Còn nếu hàm số được cho dưới dạng biểu thứcgiải tích thì cần phải xác định rõ miền xác định của hàm số.. Chứng minh rằng bất kì hàm số fx nào xác định trong một khoảng đốixứng −a, a cũng
Hàm số một biến số (13LT+13BT)
Bài tập
Bài tập 1.1 Tìm TXĐ của hàm số a)y =q 4 lg(tanx) b)y =arcsin 2x
Lời giải. a.TXĐ ={ π/4+kπ ≤ x ≤ π/2+kπ,k∈ Z } b TXĐ ={−1/3 ≤ x ≤1} c.TXĐ ={ x ≥0, x 6∈ Z } d TXĐ ={− π
Bài tập 1.2 Tìm miền giá trị của hàm số a.y =lg(1−2 cos x ) b y=arcsin lg x
Lời giải a MGT ={−∞ ≤ y ≤lg 3} b MGT = {− π/2 ≤ y ≤ π/2}
Lời giải a ĐS : f(x) = x 2 −2 với| x | ≥2 b ĐS: f (x) x
Bài tập 1.4 Tìm hàm ngược của hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược) a.y =2x+3 b.y= 1− x
2(e x − e − x ) nên hàm số đã cho không là một đơn ánh Ta phải xét trên 2 miền:
2(e x +e − x )⇒ e x = y±p y 2 −1⇒ x = ln(y+p y 2 −1) Ta có song ánh:
2(e x +e − x ) ln(y+q y 2 −1) ← y Vậy hàm ngược trên miền x≥0 là y =ln(x+√ x 2 −1),x ≥1.
Trên miềnx≤0, tương tự ta có hàm ngược lày =ln(x−√ x 2 −1),x≤1.
Bài tập 1.5 Xét tính chẵn lẻ của hàm số a f(x) = a x +a − x (a >0) b f(x) =ln(x+√
Lời giải a ĐS: hàm số đã cho là hàm số chẵn. b ĐS: hàm số đã cho là hàm số lẻ. c ĐS: hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Trong bài tập 1.6, chúng ta cần chứng minh rằng bất kỳ hàm số f(x) nào xác định trong khoảng đối xứng (-a, a) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ Điều này có nghĩa là, mọi hàm số trong khoảng đối xứng đều có thể được phân tích thành phần chẵn và lẻ để hiểu rõ hơn về tính chất của hàm Quá trình phân tích này giúp xác định rằng mỗi hàm số f(x) đều có một cách biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ, phù hợp với các quy tắc phân tích hàm trong toán học.
Lời giải Với mỗi f(x) bất kì ta luôn có f(x) = 1
| {z } h ( x ) trong đóg(x) là một hàm số chẵn, cònh(x)là một hàm số lẻ.
Bài tập 1.7 Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau (nếu có) a f(x) = Acosλx+Bsinλx
3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 9 b f(x) =sinx+1
Lời giải a) Giả sử T>0là một chu kì của hàm số đã cho Khi đó f(x+T) = f(x)∀ x ∈ R
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kìT = 2π
| λ |. b Theo câu a) thì hàm số sinx tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số sin 2x tuần hoàn với chu kìπ, hàm sốsin 3xtuần hoàn với chu kì 2π
3sin 3x tuần hoàn với chu kì T=2π c f(x) =sin 2 x= 1−cos 2x
2 tuần hoàn với chu kìT =π d Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kìT >0.Khi đó sin(x+T) 2 =sin(x 2 )∀ x.
2 Cho x=√ π⇒ k là số chính phương Giả sửk=l 2 ,l ∈ Z, l >0.
2 ta suy ra điều mâu thuẫn.
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
Bài tập 1.8 Cho f(x) = ax+b, f(0) =−2, f (3) = −5 Tìm f (x).
Bài tập 1.9 Cho f(x) = ax 2 +bx+c, f(−2) =0, f(0) =1, f(1) =5 Tìm f(x).
Bài tập 1.11 Giả sử f(x) + f(y) = f(z) Xác địnhznếu: a f(x) = ax,a 6=0 b f(x) = arctanx c f(x) = 1 x d f(x) = lg1+x
Dãy số là tập hợp các số có thứ tự rõ ràng, trong đó các khái niệm về dãy đơn điệu, bị chặn, giới hạn và các phép toán liên quan đóng vai trò quan trọng trong phân tích toán học Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn như tiêu chuẩn kẹp, tiêu chuẩn đơn điệu và tiêu chuẩn Cauchy giúp xác định sự hội tụ của dãy số một cách chính xác Hiểu rõ các khái niệm này là nền tảng để nắm vững lý thuyết dãy số trong toán học đại cương.
1 Nhắc lại định nghĩa dãy số và các khái niệm về dãy bị chặn, đơn điệu
2 Định nghĩa giới hạn dãy số và nêu một ví dụ Các khái niệm về dãy số hội tụ, phân kỳ Nêu tính chất giới hạn nếu có là duy nhất, mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
5 Các tiêu chuẩn hội tụ
(a) Đơn điệu bị chặn, ví dụ mô tả sốe.
(c) Định nghĩa dãy Cauchy, tiêu chuẩn Cauchy Nêu ví dụ dãy (a n ): a n =1+1
Bài tập
Bài tập 1.12 Tìm giới hạn của các dãy số sau: a x n =n−p n 2 − n b x n =q n(n+a)− n c x n =n+p 3 1− n 3 d x n = n
2 c ĐS: 0 d ĐS: phân kì e ĐS: 0
Bài tập 1.13 Xét dãy sốx n =x n − 1 + 1 x n − 1 ,x 0 =1. a Chứng minh rằng dãy { x n }không có giới hạn hữu hạn. b Chứng minh rằng lim n → ∞ x n = +∞.
Bài tập 1.14 Xétu n = (1+ 1 n) n Chứng minh rằng{ u n } là một dãy số tăng và bị chặn.
Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
1! + .+ 1 n!.Chứng minh rằng{ s n } tăng và bị chặn.
Lời giải Chú ý : lim n → + ∞ u n = lim n → + ∞ s n =e.
Dãy số {u_n} thỏa mãn phương trình u_{2n+1} = 2 + u_n và được chứng minh là tăng và bị chặn trong khoảng từ 0 đến 2 Theo nguyên tắc dãy số đơn điệu bị chặn, {u_n} hội tụ đến giới hạn có thể tồn tại Giả sử giới hạn của dãy là a, với 0 < a < 2, thì từ phương trình u_{2n+1} = 2 + u_n, ta có giới hạn của phương trình là a^2 = a + 2, phản ánh đặc điểm hội tụ của dãy. -**Sponsor**Bạn đang tìm cách tối ưu hóa bài viết của mình cho SEO và cần những câu trọng tâm giữ lại ý nghĩa của đoạn văn? [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/Lsgsrri7?user_id=983577) có thể giúp bạn! Soku AI, được đào tạo bởi các chuyên gia quảng cáo Facebook, giúp bạn tự động tạo nội dung hấp dẫn và tuân thủ các quy tắc SEO một cách dễ dàng Với Soku AI, bạn có thể tập trung vào việc tạo ra những bài viết chất lượng cao mà không cần lo lắng về các vấn đề kỹ thuật phức tạp.
Bài tập 1.18 Tính lim n → + ∞ (n−√ n 2 −1)sinn.
Lời giải lim n → + ∞ (n−√ n 2 −1)sinn= lim n → + ∞ sinn n+√ n 2 −1 =0(theo tiêu chuẩn kẹp)
Bài tập 1.19 Tính lim n → + ∞ [cos(lnn)−cos(ln(n+1))].
Lời giải Ta có cos(lnn)−cos(ln(n+1)) =−2 sin lnn+ln(n+1)
0 ≤ |cos(lnn)−cos(ln(n+1))| ≤2 sinln n + n 1
2 =0nên theo nguyên lý giới hạn kẹp n →lim+ ∞ [cos(lnn)−cos(ln(n+1))] = 0
Bài tập 1.20 Chứng minh rằng lim n → + ∞ n
2 n < 2 n−1 Dùng nguyên lý kẹp ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 1.21 Chứng minh rằng lim n → + ∞
Bài tập 1.23 Chứng minh rằng lim n → + ∞
2 α 2 n ⇒ α 2 n < 2 n−1 Áp dụng nguyên lý giới hạn kẹp ta có lim n → ∞ α n =0 Vậy lim n → ∞
Bài tập 1.24 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh rằng dãy số u n = 1+ 1
Bài tập 1.25 Chứng minh rằng nếu lim n → + ∞ a n =athì lim n → + ∞ a 1 +a 2 + .a n n =a.
Bài tập 1.26 Chứng minh rằng nếu lim n → + ∞ a n =a,a n >0∀ n thì lim n → + ∞
1 Định nghĩa giới hạn hàm số
(a) Nêu các định nghĩa:lim f(x) trong quá trình x→ x o , x → x o + , x → x − o , x →∞ (b) Tính duy nhất của giới hạn
3 Giới hạn của hàm hợp:
Nếu có lim x → x o u(x) = u o , lim u → u o f(u) = f(u o )và có hàm hợp f (u(x)) thì lim x → x o f (u(x)) f(u o ). Áp dụng lim x → x o A(x) B ( x ) =e x lim → xo B ( x ) ln A ( x )
Bài tập 1.28 Tìm giới hạn a lim x → + ∞ q x+p x+√
6 Vô cùng lớn, vô cùng bé 15 § 6 V Ô CÙNG LỚN , VÔ CÙNG BÉ
Vô cùng bé (VCB)
1 Định nghĩa; nêu mối liên hệ x lim→ a f(x) = ℓ⇐⇒ f (x) = ℓ+α(x); trong đóα(x)−VCB trong quá trìnhx →a Phân biệt với khái niệm rất bé.
(a) Tổng hai VCB (đối với một VCB người ta không quan tâm đến dấu của nó). (b) Tích của VCB với một đại lượng bị chặn.
3 So sánh các VCB trong cùng một quá trình
(a) VCB cùng bậc, VCB tương đương
Nêu các công thức thay tương đương hay dùng trong quá trình x→0 x ∼sin x ∼tan x ∼arcsin x ∼arctan x
2 (b) Vô cùng bé bậc cao i Định nghĩa ii Hiệu hai VCB tương đương iii Tích hai VCB
4 Qui tắc ngắt bỏ các VCB và qui tắc thay tương đương
(a) Nếuα ∼ α, β ∼ β thì lim α β =lim α β; lim(α.γ) = lim(α.γ)
5 Ứng dụng khử một số dạng vô định
Chú ý: Học sinh hay nhầm
• Thay tương đương khi có hiệu hai VCB
Vô cùng lớn (VCL)
2 Mối liên hệ giữa VCB và VCL Từ đó suy ra các kết quả tương tự như đối với các VCB.
3 Qui tắc thay tương đương và ngắt bỏ VCL.
. Chú ý: Còn tồn đọng một số dạng vô định, ví dụ lim x → 0 x−sin x x 3 ; lim x → 0 + x sin x ;
Bài tập
Bài tập 1.29 Tìm giới hạn a lim x → 0
6 Vô cùng lớn, vô cùng bé 17
Bài tập 1.30 Tìm giới hạn a lim x → a sinx−sin a x− a
Lời giải a ĐS :cosa b ĐS : 0 c ĐS : −1
Bài tập 1.31 Tìm giới hạn a lim x → ∞ x 2 −1 x 2 +1 x x − + 1 1 b lim x → 0 + (cos√ x) 1 x (1 ∞ ) c lim x → ∞ [sin(ln(x+1))−sin(lnx)] d lim n → ∞ n 2 (√ n x− n + √ 1 x),x>0
Lời giải a) Đây không phải là dạng vô định, lim x → ∞ x 2 −1 x 2 +1 x x − + 1 1
=1. b) Áp dụng công thức lim x → x 0
A(x) B ( x ) =e x lim → x 0 B ( x ) ln A ( x ) x lim→ 0 + ln cos√ x 1 x
2 (L’Hospital) nên x lim→ 0 + ln cos√ x 1 x
Bài tập 1.32 Khix→0cặp VCB sau có tương đương không ? α(x) q x+√ x vàβ(x) = e sin x −cos x
Bài tập 1.33 Tìm giới hạn Áp dụng lim x → x 0 A(x) B ( x ) =e x lim → x 0 B ( x ) ln A ( x ) a lim x → 0 + (1−2x ) 1 x (1 ∞ ) b lim x → π 2 (sinx) tg x (1 ∞ ) c lim x → 0
Lời giải. a ĐS: e − 2 b ĐS:1 c ĐS:1 d ĐS:e e ĐS: α− β f ĐS: 1 g ĐS: a a (lna−1) § 7 H ÀM SỐ LIÊN TỤC
1 Định nghĩa: Cho f(x) xác định trong một lân cận nào đó của x o (xác định cả tại x o ) nếu có lim x → x o = f(x o ) (∀ ε >0,∃ δ (ε,x o ) >0 :∀ x,| x − x o | < δ ta có| f (x)− f (x o )| < ε ).
2 Liên tục một phía và mối quan hệ với liên tục.
3 Các khái niệm hàm liên tục trên một khoảng, một đoạn Hình ảnh hình học.
4 Các phép toán số học đối với các hàm số cùng liên tục (tại x o , bên phải x o , bên trái x o ).
5 Sự liên tục của hàm ngược
7 Hàm số liên tục 19 Định lý 1.1 (Sự liên tục của hàm ngược)
Nếu X là một khoảng, y = f(x) đồng biến (nghịch biến) liên tục trên X Khi đó có hàm ngượcy =g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) và liên tục trên f(X).
Ví dụ: Các hàm số lượng giác ngược là liên tục trên tập xác định của chúng.
6 Sự liên tục của hàm hợp
Suy ra kết quả: X-khoảng, đoạn, nửa đoạn.
Mọi hàm số sơ cấp xác định trên Xthì liên tục trênX.
7 Các định lý về hàm liên tục Định lý 1.2 Nếu f (x) liên tục trên khoảng (a,b) mà giá trị f (x o ),x o ∈ (a,b) dương (hay âm) thì tồn tại một lân cận U (x o ) sao cho∀ x ∈ U (x o ), f (x) cũng dương hay âm. Hình ảnh hình học. Định lý 1.3 Nếu f(x)liên tục trên đoạn[a,b]thì nó bị chặn trên đoạn đó Hình ảnh hình học. Định lý 1.4 Nếu f(x) liên tục trên đoạn[a,b]thì nó đạt được GTLN, NN trên đoạn này Hình ảnh hình học.
* Liên tục đều, hình ảnh hình học của liên tục đều. Định lý 1.5 (Định lý Cantor)
Nếu f (x) liên tục trên[a,b] thì nó liên tục đều trên đó (thay[a,b]bằng khoảng(a,b) thì định lý không còn đúng) Mô tả hình học. Định lý 1.6 (Định lý Cauchy)
Nếu f(x)liên tục trên đoạn [a,b] và có f(a).f(b) 1 c ĐS: n >2
Bài tập 1.44 Chứng minh rằng hàm số f(x) = | x − a | ϕ (x), trong đó ϕ(x)là một hàm số liên tục và ϕ(a) 6=0, không khả vi tại điểm x=a.
Bài tập 1.45 Tìm vi phân của hàm số a.y = 1 aarctg x a(a6=0) b.y=arcsinx a(a 6=0) c.y= 1
Gợi ý & Đáp số. a.dy = dx a 2 +x 2 b.dy = √ dx a 2 − x 2 (signa) c.dy = dx x 2 − a 2 d dy = √ dx x 2 +a
Bài tập 1.46 Tìm a I = d d(x 3 )(x 3 −2x 6 − x 9 ) b J = d d(x 2 )(sin x x ) c.K = d (sinx) d(cosx)
Bài tập 1.47 Tính gần đúng giá trị của biểu thức a.lg 11 b.r 7
Lời giải a) Xét f(x) = lgx,x 0 ,△ x =1,ta cólg 11 ≈lg 10+ 1
Bài tập 1.48 Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số a.y= x
Bài tập 1.49 Tính đạo hàm cấpn của hàm số a.y = x x 2 −1 b y = 1 x 2 −3x +2 c.y = √ 3 x
(1+x) n + 1 3 , n ≥2, x 6=1 d Tínhy ′ rồi dự đoán và chứng minh bằng quy nạp y ( n ) = (a 2 +b 2 ) n 2 e ax sin(bx+c+nϕ), ở đó, sinϕ= √ b a 2 +b 2 , cosϕ= √ a a 2 +b 2
Bài tập 1.50 Tính đạo hàm cấpn của hàm số
9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 27
2cos 2xnêny ( n ) =−2 n − 1 cos 2x + nπ 2 6/ y =sin 3 x= 3 4 sinx− 1 4 sin 3x nên y ( n ) = 3 4 sin x+ nπ 2 − 1 4 3 n sin 3x + nπ 2
7/ y =sinax sinbx = 1 2 [cos(a− b )x−cos(a+b)x] nên y ( n ) = 1
8/ y =sin 2 ax cosbx= cos bx
9/ y =sin 4 x+cos 4 x = 3 4 + 1 4 cos 4xnêny ( n ) =4 n − 1 cos 4x+ nπ 2
10/ y ( n ) =a n xcos ax+ nπ 2 +na n − 1 cos ax+ ( n − 2 1 ) π 11/ y ( n ) =a n x 2 sin ax+ nπ 2 +2na n − 1 xsin ax+ ( n − 2 1 ) π +n(n−1)a n − 2 sin ax+ ( n − 2 2 ) π 12/ y ( n ) =a n x 2 cos ax+ nπ 2 +2na n − 1 xcos ax+ ( n − 2 1 ) π +n(n−1)a n − 2 cos ax+ ( n − 2 2 ) π 13/ y ( n ) = (n−1)!b n
(a 2 − b 2 x 2 ) n [(a+bx) n + (−1) n (a− bx ) n ] § 9 C ÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG
Các định lý về hàm khả vi
1 Cực trị của hàm số: Nên dùng định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) liên tục trên (a,b), ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm x o ∈ (a,b) nếu ∃ U (x o ) ⊂ (a,b) sao cho f(x)− f (x o ) không đổi dấu ∀ x ∈
• Nếu f(x)− f (x o ) 0thì ta nói hàm số đạt cực đại tại x o
2 Định lý Fermat (có chứng minh) Định lý 1.9 Cho f (x) liên tục trên khoảng (a,b), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x o ∈ (a,b) và có đạo hàm tại x o thì f ′ (x o ) =0.
Có chứng minh và mô tả hình học, chú ý giả thiết liên tục ở đây là do định nghĩa cực trị.
3 Định lý Rolle: có chứng minh và mô tả hình ảnh hình học
4 Định lý Lagrange: Có chứng minh và mô tả hình ảnh hình học
Định lý Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange, trong khi định lý Lagrange lại là dạng mở rộng của định lý Cauchy Các giả thiết trong các định lý này là yếu tố đảm bảo tính đúng đắn và tính khả thi của từng kết luận Như vậy, có thể thấy rõ mối quan hệ logic giữa các định lý này, khi mỗi định lý đều dựa trên giả thiết của định lý trước để xây dựng nên những kết quả quan trọng trong giải tích.
(b) Nêu dạng khác của định lý Lagrange:
∆f = f ′ (x o +θ∆x), θ ∈ (0, 1).(c) Nên tìm một ví dụ hấp dẫn về định lý Lagrange.
Qui tắc L’Hospital
Qui ước nói một quá trình nào đó là hiểu x→ x o , x → x + o , x→ x − o , x →+∞, x → −∞ , x →∞
9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 29
Nếu hàm số f(x) và g(x) là các biến số theo biến x trong cùng một quá trình và trong quá trình đó, giới hạn của tỉ số đạo hàm lim_{x→a} f′(x)/g′(x) tồn tại hữu hạn hoặc vô hạn thì giới hạn của tỉ số các hàm số lim_{x→a} f(x)/g(x) cũng tồn tại và bằng A Điều này thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa giới hạn của đạo hàm và giới hạn của chính các hàm số, giúp ta dễ dàng xác định giới hạn của tỉ số hàm số khi đạo hàm của chúng có giới hạn rõ ràng Hiểu rõ các quy tắc này hỗ trợ việc chứng minh và tính toán giới hạn trong các bài toán phân tích toán học, đặc biệt trong các vấn đề liên quan đến đạo hàm và giới hạn.
(a) Nếu f(x) và g(x)liên tục trong lân cận điểm x o , g ′ (x o ) 6=0,∀ x 6= x o , f(x o ) =g(x o ) = 0.
Khi x→ x o thìc→ x o Do lim x → x o f ′ (x) g ′ (x) = A, suy ra x lim→ x o f(x) g(x) = lim c → x o f ′ (c) g ′ (c) =A.
(b) Nếu chỉ có lim x → x o f(x) = lim x → x o g(x) = 0 mà các hàm số chưa chắc đã xác định tại x o Ta xây dựng
. (Thay VCB bằng VCL trong qui tắc 1.)
• Hai qui tắc trên chỉ là điều kiện đủ để tìmlim f(x) g(x).
Có thể nêu ví dụ lim x → 0 x 2 sin1 x sinx
Trong quá trình tìm giới hạn có dạng vô định, cần kết hợp giữa thay thế tương đương và áp dụng quy tắc L’Hospital để đạt kết quả chính xác Việc sử dụng quy tắc L’Hospital có thể thực hiện nhiều lần nếu giới hạn vẫn còn dạng vô định sau lần áp dụng đầu tiên Điều này giúp xử lý các giới hạn phức tạp, đảm bảo kết quả chính xác và phù hợp với quy tắc tính toán trong toán học cao cấp.
Bài tập 1.51 Chứng minh rằng phương trình x n +px+q vớinnguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếun chẵn và không thể có quá 3 nghiệm thực nếunlẻ.
Xét n chẵn, giả sử phương trình có 3 nghiệm thực x₁ < x₂ < x₃, ta có thể chứng minh rằng tồn tại c₁ ∈ (x₁, x₂) và c₂ ∈ (x₂, x₃) sao cho f′(c₁) = f′(c₂) = 0, theo quy định của định lý Rolle Tuy nhiên, điều này dẫn đến mâu thuẫn vì phương trình xⁿ−1 = −n p có hai nghiệm thực, điều này không phù hợp với đặc điểm của n chẵn.
Trong trường hợp phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt x₁ < x₂ < x₃ < x₄, theo định lý Rolle, phương trình đã giảm bậc sẽ có ít nhất ba nghiệm thực Tuy nhiên, dựa trên chứng minh trước đó, ta xác định rằng phương trình không thể có quá 2 nghiệm thực đơn nguyên chẵn Do đó, mô hình này mâu thuẫn, chứng tỏ rằng phương trình ban đầu không thể có 4 nghiệm thực phân biệt.
Bài tập 1.52 Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f(b)− f (a) g(b)− g (a) = f ′ (c) g ′ (c) không áp dụng được với các hàm số f(x) = x 2 ,g(x) = x 3 ,−1≤ x ≤1
Bài tập 1.53 Chứng minh các bất đẳng thức a.|sin x −sin y | ≤ | x − y | b a − b a 1+x ∀ x 6=0 b x− x 6 3 0 c tgx > x + x 3 3 ∀0< x < π
Bài tập 1.63 Chứng minh rằng với mọix >0 ta có
Bài tập 1.64 Tính các giới hạn sau
[c.] lim x → 0 x − 5 [sin(sinx)− x p 3 1− x 2 ] [d.] lim x → 0[ln(1+x) x 1 2 − e x x]
Phép tính tích phân một biến số
Nguyên hàm của hàm số
Chương này giới thiệu về phép tính tích phân, được xem là phép toán ngược của phép đạo hàm trong vi phân Đề cập đến câu hỏi liệu có tồn tại một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng hàm số f(x) hay không Nếu có, cần tìm tất cả các hàm số F(x) thỏa mãn điều kiện này Định nghĩa 2.2 xác định khái niệm nguyên hàm của hàm số f(x) trên một tập xác định.
Nếu F′(x) = f(x) đối với mọi x thuộc miền D, thì dF(x) = f(x) dx Định lý quan trọng nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không duy nhất, nhưng nếu đã biết một nguyên hàm thì có thể mô tả tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó Cụ thể, Định lý 2.10 khẳng định rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng D, thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
• Hàm sốF(x) +Ccũng là một nguyên hàm của hàm số f(x), vớiClà một hằng số bất kỳ.
• Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F (x) +C, trong đó C là một hằng số.
Biểu thức F(x) + C đại diện cho tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x), trong đó mỗi hằng số C tương ứng với một nguyên hàm khác nhau Định nghĩa 2.3 xác định tích phân bất định của hàm số f(x) là tập hợp các nguyên hàm F(x) + C, với x thuộc miền D, trong đó C là một hằng số bất kỳ Tích phân bất định của f(x)dx được ký hiệu là Z f(x)dx, trong đó f(x) được gọi là hàm số dưới dấu tích phân và biểu thức f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
Vậy Z f(x)dx =F(x) +C, với F(x)là nguyên hàm của f(x).
Các tính chất của tích phân bất định
Z f(x)dx (alà hằng số khác 0)
Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung
Z g(x)dx trong đóα,βlà các hằng số không đồng thời bằng 0.
Các công thức tích phân dạng đơn giản
Các phương pháp tính tích phân bất định
1 Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân đơn giản ở trên Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định:
Phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng các hàm số đơn giản đã biết nguyên hàm giúp làm rõ cách tính tích phân Việc đưa các hằng số ra ngoài dấu tích phân tối ưu hóa quá trình tích phân và tăng hiệu quả tính toán Đây là kỹ thuật quan trọng trong giải tích nhằm chia nhỏ và xử lý các hàm phức tạp thành các phần dễ dàng hơn Áp dụng phương pháp này giúp học sinh và nhà toán học dễ dàng hơn trong việc xác định nguyên hàm, nâng cao kỹ năng phân tích và giải quyết các bài toán tích phân.
2 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân
Nhận xét: nếu Z f(x)dx = F(x) +C thì Z f(u)du = F(u) +C , trong đóu = u(x) là một hàm số khả vi liên tục Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x.
Sử dụng tính chất biến đổi tích phân, ta chuyển đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành dạng g(x)dx = f(u(x))u′(x)dx, trong đó f(x) là hàm số dễ dàng tìm nguyên hàm F(x) Nhờ đó, tích phân phức tạp được rút gọn về dạng đơn giản hơn, giúp quá trình tính toán trở nên hiệu quả và dễ dàng hơn Phương pháp này, còn gọi là thay biến số, là công cụ quan trọng trong phép tính tích phân, đặc biệt khi xử lý các hàm phức tạp hoặc hợp lệ.
Trong trường hợp đơn giảnu(x) = ax+bthìdu =adx, do đó nếu Z f(x)dx =F(x) +C ta suy ra
Ví dụ 1.2 (a) Z sin axdx =− 1 a cos ax +C
(c) Z e sin x cos xdx Z e sin x d(sinx) = e sin x +C
2 −arcsin x arcsin xd (arcsinx) nên
Để tính tích phân I = ∫ f(x) dx, trong đó f(x) là một hàm số liên tục, ta áp dụng phương pháp đổi biến x = ϕ(t) Phương pháp này giúp chuyển đổi tích phân ban đầu thành một tích phân mới của hàm số khác, trong đó việc tìm nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn Việc chọn hàm ϕ(t) phù hợp là bước quan trọng để đơn giản hóa quá trình tính tích phân.
Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục Khi đó ta có
Giả sử hàm số g(t) = f [ϕ(t)]ϕ ′ (t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm sốx =ϕ(t), ta có
Phép đổi biến thứ hai: Đặtt = ψ(x), trong đóψ(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f(x) = g[ψ(x)]ψ ′ (x) Khi đó ta có
Giả sử hàm sốg(t)có nguyên hàm là hàm số G(t), ta có
Khi tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số, cần nhớ rằng sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại kết quả về hàm số của biến số ban đầu để đảm bảo tính chính xác Việc này giúp giữ nguyên ý nghĩa của tích phân và phù hợp với đề bài, đồng thời tuân thủ các quy tắc toán học cơ bản Chọn biến số phù hợp và thực hiện đổi biến đúng quy trình là bước quan trọng trong quá trình tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số.
Ví dụ 1.3 (a) Tính tích phân I 1 Z r x
2− x dx Đặt x =2 sin 2 t,t∈ 0, π 2 , ta tính được dx=4 sintcostdt, r x
Z sin 2 tdt=2t−sin 2t +C Đổi lại biến x, vớit=arcsinp x
(b) Tính tích phân I 2 Z e 2x e x +1dx Đặt e x =t⇒ e x dx =dt, ta có
1− 1 t+1 dt =t−ln| t +1|+C Đổi lại biến x, ta được I 2 =e x −ln(e x +1) +C.
√1+4 x Đặt t=2 − x ⇒ dt =−2 − x ln 2dx , tích phân trở thành
√t 2 +1 =− 1 ln 2ln(t+p t 2 +1) +C Đổi lại biến x , ta có:
4 Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) =udv+vdu⇒ uv Z d(uv) Z udv+
Trong quá trình tính tích phân I, ta cần biểu diễn f(x)dx thành dạng phù hợp để áp dụng phương pháp tích phân từng phần Cụ thể, ta viết f(x)dx dưới dạng [g(x)h(x)]dx = g(x) [h(x)dx], sau đó đặt u = g(x) và dv = h(x)dx để sử dụng công thức tích phân từng phần Phương pháp này thường được áp dụng khi biểu thức tích phân chứa các hàm số như logarithm ln x, hàm số mũ a^x, các hàm số lượng giác, hoặc hàm số lượng giác ngược, nhằm đơn giản hóa quá trình tích phân và tìm kết quả chính xác.
• Trong các tích phân Z x n e kx dx;
Z x n coskxdx, nnguyên dương, ta thường chọn u=x n
• Trong các tích phân Z x α ln n xdx, α 6= −1 và n nguyên dương, ta thường chọn u=ln n x.
Z x n arcsinkxdx, n nguyên dương, ta thường chọnu =arctgkxhoặcu =arcsinkx;dv =x n dx.
Ví dụ 1.4 Tính các tích phân bất định
(b) I 2 Z x 2 sinxdx Đặt u =x 2 ,dv =sinxdx ⇒ v =−cos x , ta được
Z xcosxdx Đặt u=x,dv =cosxdx ⇒ v =sinx, ta được
(x+1) 2 Đặt u =xe x ;dv = ( x + dx 1 ) 2 ⇒ v =− x + 1 1 ; du = (x+1)e x dx, ta được
1)ln(t−1) +2(t+1)ln(t+1)−4t +CĐổi lại biến x ta có
√1− x 2 dx Đặt u=arcsinx;dv = √ xdx
(f) I 6 Z e x cos 2xdx Đặt u =cos 2x;dv=e x dx⇒ v =e x ;du =−2 sin 2xdx , ta được
Z e x sin 2xdx Đặt u =sin 2x;dv=e x dx⇒ v =e x ;du =2 cos 2xdx, ta được
=e x cos 2x+2e x sin 2x−4I 6+5C Vậy I 6 = e 5 x (cos 2x+2 sin 2x) +C.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào việc xét tích phân bất định của các dạng hàm cơ bản như hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, và hàm chứa căn thức Đồng thời, bài viết cũng trình bày các phương pháp giải tích phân chung, giúp người đọc nắm bắt cách tính tích phân của các hàm này một cách hiệu quả và chính xác Đây là kiến thức quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong khảo sát các bài toán liên quan đến tích phân trong toán cao cấp và ứng dụng thực tiễn.
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ
Định nghĩa 2.4 Một hàm phân thức hữu tỷlà một hàm số có dạng f(x) = Q P ( ( x x ) ) , trong đó
Trong lĩnh vực toán học, P(x) và Q(x) là các đa thức của x Một phân thức hữu tỷ được coi là hợp lệ khi bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số Phân thức hữu tỷ như vậy được gọi là phân thức hữu tỷ thực sự Điều này giúp xác định tính hợp lệ và đặc điểm của các phân thức hữu tỷ trong toán học.
Bằng phép chia đa thức, chia P(x) choQ(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng f(x) = H(x) + r (x)
Trong toán học, Q(x) được định nghĩa dựa trên đa thức thương H(x) và phần dư r(x) trong phép chia, trong đó Qr(x) là một phân thức hữu tỷ thực sự Nguyên hàm của đa thức này có thể được tìm theo công thức tích phân cơ bản, giúp xác định các hàm số liên quan một cách chính xác và rõ ràng.
Chúng ta sẽ nghiên cứu cách tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại Q r(x) trong hai trường hợp đặc biệt, đó là khi mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai Đối với các trường hợp mẫu số phức tạp hơn, phương pháp hệ số bất định được sử dụng để biến đổi về hai dạng khả thi này, giúp quá trình tính nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn.
Phương pháp hệ số bất định
Chúng ta muốn phân tích phân thức hữu tỷ thực sự Q(x)/P(x) thành tổng (hoặc hiệu) của các phân thức có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai Để làm điều này, trước tiên cần phân tích đa thức Q(x) ở mẫu số thành tích của các đa thức vô nghiệm bậc nhất hoặc bậc hai Quá trình này giúp đơn giản hóa phân thức, dễ dàng thực hiện các phép phân tích tiếp theo Việc phân tích mẫu số thành các đa thức vô nghiệm đảm bảo tính khả thi trong việc phân chia phân thức thành các phần dễ phân tích hơn, phù hợp với mục tiêu của phép phân tích phân thức hữu tỷ.
Q(x) = (x− α 1) a 1 (x− α m ) a m (x 2 +p 1 x+q 1 ) b 1 (x 2 +p n x+q n ) b n trong đóα i ,p j ,q j là các hằng số, a i ,b j là các số nguyên dương,1≤ i ≤ m; 1≤ j ≤ n.
Trong phân tích của phân thức Q(x), nếu xuất hiện đơn thức (x − α)^a với a là số nguyên dương, thì trong phân tích của phân thức phân thức Q/P(x), các hạng tử dạng (A_i x − α)^i cũng sẽ xuất hiện, trong đó A_i là các hằng số và 1 ≤ i ≤ a.
• Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (x 2 +px+q) b , b là số nguyên dương thì trong phân tích của phân thức Q P ( ( x x ) ) xuất hiện các hạng tử dạng B j x + C j
( x 2 + px + q ) j , trong đóB j ,C j là các hằng số và1 ≤ j ≤ b.
Sau khi phân tích convergences của QP((xx)), ta xác định các hằng số A_i, B_j, C_j bằng cách quy đồng mẫu số ở hai vế và đồng nhất hệ số của x^n cho mọi n thuộc R trên cả hai vế Phương pháp hệ số bất định giúp chúng ta tính toán bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản, đảm bảo tính chính xác trong quá trình giải quyết các tích phân phức tạp.
III Z (Mx+N)dx x 2 +px+q IV Z (Mx+N)dx
Z (Mx+N)dx x 2 +px+q Z Mt+ (N− Mp/2) t 2 +a 2 dt (a q q− p 2 /4, đổi biến t =x+p/2)
Tích phân thứ nhất: Z ( t 2 Mtdt + a 2 ) m =− 2 ( m − 1 )( M t 2 + a 2 ) m − 1 +C
Tích phân thứ hai có thể tính theo phương pháp tích phân từng phần như ở ví dụ trong phần trước
Ví dụ 1.5 Tính các tích phân bất định a I 1 Z x 4 − x 3 +2x 2 −2x +1
(x 2 +2)(x−1) =x+ A x−1 + Bx +C x 2 +2 Quy đồng mẫu số ở hai vế
3 = (A+B)x 2 + (C− B +2)x− C Đồng nhất hệ số của x 2 ,x và hệ số tự do, ta được
Tích phân hàm lượng giác
Chúng ta xét tích phân \( Z R(\sin x, \cos x) dx \), với hàm dưới dấu tích phân là biểu thức hữu tỷ đối với \( \sin x \) và \( \cos x \) Để giải quyết tích phân này hiệu quả, ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát theo \( t = \tan \frac{x}{2} \), trong đó \(\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}\) và \(\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\) Phương pháp đổi biến này giúp biến đổi tích phân theo biến \( t \), dễ dàng tích phân hơn và xử lý các hàm hữu tỷ phức tạp liên quan đến \( \sin x \) và \( \cos x \).
1+t 2 tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biếnt.
Ví dụ 1.6 Tính tích phân Z sin x −cos x +2
1+sinx+cosx Đặtt=tg x 2 , suy ra
Thay lại biến cũ, ta được
1+sinx+cosxdx =−ln|1+sinx+cosx|+ln
2 Tích phân dạng Z sin m xcos n xdx , trong đó m,n là các số nguyên
• Nếu mlà số nguyên dương lẻ, ta đặtt=cosx.
• Nếu nlà số nguyên dương lẻ, ta đặtt=sinx.
• Nếu m,nlà các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: sin 2 x= 1−cos 2x
2 rồi đưa về tích phân dạng Z sin k 2xcos l 2xdx.
Ví dụ 1.7 Tính các tích phân bất định
• I 1 Z sin 3 xcos 2 xdx Đặtcos x =t⇒ −sin xdx =dtta có
Sử dụng công thức hạ bậc ta có
1 Tích phân bất định 47 Đối với tích phân I 2 sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức sin 3 x= 3 sin x −sin 3x
4 Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có:
3 Tích phân Z R(sinx, cosx)dx có dạng đặc biệt
• Đặt t=cosxnếuR(−sin x, cos x ) = − R (sinx, cosx).
• Đặt t=sinxnếuR(sinx,−cos x ) = − R (sinx, cosx).
• Đặt t=tgxnếu R(−sin x,−cos x ) = R(sinx, cosx).
Ví dụ 1.8 Tính tích phân Z dx sinxcos 4 x Đặt t =cosx ⇒ dt =−sin xdx , ta có
Tích phân các biểu thức vô tỷ
Xét tích phân có dạng Z R(x,√ α 2 ± x 2 )dx, Z R(x,√ x 2 − α 2 )dx, trong đó R(u,v) là các hàm số hữu tỷ.
• Đặtx =αtgtđối với tích phân Z R(x,√ α 2 +x 2 )dx.
• Đặtx =αsinthoặc x=acostđối với tích phân Z R(x,√ α 2 − x 2 )dx.
• Đặtx = α cost hoặcx = α sint đối với tích phân Z R(x,√ x 2 − α 2 )dx.
Nói chung việc tính tích phân của các biểu thức vô tỷ thông thường được đưa về việc tính bốn loại tích phân cơ bản sau
Ví dụ 1.9 Tính các tích phân sau
1 Z (1− x 2 ) − 3 2 dx Đặtx =sint,t∈ − π 2 , π 2 ⇒ dx =costdt,√
(1− x 2 ) − 3 2 dx Z dt cos 2 t =tgt+C=tg(arcsinx) +C
1 + x 2 Đặtx =tgt⇒ dx = cos dt 2 t , ta có
1+x 2 Z costdt sin 2 t =− 1 sint+C=− 1 sin(arctgx) +C
Tính các tích phân có dạng \(\int R \frac{ax + b}{cx + d} \, dx\) là một phần quan trọng trong phân tích toán học Để thực hiện tích phân này, ta đặt \(ax + b = tk\), trong đó \(k\) là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số căn để đưa về dạng hữu tỉ với \(t\) Phương pháp này giúp đơn giản hóa tích phân, từ đó dễ dàng tính toán hơn Việc sử dụng biến thay thế này tối ưu hóa quy trình tính tích phân các hàm phân thức có mẫu chứa đa thức.
(R là hàm hữu tỉ) § 2 T ÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định nghĩa tích phân xác định
Hàm số \(f(x)\) được định nghĩa và bị chặn trên đoạn \([a,b]\), và để nghiên cứu tính liên tục hoặc tích phân của hàm, ta chia đoạn này thành \(n\) phần nhỏ bằng cách tạo phân hoạch \(a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b\) Trong mỗi đoạn nhỏ \([x_i, x_{i+1}]\), ta chọn một điểm \(\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]\) để xây dựng các biểu thức liên quan đến phép tính tích phân hoặc tính trung bình của hàm số Phương pháp này giúp xác định các giá trị trung bình, tổng gần đúng, hoặc nghiên cứu đặc tính của hàm trên đoạn đã cho.
Biểu thức S n được gọi là tổng tích phân Gọi λ = max
Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] được định nghĩa như là giới hạn hữu hạn của tổng S_n khi λ tiến tới 0, không phụ thuộc vào cách chia đoạn hoặc cách chọn điểm ξ_i Giá trị của giới hạn này, gọi là I, được ký hiệu là tích phân xác định của hàm số f(x) trên [a, b].
Z b a f(x)dx Trong trường hợp đó ta nói hàm số f(x)khả tích trên[a,b].
Remark 2.1 Trong định nghĩa trên ta đã xét hàm số f (x) trong khoảng đóng[a,b]tức là đã giả thiếta < b Bây giờ nếu b< a ta định nghĩa Z b a f(x)dx :=−
Z a b f(x)dxvà khi a =b ta định nghĩa Z b a f(x)dx =0.
Các tiêu chuẩn khả tích
Định lý 2.11 Điều kiện cần và đủ để hàm số bị chặn f(x) khả tích trên[a,b] là lim λ → 0 (S− s) =0, trong đó:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các định lý quan trọng về khả tích của hàm số Định lý 2.12 cho biết rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], thì f(x) là khả tích trên đoạn này Định lý 2.13 xác nhận rằng nếu f(x) bị chặn trên [a, b] và có một số điểm gián đoạn hữu ích, thì f(x) vẫn khả tích trên [a, b] Ngoài ra, định lý 2.14 chỉ ra rằng nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b], thì hàm số này cũng khả tích trên đoạn này.
Các tính chất của tích phân xác định
Trong các phần tiếp theo sau đây, nếu không có chú thích gì thì khi viết Z b a f(x)dx ta hiểu là f(x) được giả thiết là khả tích trên[a,b].
Cho 3 khoảng đóng[a,b],[a,c],[b,c], nếu f(x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất thì cũng khả tích trên 2 đoạn còn lại, và
• Tính chất 3.Giả thiếta < b Khi đó:
(iii) Nếu f(x) khả tích trên[a,b] thì| f (x)| khả tích trên[a,b] và:
| f (x) | dx (iv) Nếum≤ f (x)≤ M, f orallx ∈ [a,b] thì m(b− a ) ≤
• Tính chất 4.(Định lý trung bình thứ nhất)
Giả sử f(x)khả tớch trờn[a,b] vàm ≤ f (x) ≤ M,∀ x ∈ [a,b], khi đú tồn tại àsao cho:
Z b a f(x)dx =à(b− a ),m ≤ à ≤ M. Đặc biệt, nếu f(x)liên tục trên[a,b]thì tồn tại c∈ [a,b] sao cho:
• Tính chất 5.(Định lý trung bình thứ hai)
(iii) g(x) không đổi dấu trên[a,b].
Z b a g(x)dx,m ≤ à ≤ M. Đặc biệt nếu f(x)liên tục trên[a,b]thì tồn tại c∈ [a,b]sao cho:
Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân)
Nếu f(x) là một hàm khả tích trên đoạn [a, b], thì với mỗi x trong khoảng này, hàm số F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt cũng khả tích trên [a, x] Định lý 2.15 nhấn mạnh rằng nếu f(t) khả tích trên [a, b], thì Hàm số F(x) sẽ liên tục trên đoạn [a, b], phản ánh tính chất liên tục của tích phân theo biến x.
(2) Nếu f liên tục tại x 0 ∈ [a,b] thì F (x) có đạo hàm tại x 0 và F ′ (x 0 ) = f(x 0 ). Định lý 2.16 (Công thức Newton-Leibniz) Nếu f(x) liên tục trong khoảng đóng[a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x)thì
Các phương pháp tính tích phân xác định
1 Sử dụng công thức tích phân từng phần.
Giả sửu(x),v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trong[a,b] Khi đó:
2 Sử dụng các phép đổi biến số. Định lý 2.17 (Đổi biến x := ϕ ( t )) Xét I Z b a f(x)dx với f (x) liên tục trong [a,b]. Thực hiện phép đổi biến x= ϕ(t) thoả mãn 3 điều kiện sau:
(1) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trong[a,b].
(3) Khi t biến thiên trong [α,β] từ α đến β thì x = ϕ(t) biến thiên liên tục từ a đến b.
Khi đó ta có công thức:
Định lý 2.18 về đổi biến t là một công cụ quan trọng trong tích phân, cho phép biến đổi tích phân theo hàm ϕ(x) với điều kiện ϕ(x) là hàm biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên tập [a, b] Cụ thể, khi tích phân cần tính có dạng I = ∫ₐᵇ f[ϕ(x)]·ϕ′(x) dx, ta có thể thực hiện đổi biến t := ϕ(x) để biến đổi tích phân thành dạng đơn giản hơn Phương pháp này giúp rút ngắn quá trình tính toán và nâng cao hiệu quả trong việc xử lý các tích phân phức tạp, đồng thời đảm bảo tính chính xác của kết quả.
3 Sử dụng các phép truy hồi, quy nạp.
Hệ thống bài tập
Dạng 1 Tính đạo hàm của hàm tích phân.
Chúng ta có các công thức sau:
= f(g(x)).g ′ (x) (2.3) Công thức 2.2 chúng ta đã biết trong Định lý 2.15, còn công thức 2.3 được suy ra từ công thức đạo hàm của hàm hợp.
Bài tập 2.1 Tính các đạo hàm: a) d dx
Z x y e t 2 dt=− e x 2 (do ylà hằng số) b) d dy
Z y x e t 2 dt =e y 2 ( dox là hằng số) c) d dx x 3
Dạng 2 Tính giới hạn của hàm số dựa vào công thức L’Hospital và đạo hàm của hàm tích phân.
Bài tập 2.2 Tìm giới hạn: a)A = lim x → 0 + sin Z x
Lời giải: a) Nhận xét: lim x → 0 + sin Z x
√sintdt =0nên áp dụng quy tắc L’Hospital ta có: x lim→ 0 + sin Z x
! ′ = lim x → 0 + ptg(sinx) cosx psin(tgx) cos 1 2 x =1⇒ A =1 b) Nhận xét: lim x → + ∞
√x 2 +1 = ∞ nên áp dụng quy tắc L’Hospital ta có: x →lim+ ∞
Dạng 3 Sử dụng công thức tổng tích phân để tính giới hạn của một số dãy số đặc biệt.
Xuất phát từ công thức tính tổng tích phân 2.1
Nếu chúng ta chia đoạn [a,b] thành n khoảng có độ dài bằng nhau bởi phân hoạch a x 0 < x 1 < < x n =b, trong đóx i =a+ (b− a ) n i thì:
∑ i = 0 f(ξ i ) vớiξ i ∈ [x i ,x i + 1 ] Khi đó nếu hàm f(x) khả tích trên[a,b], và chọnξ i =x i ta được công thức: n lim→ ∞ b− a n
Còn nếu chọn ξ i = x i + 1 ta được công thức: n lim→ ∞ b− a n
Bài tập 2.3 Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn: a/ A= lim n → ∞ h 1 nα + nα 1 + β + nα + 1 2β +ã ã ã+ nα +( 1 n − 1 ) β i b/ B = lim n → ∞
2 Tích phân xác định 55 a/ Viết
# Áp dụng công thức 2.4 vớia =0,b =1, f(x) = α + 1 βx ta được:
Nếu áp dụng công thức 2.5 vớia =0,b =1, f(x) = α + 1 βx ta được:
A ′ = lim n → ∞ h 1 nα+β+ 1 nα+2β+ã ã ã+ 1 nα+nβ i=A = 1 βlnα+β α b/ Áp dụng công thức 2.5 vớia =0,b =1, f(x) = √
Nếu áp dụng công thức 2.4 vớia =0,b =1, f(x) = √
Dạng 3 Tính tích phân xác định (xem mục 2.5)
Bài tập 2.5 Tính các tích phân: a.
Lời giải: a/ Các câu a,b,c dễ, giải bằng phương pháp tích phân từng phần Đáp số như sau:
Vậy theo phép truy hồi ta có I n = 1 2 n I 0 = 2 n π + 1
Dạng 4 Chứng minh các đẳng thức tích phân
Bài tập 2.7 Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên[0, 1]thì: a/ π 2
Lời giải Đây là bài tập dễ, câu a) đặtt = π 2 −x, còn câu b) đặtt=π− x.
Bài tập 2.8 Áp dụng kết quả của bài tập 2.7 hãy chứng minh π 2
Bài tập 2.9 Giả sử f(x) liên tục trên[− a, a ](a >0), hãy chứng minh
0 nếu f (x) là hàm số lẻ trên[− a, a ] 2
0 f(x)dx nếu f(x) là hàm số chẵn trên[− a, a ]
Bài tập 2.10 Cho f (x)liên tục, chẵn trên[− a, a ], chứng minh
0 f(x)dx với0≤ b 6=1 Áp dụng tính
Z b a x m (a+b− x ) n dx Z b a x n (a+b− x ) m dx Áp dụng tính I n Z 1
Dạng 5 Chứng minh các bất đẳng thức tích phân
Bài tập 2.12 Cho f(x),g(x) là hai hàm số khả tích trên [a,b] Khi đó f 2 (x),g 2 (x) cũng khả tích trên[a,b] Chứng minh bất đẳng thức sau(a < b )
(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt)
Lời giải Xét 2 trường hợp:
Khi đó ta có dấu”=”xảy ra.
3 Các ứng dụng của tích phân xác định 59
TH2 Nếu ít nhất một trong hai tích phân
Z b a g 2 (x)dx khác 0, không mất tính tổng quát ta giả sử
Biểu thức ở vế trái là tam thức bậc 2 đối vớiαnên 2.6 đúng với mọiα ∈ R khi và chỉ khi
Ta có điều phải chứng minh. § 3 C ÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tính diện tích hình phằng
1 Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ Descartes (tính diện tích "hình thang cong")
Trong đó giả thiết rằng phương trình ϕ(t) = a,ψ(t) = b có nghiệm duy nhất là t 1 ,t 2 và ϕ,ψ,ϕ ′ ∈ C [t 1 ,t 2 ].
Bài tập 2.13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a/ Đường paraboly =x 2 +4và đường thẳngx− y +4 =0. b/ Parabol bậc bay= x 3 và các đườngy=x,y =2x. c/ Đường tròn x 2 +y 2 =2xvà paraboly 2 =x d/ Đườngy 2 = x 2 − x 4
Các câu a), b), c) có thể vẽ hình và tính toán dễ dàng như sau: a.S Z 1
Trong trường hợp khảo sát để vẽ đồ thị đường cong C: y² = x² − x⁴, hạn chế về thời gian khiến ta không thể thực hiện toàn bộ quá trình Tuy nhiên, ta nhận thấy điều kiện 0 ≤ x ≤ 1 và rằng nếu điểm M(x, y) thuộc C thì các điểm phản xạ M' (± x, ± y) cũng thuộc C Do đó, diện tích S của hình này bằng bốn lần diện tích của miền giới hạn D, nơi được xác định dựa trên các thuộc tính đối xứng của đường cong.
0≤ x ≤1 y=√ x 2 − x 4 Do miền D nằm hoàn toàn trong hình vuông 0≤ x ≤1, 0≤ y ≤1, hơn nữa hàm số y = √ x 2 − x 4 liên tục, y (0) = y(1) = 0nên đồ thị của nó trong [0, 1] phải có hình dáng như hình vẽ dưới đây: x y
3 Các ứng dụng của tích phân xác định 61 Áp dụng công thức 2.7 ta cóS(D) Z 1
2 Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ cực (tính diện tích của miền có dạng hình quạt)
Bài tập 2.14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường hình timr 2 = a 2 cos 2ϕ
Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong trong toạ độ cực và nhận xét tính đối xứng của hình vẽ ta có:
Tính độ dài đường cong phẳng
Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trìnhy= f(x)
Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trình tham số:
Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trình trong toạ độ cực:
3 Các ứng dụng của tích phân xác định 63
Bài tập 2.15 Tính độ dài đường cong a/ y =ln e e x x + − 1 1 khix biến thiên từ1 đến2. b/
x=a(cost+ln tg 2 t ) y =asint khi tbiến thiên từ π 3 đến π 2
Nên áp dụng công thức 2.11 ta được: s Z 2
Z e 2 t+1 2t(t−1) =lne 2 +1 e 2 b/ Áp dụng công thức 2.12 ta có x ′ 2 (t) +y ′ 2 (t) = a 2 cos 2 t sin 2 t⇒ s =a π 2
Tính thể tích vật thể
Khi vật thể được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a và x = b, diện tích của thiết diện cắt bởi mặt phẳng x = x₀ là yếu tố quan trọng Giả thiết rằng diện tích S của thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng x = x₀ đã được xác định rõ, giúp phân tích hình dạng và thể tích của vật thể một cách chính xác hơn Thông tin này hỗ trợ trong việc tính toán và mô tả hình học của vật thể trong các bài toán kỹ thuật và khoa học.
S(x 0 ), vàS(x) là hàm số xác định, khả tích trên[a,b] Khi đó
Bài tập 2.16 Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x 2 +y 2 =a 2 và y 2 + z 2 =a 2 (a>0).
Vì tính đối xứng nên diện tích của V′ là V′ = V ∩ {x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} và bằng 8V′ Một điểm M(x, 0, 0) nằm trên trục Ox, qua đó ta dựng thiết diện của V′ vuông góc với Ox, hình thành một hình vuông có cạnh bằng √(a² - x²), tương ứng với diện tích S(x) = a² - x² Áp dụng công thức 2.14, ta tính được các bước tiếp theo của bài toán một cách chính xác và rõ ràng.
Bài tập 2.17 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z =4− y 2 , các mặt phẳng toạ độ và mặt phẳng x=a.
Lời giải:Sau khi vẽ hình và áp dụng công thức 2.14 ta có:
Trường hợp vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong
a ≤ x ≤ b y=0 y= f(x) quanh trụcOx, trong đó f ∈ C [a,b] thì
Tương tự, nêú vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong
c≤ y ≤ d x=0 x= ϕ(y) quanh trụcOy, trong đóϕ∈ C [c,d]thì
Bài tập 2.18 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y =2x− x 2 vày=0. a/ quanh trục Ox một vòng b/ quanh trục Oy một vòng.
Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.15 ta được:
(2x− x 2 )dx b/ Áp dụng công thức 2.16 ta được:
1−p 1− y 2 dy 3 Các ứng dụng của tích phân xác định 65
Tính diện tích mặt tròn xoay
Cho hình thang cong giới hạn bởi
a≤ x ≤ b y =0 y = f(x) với f ∈ C 1 [a,b] Quay hình thang cong này quanh trụcOxthì ta được một vật thể tròn xoay Khi đó diện tích xung quanh của vật thể được tính theo công thức:
Tương tự nếu quay hình thang cong
Bài tập 2.19 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau a/ y =tgx, 0< x ≤ π 4 quanh trục Ox b/ x 2 a 2 + y b 2 2 =1quanh trục Oy (a > b ) c/ 9y 2 =x(3− x ) 2 , 0≤ x ≤3quanh trụcOx.
Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.17 ta có:
√2+1 i) b/ Nhận xét tính đối xứng của miền và áp dụng công thức 2.18 ta có:
4 Tích phân suy rộng 67 c/ Trước hết
4x Nên áp dụng công thức 2.17 ta có:
(3− x )(1+x)dx=3π § 4 T ÍCH PHÂN SUY RỘNG
Trong định nghĩa tích phân xác định, chúng ta đã xem xét các hàm số xác định và bị chặn trên đoạn hữu hạn [a,b] Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi ứng dụng của tích phân, phần này sẽ trình bày khái niệm tích phân suy rộng, bao gồm tích phân có giới hạn vô hạn và tích phân của các hàm số không bị chặn This allows for a broader understanding and utilization of integral calculus in various mathematical contexts.
Tích phân suy rộng với cận vô hạn
Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng [a,+∞)] và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn[a,A],(a ≤ A 1, và phân kỳ khi và chỉ khi α ≤1.
Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn
Hàm số f(x) được xác định trên khoảng [a, b] và khả tích trên mọi đoạn [a, t] (với t < b bất kỳ), đồng thời giới hạn của f(x) khi x tiến tới b là vô cùng Điểm x = b được gọi là điểm bất thường (điểm kỳ dị) của hàm số f(x) Theo định nghĩa 2.7 về giới hạn của tích phân, việc xác định giới hạn của tích phân tại điểm kỳ dị là yếu tố quan trọng trong phân tích hàm số.
Z t a f(x)dx khi t → b − , được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x) trên khoảng[a,b)và được ký hiệu như sau:
Tích phân suy rộng hội tụ khi giới hạn ở vế phải tồn tại Ngược lại, nếu giới hạn này không tồn tại hoặc bằng vô cùng, ta gọi đó là tích phân phân kỳ Khái niệm này giúp xác định tính hội tụ hoặc phân kỳ của tích phân không xác định trong toán học.
Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) không bị chặn trên khoảng (a,b]và (a,b) lần lượt nhậnx =avà x =blàm điểm bất thường.
Z t f(x)dx Đối với tích phân có hai điểm bất thườngx =a,x=b, ta có thể viết
Z b c f(x)dx khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.
Ví dụ 4.2 1 Xét sự hội tụ của tích phân
2 Xét sự hội tụ của tích phân I Z 1
Tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khiα 1 thì e − x 2 < e − x mà
0 e − x 2 dxcũng hội tụ. c Khi x →+∞,1−cos 2 x =2 sin 2 1 x ∼ 2 x 2 nên
(1− x 2 ) 5 hội tụ. e Trước hết ta có nhận xét rằngI Z π 2
0 (tgx) p dxcó điểm bất thường là x=0khi p