Giáo trình Xác suất thống kê - Trường Đại học Nông Lâm TP. Hồ Chí Minh

Giáo trình Xác suất thống kê - Trường Đại học Nông Lâm TP. Hồ Chí Minh giúp người học có thể ôn lại những kiến thức bổ trợ về tập hợp và giải tích tổ hợp; đề cập tới khái niệm về xác suất và tính chất của xác suất; trình bày về biến ngẫu nhiên và hàm phân phối. Mời các bạn cùng tham khảo.

TRUONG DAI HOC NONG LAM TP HCM

KHOA KHOA HOC

BO MON TOAN

Giao trinh

XAC SUAT THONG KE

Biên soạn: Ngô Thiện

Chuong 1 LY THUYET TO HOP

1.1 KHAI NIEM TAP HOP

1.1.1 Tap hop: Một nhóm các đối tượng cùng thỏa mãn một số

tính chất nào đó cho ta khái niệm về tập hợp

Ví du — Tập hợp các nam sinh viên của một lớp học

— Tập hợp các sô nguyên k thỏa mãn tính chât:

k?-4k+3= 0

1.1.2 Biểu diễn tập hợp được biểu diễn dưới hai hình thức là liệt kê

phần tử hoặc nêu đặc trưng

— Liệtkê: A= {ai,a2, ,đi, , ax }

ai la mot phan tir cla A, ki hiéu aie A

b không là phần tử của A , kí hiệu b £ A

— Nêu đặc trưng : A = { xeB | x thỏa tính chất P }

Ví dụ Gọi A là tập hợp các số nguyên k thỏa mãn tính chất:

e_ Phần bù của A trong X:X\A = ƒxeX| xe A } Có thê ký

hiệu là CẬ hoặc A

e Hop cua A voi B: AUB= {xeX | xeA hay xeB}

e Giao cua A vàB: A¬B={xeX| xeA và xeB}

1.1.6 Tinh chat

e Tinh két hop :(AUB)UC = AU(BUC)

(AnB}^C = An(Bn¬C)

e Tinh giao hoan: AUB=BUA, ANB=BNA

e Tinh phan phéi : AU(BAC) = (AUB)A(AUC)

AN (BUC) = (ANB)U (ANC)

1.2 QUI TAC DEM

Đê đêm sô phân tử của một tập hợp, người ta thường sử dụng một trong hai qui tắc sau:

1.2.1Qui tắc cộng Xét các tập hợp có hữu hạn phần tử A:,

(i=1 k) Dat | Aj] 1a sé phan tir tap hop Ai

Néu X = AlUA2 UU UAK va AiNAj =D Vi¥j

_ thi |X] =| Ail + | Aa] + + | Ax

Y nghia: Ta nén chia tập hợp thành những tập con không giao nhau đề

đêm

Ví dụ Một đoàn vận động viên thị đấu hai môn bắn súng và bơi lội

trong đó có 10 vận động viên nam Số vận động viên bắn súng cả

nam và nữ là 14 Số nữ vận động viên bơi lội thì bang số nam vận

động viên bắn súng Hỏi đoàn có bao nhiêu người? Biết rằng mỗi

vận động viên chỉ thi đấu một môn

Giải Đặt A: là tập hợp vận động viên nam bắn súng

A¿ là tập hợp vận động viên nam bơi lội

Aa là tập hợp vận động viên nữ bắn súng

A4 là tập hợp vận động viên nữ bơi lội

=> X= AIUA2U A3UAg 1a tap hop cả đoàn vận động viên

3

Vi AiNAj =O Vij, taco:

JA; UA,|=10 |A;|+|A2|=10 JA; VA3|=14 = 4 |Ay|+|A3|=14

|Ai| =|A4l |Ail =|A4|

Ví du Một lớp học gồm: 42 học sinh giỏi Toán, 30 học sinh giỏi Lý,

28 học sinh giỏi Hóa trong đó có: l5 học sinh giỏi 2 môn Toán và Lý, 8 học sinh giỏi Toán và Hóa, 10 học sinh giỏi Lý

và Hóa, 5 học sinh giỏi Toán, Lý và Hóa Hỏi lớp học có bao

nhiêu học sinh?

Giải T: tập hợp các học sinh chỉ giỏi l môn Toán

L: tap hop các học sinh giỏi l môn Lý

H: tập hợp các học sinh giỏi 1 môn Hóa

TL: tap hop các học sinh giỏi 2 môn Toán, Lý

TH: tập hợp các học sinh giỏi 2 môn Toán , Hóa

LH: tập hợp các học sinh giỏi 2 môn Lý , Hóa

TLH: tập hợp các học sinh giỏi 3 môn Toán, Lý, Hóa

Ta có:

|T|+| TL|+| THỊ+| TUH|=42 > |T|=42-15-8-5=14

IL|+|TL|+|LH|+|TUH|=30 => |L|=30-5~10-5= 0 IH|+~|TH|+|LH|+| TLH |=28 > | H|=28-8-10-5= 5

Do do, số lượng học sinh là:

IT| +[LI+|H|+|TL|+|TH|+|LH|+| TLH|

1.2.2 Qui tắc nhân

a) Tập hợp tích Descartes

Cho A = {a1 , a2, , an} và B= {bi,ba, , Dm}

Ta dinh nghia tich Descartes cua hai tap A va B 1a:

AxB = {(a,b)/ aeA vàbeB }

4

Đề đếm số phần tử của AxB, ta liệt kê các phần tử của AxB như Sau:

(a2,b1) (aa,ba) (a2,bm) có m phần tử

(an,b1) (an,b2) setae (an,bm) có m phần tử

Theo qui tắc cộng: | AxB| = = m†+m+ +m = n.m

= l|AxB| =|A|.|B|

b) Qui tắc nhân

e Nếu A và B có hữu hạn phần tử thì | AxB|=| A | | B|

® Suy rộng : |Aix Azx x A | = IAil.|A¿ | eee | Ax |

Y nghĩa: Một công việc cân có k giai đoạn thực hiện:

A,, Az, ., Ak

Mỗi giai đoạn A¡ có nị cách thực hiện (¡=I K)

Số cách hoàn thành công việc đó là : H1.H2 Hạ

Ví du Một cơ quan có 5 nhân viên nam và 3 nhân viên nữ Hỏi có

bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên khác nhau để có I nam và l

nữ đi công tác

Giải Ta có 2 giai đoạn

+ Giai doan 1: chon l nam đi công tác có 5 cách

+ GIai đoạn 2: chọn l nữổđi công tác có 3 cách

Vậy, sô cách chọn 1 nam và 1 nữ đi công tác là: 5x3= 15

Ví dụ Từ Hà Nội vào Huế có 3 cách đi: máy bay, ôtô, tàu hỏa Từ

Huế vào Tp Hồ Chí Minh có 4 cách đi: máy bay, ôtô, tàu hỏa, tàu thủy Hỏi có bao nhiêu cách đề đi từ Hà Nội vào Tp Hồ Chí Minh phải qua Huế

Giải Đề thực hiện công việc, ta có 2 giai đoạn

+ Giai doan 1 : chon | cach đi từ H Nội vào Hué, có 3 cách

+ Giai đoạn 2: chọn 1 cách đi từ Huế vào Tp.HCM, có 4 cách

Vậy, ta có số cách là: 3x4= l2

Ví du Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số ?

Giải Để tạo một số gồm 4 chữ số, ta có 4 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1 : chọn chữ số thứ I có 9 khả năng vì # 0

+ Giai đoạn 2 : chọn chữ số thứ 2 có 10 khả năng

+ Giai đoạn 3 : chọn chữ số thứ 3 có 10 khả năng

+ Giai doan 4 : chọn chữ số thứ 4 có 10 khả năng

=> 9.10.10 10 = 9000 số gồm 4 chữ số

Ví dụ Biển số xe mô tô gồm 2 phần: phần chữ gồm 2 chữ cái và

phần số gồm 4 chữ số Hỏi với cách đánh số này, có thể gắn

biển số cho bao nhiêu xe mô tô ? Giải Đề tạo l biển số xe mô tô, ta có 6 giai đoạn :

Vay ta có: 26.26 10 10 10.10 = 6.760.000 biển số, xe moto

Ví du Trong các sé gồm 5 chữ số có bao nhiêu số mà tất cả các chữ

Giải Mỗi cách xếp ứng với việc chọn hộp cho từng quả bóng

* Quả bóng 1 có 3 cách xếp vào một chiếc hộp ( vì có 3 hộp)

* Quả bóng 2 có 3 cách xếp vào một chiếc hộp ( vì có 3 hộp)

Ví dụ Tính số dãy nhị phân (dãy chữ số 0 và 1) có độ dài N

Giải Một dãy nhị phân có độ dài N là I1 nhóm N phần tử

* Phần tử I có 2 cách chọn là 0 hoặc 1

* Phần tử 2 có 2 cách chọn là 0 hoặc 1

* Phần tử N có 2 cách chọn là 0 hoặc 1

Do đó có, tat cả 2N dãy

Vi dụ Thang máy của một khách sạn 10 tầng xuất phát từ tầng trệt với 5 người khách Mỗi khách ra khỏi thang máy một cách ngẫu nhiên Hỏi có bao nhiêu trường hợp xảy ra?

Giải

* Khách thứ I có 10 cách đề ra khỏi thang máy

(vì có thể ra ở tầng 1, 2, , 10)

* Khách thứ 2 có 10 cách đề ra khỏi thang máy

* Khách thứ 5 có 10 cách đề ra khỏi thang máy

Vậy, ta có 10 =100.000 trường hợp xảy ra

1.3 GIẢI TÍCH TÔ HỢP

Bài toán Giả sử tập hợp X có n phân tử Chọn từ X ra một nhóm

gôm k phân tử Hỏi có thê tạo được bao nhiêu nhóm khác nhau?

Nhóm k phần tử có 2 đặc trưng: các phần tử của nhóm được chọn

có thứ tự hay không? có lặp lại các phần tử hay không?

Dựa vào hai đặc trưng nay, ta chia thành các loại nhóm thường gặp sau đây:

+Chon a, cé n — (k -1) cach vì khac k-1 phan tử trước đó

Số cách chọn là : n.(n —1) (n —2) (n =k+1) _/

(ab (Qui udc 0! = 1)

Ví dụ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 3 người vào chiếc bàn dài có 5 chỗ

ngồi ? Giải Mỗi cách xếp là chọn 3 trong 5 ghế cho 3 người là một nhóm 3 phần tử có thứ tự và không lặp nên là một chỉnh hợp chập 3 của 5

phần tử Do đó có A3 =5x4x 3= 60 cách xếp

Ví dụ Một học sinh phải thi 4 môn trong 10 ngày, mỗi ngày chỉ thi l

môn Hỏi có bao nhiêu cách lập lịch thị ?

Giải Lập lịch thi bằng cách chọn ngày thi cho từng môn thi Lịch thi tương ứng với nhóm 4 phần tử khác nhau có thứ tự trong 10 phần tử, nên ứng với I chỉnh hợp chập 4 của 10 phần tử Do đó, ta có

Aj, =10.9.8.7=5040 cach xép lich thi

Dé cho gon, ta viết Ak =

1.3.2 Chinh hop lap

o Dinh nghia: Mot chinh hop lap chap k cua n phan tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, các phần tử trong nhóm có thể lặp lại từ 1 đến k lần, (n,ke N”)

© Đặc trưng: có tính thứ tự và tính lặp

Ví dụ: Liệt kê các chỉnh hợp lặp chập 2 của tập X={A,B,C}

Giải: có tât cả 9 chỉnh hợp lặp chập 2 của X là

AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC

Ví dụ Có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số từ tập

= {1,2,7,8,9}

Giải: Mỗi số gồm 3 chữ số tạo thành từ tập X là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 5 nên có A? =5* =125 sé

1.3.3 Hoan vi

e Dinh nghia: Mot hoan vi cua n phan tử là một chỉnh hợp chap n

của n phân tử cho

° Đặc trưng: Mỗi hoán vị khác nhau do sự hoán đổi vị trí các

Vídu X={a,b,c } Các hoán vị của X là :

abc, acb, bac, bca, cab , cba

Ví du Có 6 người xếp thành một hàng ngang đề chụp ảnh Hỏi có thé

bố trí được bao nhiêu kiểu ảnh khác nhau?

Giải Mỗi kiểu ảnh ứng với một cách sắp xếp vị trí của 6 người, nên

là một hoán vị của 6 phần tử

Do đó, ta có thể bồ tri: Ps = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 kiểu

Ví dụ Có 7 người được phân công trực nhật 7 ngày trong tuần Hỏi

có bao nhiêu cách phân công để mỗi người trực l ngày khác nhau?

Giải Mỗi cách phân công là một hoán vị của 7 phan tử

Mỗi tổ hợp chập k được xem như là tập hợp con có k phần tử của tập hợp gomn phân tử

e_ Đặc trưng: Tô hợp là nhóm có tính không thứ tự và tính không

iii) CK =CK-} 4k,

Ví dụ Có 10 đội bóng thi đâu vòng tròn tính điểm Hỏi phải tổ chức

bao nhiêu trận đấu ?

Giải Mỗi trận đâu tương ứng với I nhóm 2 phần tử không thứ tự, không lặp Nên là I tổ hợp chập 2 của 10 phần tử Do đó, phải tô

Do đó, số tập con có 3 phần tử của A là Cio =120

Ví du Có may cach trao 15 tang phẩm cho 3 người sao cho: người

thứ nhất nhận 2 tặng phẩm; người thứ hai nhận 3 tặng phẩm ; người thứ ba nhận 10 tặng phâm

Giải Ta có 3 giai đoạn :

10

* Trao 2 tặng phẩm trong 15 tặng phẩm cho người thứ 1 có

a) Trong một chuyên đi du lịch có 35 người, cứ 2 người cùng chụp

với nhau l bức ảnh Hỏi phải chụp bao nhiêu bức ảnh?

b) Nêu chụp được 210 bức ảnh thì có bao nhiêu người tham dự?

GIải

a) Mỗi bức ảnh tương ứng | nhóm 2 người không thứ tự, không lặp

nên tương ứng với I tổ hợp chập 2 của 35 phần tử Do đó, có

C45 = 595 bức ảnh

b).GọiN số người tham dự, thì số ảnh chụp là:

C2 — =210 > N?-N-420=0

=> N= 2l người tham dự

Ví dụ Một cơ quan có 5 nam và 3 nữ Chọn 4 người đề đi công tác

Hỏi có bao nhiêu cách chọn đề:

a) số nam và nữ tùy ý b) có 3 nam và | ni e) có ít nhất 1 nữ

=> |B] =Ci=5

A tap hop các cách có ít nhất l nữ; X=ALJB và AB=Ø

Quy tắc cộng cho ta: |x| = lal + [BI

= |A| =|x|-|B| =70-5 =65

1.3.5 Nhị Thức Newton

(a+b)*= — de N- Kp

[Taco (a+b = = (aby) (a+b)

Hé sé cua thita sé a® bN* sé la s6 cach chon K nhan tir (a+b)

mà từ đó ta có aX và đông thời N-K nhân tử còn lại cho ta bỲ'X

Do đó ta có kết quả khai triển nhị thức Newton như trên J

Hê quả : C¡ +C¡ +Cñ+ +tCn: +ŒCn=2"

(Thay a=b=] vô khai triên nhị thúc)

Ví dụ ( a+ b}!= 1.atb? + 4.alb + 6 a?b? + 4 a?b! + I.a?bf

Ví dụ Cho tập hợp A có N=7 phần tử khác nhau Hỏi từ A có thể tạo

được bao nhiêu:

a) Tập con có đúng 5 phan tử

b) Tập con

Giải Mỗi tập con của A có k phần tử tương ứng với một tổ hợp chập

k của 7 phân tử Nên:

a) Số tập con có 5 phần tử của A là: or =21

b) Ta có các trường hợp: (theo số phần tử của tập con)

e_ Số tập con có 0 phần tử (tập Ø ) là : or

e_ Số tap con c6 1 phan tir la: C}

e_ Số tập con có 2 phần tử là : C2

12

BÀI TẬP

1.1 Lớp học 100 người có 30 người giỏi Toán, 40 người giỏi Ngoại ngữ

trong đó có 10 người giỏi cả hai môn này Hỏi có bao nhiêu người trong lớp:

a) Chỉ giỏi môn Toán

b) Không giỏi môn nào trong hai môn đó

c) Chỉ giỏi một môn

1.2 Một thành phố có 100000 người và có 3 loại báo A, B và C Trong thành phố này có 20000 người đọc báo A, 15000 người đọc báo B, 10000 người đọc báo C, trong đó có 8000 người đọc báo A và B., 2000 người

đọc báo A và C, 4000 người đọc báo B và C, 1000 người đọc cả 3 loại báo

A,B,C Hoi trong thành phố có bao nhiêu người:

a) chi doc 1 loai bao

b) doc it nhất một loại báo

c) không đọc loại báo nảo

1.3 Có bao nhiêu cách xếp 4 quả bóng bàn khác nhau vào hai cái hộp lớn

đã được đánh số?

1.4 Một đoàn tàu điện gồm 3 toa vào sân ga đang có 12 hành khách chờ lên tàu, mỗi toa có hơn 12 ghế trống Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 hành

khách lên tàu?

1.5 Xếp ngẫu nhiên § người lên đoàn tàu có § toa

a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

b) Hỏi có mấy cách xếp để toa nào cũng có người lên?

1.6 Có bao nhiêu cách xêp 5 người trong đó có A và B vào chiếc bàn dài có

7 chỗ ngồi sao cho:

a) A và B ngôi đầu bàn b) A và B ngồi cạnh nhau

1.7 Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi rút trong 25 câu hỏi Vậy có thể tạo được bao

nhiêu đề thi?

1.8 Một lớp học có 36 học sinh gồm 18 nam và 18 nữ Chia đôi lớp ra một

cách ngẫu nhiên Có bao nhiêu cách chia để trong mỗi nửa lớp này lại

có đúng phân nửa nam và phân nửa nữ

1.9 Có bao nhiêu cách chia 10 người thành 3 nhóm: nhóm l có 4 người;

nhóm 2 có 3 người và nhóm 3 có 3 người?

14

1.10 Xét A={1,2, ,15} Hoi A c6 bao nhiêu:

a) Tập hợp con có 5 phần tử

b) Tập hợp con

c) Tập con chỉ chứa số lẻ

1.11 Cho 12 điểm phân biệt trên một vòng tròn Hỏi từ 12 điểm này có thể

tạo được bao nhiêu:

a) duong thang b) vecto# 6c) tam giac

1.12 Một họ có 7 đường thắng song song nhau cắt một họ có 5 đường

thắng song song khác Hỏi có thê tạo được bao nhiêu hình bình hành

9

1.13 Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác đều n cạnh (n > 4)

1.14 Lớp học có 15 nữ và 25 nam Chọn ngẫu nhiên 4 em vảo ban trật tự

Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu :

a) số nam và số nữ là tùy ý

b) co 1 nam và 3 nữ

e) có ít nhất 1 nam

1.15 Trong một cuộc liên hoan, tất cả mọi người đều bắt tay nhau đúng I

lần và người ta đếm được tất cả 1225 cái bắt tay Hãy cho biết có bao nhiêu người dự tiệc?

1.16 Một trường học có ba tầng lầu Tầng một có 5 phòng học, tầng hai có

6 phòng học, tầng ba có 7 phòng học Tính sd cách xêp ba lớp học vào

trường ( mỗi lớp một phòng ) sao cho 3 lớp xếp cùng một tầng

1.17 Có mây cách xếp 5 người có A và B đứng một thành hàng ngang sao

cho A không đứng cạnh B?

1.18 Một tàu điện có 3 toa dừng lại tại một ga có 15 hành khách chờ lên tàu

Mỗi toa có thể chứa thêm trên 15 hành khách

a) Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau khi hành khách lên tàu

b) Hỏi có bao nhiêu cách sao cho toa 1 có 6 hành khách, toa 2 có 7 hành khách lên tàu?

1.19 Có bao nhiêu số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau?

1.20 Từ các đỉnh của một đa giác đều N cạnh (N > 6) có thể kẻ được bao

nhiêu tam giác không có cạnh nào của tam giác đó trùng với cạnh của

đa giác cho?

1.21 Tìm số nguyên dương sao cho:

C?+2Œ) +4C7 + +2"C” =243

15

Chương 2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUAT

2.1 CÁC KHÁI NIỆM

2.1.1 Biến có, và phép thir

_J Biên cô Trong thiên nhiên, trong đời sống hằng ngày, ta thường gặp nhiều hiện tượng xảy ra do sự tác động của những hiện tượng khác hay do sự thực hiện một số điều kiện nào đó

Các hiện tượng xảy ra do khi thực hiện một số điều kiện nào

đó được gọi là biến có

Trong lý thuyết xác suất có 2 loại biến cố: biến cố ngẫu nhiên và biến cô không ngau nhiên

- Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi các điều kiện gây nên biến cố đó được thực hiện

- Bién có không ngâu nhiên là biến cố chắc chắn xảy ra (biến

có tất yếu) hoặc chắc chắn không xảy ra (biến cô bất khả) khi các điêu kiện gây nên biến có đó được thực hiện

Vi du - Tung đồng xu và được mặt sắp hoặc mặt ngửa là hai biến

cô ngầu nhiên

- Ở áp suất 76 cm thủy ngân đun nước đến 100°C thì nước sôi Nước sôi là biến có tất yếu

ˆ¡ Phép thử ngẫu nhiên:

Khi một nhóm các điều kiện nào đó có tính chất là có thể lặp lại

vô số lần, được thực hiện, ta nói là một phép thử ngẫu nhiên được thực hiện và gọi vắn tắt là phép thử

Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, có nhiều biến có có thé

xay ra

- Một biến có có thể phân chia thành những biến cố “nhỏ” hơn Trong trường hợp một biến có không thể phân chia được nữa thì được gọi là biến cố sơ cấp

- Tập hợp tất cả các biến cô sơ cấp của một phép thử gọi là không gian mẫu hoặc không gian các biến cố sơ cấp và ký hiệu

la Q

16

Ví dụ Tung một con xúc xắc để xem được bao nhiêu nút ở mặt trên

Gọi A¡ là biến cô được 1 1 nút, 1= ], 2, 3, 4, 5, Ó, thì Ai, A», ., Ae la

tất cả các biến cô sơ cấp

Q = {A,,A,,A;,A,,A;,A,} là không gian mẫu của phép thử

Đồng nhất A; với ¡ thi Q = {1,2,3,4,5,6}

2.1.2 Quan hệ và các phép toán giữa các biến cố

Cho hai biến cố A và B trong cùng một phép thử

°Định nghĩa 1: Nếu biến có A xảy ra thì biến cố B xảy ra, khi đó ta

nói A kéo theo B va ký hiệu là A c B Vậy mọi biến cố A của

phép thử có không gian mẫu O© đều thỏa A c ©

Trong trường hợp ACB và BCA thì A và B là hai biến cố tương

Ví dụ Hai người cùng bắn một con thú Gọi A là người thứ nhất bắn không trúng và B là người thứ hai bắn không trúng thì A.B là biến cố con thú không bị trúng đạn

Định nghĩa 4: Biến có hiệu của A với B, ký hiệu A\B, là biến cố xảy

ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra

Đặc biệt, ký hiệu A = Q\A dé chỉ biến có đối lập của A, đó là biến

có xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

Vậy ta có 4+ 4=Ovà 4.4 =Ø

©

©

©

Ví dụ Tung con xúc xăc đê xem được bao nhiêu nút Gọi A là biên

cố được một hoặc hai nút thì A là biến cố được số nút lớn hơn hai

Dễ dàng Ì kiểm chứng:

i) A=A, ii) A+B =A.B, iii) AB=A+B

17

Trong ví du trên, đồng nhất biến cô được ¡ nút với số nguyên ¡

Ví dụ Một hộp chứa ba loại quả cầu màu trắng, màu xanh, màu đỏ Lay ngau nhiên từ hộp đó một quả cầu Goi A la biến có lấy được quả câu trắng, B là biến cố lấy được quả cầu xanh, thì A và B là hai biến cố xung khắc

Cho n bién co co Ai, Az, , An cua cting mot phép thir co khéng gian mau 1a Q

khi và chỉ khi có ít nhat mét bién cé Aj (i= 1, 2, ., n) xảy ra

- Biến cố tích A = Ai x A2X X An (=7 A,) là biến cố xảy ra khi

thử nếu chúng xung khắc từng đôi và SA, =Q

Vi du: Tung một con xúc xắc để xem được bao nhiêu nút ở mặt trên

Gọi các biên cô: A={nút1, nút3, nútŠ }, B={nút2, nútó}, C={nút4}

thì A, B, C tạo thành một nhóm đây đủ của phép thử

18

Ví dụ: Có 3 sinh viên đi thi Gọi M;là biến cố sinh viên thứ ¡ thi đạt,

a) M,M,M, 1a bién cé sinh viên thứ nhất thi đạt va sinh viên

thứ hai thi đạt và sinh viên thứ ba thi đạt = biến có cả ba sinh

viên thị đạt

b) M, M,.M3+ M,.M2.M,+M M,.M, bién cô có hai

c) M,+M,+M, la bien co sinh vién thứ nhât thi đạt hoặc sinh

viên thứ hai thi đạt hoặc sinh viên thứ ba thi đạt= biến cổ có ít nhât một sinh viên thị đạt

d) ÄM⁄,.M,.M, biến cố có không quá ba sinh viên thi đạt = biến

cố có ít nhất một sinh viên thi không đạt

e) M,+M,+M, 1a bién cé cé 0 sinh viên thi đạt = biến cố cả

ba sinh viên thi không đạt

2.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

2.2.1 Định nghĩa xác suất theo lý thuyết độ đo

Trong một phép thử, một biên cỗ có xảy ra hay không chỉ được biết sau khi đã thực hiện phép thử đó Vấn đề đặt ra là người ta muốn biết khả năng xảy ra của một biến cô trước khi phép thử được thực hiện Để đo lường khả năng này, nhà toán học Nga Kolmogorov đã

đưa ra một định nghĩa chặt chẽ như sau:

19

Cho phép thử có không gian mẫu là Q Với mỗi biến cố A ta gắn với một số thực p = P(A) sao cho các tiên đề sau thỏa mãn:

1) PQ) =1 i) O< P(A) <1

iii) Néu A va B là hai biến cỗ xung khắc thi

ii) P(A) = 1 - P(A)

Dinh nghia xac suất theo lý thuyết độ đo chặt chẽ về mặt toán học

nhưng chỉ mới xuất hiện từ những năm 40 của thế kỷ 20 Trước đó rất lâu, người ta đã có những định nghĩa xác suất xuất phát từ trực quan thực tiễn và được đa số chấp nhận, đó là định nghĩa xác suất theo lối cổ điển hoặc theo thống kê

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo lối cỗ điển

Giả sử một phép thử có không gian mẫu Q chia n biến cố sơ cấp đồng khả năng (nghĩa là vê mặt trực quan, khả năng xảy ra của các biến cô SƠ cấp này là bằng nhau) Xét một biến cô A có chứa mạ

biến cố sơ cấp (0< m a <n) thi xac suất của biến cô A la

P(A) = mM, _ 'Số trường hợp thuận lợi cho biến cốA"

n — "Số trườnghợp đồng khả năng của phép thử"

Định nghĩa này thỏa 3 tiên đề của định nghĩa xác suất theo độ đo

Ví dụ 1 Một chiếc hộp có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm

a)Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt

b)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, I sản phẩm xấu

c)Tính xác suất được 1 san phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu

Giải a)Gọi A là biến cô được 3 sản phẩm tốt

n=C;=10

20

J=QΠ=l

1

n 10 b) Gọi B biến cỗ được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu

Đề lây được 3 sản phẩm trong đó có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu

ta chia 2 giai đoạn

Giai doan 1: Lay 2 sản phẩm tốt có C;=3 cach

c) Gọi C biến cố duge | san phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu c

Đê lây được 3 sản phâm trong đó có | san phâm tôt, 2 sản phâm xâu

ta chia 2 giai đoạn

Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có Cj= 3 cách

Giai đoạn 2: Lây I sản phẩm xấu có Cÿ7= I cách

Theo nguyên lý nhân m„.= 3.I1=3

3 Vậy P(C)= —€=-— ây P( 10

Ví dụ 2 Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại gồm 6 chữ số Tính xác

suất dé số điện thoại đó là một số chăn bắt đầu bằng số 5 Giải

* Số trường hợp đồng khả năng của phép thử: n = 10°

* Goi A là biến cố cần tính xác suất

Số trường hợp, để A xảy ra được tính như sau:

+ Chọn chữ sô đầu tiên là chữ số 5, có 1 cach

+ Chọn 4 chữ số tiếp theo, co 10x10x10x10 = 10* cach

+ Chọn chữ số cuối là chữ số chăn, có 5 cách

ma _ 5x104

Ví dụ 3 Chọn ngâu nhiên I tờ vé sô có 3 chữ sô, tính xác suât

a) được tờ không có sô 3

b) được tờ có 3 chữ số khác nhau

c)_ được tờ có 3 chữ số đều là số lẻ

Giai

Tổng số trường hợp xảy ra n= 10.10.10E= 1000

a) Gọi A biến có được tờ không có số 3”

Số trường hợp để A xảy ra m,=9.9.9=729

ty POA = 1000

b) Goi B biến cố được tờ có 3 chữ số khác nhau”

Sé trudng hop dé B xay ra m, =10.9.8=720(c thé thay

m,= A>, =720)

3y PB = T000

c) Goi C biến có được tờ có 3 chữ số đều là số lẻ

Sô trường hợp đê C xảy ra m.=5.5.5=125

Vậy P(C= e-.125

By PC)” = 1000

Ví dụ 4 Xếp ngẫu nhiên 5 người trong đó có X và Y, vào một chiếc

bàn dài có 5 chỗ ngôi Tính xác suất đề:

a) X và Y ngồi đâu bàn

b) X và Y ngồi cạnh nhau

Giải

* Số trường hợp đồng khả năng của phép thử : n = 5! = 120

a) Gọi A là biến có X và Y ngôi đầu bàn

X,VY ngồi đầu bàn và 3 người còn lại ngồi tùy ý

= mA = 2x3! = 12 P(A) = 12/120 = 0,1

b) Gọi B là biến cố X, Y ngồi cạnh nhau

* X,Y cạnh nhau có 2 cách là (XY hoặc YX )

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất

Đề khắc phục hạn chế của định nghĩa xác suất theo lối cổ điển là

chỉ áp dụng được cho các phép thử có hữu hạn kết quả đồng khả năng, người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo thống kê như sau:

Xét một biến có A của phép thử G Lặp lại phép thử n lần độc lập

` kan Ấy 1*A À > 47 » «4 mM

và gọi mạ là sô lan A xuât hiện trong n lân thử đó Tỉ sô —A duoc

n

gọi là tần suất xuất hiện của biến có A

Khi n tăng lên khá lớn thì tần suất luôn luôn dao động quanh một hằng số nào đó và người ta dùng hăng số này để chỉ xác suất của biến

cô A:

Vậy P(A)= lim “A =p hay P(A)~x °^_ khinkhálớn

n>+œ II n

Ví dụ : Tung đồng xu cân đối và đồng chất, gọi A là biến cố được

mặt sâp Một số nhà toán học đã thực hiện nhiều lần tung và

được một số kết quả được ghi lại như sau:

2.2.3 Định nghĩa xác suất theo phương pháp hình học:

Trong trường hợp phép thử có vô hạn kết quả đồng khả năng và

không gian mẫu © được biểu thị bởi miền hình học G và biến cố A được biểu thị bởi miền hình học gcG thì ta định nghĩa xác suất của

Miền hình học thường là đoạn thăng, miền phẳng, hình khối trong không gian thì kích thước tương ứng là độ dài, diện tích, thể tích

Dễ dàng kiểm chứng định nghĩa xác suất như trên thỏa mãn cả ba tiên đề và các tính chất của xác suất

Ví dụ I: Gieo ngẫu nhiên một điểm trong đường tròn bán kính R

Tính xác suất sao cho điểm đó rơi vào:

a) Trong hình vuông nội tiếp đường tròn

b) Trong tam giác đều nội tiếp đường tròn

b) Sa: diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn

Cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn là a= R3

Ví dụ 2: Hai người thỏa thuận gặp nhau ở địa điểm hẹn trước từ lúc

8g đến 9 g Hai người đến điểm hẹn độc lập với nhau và ai đến trước thì đợi người kia 20 phút, trong khoảng thời gian đợi này nếu người kia không đến thì người đến trước bỏ về Tính xác suất để họ gặp nhau

Giải :

Chọn gốc thời gian là lúc 8g và gọi x, y là thời điểm đến điểm hẹn của hai người X và Y

24

Khong gian mẫu @ được biểu thị bởi

miễn phẳng:

G={(xy)/0<x<lvà0<y<1}

(G là hình vuông cạnh là 1) Gọi A biến cố gặp nhau, ta có 2

trường hợp xảy ra:

* X đến trước tại thời điểm x và đợi

trong khoảng thời gian x đến x +

1⁄3 để gặp nhau thì Y phải đến tại

thời điểm y thỏa: x<y<x + 1⁄3

(a)

* Y dén truée va doi trong khoảng thời gian y đến y+1/⁄3 để gặp

nhau thì X đến tại thời điểm x đên thỏa:

y<x<y*l/3 © x-l/3<y<x ()

Biến có A được biểu thị bởi miền phẳng :

g= {(xy)/x <y <xt1/3 hay x-1/3< ys x}

( g miền gạch chéo trong hình)

—=P(A)= “9 37 295555

25

BAI TAP

2.1 Trong 10 vé số có 2 vé trúng thưởng Một người mua 5 vé trong 10 vé

đó Tính xác suất để trong 5 vé mua:

a) có | vé trúng thưởng

b) Có ít nhất 1 vé trúng thưởng

2.2 Một lô hàng có 4 sản phẩm A, 3 sản phẩm B, 3 sản phẩm C Lấy ngẫu

nhiên 4 sản phẩm Tính xác suất để trong 4 sản phẩm đó:

a) có 2 sản phẩm A

b) có I sản phẩm A., 2 sản phẩm B

c) có ít nhat 1 san pham A

2.3 Một cơ quan phân 5 căn hộ liên tiếp theo hàng ngang cho 5 gia đình

công nhân viên, mỗi hộ I căn, bằng cách bắt thăm ngẫu nhiên Tính xác

suât đê hộ A và hộ B được phân 2 căn hộ cạnh nhau

2.4 Một cậu bé có một chiếc hộp chứa 2 bị trắng và 4 bi đỏ Tìm xác suất

để cậu bé lấy ngẫu nhiên từng viên bi cho đến viên cuối cùng phải là viên bi màu đỏ

2.5 Đoàn tàu điện gồm 3 toa vào sân ga Ở đó đang có 12 hành khách chờ

lên tàu Giả sử hành khách lên tàu một cách ngẫu nhiên, độc lập nhau

và mỗi toa còn trên 12 chỗ trống Tính xác suất đề:

a) Toa 1 có 4 hành khách lên tàu, toa 2 có 5 hành khách lên tàu, số còn

lại lên toa 3

b) Mỗi toa có 4 hành khách lên tàu

c) Hai hành khách A và B cùng lên một toa

2.6 Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư khác nhau vào 5 phong bì có ghi sẵn địa chỉ

khác nhau của 5 lá thư đó Tính xác suất đề:

a) Cả 5 lá thư đều đúng người nhận

b) Lá thư thứ nhất đến đúng người nhận

2.7 Có 5 chữ số từ 1 đến 5 Chọn ngẫu nhiên 3 chữ số khác nhau Tính xác

suất đề tông của 3 chữ số được chọn là một số chăn

2.8 Bẻ ngẫu nhiên đoạn thăng có chiều dài L thành 3 đoạn Tính xác suất

để 3 đoạn thang do tạo thành một tam giác

2.9 Hai tàu thủy sẽ cặp vào cùng một bến Thời gian cặp bến của 2 chiếc

độc lập với nhau và xảy ra bất kỳ lúc nào trong suốt cùng một ngày đêm (24 giò) Biết rằng số thời gian đỗ lại bến của chiếc thứ nhất là I giờ và của chiếc thứ hai là 2 giờ Hãy tính xác suất để cho một trong 2 chiếc tàu phải chờ để cặp bến

26

2.10 Trén doan thang OA ta chon ngau nhién 2 điểm B và C có tọa độ

tương ứng OB=x, OC= y (x < y) Tính xác suất đề độ dài của đoạn BC

bé hơn độ dài đoạn OB

2.11 Xếp ngẫu nhiên 7 quyên sách khác nhau trong đó có 3 quyền sách

Toán vào 5 ngăn kéo lớn Tính xác suất để 3 quyên sách Toán:

a) ở cùng Ì ngăn

b) ở 3 ngăn khác nhau

2.12 Một buổi họp có dành 7 ghế hàng đầu cho khách mời, nhưng chỉ có 5

vị khách đến dự Giả sử khách ngôi tùy ý vào 7 ghế dành sẵn Tính xác suất dé 2 ghế ở hai đầu bỏ trống

2.13 Có 6 sinh viên cùng phòng chia nhau làm trực phòng 6 ngày trong

tuần, mỗi ngày một sinh viên Tính xác suất dé:

a) X va Y trực vào 2 ngày đầu và cuối tuần

b) X và Y trực vào 2 ngày liền nhau

2.14 Trong 6 đội bóng có 2 đội mạnh, đem chia 6 đội thành 2 bảng (mỗi

bảng 3 đội) Tính xác suất:

a) Mỗi bảng có I đội mạnh

b) Hai đội mạnh vào cùng | bang

2.15.Chọn ngẫu nhiên 1 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 Tính xác suất:

a) Khi bình phương chữ số đó ta được một số tận cùng bang sé 1

b) Khi lập phương chữ số đó ta được một số tận cùng băng số 2

2.16 Trên 8 tắm bìa hình vuông giống nhau có ghi các chữ số 2,4, 6,7, 8,

11, 12, 13 Rut ngau nhién 2 tam bìa Tính xác suất sao cho 2 tắm bia

đó có ghi 2 số có ước số chung #l

27

„ „ Chương 3 có /

CAC DINH LY CO BAN VE XAC SUAT

3.1 DINH LY CONG XAC SUAT

Định lý cộng xác suât dùng đê tính xác suât của các biên cô tông

3.1.1 Định lý cộng 1 ( hoặc Qui tắc | )

Néu A; Ao, ., An xung khắc từng đôi (Ai.Aj = © V ixj) thi:

P(A, +A2 + .+ An) = P(A1) + P(A2) + +P(AN)

/ Ta thay dinh lý đúng khi N=2 : Ai.A› = Ø

=> P(A, + Ax) = P(A) + P(A) (Tién dé 3)

Giá sử định lý đúng khi N= K, nghĩa là nếu Ai Ap, , Ax xung khắc từng đôi thì taco:

P(A, +A2 +4; + + A) = P(A)) + P(A) + +P(Ax)

Do đó nếu có K+] biến cố xung khắc từng đôi Ai,A2,Ak, Ak+i thì ta xét biến cố

A +Az +43 + .+ Ag + Axi = (Ap +2 +A3 + .+ An) + Axes là tổng 2 biến cố xung khắc từng đôi

> P(A, +4; + + 4y + Ak-r) = P(A, +4; +4; + + Ak) + P(Axk:¡)

Vì định lý đúng cho K biễn cỗ xung khắc từng đôi nên:

> P(A; +A4¿z+ + AK+ As) = P(Ai)+P(A2) + +P(Ak) +P(Ak+1)

Nghia la dinh lý đúng cho KHI biễn cỗ xung khắc từng đôi

Vậy định lý đúng cho N biến cô xung khắc từng đôi _Í

Ví du: Trong một chiếc bình có 10 quả cầu gồm 4 quả cầu do Lay

ngau nhién tir chiếc bình ra 3 quả ‹ cầu Tính xác suất dé có I hoặc là 2 quả cầu đỏ trong 3 quả cầu lấy ra

Giải :

Ai:biến có lay duoc 1 qua cau do(va 2 qua cau không phải màu đỏ)

Az:biến cô lây được 2 quả cầu đỏ(và 1 quả cầu không phải màu đỏ)

= Ai.A2=Ø và A+B là biến có lấy được 1 hoặc 2 quả cầu đỏ

=> P(AI†+Az)= P(A¡) + P(A2)

ch.cz + Ci Co 60, 36_4_

Cio Cio ~ 420° 120 5

Ví dụ: Một : chuồng gà có 10 con trong đó có 4 con gà trồng Chọn

ngẫu nhiên 3 con gà trong chuồng Tính xác suất đề trong 3 con gà đó có nhiều nhất là 2 con gà trống

»

28

Giai: Goi Aj biến cố trong 3 con đó có ¡ con gà trồng (E= 0,1,2)

A biến có trong 3 con gà đó có nhiều nhất là 2 con ga trong

= A= Ao†Ai+A2 và Ao, Ai, A2 từng đôi xung khắc, nên:

=> P(A) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)

3.1.2 Định lý cộng xác suất 2 (hoặc Qui tắc 2)

i) Néu A , B là 2 biến có bat kỳ thì:

P(A+B)= P(A) + P(B) - P(A.B) ii) Mo rộng : P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C)

—P(A.B) -P(A.C)-P(B.C) + P(A.B.C)

=> P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B)

Ví dụ: Một lớp học có 100 học sinh, trong đó: có 40 em giỏi toán, 50

em giỏi ngoại ngữ và 30 em giỏi 2 môn toán và ngoại ngữ

Giả sử giỏi ít nhất một môn thì được thưởng Gọi tên ngầu

nhiên một em, tính xác suất để em đó được thưởng

Giai: A: biến cố em được gọi tên là học sinh giỏi toán

B: biến cô em được gọi tên là học sinh giỏi ngoại ngữ

A.B: biến cô em được gọi tên là học sinh giỏi toán và ngoại ngữ

A +B: biến cố em được gọi tên là được thưởng

= P(A +B )=P(A) + P(B)~ P(A.B)= 22 + > = 0,6

29

Vi du: Cho mach điện có hai công tắc họat động độc lập như hình vẽ

Giải: Giải: Gọi A là biến có mạch AB có điện

Alà biến cố công tac 1 đóng, A2 là biến cố công tắc 2 đóng

Vidu_ Chon ngẫu nhiên một tờ vé số có 5 chữ SỐ Tính xác suất dé tờ

vé số đó không có sé 1 hay không có số 5

Giải A : biến cô tờ vé sỐ đó không có sô Ì

Ví dụ Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư khác nhau vào 3 phong bì

đã ghi sẵn 3 địa chỉ khác nhau sẽ gửi đến của 3 lá thư đó Tính xác suất đề có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của

nó

Giải A: biến cô lá thư I bỏ đúng phong bì

B: biến cô lá thư 2 bỏ đúng phong bì

C : biến có lá thư 3 bỏ đúng phong bì

Ta ci: P(A)=P(B)=P(C)=1/3, vi AB = AC = BC = ABC

=> P(AB) = P(AC) = P(BC) = P(ABC) = 1/6

=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)

=1-1/2+1/6=2/3

Ví dụ Một đoàn tàu gồm 3 toa ngừng ở sân ga Có 5 hành khách bước

lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau Tính xác suất

đề mỗi toa đều có ít nhất một hành khách mới lên tàu

Giải Gọi A¡: biến cố toa thứ ¡ không có hành khách mới lên tàu

(1,2,3 )

C : biến có cần tính xác suất => C =A4.Az.As = A,+A,+A;

ma P(A1) = P(A2) = P(A3) = 2° / 3°

P(A1A2) = P(AiA3) = P(A2A3)= 1/3° ; P(A1A2A3) = 0

3.2 ĐINH LÝ NHÂN XÁC SUÁT

3.2.1 Khái niệm xác suất có điều kiện

Xét phép thử G có không gian mẫu Q va A, B la hai biến cố của phép thứ Khi tính xác suất dé biến có A xảy ra, ta không quan tâm đến Việc biến cố B có xảy ra hay không Trong trường hợp biết biến có B đã xảy ra thì xác suất của biến cô A được gọi là xác suất của biến cô A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, gọi van tắt là xác suất của A có điều kiện B và ký hiệu là P(A/B) Vậy khi tính xác

31

suất có điều kiện P(A/B) ta đã thu hẹp không gian mẫu gồm các biến cố sơ cap sao cho bién cé B chac chan xay ra

Đề thiết lập công thức tính xác suất có điều kiện ta dựa vào định nghĩa xác suất theo lối cô điển Giả sử trong trường hợp phép thử đồng khả năng, số trường hợp thuận lợi cho biến có A, B, A.B lần lượt là ma, ms, man Khi tính xác suất P(A/B), không gian mẫu thu hẹp chỉ còn mạ trường hợp đồng khả năng (là các trường hợp biến cô B chắc chắn xảy ra) và số trường hợp thuận lợi cho A với điều kiện B đã xảy ra là man nên

P(B)

Vi du 1: Tung hai con xuc xắc cân đối và đồng chất Tính xác suất để

tổng số nút của hai mặt trên là 6, biết rằng tông số nút hai mặt trên là một số chan

Giải: Gọi A là biến có tổng số nút hai mặt trên bằng 6 vaB la biến cố tổng số nút hai mặt trên là một số chan thì xác suất cần tính là P(A/B) Không gian mẫu của phép thử: O={(x,y)/x=1, ,6; y=1, 6}—n=36

B={(x,y)/x+y=2k; k=1.,, ,6}—>mp=18 va A={(x,y)/xt+y=6} > ma=5

=> P(A) = =, P(B)= > Vi ACB nén A.B=A => P(AB) = =

Vậy P(4/B)= T2) _ Š

P(B) 15

Ví dụ 2 Một lô hàng gồm _ 12 sản phâm đạt yêu cầu chất lượng và 8

phế phẩm Rút ngẫu nhiên liên tiếp 2 sản phẩm (không hoàn lại) từ lô hàng Tính xác suất để cả hai lần đều rút được sản phẩm tốt

Giai Goi Aj (i= 1, 2) 1a biến có rút được sản phẩm tốt ở lần rút thứ 1 thi Ai A> la biến cố cả hai lần đều rút được sản phẩm tốt Từ công thức

32

3.2.2 Sự độc lập của hai biến cố

e Định nghĩa l Hai biên cô A và B gọi là độc lập (theo xác suât) với nhau nêu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cổ A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến có B và ngược lại Do đó, ta có định nghĩa:

Hai biến có A và B được gọi là độc lập nhau nếu P(A/B)=P(A) hoặc P(B/A)=P(B)

e Ghi chú

1/ Ta có P(A/B) = P(A)

P(AB)

<SP(AB) = P(A).P(B) <& P(B/A) = P(A) = P(B)

(do chi xét P(A)z0 và P(B)z0) Vậy trong định nghĩa hai biến có độc lập, chỉ cần một trong hai điều kiện | P(A/B) = P(A) hoac P(B/A) = P(B)

2/ Trong thực tế, để kiểm tra hai biến cố có độc lập với nhau

không, người ta thường dựa trên nhận xét, kinh nghiệm

Ví dụ

a/ A là biến cố chị X sinh con trai

B là biến cố chị Y sinh con trai

Thì A và B là hai biến cố độc lập

33

b/ Gieo một đồng xu 2 lần thì xác suất xuất hiện một mặt nào đó

của lân gieo thứ hai không bị ảnh hưởng bởi kêt quả của lân g1eo

thứ nhât

e Định nghĩa 2 Các biến cố Ai, Aa, , An gọi là độc lập trong toàn

bộ nếu mỗi biến cố A¡ (1<i<n) độc lập với tích của một số bất kỳ các biến cô còn lại Điều này có nghĩa là

Vi,11, 12, ,1k thuộc tập {1,2, n} vai #11, 12, ,1k ta cO

P(A, [A.A iy * A, ) = P(A)

Khi đó ta có: P(A,A, A,) = P(A,).P(A,) P(A, )

Do định nghĩa và nhận xét trên, ta có định lý:

3.2.3 Định lý nhân xác suất 1

i) Néu A , B 1a hai biến có đôc lập thì

P(A.B) = P(A) P(B)

¡¡) Nếu Ai, A2 , , A độc lập trong toàn bộ thì

P(AiA2 Ak) = P(A1)P(A2) P(Ak)

Giải A: biến cố sản pham tốt ở khau 1

B: biến có sản phẩm tốt ở khâu 2

Vì A, B độc lập nhau — P(A.B) = P(A).P(B)= 0,9702

Ví dụ2 Ba khẩu súng độc lập bắn một mục tiêu Xác suất bắn trúng

của mỗi khẩu súng lần lượt là 0,6 ; 0,7 ; 0,8

Tính xác suất dé:

a) có 2 khẩu bắn trúng

b) Nếu có 2 khâu bắn trúng Tính xác suất khẩu 1 bắn trúng

Giải Gọi A : biến cố khâu 1 bắn trúng , P(A) = 0,6

B: biến có khẩu 2 bắn trúng , P(B) = 0,7

C : biến có khẩu 3 bắn trúng , P(C) = 0,8 a) D : biến cố có 2 khẩu bắn tring , ta có:

D= ABC + ABC + ABC thì ABC, ABC và A BC là ba biến

có xung khắc từng đôi

34

= P(D) = P(ABC) + P(A BC) + P(A BC)

= P(A).P(B).P(C ) + P(A).P(B).P(C) + P(A ).P(B).P(C)

= 0,084 + 0,144 +0, 224 = 0,452

b) Tính xác suât của A khi biên cô D đã xảy ra

P( PÍA )- P(AD) _ P(ABC + ABC) _ 0,084+0,144 _ 57

Ví dụ 3 Một khối lập phương đồng chất có 5 mặt sơn 5 màu xanh, đó,

vàng, đen, trang, mat còn lại sơn đủ 5 màu nói trên Gieo khối lập phương để xem mặt trên có màu gì

Giải Gọi A,B,C,D,E lần lượt là biến cô mặt trên có màu xanh, đỏ, vàng, đen, trắng

Ta có P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P(E) =

P(A/BC) = P(A/BCD) = P(A/BCDE) = 1

Vay 5 biên cô trên không độc lập trong toàn bộ

3.2.4.Định lý nhân xác suất 2

i) Nếu A, B là 2 biến có bất kỳ thì

P(A.B) = P(A) P(B |) = P(B) P(A |g)

ii) Tổng quát:

P(Ai.A2 AN)P(AL).PC `? |A+)PC 3 |At.A2) PC `N |A1.A2 AN-1)

Chứng minh băng định nghĩa và qui nạp

Ví du 1 Cho P(A)=0,5 ;P(B)=0,7 ; P(A/B)E0,3

Tính P(A.B) ; P(A+B) ; P(B/A)

Ví dụ 2 Trong một ky thị, bạn phải thi 2 môn Giả sử bạn có hy vọng

70% đạt môn thứ nhất Nếu đạt môn thứ nhất thì hy vọng 60% bạn đạt môn thứ hai Nếu không đạt môn thứ nhất thì hy vọng bạn đạt

môn thứ hai chỉ còn 40% Hãy tính xác suất dé ban:

a) Dat yêu cầu cả hai môn thi

b) Không đạt yêu cầu cả hai môn thi

Giải Gọi A;¡ biến cô đạt môn thi thir i (i=1, 2) theo đề bài:

P(A,) =0,7 P(As|, )= 0.6 H(A;|)=04

a) AIA¿ là biến cố bạn đạt yêu cầu cả hai môn thi

= P(44;) = P(4\ PU, | , }=0.7x0,6 = 0,42

1

b) Ai.4› là biến cố bạn không đạt yêu cầu cả hai môn thi

> P(A, Ay) = PCA) PAA] 4) = (1-0,7)x(1—0,4) = 0,18

Vi du 3 Dé dập tắt nạn dịch sâu bệnh hại lúa, đội bảo vệ thực vật đã

tiến hành một đợt phun thuốc 3 lần liên tiếp trong 1 tuần Xác suất sâu bị chết trong lần phun thứ nhất là 0,5 Nếu sâu sống sót thì khả năng sâu bị chết trong lần phun thứ hai là 0,7 và nếu sâu còn sống sót thì khả năng sâu chết ở lần

phun thứ ba là 0,9 Tính xác suất để sâu bị chết sau đợt

phun thuốc

Giải Aj: bién có sâu chết sau lần phun thuốc thứ ¡ (i=1,2,3)

A : biến cô sâu chết sau đợt phun thuốc

=> A=A,A,.A,

= P(A) = P(Ai).P(Az]|A1).P(Aa|A¡.A2)=0,5x0,3x0,1 = 0,015

= P(A)= I- P(A) =0,985

36

3.3 DINH LY XAC SUAT TOAN PHAN

3.3.1 Nhom bién cô đầy đủ

Các biên cô Bị,B¿, , BN được gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu

thỏa mãn các điều kiện sau:

ï)_ Các biến cố B¡ xung khắc từng đôi : B¡.Bị=Ø Vizj

1) Bị+Bạ+ +Bn=O Định lý

vì Bì,B›, ,B„ xung khắc từng đôi nên BìA, BaA, ,B„A xung khắc từng đôi

Theo định lý cộng xác suất: P(A) = P(B.A) + P(B2A) + + P(BnA)

Theo định lý nhân xác suất :

P(A) = P(BỊ).P(A|BI)+ P(B2)P(A|B2)+ .+P(N).P(A|BN) /

Ví dụ Một lô hạt giống được phân làm 3 loại : loại I chiếm 2/3 số hạt

cả lô, loại H chiếm 1⁄4, còn lại là loại II Loại I có tỉ lệ nây mam 80%, loại II là 60% , loại II là 40% Hỏi tỉ lệ nây mầm chung của lô hạt giống là bao nhiêu ?

(Nói cách khác: ta lay ngau nhiên từ lô ra 1 hạt giống và tính xác suất dé hat do nay mam)

Giải By : bién có hạt giống lay ra la loai I; P(B1) = 2/3

Ba: biến có hạt giông lay ra là loại Il: ; P(B2) = 1/4 B¿ : biến có hạt giống lấy ra là loại III ;

= P(Ra)= 1 -2/3 —1/4= 1/12

A : biến cô hạt giống lấy ra nây mầm

=> P(A) = P(,)P(A|B¡) + P(B;)P(A|Bs) + P(B„)P(A|Ba)

_=2/3x0,8 + 1/4x 0,6 + 1/12 x 0,4 = 0,7166

Tỉ lệ nây mâm chung khoảng 71,66 %

Ví dụ Một hộp có 4 sản phẩm hoàn toàn không biết chất dượng Mọi

giả thiết về số sản phẩm tốt ở trong hộp lúc đầu đều đồng khả

37

nang Lay ngau nhiên từ hộp ra 2 san pham Tinh xac suat dé

ca 2 san pham lay ra déu tét

Giải Đặt B¡ là biến cố có ¡ sản phẩm tốt trong hộp (i=0,1,2,3,4)

Vì các Bị đồng khả năng, nên P(Bi) = : va các biến cố B¡ tạo thành

nhóm biến cô đầy đủ

Gọi A là biến cố cả 2 sản phẩm lay ra đều tốt

Theo định lý xác suất toàn phần, ta được:

[` Theo công thức nhân xác suất ta có :

Ví du Bóng đèn bán ở thị trường do 3 xí nghiệp 1,2,3 san xuất ra

Tổng số bóng đèn của xí nghiệp | chiếm 30%, xí nghiệp 2 chiếm 50% và xí nghiệp 3 chiếm 20% thị trường Tỉ lệ bóng đèn hỏng của xí nghiệp 1, 2, 3 lần lượt là 1%, 3%, 2% Mua một bóng ở thị trường nhằm phải bóng đèn hỏng Vậy bóng đèn đó có khả năng do xí nghiệp nào sản xuất ra?

Giải B¡:biến cố bóng đèn mua do xí nghiệp ¡ sản suất (¡=1,2,3)

=> P(B1)= 0,3 ; P(B›)=0,5 ;P(B:)=0,2

A : biến cô bóng đèn mua bị hỏng

= P(A) = P(B,)P(AlB,)+P(B,)P(AlB;) + P(B,)P(AB;)

Ví du Một hộp có 4 sản phẩm hoàn toàn không biết chất dượng Mọi

giả thiết về số sản phẩm tốt ở trong hộp lúc đầu đều đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm thì thấy cả 2 sản phẩm đó đều tốt Theo ý bạn có bao nhiêu sản phâm tốt còn lại trong hộp? Vì sao?

Giải Đặt B; là biến cố có ¡ sản phẩm tốt trong hộp (¡=0,1,2,3,4)

Vì các Bị đồng khả năng nên P(B;) = 1/5 và tạo thành nhóm biến có đầy đủ

Goi A là biến cố cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt Áp dụng định lý xác suất toàn phần, ta được:

P\*|A)= PU? |A)=0 5 P(*|AJ)=— ; PU®|A)=—; P(*|A)=

Vi p(2s \4)= = lớn nhất, nên số sản phẩm tốt còn lại trong có khả năng nhiều nhất là 2 sản phẩm

40