TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TOÁN LƯU THỊ SONG VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,K ¨OBE, ÁNH XẠ RIEMANN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨNGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Thái Nguyên, năm 2019... TRƯ
Định lý Arzela - Ascoli
Cho X là một không gian metric và F là một họ các hàm trên X, liên tục và nhận giá trị phức.
Họ F được gọi là liên tục đều trên tập con Y ⊂ X nếu với mỗi > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi p, q ∈ Y và mọi f ∈ F thỏa mãn d X (p, q) < δ, thì |f(p)−f(q)| <
HọF được gọi là chuẩn tắc trên tập con Y ⊂X nếu với mỗi dãy {f n } ⊂ F, tồn tại một dãy con {f n j } hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Y.
Không gian mêtric X được gọi là tách được nếu tồn tại một tập con đếm được {pj} ⊂ X là trù mật, giúp phân biệt các điểm trong không gian một cách rõ ràng Định lý 1.1, còn gọi là Định lý Arzela-Ascoli, xác nhận rằng trong một không gian mêtric tách được, các tập hợp các hàm liên tục có tính chất đặc biệt giúp phân tích dễ dàng hơn Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của tính tách được trong lý thuyết không gian mêtric và các ứng dụng liên quan đến tính ổn định và hội tụ của các dãy hàm.
Giả sử có tập con compact K n ⊂ X sao cho K n ⊂ K n+1 , và S nK n = X.
Cho F là một họ các hàm trên X, liên tục, nhận giá trị phức Khi đó, F là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu:
(i) Họ F là liên tục đều trên mỗi tập con compact của X.
(ii) Với bất kì p ∈ X, tồn tại hằng số C p > 0 sao cho |f(p)| ≤ C p với mọi f ∈ F.
Chứng minh điều kiện cần của (i) bằng phản chứng, giả sử rằng F là một họ chuẩn tắc nhưng không liên đều trên tập con compact K ⊂ X, nhằm làm rõ tính chất cần thiết của điều kiện này trong lý thuyết.
Trong bài, chúng ta xác định rằng tồn tại một số d > 0 sao cho, với mỗi n, có các điểm pₙ, qₙ thuộc tập K và hàm fₙ thuộc tập F sao cho khoảng cách dₓ(pₙ, qₙ) nhỏ hơn 1/n và sự chênh lệch giá trị |fₙ(pₙ) − fₙ(qₙ)| lớn hơn hoặc bằng một hằng số cố định Nếu F là tập hàm chuẩn tắc, thì tồn tại một dãy con fnⱼ hội tụ đều trên K đến hàm giới hạn f₀, do đó f₀ phải liên tục Chúng ta có thể chọn dãy con này sao cho pₙⱼ → p₀ và qₙⱼ → q₀, và từ đó, nhờ dₓ(pₙⱼ, qₙⱼ) → 0, suy ra p₀ = q₀ Tuy nhiên, do f₀ liên tục, nên sự chênh lệch giá trị của hàm tại các điểm này cũng sẽ nhỏ dần, phù hợp với tính liên tục của f₀.
Trong đoạn này, ta chứng minh điều kiện cần của (ii) bằng cách giả sử tồn tại p ∈ X sao cho tập các giá trị {f(p)} với f ∈ F là không bị chặn, dẫn đến mâu thuẫn khi xét các hàm f n ∈ F sao cho |f n (p)| > n Điều này mâu thuẫn với giả thiết tồn tại một dãy con {f n j } hội tụ trên tập hợp compact {p} ⊂ X Như vậy, các điều kiện cần của (i) và (ii) đã được chứng minh rõ ràng.
Bây giờ, ta giả sử rằng họ F thỏa mãn (i) và (ii) Xét {f n } ⊂ F là một dãy trong F Gọi {p n } là một dãy trù mật trong X.
Các giá trị của tập {f n(p 1)} nằm trong tập compact {ζ ∈ C | |ζ| ≤ C p 1}, cho phép ta chọn dãy con đầu tiên n₁,₁ < n₁,₂ < < n₁,k để đảm bảo rằng dãy {f n₁,k(p 1)} hội tụ, với giới hạn là f₀(p 1) Tiếp theo, từ tập các giá trị {f n₁,k(p 2)} nằm trong tập compact {ζ ∈ C | |ζ| ≤ C p 2}, chúng ta có thể chọn dãy con thứ hai n₂,₁ < n₂,₂ < < n₂,k và xác định giới hạn là f₀(p 2), đồng thời dãy này chứa trong dãy con đầu tiên Quá trình này có thể lặp đi lặp lại, tạo ra vô số các dãy con thứ nhất, thứ hai, thứ ba, mỗi dãy con chứa trong dãy con trước, với các chỉ số n₁,₁ < n₁,₂ < < n₁,k, n₂,₁ < n₂,₂ < < n₂,k, và tiếp tục như vậy, tạo thành một hệ thống các dãy con phân lớp phù hợp.
(i) Tồn tại giới hạn của dãy {f n j,k (p j )} (gọi giá trị giới hạn là f 0 (p j ) );
(ii) Với mỗi dãy con {n j,k } là tập con của dãy con trước {n j−1,k }
Từ đó, với bất kỳ j cố định, phần tử của dãy đường chéo {n `,` } chứa trong dãy {n j,k } với ` ≥ j Do đó, với dãy con các hàm {F ` = f n `,` }, ta có lim `→∞ F ` (p j ) =f 0 (p j ) với mọi j.
Ta sẽ chứng minh rằng {F ` } hội tụ đều trên bất kỳ tập con compact
K ⊂X.Do dãy là liên tục đều trênK, với bất kỳ > 0tồn tạiδ >0sao cho d(p, q) < δ bao hàm |F ` (p)−F ` (q)| < Bây giờ, K ⊂ S q∈K B X (q, δ), và vì
K là compact, tồn tại tập hữu hạn {q 1 , , q N }sao cho K ⊂S N J=1 B X (q j , δ).
Vì lim `→∞ F ` (p j r ) = f 0 (p j r ), và khi đó, ta chỉ cần xử lý trên tập hợp hữu hạn điểm, ta có thể tìm được M sao cho `1, `2 ≥ M bao hàm |F ` 1 (pj r ) −
F` 2 (pj r )| < Bây giờ, lấy p∈ K Khi đó, p∈ B X (p j , δ) với mọi j r Ta có
≤ ++ Điều này chỉ ra được dãy {F ` } là Cauchy đều trong cận trên đúng của chuẩn trênK, và do đó dãy hội tụ đều trênK Định lý được chứng minh.
Định lý Montel
Tiêu chuẩn Montel giúp kiểm tra tính chuẩn tắc của một họ hàm bằng cách sử dụng tính bị chặn đều trên các tập con compact của miền Ω Định lý Montel xác nhận rằng nếu một họ các hàm chỉnh hình trên miền Ω, và trong mỗi tập con compact K ⊂ Ω, tồn tại một hằng số bị chặn đều cho tất cả các hàm trong họ này, thì họ hàm đó là chuẩn tắc Tiêu chuẩn này rất hữu ích trong phân tích phức, đặc biệt trong việc xác định tính hội tụ của các dãy hàm phức.
C K > 0 sao cho |f(z)| ≤ C k với mỗi f ∈ F và mọi z ∈ K Khi đó, họ F là chuẩn tắc trên Ω
Chứng minh Theo Định lý Arzela - Ascoli, ta chỉ cần chứng minh rằng họ
Trong bài viết này, chúng ta nhấn mạnh rằng hàm F liên tục đều trên mọi tập con compact K ⊂ Ω, giúp dễ dàng chuyển hướng chứng minh Cụ thể, để chứng minh tính liên tục đều của một họ các hàm chỉnh hình trên miền, ta có thể tập trung vào việc xác định tính liên tục đều trên các hình tròn nằm trong miền đó Khi hàm M định nghĩa trên đĩa bán kính R, ta chứng minh rằng nó là liên tục đều trên mọi hình tròn trong miền, từ đó mở rộng kết quả cho toàn bộ miền xác định Điều này giúp hiểu rõ hơn về tính ổn định của họ các hàm chỉnh hình trong không gian phức, đồng thời tối ưu hóa quá trình chứng minh theo nguyên tắc liên tục đều.
Lấy r < R, và chọn ρ với r < ρ < R Nếu f là hàm chỉnh hình trên đĩa D(a, R) và có mô-đun bị chặn bởi M, và nếu z, ω ∈ D(a, r), thì
(ρ−r) 2 Như vây, ta nhận được kết luận của Định lý.
Miền đơn liên
Định nghĩa 1.1 Một không gian tôpô X được gọi là đơn liên nếu với mỗi hàm liên tục γ : [0,1] → X với γ(0) = γ(1) luôn tồn tại một ánh xạ liên tục Γ : [0,1]×[0,1] → X sao cho
X là đơn liên nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ liên tục từ hình tròn vào X đều có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ hằng với giá trị điểm x₀ ∈ X Tính chất này phản ánh đặc trưng của không gian trong lý thuyết topology, giúp phân biệt các không gian đơn liên với các không gian khác Việc xác định xem một không gian có phải là đơn liên hay không rất quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất hình học và topo của không gian đó.
Liên quan tới định lí ánh xạ Riemann, ta chỉ đề cập ở đây tới miền đơn liên trong C.
Một tập mở liên thông Ω trong C là đơn liên nếu và chỉ nếu phần bù của nó trong hình cầu Riemann Cb có nhiều nhất một thành phần liên thông Điều kiện tôpô của miền đơn liên mang ý nghĩa quan trọng trong giải tích, giúp xác định tính đơn liên của miền dựa trên phân vùng các thành phần của phần bù trong không gian phức Đây là tiêu chí cơ bản để phân tích và xử lý các miền mở liên thông trong lĩnh vực giải tích phức, đồng thời hỗ trợ trong việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các miền trong lý thuyết phức.
Mệnh đề 1.2 Cho Ω ⊂C là một miền đơn liên Nếu f là chỉnh hình trên
Nếu Ω là một tập mở và hàm số f(z) khác không trên mọi z trong Ω, thì tồn tại một nhánh chỉnh hình của hàm logf xác định trên Ω, nghĩa là có một hàm chỉnh hình g nhất định trên Ω sao cho f(z) = exp(g(z)) với mọi z trong Ω Đặc biệt, với bất kỳ số nguyên dương n nào, hàm h_n(z) = exp[1/ng(z)] là một nhánh chỉnh hình, thỏa mãn h_n(z)^n = f(z) cho tất cả z trong Ω.
Định lý ánh xạ Riemann
Mệnh đề 1.3 Giả sử F : D →D là ánh xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị sao cho F(0) = 0, và F 0 (0) > 0 Khi đó, F(z) = z với mọi z ∈ D.
Chứng minh Lấy G là ánh xạ ngược của F, F(G(z)) =z và G(F(ω)) = ω với mọiz, ω ∈ D Khi đó, F 0 (G(z))G 0 (z) = 1,và F 0 (0)G 0 (0) = 1.Mặt khác,
Trong tập hợp D, ta có |F(z)| < 1 và |G(z)| < 1, đồng thời điểm gốc là F(0) = G(0) = 0 Áp dụng bổ đề Schwarz, ta suy ra rằng |F'(0)| ≤ 1 và |G'(0)| ≤ 1 Vì vậy, từ các điều kiện này, ta có |F'(0)| = 1 và F(z) phải có dạng F(z) = e^{iθ}z Khi biết rằng F'(0) > 0, điều này dẫn đến θ = 0, từ đó kết luận F(z) = z Đề xuất 1.4 xây dựng hàm φ_a(z) = (a - z)/(1 - \overline{a}z) với a ∈ C, |a| < 1, giúp trong việc phân tích các phép biến đổi trong không gian phẳng phức.
Khi đó biến đổi phân tuyến tính φ a có các tính chất sau:
(iii) φ a : D →D là ánh xạ song chỉnh hình.
Chứng minh (i) và (ii) là những phép toán đơn giản, dễ hiểu trong toán học Mỗi phép biến đổi tuyến tính phân số là một ánh xạ một đối một của hình cầu Riemann vào chính nó, giữ nguyên tính chất hình học Việc xác nhận rằng phép biến đổi φa luôn mang hình tròn đơn vị vào chính nó sẽ dẫn đến việc chứng minh phát biểu (iii), giúp làm sáng tỏ các đặc tính quan trọng của các phép biến đổi tuyến tính phân số.
Trong bài viết này, chúng tôi chứng minh rằng \( |\phi_a(z)| = 1 \) dựa trên đẳng thức \( az - az + |a|^2 = 1 \) Đồng thời, ta nhận thấy rằng mọi đẳng cấu chỉnh hình \( f: D \to D \) đều có dạng \( f(z) = e^{i\theta} \frac{z - \omega}{1 - \bar{\omega} z} \), với \( \omega \in D \) Điều này được chứng minh qua việc xem xét hàm \( g(z) = \frac{z - \omega}{1 - \bar{\omega} z} \), với \( \omega = f^{-1}(0) \), và sử dụng định lý đẳng cấu tự chỉnh hình của miền đơn liên Bởi \( g(D) = D \) và \( f \circ g^{-1} \) là đẳng cấu tự chỉnh hình của \( D \), theo Bổ đề Schwarz, ta có \( f \circ g^{-1}(z) = e^{i\theta} z \) Do đó, hàm \( f(z) \) có dạng \( e^{i\theta} \frac{z - \omega}{1 - \bar{\omega} z} \) Cuối cùng, định lý ánh xạ Riemann xác nhận rằng, với một miền đơn liên \( \Omega \), tồn tại duy nhất ánh xạ song chỉnh hình \( F: \Omega \to D \) sao cho \( F(z_0) = 0 \) và đạo hàm \( F'(z_0) > 0 \).
Tính duy nhất của ánh xạ được xác định theo Mệnh đề 1.3, đảm bảo tính rõ ràng và chính xác trong lý thuyết ánh xạ Khi F1 và F2 là hai ánh xạ song chỉnh hình từ không gian Ω đến D, với điều kiện F1(0) = 0 và F2(0) = 0, thì tích hợp F2 ◦ F1 −1 vẫn giữ đặc tính của ánh xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị Điều này cho thấy rằng, thông qua phép hợp, ta có thể biến đổi hình tròn đơn vị thành các hình dạng khác đồng dạng mà vẫn duy trì tính chất song chỉnh hình Các kết luận này giúp mở rộng hiểu biết về tính duy nhất của các phép biến đổi trong không gian phức hợp và các ứng dụng liên quan trong phân tích phức.
Gọi F là tập tất cả các đơn ánh chỉnh hình f từ Ω vào D, thỏa mãn f(z 0 ) = 0 vàf 0 (z 0 ) > 0 Ta chứng minh sự tồn tại song ánh chỉnh hình theo ba bước.
Bước 1: Tập hợp F là không rỗng.
Chứng minh rằng Ω không phải là toàn bộ mặt phẳng phức, tồn tại một điểm a thuộc ℂ \ Ω Hàm z − a là chỉnh hình và luôn không đổi dấu trên Ω, và do Ω là phạm vi liên thông, nên tồn tại một hàm chỉnh hình g trên Ω sao cho g(z)^2 = z − a Hàm g có những đặc điểm quan trọng sau đây để chứng minh tính liên thông của Ω và khả năng xây dựng hàm chỉnh hình phù hợp.
(i) g là một đổi một Thật vậy, nếu g(z1) =g(z2), thì z1 −a = g(z1) 2 g(z2) 2 = z2 −a, và z1 = z2.
(ii) Ảnh của g không chứa bất kỳ cặp điểm {ω,−ω} Thật vậy, nếu g 1 (z) = −g 2 (z), thì z 1 −a = g(z 1 ) 2 = (−g(z 2 )) 2 = g(z 2 ) 2 = z 2 −a, và vì thế z 2 = z 2 , mà g(z 1 )−g(z 1 ) Bao hàm g(z 1 ) = 0, và do đó z 1 = a điều đó không thể được.
Ảnh của g chứa một số hình tròn đóng {ω ∈ C | |ω − g(z0)| ≤ δ} với δ > 0 Từ các đặc điểm của các hình tròn này và các phép biến đổi liên quan, ta có thể nhận thấy rằng khoảng biến thiên của hàm g không chứa bất kỳ điểm nào trong hình tròn đóng tâm tại −g(z0) với bán kính δ Do đó, với mỗi z ∈ Ω, ta có thể xác định rằng hàm g duy trì tính liên tục và ổn định trong phạm vi này, chứng minh tính giới hạn và sự ổn định của hàm trong miền Ω với các điều kiện liên quan đến hình tròn và khoảng cách đã cho.
(a) h là chỉnh hình trên Ω; (b) Với mọi z ∈ Ω, ta có |h(z)| < 1; (c) Từ ánh xạ ω →δ(ω+g(z 0 )) −1 là một đối một, h là một đối một (d) h(z 0 ) = δ(2g(z 0 )) −1 = a ∈ D
Chúng ta có h : Ω →D là chỉnh hình và một đối một Bây giờ, ta chỉ ra hàm h với biến đổi tuyến tính phân số φ a và định nghĩa
Trong bài viết này, ta xác định rằng F(z₀) = φₐ(a) = 0 và có thể nhân F với một hằng số thích hợp, có giá trị tuyệt đối bằng 1, để đảm bảo đạo hàm tại điểm không là dương, từ đó kết luận F ≠ 0 Tiếp theo, ta chứng minh tồn tại một hàm F trong tập F sao cho đạo hàm của F tại z₀ đạt giá trị lớn nhất, chính là sup các giá trị của đạo hàm của các hàm trong F tại điểm đó.
Chứng minh rằng A = sup {f(z₀) | f ∈ F} thuộc trong đoạn [0, +∞], với A có thể là vô cực Chọn một dãy {fₙ} trong F sao cho limₙ→∞ fₙ(z₀) = A, và do F bị chặn đều trên Ω, nó chuẩn tắc, nên tồn tại dãy con {fₙₖ} hội tụ đều trên tập con compact của Ω đến giới hạn F Vì vậy, F là giới hạn đều của hàm chỉnh hình, và chính nó cũng là hàm chỉnh hình Kết quả là, ta có F(z₀) = limₖ→∞ fₙₖ(z₀) = A và F' (z₀) = limₖ→∞ f'ₙₖ(z₀) = A, chứng minh tính hội tụ đều của dãy hàm.
(Suy ra rằngA < +∞) Tương tự, nếuz ∈ Ω,|F(z)| = lim k→∞ |f n k (z)| ≤1.
Dựa trên định lý Mô đun cực đại, ta có |F(z)| < 1 với mọi z ∈ Ω, điều này giúp xác định tính ổn định của hàm Để chứng minh rằng F là một hàm đối xứng, ta giả sử có hai điểm z₁ và z₂ sao cho F(z₁) = F(z₂) = ω, và phân tích sự hội tụ đều của dãy {f_{n,k}(z)−ω} tới hàm F(z)−ω trên vùng Ω Phân tích này giúp khẳng định tính đối xứng của phép biến đổi F trong phạm vi nghiên cứu.
Không Suy ra, với k đủ lớn, f n k cũng có Không gần z 1 và z 2 , bao hàm z 1 = z 2 Do đó, F ∈ F. Bước 3: F là toàn ánh D.
Giả sử tồn tại một phần tử a trong D sao cho F(z) không bao giờ bằng a với mọi z trong Ω Khi đó, hàm z → φ a ◦ F(z) là một ánh xạ đối xứng, ánh xạ Ω tới D, và không bao giờ bằng a, đồng thời φ a ◦ F(z₀) = a cho một z₀ bất kỳ trong Ω Do Ω là một tập liên thông, tồn tại một hàm g được định nghĩa và chỉnh hình trên Ω sao cho g²(z) = φ a ◦ F(z) Như vậy, hàm g : Ω → D, và qua bước chứng minh đầu tiên, ta suy ra được rằng g là một hàm đối xứng, từ đó dẫn đến kết luận về tính đối xứng của hàm F.
Hơn nữa, g(z 0 ) = b với b 2 = a Nếu ta đặt S(ω) = ω 2 , chúng ta dựng một hàm chỉnh hình g trên Ω sao cho S ◦g = φa◦F Đặt G= φb ◦g Khi đó, G là một đối một, các ánh xạ
Ω tới D, và thỏa mãn G(z0) = 0 Ta có thể viết g = φ −1 b ◦G = φb ◦G, và ta có φ a ◦F = S ◦g = S ◦φ b ◦G, hoặc cuối cùng
Còn lại để tính toán [φ a ◦S ◦φ b ] 0 (0) = φ 0 a (a)S 0 (b)φ 0 b (0) và chỉ ra được giá trị tuyệt đối ngặt và nhỏ hơn 1 Ta được φ 0 a (z)(1−az)(−1)−(a−z)(−a)
1 +|b| 2 có giá trị tuyệt đối ngặt ít hơn 1 Nên |F 0 (z 0 )| < |G 0 (z 0 )|, phủ định tối đại của F 0 (z 0 ) Định lý được chứng minh.
Tiêu chuẩn Montel về họ chuẩn tắc các hàm phân hình 13
Các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai trong Lý thuyết Nevan-
Thuyết Nevanlinna là một phần quan trọng trong việc nghiên cứu các tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc kiểu Montel, giúp hiểu rõ hơn về sự phân bố giá trị của hàm phân hình Trong phần này, chúng ta sẽ đề cập đến các khái niệm cơ bản và các kết quả then chốt của Lí thuyết Nevanlinna, đặc biệt liên quan đến hàm đếm và hàm đo lường sự phân bố của các điểm đặc biệt của hàm Đặc biệt, với ν là một divisor trên C, hàm đếm ứng với ν được định nghĩa nhằm mô tả số lượng điểm zeros và các điểm đặc biệt của hàm theo một cách tổng quát và chính xác Các khái niệm này cung cấp nền tảng cho việc phân tích các thuộc tính của hàm phân hình trong giới hạn của lí thuyết Nevanlinna, góp phần làm rõ các tiêu chuẩn về tính chuẩn tắc và sự phân bố giá trị trong lí thuyết phức.
Với hàm phân hình f trên C, f 6≡ ∞, ta kí hiệu ν f là divisor các không điểm của f, và ν f được xác định bởi ν f (z) := min{ν f (z),1} Đặt N f (r) :N(r, ν f ) và N f (r) := N(r, ν f ).
Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi m(r, f) = 1
0 log + f(re iθ ) dθ, với log + x = max{log x,0} for x ≥ 0.
Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi
Bổ đề đạo hàm của hàm logarit cho biết rằng nếu f là một hàm phân hình hợp lệ trên C và k là một số nguyên dương, thì km(r, f^{(k)} - f) = o(T(r, f)) Trong đó, ký hiệu kP được sử dụng để chỉ mệnh đề đúng với mọi r đủ lớn, ngoại trừ một tập có đo Lebesgue hữu hạn Định lý cơ bản thứ nhất xác định rằng với f là hàm phân hình trên C và a là một số phức, thì các tính chất của hàm này sẽ phụ thuộc vào những đặc điểm của các phép biến đổi phân hình và các giá trị của chúng.
T(r, 1 f −a) = T(r, f) + O(1). Định lí cơ bản thứ hai Cho flà một hàm phân hình khác hằng trên
C, và a 1 , , a q là q giá trị trong C\ {0}, đôi một phân biệt Khi đó
Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel
Họ chuẩn tắc các hàm phân hình được Montel định nghĩa từ năm 1912, mang ý nghĩa quan trọng trong phân tích phức hợp Một họ hàm F trên miền D ⊂ C được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy {f_v} trong F đều có thể rút ra được dãy con {f_vi} hội tụ đều theo metric cầu trên các tập con compact của D, và hạn chế tới một hàm phân hình hoặc hàm đồng nhất bằng vô cực Điều này giúp xác định các tính chất hội tụ của các hàm phân hình trong lĩnh vực phân tích phức hợp.
Họ F được gọi là chuẩn tắc tại điểm z₀ ∈ D nếu tồn tại hình tròn {z : |z − z₀| < r} nằm hoàn toàn trong D, trong đó hạn chế của họ F trên hình tròn này là chuẩn tắc Điều này có nghĩa là, để họ F là chuẩn tắc trên toàn bộ tập D, nó phải chuẩn tắc tại mọi điểm thuộc D.
Hàm phân hình trên miền D ⊂ C được ký hiệu là f, với đạo hàm cầu của f ký hiệu là f # = 1 + |f| * |f'|^2 Tiêu chuẩn chuẩn của họ hàm này, do Marty thiết lập vào năm 1957, đặt ra các điều kiện chặt chẽ để đảm bảo tính nhất quán và đặc trưng Định lý Marty (Định lý 2.1) xác định rằng một họ các hàm phân hình trên miền D thoả mãn các tiêu chuẩn này sẽ có các đặc tính quan trọng liên quan đến hoạt động và cấu trúc của chúng trong lĩnh vực phân tích phức hợp.
D ⊂ C là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu đạo hàm cầu của các hàm trong F bị chặn đều trên các tập con compact của D Điều này có nghĩa rằng, với mỗi tập con compact trong D, đạo hàm cầu của các hàm trong tập F luôn bị giới hạn, đảm bảo tính ổn định và khả năng kiểm soát của các hàm trong phạm vi này Tính chuẩn tắc của D liên quan chặt chẽ đến khả năng kiểm soát đạo hàm cầu của các hàm trong F trên các tập con compact, điều này quan trọng trong các phân tích về vấn đề tối ưu và lý thuyết hàm.
K của D, tồn tại hằng số dương c(K) sao cho f # (z) = |f 0 (z)|
Theo nguyên lý Bloch, mỗi định lý dạng Picard nhỏ liên quan đến hàm hoặc ánh xạ hằng đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc Điều này cho thấy việc xây dựng các dạng Định lý Picard nhỏ giúp Lý thuyết Nevanlinna tham gia vào các bài toán về họ chuẩn tắc Bổ đề của Zalcman đóng vai trò quan trọng trong việc triển khai và làm rõ ý tưởng của nguyên lý Bloch trong lĩnh vực phức phân.
Bổ đề 2.1 (Bổ đề Zalcman cho họ các hàm phân hình) (Bổ đề Zalcman)
Họ F các hàm phân hình trên đĩa đơn vị D trong C là không chuẩn tắc tại z0 nếu và chỉ nếu tồn tại
4) các hàm f n ∈ F sao cho g n (ξ) =f n (z n +ρ n ξ) → g(ξ) hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu, ở đó g(ξ) là một hàm phân hình khác hằng và g # (ξ) ⩽ g # (0) = 1.
Giả định rằng hàm số \( F \) không chuẩn tắc trên \( D \), theo Định lý Marty, tồn tại một số \( r^* \), với \( 0 < r^* < 1 \), cùng với dãy các điểm \( z_n^* \) (với \( n \in \mathbb{N} \)) nằm trong đĩa \( \{ z : |z| \leq r^* \} \) và các hàm \( f_n \in F \) sao cho \( f_n(z_n^*) \to +\infty \) Chọn một giá trị \( r \) sao cho \( r^* < r < 1 \), và với mỗi \( n \in \mathbb{N} \), ta đặt các ký hiệu phù hợp để tiếp tục phân tích.
1− |z n | 2 r 2 f n # (z n ), (2.1) với z n nào đó thuộc đĩa {z : |z| ≤ r} mà ở đó giá trị lớn nhất nói trên là đạt được (để ý rằng f # liên tục trên {z : |z| ≤ r}).
Vì vậy các hàm gn(ξ) =fn(zn+ρnξ) xác định trên đĩa {ξ ≤ Rn} với
Với |ξ| ≤R < R n và |z n + ρ n ξ| < r từ (2.1) và (2.2) ta có g n # (ξ) =ρ n f n # (z n +ρ n ξ) ≤ ρ n M n
Trong biểu thức cuối cùng, nhân tử đầu không vượt quá 2, còn nhân tử thứ hai tiến tới 1 khi n → +∞ theo (2.3) Theo Định lý Marty, tập vector {g n } (với n đủ lớn để R n > R) là chuẩn tắc trên tập {ξ : |ξ| < R} cho mọi R > 0 Bằng cách chọn dãy con và áp dụng quy tắc đường chéo, ta có thể giả sử rằng g n hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu đến một hàm phân hình g Rõ ràng, hàm g không phải là hàm hằng vì g # (0) = lim g # n (0) = 16 ≠ 0.
Chúng tôi sẽ chứng minh chiều ngược lại của Bổ đề bằng cách giả sử các điều kiện 1) – 4) được thỏa mãn nhưng họ F không là chuẩn tắc Theo Định lý Marty, điều này đồng nghĩa với việc tồn tại một M > 0 sao cho giá trị tối đa của hàm số theo đó đạt tới một giới hạn cụ thể, dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Vậy, dựa trên lý thuyết này, ta có thể khẳng định rằng họ F phải là chuẩn tắc để đảm bảo tính liên tục và tính chất tối đa của hàm số trong điều kiện đã cho, qua đó mở rộng khả năng áp dụng của Bổ đề trong phân tích hàm số.
Với mỗi ξ ∈ C, do z n +ρ n ξ hội tụ tới một điểm thuộc đĩa {z : |z| ≤ r} nên
|z n +ρ n ξ| ≤ 1+r 2 với mọi n đủ lớn Do đó với mọi ξ ∈ C, ta có g # (ξ) = limρnf n # (zn +ρnξ) = 0. Điều này không thể xảy ra vì g là khác hằng.
Năm 1998, Zalcman đã cải tiến Bổ đề trên như sau:
Bổ đề 2.2 (Bổ đề Zalcman) cho biết rằng nếu F là một họ các hàm phân hình trên đĩa đơn vị D, thì F không chuẩn tắc tại điểm z₀ thuộc D nếu và chỉ nếu, với mỗi giá trị α thoả mãn −1 < α < 1, tồn tại một chu kỳ hoặc một điểm giới hạn phù hợp, phản ánh tính không chuẩn tắc của họ hàm tại điểm đó Bổ đề này giúp xác định rõ các điều kiện để một họ hàm phân hình không chuẩn tắc trong lý thuyết phân hình và phân tích phức, góp phần mở rộng hiểu biết về tính chất của các họ hàm trong không gian phức.
4) các hàm f n ∈ F sao cho gn(ξ) = f n (z n +ρ n ξ) ρ α n → g(ξ) hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu, ở đó g(ξ) làm một hàm phân hình khác hằng thỏa mãn g # (ξ) ⩽ g # (0) = 1 và có bậc không lớn hơn 2.
Cùng với việc đưa ra khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình, năm
Năm 1912, Montel đã đề xuất tiêu chuẩn nổi tiếng giúp xác định họ hàm chuẩn tắc Định lý 2.2 nói rằng: Nếu F là họ các hàm phân hình trên miền D ⊂ C, và a1, a2, a3 là ba điểm phân biệt trong Cb, thì nếu tất cả các hàm trong F đều không nhận giá trị tại các điểm này (tức là f(z) − aj ≠ 0 với mọi z ∈ D, f ∈ F, j ∈ {1,2,3}), thì F là một họ chuẩn tắc Điều này giúp xác định các họ hàm phân hình có tính chất chuẩn tắc dựa trên điều kiện về giá trị tại các điểm phân biệt trong miền.
Năm 1916, Montel mở rộng kết quả trên tới trường hợp các hàm trong
Định lý 2.3 xác nhận rằng họ các hàm phân hình trên miền D ⊂ C có thể nhận các giá trị a₁, a₂, a₃ với bội đủ lớn Trong lý thuyết hàm phân hình, việc xác định các điểm phân biệt và các số nguyên dương `₁, `₂, `₃ là rất quan trọng để hiểu rõ tính chất của các hàm này Giả sử tồn tại ba điểm phân biệt trong Cb cùng với các số nguyên dương phù hợp, điều này giúp mở rộng khả năng áp dụng và phân tích các hàm phân hình Đây là nền tảng để nghiên cứu các tính chất phức tạp của các hàm trong lĩnh vực phân hình phức, góp phần vào sự phát triển của toán học phức.
Trong phân tích hàm số, điều kiện 3 < 1 cùng với việc mỗi hàm f trong tập F đều có mọi điểm không của f − a_i có bội ít nhất |i| (với i thuộc tập {1,2,3}) đảm bảo rằng F là một họ chuẩn tắc Các tiêu chuẩn này, lấy cảm hứng từ các nguyên tắc của Montel, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chuẩn tắc của các họ hàm trong phân tích phức.
Trong suốt 100 năm qua, nhiều tiêu chuẩn và quy tắc chuẩn tắc đã được thiết lập, góp phần nâng cao lý thuyết về các phép biến đổi phức tạp Năm 1929, Valiron đã mở rộng kết quả của Montel tới trường hợp có q điểm a₁, a₂, , a_q với các số tự nhiên tương ứng, tạo tiền đề cho những tiến bộ quan trọng trong lĩnh vực này Các nghiên cứu này đóng vai trò then chốt trong việc hiểu rõ hơn về tính chất của các tập hợp chuẩn tắc trong phân tích phức, góp phần nâng cao nền tảng lý thuyết và ứng dụng trong toán học hiện đại.
Carathéodory đã mở rộng kết quả của Montel tới trường hợp bộ ba điểm (a₁, a₂, a₃) có thể thay đổi theo hàm f thuộc họ F Năm 2014, Grahl và Nevo tiếp tục mở rộng kết quả của Carathéodory bằng cách thay thế các điểm cố định bằng các hàm phân hình Theo Định lý 2.4, nếu F là một họ các hàm phân hình trên miền D ⊂ C, và với mỗi hàm f trong F tồn tại các hàm phân hình a_f, b_f, c_f sao cho f không nhận các giá trị này trên D, đồng thời khoảng cách cầu σ giữa các hình học của các giá trị này luôn lớn hơn một hệ số d ≥ 0, thì F là một họ chuẩn tắc Đây là một kết quả mở rộng quan trọng về tính chất của họ các hàm phân hình khi các điểm chuẩn được thay bằng các hàm phân hình.