BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ Dựa theo sách Xác suất & Thống kê.

BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ Dựa theo sách Xác suất & Thống kê.

5

BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ

Dựa theo sách Xác suất & Thống kê Tác giả: Lê Sĩ Đồng

GV: Nguyễn Ngọc Phụng

PHẦN 1 – XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1.1.Một khách hàng muốn mua một hộp sản phẩm, ông ta chọn ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm để kiểm tra, nếu phát hiện ra phế phẩm sẽ dừng kiểm tra và không mua hộp sản phẩm Người bán hàng chỉ cho phép kiểm tra tối đa 3 sản phẩm trong hộp Giả sử hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm, tính xác suất khách hàng mua hộp sản phẩm

1.2.Một hộp có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ, 5 bi xanh và 2 bi vàng .Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi từ hộp Tính xác suất trong 3 bi lấy ra:

a) có 1 bi đỏ

b) có bi đỏ

c) có tối đa 1 bi đỏ

1.3. Có 3 người đi vào một thang máy từ tầng trệt (G) và tòa nhà

có tổng cộng 10 tầng lầu (1-10) Giả sử tòa nhà không cho phép người

đi thang máy lên tầng 1-2 (trừ trường hợp vận chuyển hàng hóa), và mỗi người lựa chọn một tầng (3-10) với khả năng như nhau Tính xác suất

a) cả 3 người cùng lên một tầng

b) mỗi người lên mỗi tầng khác nhau

c) có 2 người lên cùng một tầng

d) có 1 người lên ít nhất là tầng 8

1.4.Hộp 1 có 3 bi xanh, 7 bi đỏ, 5 bi vàng; hộp 2 có 4 bi xanh, 5 bi

đỏ, 6 bi vàng Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi Tính xác suất

a) hai bi lấy ra đều đỏ

b) hai bi lấy ra cùng màu

c) hai bi lấy ra có 1 bi vàng

d) hai bi lấy ra có bi vàng

1.5. Một hộp gồm có 3 phế phẩm và 9 chính phẩm Một khách hàng lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từng sản phẩm cho đến khi lấy được 2 chính phẩm thì dừng Tính xác suất việc lựa sản phẩm như trên dừng lại ngay sau lần lấy thứ 3

1.6.Một cơ sở photocopy có 2 máy hoạt động độc lập.Xác suất trong một ngày làm việc máy 1, máy 2 lần lượt bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,08 Tính xác suất trong một ngày làm việc

a) cơ sở có 2 máy đều bị hỏng

b) cơ sở có máy bị hỏng

c) cơ sở có máy 2 vẫn hoạt động tốt, biết rằng trong ngày đó cơ sở

có máy bị hỏng

1.7. Có 3 cung thủ cùng bắn độc lập, mỗi người bắn 1 mũi tên vào cùng một hồng tâm Xác suất bắn trúng hồng tâm của các cung thủ 1;2;3 tương ứng là 0,8; 0,75; 0,6 Tính xác suất

a) Hồng tâm bị bắn trúng

b) Hồng tâm bị bắn trúng 2 mũi tên, biết rằng cung thủ thứ nhất đã bắn trúng hồng tâm

c) Cung thủ thứ nhất bắn trúng hồng tâm, biết rằng hồng tâm đã bị bắn trúng 2 mũi tên

1.8 Một ngân hàng phát hành 3 loại thẻ A, B, C Theo thống kê của ngân hàng cho biết tỉ lệ khách hàng sử dụng các loại thẻ đó tương ứng

là 18%, 24%, 12%, và có 6% khách hàng dùng cả A và B; 4% khách hàng

dùng cả B và C; 3% khách hàng dùng cả A và C; 1% khách hàng dùng cả

3 loại thẻ Một khách hàng ngẫu nhiên đến giao dịch tại ngân hàng cho biết chỉ dùng một trong số các loại thẻ trên Tính xác suất khách hàng

đó sử dụng thẻ B

1.9 Tung đồng thời 2 con xúc xắc cân đối Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là chẵn và B là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là lẻ

a) Hai biến cố A, B có xung khắc với nhau không? Hai biến cố A, B

có độc lập nhau không? Tại sao?

7

b) Gọi C là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc là nhỏ hơn 5 Tính xác suất A xảy ra, biết rằng C đã xảy ra

1.10 Vé số Vietlott Mega 6/45 có luật chơi như sau

- Mỗi vé số được bán với giá 10 ngàn đồng, khách hàng có thể tự chọn 6 số phân biệt hoặc để máy bán vé tự động chọn ngẫu nhiên 6 số phân biệt từ 01 đến 45

- Kết quả xổ số là một bộ 6 số phân biệt duy nhất được máy tự động chọn ngẫu nhiên từ 01 đến 45

Quy tắc trúng thưởng: Mỗi vé có thể trúng nhiều giải thưởng đồng thời và không phân biệt thứ tự của các số, các giải như sau

- Mỗi bộ 3 số có mặt trong kết quả xổ số sẽ trúng giải Ba trị giá 30 ngàn đồng

- Mỗi bộ 4 số có mặt trong kết quả xổ số sẽ trúng giải Nhì trị giá

300 ngàn đồng

- Mỗi bộ 5 số có mặt trong kết quả xổ số sẽ trúng giải Nhất trị giá

10 triệu đồng

- Nếu trùng với bộ 6 số của kết quả xổ số thì sẽ trúng giải Đặc biệt trị giá 12 tỉ đồng và được tích lũy theo thời gian nếu như không có ai trúng giải

I) Bạn mua 1 vé số loại này, tính xác suất:

a) Bạn trúng được 1 giải Ba

b) Bạn có trúng giải

c) Bạn trúng được 1 giải Nhì Câu hỏi phụ: Khi đó tổng số tiền nhận thưởng của bạn là bao nhiêu?

d) Bạn trúng được 1 giải Nhất Câu hỏi phụ: Khi đó tổng số tiền nhận thưởng của bạn là bao nhiêu?

II) Bạn mua 2 vé số loại này với 12 số hoàn toàn phân biệt, tính xác suất:

a) Bạn có trúng giải

b) Bạn trúng được 1 giải Ba

c) Bạn trúng được 2 giải Ba

d) Bạn trúng được 4 giải Ba

1.11 Hộp một có 3 bi đỏ, 5 bi xanh và 2 bi vàng Hộp hai có 4 bi đỏ,

3 bi xanh và 3 bi vàng

I) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi

a) Tính xác suất lấy được 2 bi không cùng màu đỏ

b) Giả sử lấy được 2 bi không cùng màu đỏ Tính xác suất 2 bi đó cùng màu vàng

II) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 2 bi Tính xác suất trong các bi lấy ra

có 2 bi đỏ

1.12 Xác suất để một sinh viên thi đạt yêu cầu môn A ở lần thi thứ nhất là 0,6 Nếu lần đầu bị trượt thì được thi lại lần hai Tính xác suất sinh viên không bỏ thi lần đầu, thi đạt yêu cầu môn A là bao nhiêu? Biết rằng nếu thi trượt lần thứ nhất thì khả năng thi đạt ở lần thứ hai là 0,8

1.13.Một sinh viên thi TOEIC với mong muốn đạt điểm chuẩn đầu

ra cho văn bằng đại học Giả sử đã là năm cuối và sinh viên chỉ còn có

thể thi 2 lần nữa ở 2 nơi khác nhau là đến hạn, và sinh viên này đã đăng

ký thi ở cả 2 nơi đó

Cho biết khả năng sinh viên này thi đạt lần đầu ở nơi thứ nhất là 0,45 và khả năng thi đạt lần sau ở nơi thứ hai là 0,55 Cho dù lần thứ nhất đã thi đạt yêu cầu thì sinh viên này vẫn tiếp tục thi lần sau ở nơi thứ hai để mong tìm điểm số cao hơn và khi đó xác suất sinh viên đó thi đạt yêu cầu ở lần sau là 0,6 Tính xác suất

a) Trong 2 lần thi trên, có ít nhất một lần sinh viên đó đạt được điểm chuẩn đầu ra cho TOEIC

b) Sinh viên đó không đạt điểm yêu cầu ở lần thi sau, dù lần thi đầu

đã đạt được điểm yêu cầu

c) Giả sử trong 2 lần thi đó có ít nhất một lần sinh viên đó đã đạt được điểm yêu cầu Tính xác suất sinh viên đó chỉ đạt điểm yêu cầu ở lần thi sau

1.14. Một sinh viên muốn hoàn thành khoá học phải thi đậu 3 kỳ thi với nguyên tắc đậu được kỳ thi trước mới được tham gia thi kỳ sau Xác suất sinh viên đó đậu kỳ thi thứ nhất là 0,9 Nếu đậu được kì thi thứ nhất thì xác suất sinh viên đó đậu kỳ thi thứ hai là 0,85; nếu sinh

9

viên đó đậu kỳ thi thứ hai thì xác suất sinh viên đó đậu kỳ thi thứ ba là 0,8

a) Tính xác suất sinh viên đó không hoàn thành khóa học

b) Giả sử sinh viên đó không hoàn thành khóa học, tính xác suất sinh viên đó không đạt ở kỳ thi thứ ba

1.15 Khả năng sản xuất ra sản phẩm loại A của một máy ước tính

là 20% Kiểm tra ngẫu nhiên 10 sản phẩm do máy này sản xuất gần đây Tính xác suất trong 10 sản phẩm đó

a) có phế phẩm

b) có ít nhất 2 phế phẩm, biết rằng có phế phẩm trong số chúng

1.16. Tín hiệu được phát đi 4 lần từ bên phát A hướng về bên thu

B Cho biết xác suất B nhận được tín hiệu sau mỗi lần A phát đi tín hiệu

là 0,4

a) Tính xác suất B nhận được tín hiệu đó sau khi A đã phát đi 4 lần b) Nếu muốn khả năng B nhận được tín hiệu đó sau khi A đã phát

đi n lần, phải lớn hơn 80% thì A cần phát đi tín hiệu đó ít nhất bao

nhiêu lần?

1.17 Có 10 hộp sản phẩm cùng loại giống nhau, mỗi hộp đều gồm

có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 sản phẩm Tính xác suất trong các sản phẩm lấy ra

a) có sản phẩm loại B

b) có 3 sản phẩm loại B, biết rằng trong số chúng có sản phẩm loại

B

1.18 Hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm một cách độc lập

Tỉ lệ phế phẩm của máy 1, máy 2 lần lượt được ước tính là 0,04; 0,03 Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm của máy 1 và 6 sản phẩm của máy 2 để kiểm tra Tính xác suất trong 11 sản phẩm lấy ra

a) có phế phẩm

b) có 2 phế phẩm, biết rằng trong số chúng có phế phẩm

1.19 Hai vận động viên thi đấu với nhau với những ván đấu độc lập Biết rằng ở mỗi ván đấu chỉ có thắng hoặc thua và khả năng A thắng B là 0,4 Người B tự tin cho người A chọn thi đấu 3 hoặc 5 ván,

với quy ước nếu A chọn 3 ván thì chỉ cần thắng 1 ván là thắng cuộc; còn nếu A chọn 5 ván thì chỉ cần thắng 2 ván là thắng cuộc

Theo bạn, A nên chọn thi đấu 3 hay 5 ván để khả năng A thắng cuộc cao hơn? Giải thích

1.20.Một xí nghiệp có hai phân xưởng 1 và 2; phân xưởng một có

10 máy, phân xưởng hai có 8 máy, tất cả các máy đều hoạt động độc lập Xác suất trong một ngày làm việc mỗi máy của phân xưởng 1; 2 bị hỏng tương tứng là 0,01; 0,008 Tính xác suất trong một ngày làm việc a) Xí nghiệp có máy hỏng

b) Xí nghiệp chỉ có 1 máy hỏng, biết rằng xí nghiệp có máy bị hỏng trong ngày hôm đó

1.21 Trong kho có 45% sản phẩm của công ty A còn lại là sản phẩm của công ty B Tỉ lệ phế phẩm của A, B trong kho tương ứng là 5%, 4% Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho

a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là chính phẩm

b) Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm, nhiều khả năng phế phẩm đó

là của công ty A hay B?

1.22.Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Khả năng làm ra chính phẩm của máy thứ nhất; máy thứ hai theo ước tính lần lượt là 0,92; 0,95 Sản phẩm do 2 máy làm ra sau mỗi ca sản xuất được để vào chung một kho và hiện tại trong kho số sản phẩm của máy thứ nhất gấp

3 lần số sản phẩm của máy hai Lấy một sản phẩm trong kho để kiểm tra

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm

b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm, tính xác suất sản phẩm đó

do máy thứ hai sản xuất ra

1.23 Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều, tối, trong đó 48% sản phẩm được sản xuất ở ca sáng, 42% sản phẩm được sản xuất ở ca chiều, 10% sản phẩm sản xuất ở ca tối Tỉ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là 3%, 4%, 5% Lấy một sản phẩm ngẫu nhiên của nhà máy để kiểm tra thì được phế phẩm, hỏi khả năng phế phẩm đó được sản xuất từ ca nào là cao nhất?

11

1.24.Một hộp gồm có 8 bi đỏ, 4 bi vàng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 1 bi từ hộp, sau đó lấy tiếp 1 bi trong các bi còn lại

a) Tính xác suất bi lấy ra sau là bi vàng

b) Cho biết bi lấy ra sau là bi vàng.Tính xác suất bi lấy ra trước là bi

đỏ

1.25.Có 2 hộp sản phẩm Hộp một gồm có 7 sản phẩm loại A, 3 sản phẩm loại B Hộp hai gồm có 6 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm bỏ vào một hộp thứ ba (ban đầu không có sản phẩm nào) Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên

ra 1 sản phẩm Tính xác suất lấy được sản phẩm loại A từ hộp 3

b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một ra 2 sản phẩm và từ hộp hai ra 1 sản phẩm bỏ vào một hộp thứ ba (ban đầu không có sản phẩm nào) Sau

đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm Tính xác suất lấy được

2 sản phẩm khác loại từ hộp 3

1.26.Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 12 bi Hộp một có 3 bi đỏ, hộp hai có

4 bi đỏ

a) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy tiếp 2 bi của hộp một Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi đỏ

b) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy 1 bi của hộp 2 Cho biết bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ, tính xác suất bi lấy từ hộp 1

bỏ sang hộp 2 không phải là bi đỏ

1.27.Một hộp có 10 quả bóng bàn Ngày thi đấu thứ nhất lấy 3 bóng ra sử dụng sau đó lại để vào hộp một cách ngẫu nhiên Ngày thi đấu thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 bóng từ hộp này ra để sử dụng

a) Tính xác suất trong 3 bóng sử dụng ngày thứ hai có bóng đã sử dụng trong ngày thi đấu thứ nhất

b) Cho biết trong 3 bóng sử dụng ngày thứ hai có bóng đã sử dụng trong ngày thi đấu thứ nhất Tính xác suất khi đó có 2 bóng đã sử dụng trong ngày thứ nhất

1.28.Trong một vùng dân cư tỉ lệ người trưởng thành độc thân là 55%, tỉ lệ người trưởng thành có gia đình là 45% Có một nạn dịch bệnh truyền nhiễm với tỉ lệ mắc bệnh của nhóm người trưởng thành độc thân là 8% và tỉ lệ mắc bệnh của nhóm người trưởng thành có gia đình

là 1% Kiểm tra ngẫu nhiên một người trưởng thành của vùng thì phát

hiện được người này đã mắc bệnh này, tính xác suất người mắc bệnh đó là người độc thân

1.29 Tỉ lệ sản phẩm loại A do một máy sản xuất ra là 80%, còn lại 20% là loại B Sản phẩm sau khi được sản xuất sẽ được một hệ thống phân loại tự động Tuy nhiên khả năng nhận biết đúng sản phẩm loại A, sản phẩm loại B của hệ thống này tương ứng là 98%, 96%

a) Tính xác suất một sản phẩm được hệ thống nhận định là loại B b) Nếu một sản phẩm được hệ thống nhận định là loại B, tính xác suất hệ thống đã nhận định sai?

c) Tính tỉ lệ sản phẩm được hệ thống phân loại sai

d) Cho biết một sản phẩm được hệ thống phân loại sai, tính xác suất nó là sản phẩm loại A

1.30. Một nhà máy có 2 dây chuyền sản xuất cùng một loại sản phẩm Xác suất mỗi sản phẩm được sản xuất ra bởi các dây chuyền này

là phế phẩm, tương ứng là 0,02; 0,03 Sản phẩm của mỗi dây chuyền sản xuất ra được đóng hộp riêng, mỗi hộp có 10 sản phẩm Biết rằng năng suất của dây chuyền thứ hai gấp 3 lần năng suất của dây chuyền thứ nhất Lấy ngẫu nhiên một hộp sản phẩm của nhà máy để kiểm tra a) Tính xác suất hộp sản phẩm đó có chứa phế phẩm

b) Biết rằng hộp sản phẩm đó có chứa phế phẩm, hỏi khả năng nó được sản xuất từ dây chuyền nào là cao hơn?

1.30 Một cây súng lục ổ xoay (súng mô hình) có 6 lỗ chứa đạn cao

su, mỗi lần chỉ có thể bắn được một viên, ban đầu súng không chứa viên nào

a) Một người đặt 2 viên đạn cao su vào 2 lỗ kề nhau, sau đó xoay ngẫu nhiên rồi bóp cò thì ở lần bóp cò đầu tiên này lỗ không chứa đạn

Hỏi lúc này người đó tiếp tục xoay ngẫu nhiên rồi bóp cò (cách 1), hay là để vậy rồi bóp cò tiếp (cách 2) thì cách nào có xác suất lần bóp cò thứ hai vẫn không ra đạn là cao hơn?

b) Giải lại bài toán ở câu trên, trong trường hợp đặt 2 viên đạn cao

su ban đầu vào 2 lỗ ngẫu nhiên trong 6 lỗ chứa đạn

13

PHẦN 2 – BIẾN NGẪU NHIÊN

2.1 Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một hộp gồm có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B Giả sử khách hàng không nhận biết được sản phẩm nào loại A, sản phẩm nào loại B

a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A mà khách mua được

b) Tính xác suất khách hàng mua được ít nhất 1 sản phẩm loại A

2.2. Cho 3 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 12 sản phẩm gồm có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm Cho biết hộp 1 vẫn còn nguyên, hộp 2 đã được mua 2 chính phẩm, hộp 3 đã được mua 2 sản phẩm nhưng không rõ là các sản phẩm gì

a) Lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ hộp 1 và hộp 2 Lập bảng ppxs của số chính phẩm lấy được từ hai hộp

b) Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hai hộp là hộp 1 và hộp 2 Từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm Lập bảng ppxs của số chính phẩm lấy được

c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm từ hộp 3 Lập bảng ppxs của số chính phẩm lấy được

d) Nếu chọn mua 2 sản phẩm bằng một trong ba cách nêu trên thì theo bạn khả năng mua được 2 chính phẩm ở cách nào là lớn nhất?

2.3.Một xạ thủ có 5 viên đạn Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng đích hoặc hết đạn thì thôi Biết rằng xác suất trúng đích của viên đạn đầu tiên là 0,7 và xác suất trúng đích của các viên đạn sau tăng đều 0,02

a) Tìm luật phân phối xác suất của số viên đạn đã bắn

b) Xác định số viên đạn đã bắn nhiều khả năng xảy ra nhất

2.4.Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập Xác suất trong khoảng thời gian t, mỗi bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,12; 0,08 a) Tìm luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng trong khoảng thời gian t

b) Lập hàm phân phối xác suất của X

c) Tính xác suất trong khoảng thời gian t có không quá một bộ phận bị hỏng và hãy xác định Mode(X)

2.5.Một hộp có 5 lọ thuốc trong đó có 2 lọ đã quá hạn sử dụng, nhưng tất cả các lọ này đều đã được dán thời hạn sử dụng mới Một

người kiểm tra từng lọ thuốc một cho đến khi phát hiện ra 2 lọ đã quá hạn Tìm luật ppxs của số lọ phải kiểm tra, biết rằng người kiểm tra biết được trong hộp chỉ có 2 lọ đã quá hạn sử dụng nhưng không biết là lọ nào

2.6. Có 2 người sản xuất một loại sản phẩm một cách độc lập, khả năng sản xuất ra phế phẩm của người thứ nhất là 2%, của người thứ hai là 3% Lần lượt chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm của người thứ nhất, của người thứ hai

a) Tìm luật phân phối xác suất của số phế phẩm có trong 4 sản phẩm đó

b) Tìm số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong số 4 sản phẩm chọn được

c) Nếu phép thử trên được thực hiện nhiều lần thì trung bình có bao nhiêu phế phẩm trong một lần chọn ra 4 sản phẩm như trên?

2.7.Cho biến ngẫu nhiên X là tuổi thọ của một loại thiết bị (đvt: năm) có hàm mật độ xác suất f (x) kxex , x 0

−

= 





a) Tìm k Tìm hàm phân phối xác suất của X

b) Tính xác suất để trong 6 thiết bị loại này được chọn ngẫu nhiên thì

có 3 thiết bị có tuổi thọ ít nhất 3 năm

c) Tìm tuổi thọ trung bình của một thiết bị loại này

2.8.Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất như sau

2

ax bx , x (0,1)

f (x)

a) Cho biết E(X) = 0,4 Xác định a,b

b) Từ đó tính P(X0, 5), Mode(X), Median(X) và Var(X)

2.9.Có hai hộp sản phẩm: hộp một gồm có 7 chính phẩm, 5 phế phẩm; hộp 2 gồm có 8 chính phẩm, 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm Tính xác suất để sai lệch giữa

số chính phẩm lấy được và kỳ vọng của nó nhỏ hơn 1