Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận.. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.. Tìm giá trị P II.. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đư
Trang 1Trang 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 18
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 3
2
x y x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất
Câu II (2 điểm)
1 sin sin cos sin 2 cos
2
1 log (4 4 1) 2 2 ( 2)log
2
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC =
2
a
SA a 3,
SAB SAC 30 0
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3
4 Tìm giá trị
P
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
1 : 2 5 0
điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3;
Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A , B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S)
Câu VIIa (1 điểm) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
4
B Theo chương trình Nâng cao
Trang 2Câu VIb (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:
2 2
1
16 9
điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)
2
x
(P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất
Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình
3 1 2 3 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) Ta có: , x 2
2 x
3 x 2
; x
0
0
0
0
2 x
1 )
x ( ' y
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M :
2 x
3 x ) x x ( 2 x
1 y
:
0
0 0 2
0
2 x
2 x 2
; 2
0 0
0
M
x
x x
0
0 B
2 x
3 x 2 2
y y
M là trung điểm AB Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IAB có diện tích:
2
x
Dấu “=” xảy ra khi
3 x
1 x )
2 x (
1 )
2 x (
0
0 2
0
2
sin sin 1 2sin 2sin 1 0
x
4
x k
x k
2
x
2
1 x 4
1
hoặc x < 0
ln
3 ln
1 ln
x
3 +
3
3
e
=
3
e 2 2 2
Câu IV: Dùng định lí côsin tính được: SB a, SC = a
Gọi M là trung điểm của SA Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB SA,
MC SA Suy ra SA (MBC)
Ta có V S ABC V S MBC V A MBC 1MA S MBC 1SA S MBC 1SA S MBC
Trang 3Trang 3
Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau Do đó MB = MC MBC cân tại M Gọi N là trung điểm của BC MN BC Tương tự MN SA
16
a 3 2
3 a 4
a a AM BN
AB AM AN
MN
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
4
3 a
Do đó:
16
a 2
a 4
3 a 3 a 6
1 BC MN 2
1 SA 3
1 V
3 ABC
.
Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
3 3
P
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có :
3
3
3
3 1 1 1
3 1 1 1
3 1 1 1
a b
b c
c a
3
3 4
4
a b c
a b c
4
a b c
Câu VI.a: 1) d1 VTCP 1 (2; 1)
a
Ta có: 1 2 2.3 1.6 0
đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:
d A x: ( 2) B y( 1) 0 Ax By 2A B 0
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
2 2 2 2
3 2
3
2 ( 1)
A B
d x y
2) Dễ thấy A ( 1; –1; 0)
2
2
R
Trang 4+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P) H là tâm của đường tròn ( C)
+) Phương trình đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P)
5 / 2
5 1 1
3 6 6 1
75 5 3
36 6
r R IH
Câu VII.a: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
6
x
Suy ra:
S x x x dx x x x dx = 4 16 52
Câu VI.b: 1) (H) có các tiêu điểm F1 5;0 ;F2 5;0 Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),
2 2 2 2 2
40 15
x y
2) Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:
2 3 1 3
x t
y t
z t
* (d) có vectơ chỉ phương là (2;1;1)
n
, 3;3;3
u
1 :
4
y u
3
3 3 3
M
x x y
2
y
1 3
x
Trang 5Trang 5
2 x
4
t
x
2
1 log (3 8) 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
2
0 8 log 11
x
2
1 log (3 8) 1 3
2 log (3 8)
x y