𝑖 𝑥0 𝑡ℎì đạ𝑡 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑡ạ𝑖 𝑥0

Do đó f đạt cực trị tại x0  𝑓′(𝑥) đổi dấu x0

Chú ý: 𝑓′(𝑥0)𝑐ó 𝑡ℎể 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖

Định lý 3 (Quy tắc 2- Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên

khaorn (a;b) chứa điểm x0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0

Định lý về sự tồn tại GTLN-GTNN: “Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a;b] thì đạt

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”

Một số lưu ý:

• Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên

tập nào thì ta hiểu GTLN, GTNN trên tập xác định của f

• Nếu hàm số f đồng biến trên [a;b] => {

min

𝑥𝜖[a;b]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)max

𝑥𝜖[a;b]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

• Nếu hàm số nghịch biến trên [a;b] => {𝑥𝜖[a;b]min 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

max

𝑥𝜖[a;b]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

CHƯƠNG 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Từ những lý thuyết về đạo hàm ở chương 1 vận dụng vào giải các bài toán Vật lý để

thấy rõ hơn ứng dụng của đạo hàm trong vật lý

2.1 Bài toán

Bài 1:

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t)=196t - 4,9t2 trong đó t>0 , t

tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên caao và s(t) là khoảng cách của

viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng

0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Bài 2:

Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là 300 km Vận tốc

dòng nước là 6 (km/ h) Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/ h) thì

năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) =cv3t (trong đó c

là một hằng số dương, E được tính bằng đơn vị Jun) Vận tốc bơi của cá khi nước

đúng yên để năng lượng tiêu hao là thấp nhất ?

Bài 3:

Một dòng điện (đơn vị Ampere – A) trong mạch máy khuếch đại tuân theo hàm số

theo thời t(giây – s) cho bởi công thức i(t) = 0,1cos(120πt +π

6) (A) Hãy xác định

biểu thức của điện áp đi qua cuộn cảm có độ lớn 2 mH biết rằng VL= L.i'(t)?

Bài 4:

Cho một vật chuyển động theo phương trình s( t) = − 2t2+ mt + 8 (m) Xác

định m biết tại thời điểm t= 2 thì vận tốc tức thời của vật là 12 m/s

Bài 5:

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là s (t) (km) là hàm phụ

thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau:s(t) = et2+3+ 2te3t+1 (km) Hỏi

vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp

một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?

Bài 6:

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số nguời nhiễm bệnh

kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là 𝑓(𝑡) = 45𝑡2− 𝑡3 (kết quả

khảo sát được trong tháng 8 vừa qua) Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/

ngày) tại thời điểm t Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ?

Bài 7:

Cho một vật chuyển động theo phương trình s( t)= t2 - 40t +10 – trong đó s là quãng

đường vật đi được ( m) và t thời gian chuyển động ( s) Hỏi tại thời điểm nào vật dừng

lại?

Bài 8:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)=2t3 + t2 + 2t ( m) là quãng đường

vật đi được Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 38( m/s2)?

Bài 9:

Cho chất điểm chuyển động theo phương trình : s( t)= mt2 - 8t + 2 ( s) Xác định m

biết rằng tại thời điểm t= 10 thì gia tốc tức thời của vật là a= - 6( m/s2)

Bài 10:

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t3 + 3t2 - 9t + 27 trong đó t tính

bằng giây(s) và S tính bằng mét (m) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc

triệt tiêu

Cho vật chuyển động theo phương trình : s( t)= t3+ mt2 + 2 ( m) Biết rẳng tại thời

điểm t= 10 ( s) vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu Tìm gia tốc của chuyển động tại

thời điểm t=1 s?

Bài 12:

Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc

a(t) = 3t + t2 (m/s2) Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc?

Bài 13:

Cho biết điện lượng truyền trong dây dân theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) =

2t2 + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C) Tính

cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s

Bài 14:

Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm đượcc cho bởi công thức:

f(v) = 290,4v

0,36v2+13,2v+264 (xe/ giây), trong đó v (km / h) là vận tốc trung bình của các

xe khi vào đường hầm Tính vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm sao

cho lưu lượng xe là lớn nhất ?

Bài 15:

Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau Phương trình dao

động của các vật lần lượt là x1 = A1coswt (cm) và x2 = A2sinwt (cm) Biết 64x12 +

36x22 = 482cm2 Tại thời điểm t, vật thứ nhất đi qua vị trí có li độ x1 = 3cm với vận

tốc v1 = -18cm/s Khi đó vật thứ hai có tốc độ bằng?

Bài 16:

Xét chuyển động có phương trình

s(t) = Asin(ωt + φ) (A, ω, φ là những hằng số)

Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động

Bài 17:

Cho phương trình chuyển động của một chất điểm s = f(t) = t3− 6t2+ 9t, với đơn

vị đo của t là giây, và s là mét Khi nào chất điểm đứng yên biết rằng biểu thức của

phương trình v(t) tại điểm t biết rằng v(t) = f′(t)?

Bài 18:

Một máy bay Cessa cất cánh từ sân bay gần mặt nước biển có quỹ đạo bay theo hàm

số với h(t)=2000ln(t+1) với h tính theo feet và t tính theo phút Tính tốc độ cất cánh

tại thời điểm t = 3 phút ? (biết rằng 1 feet = 0,3048 mét)

Bài 19:

Một nguồn điện với suất điện động E và điện trở r được nối với một biến trở R như

hình vẽ Với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ đạt cực

đại ?

Bài 20:

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ AB = 5km Trên bờ biển

có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km Người canh hải đăng có thể chèo

đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h

Xác định vị trí của điểm M để người đó đi đến kho nhanh nhất ?

Bài 21:

Khi cá hồi bơi với tốc độ v(km/h) ngược dòng nứớc, năng lượng sản ra của nó trên

một đơn vị thời gian là v3 (J) , đơn vị là Jun Người ta thấy rằng, khi cá di cư cố gắng

cực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một cách nhất định Nếu vận tốc dòng nước

là a (km/h) thì thời gian cần bơi được khoảng cách L là 𝐿

𝑣−𝑎 và năng lượng sản ra là 𝐸(𝑣) = 𝑞𝑣3 𝐿

𝑣−𝑎 trong đó q là hằng số dương Để giảm thiểu tối đa năng lượng khi bơi quãng đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn?

(eu)′ = u′ eu

(√𝑢)′ = 𝑢′

2√𝑢(𝐶𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑆𝑖𝑛𝑥

Ta có v(t)  196- 9,8t =0  t = 20

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng h=s(20)=196 20 -4,9.202 =1 960m

Bài 2:

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là v − 6, (v ≥ 6)

Thời gian để con ca sboiw từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản là: t = 300

v−6 (h) Năng lượng tiêu thụ của con cá sẽ là

− 4.2 + m = 12 ⇔ m = 20

Vậy m = 20

Bài 5:

Phương trình vận tốc của chuyển động là: v(t)=s' ( t)=6t2+2t+2 ( m/s)

Phương trình gia tốc của chuyển động là: a(t)=v' (t)=12t+2 ( m/s2)

Để gia tốc tức thời của chuyển động là 38m/s2 thì: 12t + 2 =38 ⇔ t= 3 ( s)

Vậy sau 3 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 38m/ s2

Bài 9:

Phương trình vận tốc tức thời của chuyển động: v(t)=s' (t)=2mt-8 ( m/s)

Phương trình gia tốc tức thời của chuyển động là: a( t)=v' (t)=2m ( m/ s2)

Tại thời điểm t= 10 thì gia tốc tức thời của vật là a= - 6( m/s2) nên ta có;

2m= -6 ⇔ m= -3

Bài 10:

Vận tốc của chất điểm là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:

Phương trình vận tốc của chuyển động là : v( t)=s' (t)=3t2+2mt ( m/s )

Vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu khi và chỉ khi: 3t2 + 2mt = 0

Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu tại t= 10 s nên ta có:3.102+2m.10=0

⇔ m= - 15

⇒ Phương trình vận tốc của chuyển đông là: v(t) = 3t2-30t ( m/s)

⇒ Phương trình gia tốc của chuyển động là : a( t) = 6t - 30 ( m/s2)

Do đó: gia tốc của chuyển động tại thời điểm t= 1 là a( 1)= - 24 (m/s2)

2𝑡3+ 1

12𝑡4+ 10𝑡 (m) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

là: 𝑆(10) =4300

3 (m)

+ Đạo hàm theo thời gian hai vế của phương trình 64x2 + 36 x2 = 482 , ta được:

64 2x1v1 + 36.2x2v2 = 0 (v chính là đạo hàm bậc nhất của x theo thời gian)

Hay 128.x1v1 + 72.x2v2 = 0 Thay giá trị của x1, x2 và v1 vào ta được |v2|= 24 cm/s

Bài 16:

Ta có gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là:

a(t) = s '' (t) = (Aω cos(ωt + φ) )' = -Aω2 sin(ωt + φ)