PHẦN RIÊNG 3đ Thí sinh chỉ làm một trong hai phần Theo chương trình chuẩn: Câu 6a 2đ 1.. Tìm trên C những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
I PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh)
Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + 1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8
Câu 2 (2đ) 1 Giải hệ phương trình:
2 2
3
1 9
12 18
y xy
x xy
2 Giải phương trình: 9x + ( x - 12).3x + 11 - x = 0
Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh
bên và cạnh đáy đối diện bằng m
Câu 4 (1đ) Tính tích phân:
2
2
0
)]
4 ln(
) 2 (
I
Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c
Thoả mãn hệ điều kiện:
2 2
) (
) (
c a b b
b c a a
CMR:
C B
1 sin
1 sin
1
II PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)
Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a (2đ)
1 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 9 = 0
Tìm những điểm M (C) và N (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
2 Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng:
(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0
(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d):
3
4 2
1
x
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12
Tính hệ số a7
Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2đ)
1 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 và điểm
5
7
,
5
1
Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất
2 Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 3 = 0
Tìm những điểm M (S), N (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
x
x x
x
khi x 0, và f(0)0; tại điểm x0 = 0
Trang 2M
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
Câu 1 (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
* TXĐ: R
* Sự biến thiên: + Giới hạn:
x
y
lim = ,
x
y
+ Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1)
y' = 0
) 0 (
; 1
) 1 (
; 0
y x
y x
0,25đ
Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ
* Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác 0,25đ
2) Tìm M (C) ?
Giả sử M (x0; y0) (C) y0 = 2x0 - 3x0 + 1
Tiếp tuyến ( ) của (C) tại M:
y = (6x0 - 6x0) (x - x0) + 2x0 - 3x0 + 1 0,25đ
( ) đi qua điểm P(0 ; 8) 8 = -4x03 + 3x02 + 1
x0 = -1 ; (4x0 - 7x0 + 7 > 0, x0) 0,25đ
Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm 0,25đ
Câu 2 (2đ)
1) Giải hệ:
3 2 3
2 3
1 9
3 2 0
12 12
18
2
2 2
x y y
x y xy
x x
x xy
0,25đ
18 3
2 3;2 3
Thử lại, thoả mãn hệ đã cho
Vậy, x;y 2 3;3 3 ,2 3;3 3 0,25đ
2) Giải phương trình: 3x 2x123x 11x0
x
x
x
11 3
1 3
(*) 0 11 3
) (
0
x x
f
x
(*) 0
)
2
(
, 0 1 3 ln 3 )
(
'
f
x x
có nghiệm duy nhất x = 2 0,25đ
Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ
Câu 3 (1đ) S
N
A C
O
B
Trang 3SO (ABC)
S.ABC chóp đều O là tâm tam giác đều ABC
M BC
BC SO
BC AM
Trong SAM kẻ đường cao MN MN = m
2
3 2
3 3
60 sin
a AO AM
a a
3 SO
SA h
SO
2 2 2
h
SA.MN = SO.AM 2 2 2 2 2
3
4 4
3a m h a m
m
2
3
0,25đ
2
3 3
2
m a
am h
; và S(ABC) =
4
3
2 2 3
4 3 6 )
( 3
1
m a
m a h
ABC S
V
m
2
3
Câu 4 (1đ) Tính tích phân
2
0
) 2 ( x dx x
2
0
2
) 4 ln( x dx = I 1 I2
2
0
2 2
0
1
2 )
1 ( 1 )
2
dx x
dx x x
2
0 2
2 2
0 2 2
0
2 2
4 2
| ) 4 ln(
) 4
x
x x
x dx x
6ln24 (đổi biến x2tant) 0,25đ
2 ln 6 4 2
3
2
I I
Câu 5 (1đ)
ABC:
) 2 ( ) (
) 1 ( ) (
2 2
c a b b
b c a a
(1) sin2A + sinAsinC = sin2B (Đl sin)
sinAsinC =
2
1 (cos2A - cos2B)
sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A)
sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0)
A = B - A ; (A, B là góc của tam giác)
Tương tự: (2) C = 2B
A + B + C = , nên A =
7
; B =
7
2
; C =
7
4
0,25đ
Trang 4Ta có:
C
1 sin
1
7
3 sin 7
cos 7 sin 2
7
cos 7
3 sin 2
7
4 sin 7
2 sin
7
2 sin 7
4 sin
0,25đ
=
A
sin 1
7 sin
1
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Chương trình cơ bản
Câu 6a (2đ)
1) Tìm M (C), N (d)?
(d): 3x - 4y + 5 = 0
(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1
d (I ; d) = 2 (d) (C) = Ø
Giả sử tìm được N0 (d) N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (d)
N0 = (d) , với:
3; 4 )
(
) 3
; 1 (
u d
I
5
7
; 5
1 4
3
3 1
t y
t x
0,25đ
Rõ ràng (C) = {M1; M2} ; M1
5
11
; 5
2 ; M2
5
19
; 5 8
M0 (C) để M0N0 nhỏ nhất M0 M1 và M0N0 = 1 0,25đ
Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán
5
11
; 5
2
; N
5
7
; 5
1
0,25đ
2) Phương trình mặt cầu (S) ?
(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0
(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0
Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) (d):
3
4 2
1
x
I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) d (I, (P1)) = d (I ; (P2))
1
13 16
10 3
1 3 9
3
1
t
t t
I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; 2 ; 1)
Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:
(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382
(S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 0,25đ
Câu 7a (1đ) Tính hệ số a7 ?
(1 - x + x2 - x3)4 = (1 - x)4 (1 + x2)4 0,25đ
Trang 5=
2 4 0
4
1
i
i i k
k k k
x C x
(Gt)
0,1,2,3,4 ; 1;3, 3;2
,
7 2
i k
i k
0,25đ
40
2 4 3 4 3 4 1 4
Chương trình nâng cao
Câu 6b (2đ)
1) Tìm N (C)?
(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1
Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M
5
7
; 5 1
2 5
8
; 5
6
Giả sử tìm được N (C) MN MI + IN = 3 0,25đ
Dấu “=” xảy ra N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C)
(IM):
t y
t x
5
8 3 5
6 1 ; IM C N1; N2
5
11
; 5
2
1
5
19
; 5
8
2
Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán:
5
19
; 5
8
2) Tìm M (S) , N (P) ?
(S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 1
Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1
(P): x - 2y + 2z - 3 = 0 d I ; P = 2 (P)(S)Ø
Giả sử tìm được N0 (P) N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ
d P
0 , với:
) 2
; 2
; 1 ( )
( ) (
) 1
; 2
; 1 (
d
u P d
I d
t z
t y
t x
d
2 1
2 2
1
3
7
; 3
2
; 3
1
0
( )
)
(d S {M1 ; M2}
3
5
; 3
4
; 3
2
1
3
1
; 3
8
; 3
4
2
M1M0 = 1 < M2M0 = 3
M0 (S) để M0N0 nhỏ nhất M0 M1
Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán
3
5
; 3
4
; 3
2
3
7
; 3
2
; 3
1
Câu 7b (1đ)
Trang 6Đạo hàm bằng định nghĩa:
x
f x
f
x
) 0 ( ) (
lim
0
3 0
2 1 3 1 lim
x
x x
x
3
0
2 1 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 lim
x
x x
x x
x
=
x
x
x
1 lim
1 3 1 1 ) 3 1 (
3 lim
0 2 3
= -1 +
2
1 = -2
1 Vậy,
2
1 '(0)