1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Gx= Câu II.. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a 2,0 điểm 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Ox
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 20
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số f x( ) x3 3x2 4
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: G(x)=
Câu II (2,0 điểm)
sin x.(1 cot )x cos x(1 tan )x 2sin 2x
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn:
2
0
lim
x
x
e x
x x
Câu IV (1,0 điểm) Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
3
x y
x y m
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp
4
B C
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi
x y d
'' :
x y z
n
C là số tổ
hợp chập k từ n phần tử
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm F1 1;1 ,F2 5;1 và tâm sai e 0, 6
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông
x z d
Trang 2Câu VII.b (1,0 điểm) Với n nguyên dương cho trước, tìm k sao cho 2n 2n
n k n k
C C
lớn nhất hoặc nhỏ nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
x t t 3 5;
3 4.
g x f t t t
3 4
f
f f f f
f
8
4
m m
nghiệm duy nhất
phân biệt x x1 , 2 x1 x2 Mặt khác, f( 1) m 0, (0) 1 0f nên x1 1 x2 0, tức
điều kiện bài toán
Với m 4 Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng có hai
Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
( ;0) 4
2) ĐKXĐ:
2
k
Khi đó, VT = sin 3x cos 3x sin 2xcosx cos 2xsinx
(sinx cos )(sinx x sin cosx x cos x) sin cos (sinx x x cos )x = sinx cosx
PT sin cos 2sin 2 sin cos 20
(sin cos ) 2sin 2 (1)
x x
x x x
x x x
(1) 1 sin 2x 2sin 2x sin 2x 1( 0) 2 2
x k x k
4
x k
Trang 3=
2
.
x
x x x =
2
2
(3 4) (2 )
x
x e x x x
=
2
2
2
x
x e x x x
x x x
x x = 2 2. 2 1 . 3 4 2
x
x
2
0
2 1
x
x
e x
x x
Do đó tứ diện ABCD có ba mặt là ba tam giác vuông tại cùng đỉnh A
Lấy các điểm E, F, G, H sao cho đa diện ABEC.DGHF là hình hộp chữ
nhật Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình
hộp Tâm mặt cầu này là trung điểm I của đoạn AH, còn bán kính là
2 2 2
f x x x
3 ( )
x x
f x
2
x
f x x x x x x
x x
9 3 15 2
x
Dễ kiểm tra rằng cả hai nghiệm này đều bị loại vì nhỏ hơn 2 Vậy, đạo hàm
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f x( ) là f(2) 7 6
Cũng dễ thấy lim
Câu VI.a: 1) Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc
A
khi và chỉ khi
2
2
2 2
9
4
d
DB AB
d d d
x y
x y
x y
và bán kính cũng bằng b Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta
có:
2 2
3 5
3 4
b b
b b b
4
3 5
3 1
2
b b b
b b b
Trang 4Rõ ràng chỉ có giá trị 1
2
x y
2) Mặt phẳng P’ đi qua đường thẳng d’ có phương trình dạng:
M và d” có hai VTCP là m và 6; 4; 2
của P” là:
3; 5, 5;2 2;3, 7; 13; 5
2; 1 1;3 3;2
Đường thẳng d phải là giao tuyến của P’ và P” nên có phương trình:
2 6 10 0
x z
x y z
Theo giả thiết thì: n 3 (n n 1) n n( 1)(n 2) 9n2 14n n2 9n 14 0 n = 7
Câu VI.b: 1) Giả sử M x y, là điểm thuộc elip Vì bán trục lớn của elip là
3 5
0, 6
c
a
e
MF MF x y x y
( 2) ( 1)
1
x y
(Q) (P) 1.(m 3 )n 2( 2 ) 1.( 2n m n) 0 m 8n 0
Vì hình chiếu d’ của d trên P là giao tuyến của P và Q nên phương trình của
d’ sẽ là:
2 5 0
x y z
x y z
n k n k
2 2 2 1 2 1
Thật vậy, ta có chuỗi các biến đổi tương đương sau đây:
(3)
n k n k n k n k
n n k n n k n n k n n k
Trang 5Bất đẳng thức cuối cùng là hiển nhiên; từ đó suy ra (3) đúng
n k n k