CĐ 7 số chính phương

LUYỆN TẬP : Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG dạng bình phương của 1 số tự nhiên HD:... Bài 13 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.Vậ

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ

- Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1

- Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1

- Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

- Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn

- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2

- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ

B LUYỆN TẬP : Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG

dạng bình phương

của 1 số tự nhiên

HD:

Vậy 2a 2b 1 là số chính phương.

Bài 1: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn : 2x2 x 3y2y

Chứng minh : x y x ;2 2y1;3x3y1 đều là các số chính phương.

Bài 1: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2

p  p  p p  p  p không là số chính phương (Mâu

thuẫn với giả sử)

Vậy n2m không là số chính phương

Bài 1: Chứng minh: A  1 23 3  1003là số chính phương

Bài 10 : Chứng minh rằng : S 1.2.3 2.3.4 3.4.5    k k  1 k 2 thì 4S1 là sốchính phương

Bài 13 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương

Bài 14 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính

Vậy A n 6 n4  2n3  2n2 không thể là số chính phương.

Bài 16 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một

Vậy a2b2 không là 1 số chính phương

Bài 17 : Chứng minh rằng: A n 4 2n3 2n2 2n 1 , không phải là số chính

 

2

Vậy p+1 không thể là số chính phương

Lại có : p2.3.5.7 là 1 số chia hết cho 3 =>p  1 3k 2k N  ( Vô lý)

Vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2 => p-1 không là số chính phương

Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là số chính phương

Bài 19 : Cho N 1.3.5.7 2019 Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp

2N 1;2 ;2N N 1

không có số nào là số chính phương

HD :

Ta có : 2N  1 2.1.3.5.7 2019 1 

Thấy 2 3NM  2n  1 3k 2k N  =>2N 1 không là số chính phương

Và 2N 2.1.3.5.7 2019 là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên

2N không là số chính phương

Và 2N  1 2.1.3.5 2019 1  lẻ nên không chia hết cho 4

2N  M 4 2N 1 không chia cho 4 dư 1=> 2N+1 không là số chính phương.Bài 20 : Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N1,2 ,2N N1 không có

Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương

Bài 23 : Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: a b c   0, Chứng minh rằng

Bài 1: Cho đa thức bậc ba f x  với hệ số x3 là 1 số nguyên dương và

Bài 1 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì

tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương

HD :

Giả sử: a m 2n2 và b p 2 q mn p q Z2 , , , ,  

Bài 1: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số

chính phương thì 5n + 3 không phải là số nguyên tố

Bài 1: Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a  c thỏa mãn:

Chứng minh rằng : a2b2c2 không thể là một số nguyên tố

Bài 1: Cho b là số nguyên tố khác 3 Số A3n 1 2015b2(n là số tự nhiên) là số nguyên tố

hay hợp số.

Bài 1: Xét những số được tạo thành bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với 2n + 1

chữ số 1

có dạng như sau:10101; 101010101; … ; 1010……101; … (n nguyên dương)

Chứng minh các số trên đều là hợp số

Bài 1: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng là hợp số

Bài 1: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng n2 + 2018 là hợp số

Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai x2  ax   b 1 0 có hai nghiệm nguyên dương

Chứng minh rằng a2 b2 là hợp số

Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd Chứng minh rằng số: A a kb k c k d k là hợp số với mọi số nguyên dương k.

Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương bất kỳ thì khi viết 12 4n

dưới dạng thập phân thì ta luôn có chữ số hàng chục là một số lẻ

Bài 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãnk2 4vàk2 16là các

số nguyên tố thì k chia hết cho 5

Bài 1:Chứng minh rằng: 2 2p 2 2qkhông thể là số chính phương, với mọi p, q là các

số nguyên không âm

Bài 1:Giả sử các số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình: x5 y5 2x y2 2

Chứng minh 1 xy là bình phương của một số hữu tỉ.

Bài 1: Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: x y y z z x          x y z

Bài 1: Cho 2m 1 là số nguyên tố Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố

Bài 1:Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a 2 + c 2 = b 2 + d 2

Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số

Bài 1:Cho a + 1 và 2a + 1 (a  N) đồng thời là hai số chính phương

Chứng minh rằng a chia hết cho 24.

Bài 1:Cho hai số A = (20182017 + 20172017)2018 ; B = (20182018 + 20172018)2017

Ta có : 10  n 99  21 2  n  1 199 , tìm các số chính phương lẻ trong

khoảng trên ta được :

25 ;49 ;81 ;121 ;169 ứng với n bằng 12 ;24 ;40 ;60 ;84

Thay n vào 3n 1 ta được các giá trị lần lượt là : 37 ; 73 ; 121 ; 181 ; 153

Và thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40

Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n+26 và n-11 đều là lập phương của 1 số nguyên dương

Bài 4 : Tìm số tự nhiên n để : n 18 và n 41 là hai số chính phương.

Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho: 2n 15 là bình phương của số tựnhiên

Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để n2 2018 là số chính phương

Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để n2 + 2010 là số chính phương

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tựnhiên

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2 n 6 là số chính phương.

k n

 

  



Vậy với n 5 thì A là số chính phương.

Bài 1: Tìm các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương

Bài 1: Tìm số tự nhiên a sao cho : A a 2 10a 136có giá trị là số chính phương Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho n2 18n 10  là một số chính phương.

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x2   là một sốx 6chính phương

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sau cho: n2 14n 256 là số chính phương

Bài 1:Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 29 + 213 + 2n là số chính phương

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: 28 211 2n là số chính phương?

Bài 1: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A 4 27  4 2016  4n là số chính phương

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n để : A 29 213 2n là số chính phương

Bài 3 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m ; n) sao cho 2m M1n và 2n M 1m

Vậy có 5 cặp số nguyên dương tìm được :          1;1 , 1;3 , 3;7 , 3;1 , 7;3

Bài 4 : Tìm số tự nhiên n sao cho n2 2n 12 là số chính phương

Vậy với n 13k2  8k 1k N  thì 13n+3 là số chính phương

Bài 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho n2 n 1589 là số chính phương

Làm tương tự như trên ta có : n500;n164

Bài 12 : Tìm số tự nhiên n sao cho : 23 n n   3 là số chính phương.

HD :

Làm tương tự như trên ta có : n3;n5;n7;n13;n19;n21;n23

Bài 13 : Tìm số tự nhiên n sao cho n24n97 là số chính phương

Bài 14 : Tìm số tự nhiên n để 2n15 là số chính phương

Bài 15 : Tìm số tự nhiên n để n22006 là số chính phương

HD :

Đặt n2  2006 m m N2   m n2  2  2006 m n m n     2006

Như vậy trong hai số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác : m n m n    2m => 2 số m+n và m-n cùng tính chẵn lẻ (2)

Như vậy m+n và m-n là hai số chẵn=>m n m n    M 4 nhưng 2006 không

chia hết cho 4

Dẫn đến mâu thuẫn, vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn

Bài 16 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để : 2n 15 là số chính phương

TH2: Nếu n  2 2n 0 mod4   2 15 3 mod4n    k2  3mod4 vô lý

Vì số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Bài 19 : Tìm tât cả các số tự nhiên n sao cho 28 211 2n là số chính phương.

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 làmột số chính phương.

Bài 5: Có hay không 2 số nguyên dương khác nhau x và y trong khoảng (998; 2016) sao cho xy+x và xy+y là bình phương của hai số nguyên dương khác nhau

m k

 

  

37 4

m k

Nhân theo vế ta được :

ab 1 bc 1 ca 1Mabcabc ab bc ca     1 abc 3ab   1 c 3 (1)TH1 : Nếu c  2 ab 1 2M a b, là số lẻ Từ (1) =>

2a 2b 1 Mab 2a 2b  1 ab

Bài 6 : Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ

số cuối giống nhau

Bài 8 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên

tố, căn bậc hai của số đó

có tổng các chữ số là một số chính phương

HD :

Gọi số phải tìm là : abcd với a b c d N, , ,  ,1 a 9,0b c d, , 9

Vì abcd là số chính phương nên d0;1;4;5;6;9 mà d là số nguyên tố nên

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là : ab a b N ,  ,1 a b,  9

Số viết theo thứ tự ngược lại là :

TH2 : ab 64   a b 10 không là số chính phương ( loại)

Bài 12 : Tìm ba số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 có 4 chữ số giống nhau

Vì 1    a 9 1 2a  1 17 và 2a 1 lẻ nên 2a  1 3;9;15   a 2;5;8 => a=5 => n=21

Bài 13 : Tìm số có hai chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các

Ta phải tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x2  y2 z2 2000

Chú ý : Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ dư 0 hoặc 1

Mà : 2000 4M x y z, , là số chẵn, Đặt x 2 ,x y1  2 ,y z1  2z1 x12x22x32 500

Tương tự : x1  2 ,x y2 1  2 ,y z2 1  2z2 x22y22z22 125

Không mất tính tỏng quát ta giả sử : x y z  x2 y2 z2

=>x22  125 3  x22   6 x2  12

Dạng 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT SỐ CHÍNH

Do 3n 1 và 2n 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9,

do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4

Mà 2n  1 3n  1 5n 2 , Do đó 3n1 và 2n1 khi chia cho 5 đều dư 1

=>2 5nM và 3 5nM nM5 (2)

Từ (1) và (2) =>n BCNNM  5;8 nM 40

Bài 2 : Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n 1 và 2n 1 đều là các số

chính phương thì n là bội số của 24

=> n là số chẵn => n+1 lẻ => k lẻĐặt k 2b 1b N  k2  4b b     1 1 n 4b b   M 1 n8 (1)

Mặt khác k2 m2  3n  2 2 mod3  Mặt khác k2và m2 chia cho 3 dư 0 hoặc1

Nên đề k2 m2  2 mod3  k2  1 mod3  và m2  1 mod3  m k2  M 2 3

Vì n 2 n 1 n n 1 là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó phải có

1 số chia hết cho 2, và 1 số chia hết cho 4, và 1 số chia hết cho 3

Vì 11 11 11 19 8   , có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10

Vậy 1110 1 chia hết cho 100

Bài 9: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng

1 48

ab a b   M

Ta có: ab a b     1 a 1 b 1 , Vì a, b là bình phương của hai số nguyên

lẻ liên tiếp nên :

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Bài 11 : Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của

Vậy số A=19991999…199939983998…3998 thỏa mãn yêu cầu đầu bài ( số A có 60 số 1999 và 11 số 3998)

Bài 12 : Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ ta luôn chọn được 4 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 4

Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ

Bài 5 : Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :

Bài 1: Tìm số nguyên tố biết rằng nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.HD:

Số nguyên tố cần tìm không thể là 2, do 2 là số nguyên tố nhỏ nhất nên không thể biểu diễn được thành

tổng của 2 số nguyên tố Vậy số nguyên tố cần tìm là số nguyên tố lẻ (vì 2 là

Nên b3,a5,c7 , Thấy: 5 3 2,5 7 2     là số nguyên tố cần tìm

Bài 1: Tìm các số tự nhiên n để n3n2 7n 10 là một số nguyên tố.

Bài 2 : Tìm n N * để A n 2003n2002 1 là số nguyên tố

Bài 1: Tìm số tự nhiên n để:A n 2012n2002 1 là số nguyên tố

Bài 1:Tìm số nguyên x, sao cho :x2  x p 0 với p là số nguyên tố.

Bài 1: Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng

HD:

Gọi a, b, c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc 5a b c  

Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5

Bài 1: Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x212y21

Bài 1: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: là số

hữu tỉ

và x2  y2  là số nguyên tố.z2

Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p22q21

Bài 1 : Tìm tất cả các số nguyên tố: p p p p p p p p1 , , , , , , , 2 3 4 5 6 7 8 sao cho:

Bài 1:Tìm các số tự nhiên x;y; z thỏa mãn đồng thời(x -1) + y - 2z3 3 3 0và x + y +

z – 1 là số nguyên tố

Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2p21; 2p23; 3p24 đều là số nguyên

tố