1 1.2 Một số nguyên lý, tính chất của toán tổ hợp thường được vận dụng vào giải bài toán đếm của toán tổ hợp.. Một trong các phương pháp có hiệu quả để giải một số bài toán tổ hợp làphươ
Một số phương pháp giải bài toán đếm của toán tổ hợp trong phạm vi chương trình toán THPT
Đếm trực tiếp
• Ý tưởng Tùy theo bài toán chúng ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp.
Nội dung: Đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong ví dụ 1.3.1 với tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7}, ta có thể tính số lượng số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và luôn chứa chữ số 2 là câu hỏi chính Đối với phần a, số các số có 5 chữ số khác nhau và chứa chữ số 2 được xác định bằng cách trừ đi các số không chứa chữ số 2 khỏi tổng số các số tự nhiên 5 chữ số khác nhau từ tập A Trong phần b, ta tập trung xác định số các số tự nhiên lẻ 5 chữ số khác nhau, bao gồm chữ số 2, mà có thể tạo thành từ tập A, đảm bảo tính chất lẻ của số kết quả Các phép tính này giúp hiểu rõ hơn về khả năng tổ hợp các chữ số trong tập A để tạo thành các số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện đề bài.
Lời giải a) Gọi số cần tìm là n = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 +Trường hợp 1 a1 = 2 có 1 cách chọn. a2a3a4a5 có A 4 7 cách chọn.
Suy ra ta có A 4 7 = 840 số.
+ Trường hợp 2 a2 = 2 có 1 cách chọn. a1 6= 0 và a1 6= 2 nên có 6 cách chọn. a3a4a5 có A 3 6 số.
Suy ra ta có 6.A 3 6 = 720 số.
Vì vai trò của 2 trong các vị trí a 2 , a 3 , a 4 , a 5 là giống nhau nên
Số cần tìm là 840 + 720.4 = 3720 số. b) Gọi số cần tìm là n = a1a2a3a4a5. +Trường hợp 1 a 5 lẻ nên có 4 cách chọn. a2 = 2 có 1 cách chọn. a2a3a4 có A 3 6 số.
Suy ra ta có 4.A 3 6 = 480 số.
+ Trường hợp 2 a5 lẻ nên có 4 cách chọn. a2 = 2 có 1 cách chọn. a 1 6= 0, a 1 6= 2, a 1 6= a 5 nên có 5 cách chọn. a 3 a 4 có A 2 5 cách chọn.
Suy ra ta có 4.5.A 2 5 = 400 số.
Vì vai trò của 2 trong các vị trí a2, a3, a4 là giống nhau nên
Số cần tìm là 480 + 400.3 = 1680 số.
Đếm theo vị trí
• Ý tưởng + Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho các số tiếp theo.
+ Sắp xếp các số còn lại.
Trong ví dụ này, chúng ta xét tập hợp S = {1, 2, 3, , 8, 9} để xác định số lượng số có chín chữ số khác nhau, thoả mãn điều kiện chữ số 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4, và chữ số 5 đứng trước chữ số 6 Các quy tắc sắp xếp này ảnh hưởng như thế nào đến việc đếm số các tổ hợp số thỏa mãn? Cách tiếp cận là xác định số các permutation phù hợp với các quy tắc sắp xếp này, từ đó tính tổng số các số thoả mãn các điều kiện đề ra Đây là bài toán liên quan đến tổ hợp và hoán vị trong lĩnh vực toán học tổ hợp, giúp người học hiểu rõ hơn về cách sắp xếp có điều kiện trong các tập hợp.
Lời giải Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 1,2 (số 5 đứng trước 6): có C 5 2 cách.
3 chữ số còn lại có 3! cách.
Vậy cú 3!.C 9 2 ãC 7 2 ãC 5 2 = 45360 số.
Ví dụ 1.3.3 Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau sao cho a) Luôn có mặt chữ số 3. b) Luôn có mặt chữ số 4.
Lời giải Gọi số cần tìm là n = a1a2a3a4a5. a)
+ Chữ số 3 có 3 vị trí.
+ 3 chữ số còn lại có A 3 8 cách sắp xếp.
Vậy có 4.4.A 3 8 = 5376 số. b) + Trường hợp 1: a5 = 4, khi đó A 4 8 = 1680 số.
+ Trường hợp 2: a5 6= 4, khi đó a 5 có 3 cách chọn.
Chữ số 4 có 4 vị trí.
3 chữ số còn lại có A 3 7 cách sắp xếp.
Suy ra ra có 3.4.A 3 7 = 2520 số.
Đếm loại trừ
Ý tưởng chính của bài viết là đếm số phương án theo phương pháp loại trừ qua hai bước chính Đầu tiên, ta xác định số phương án xảy ra bất kỳ (n1), và sau đó, loại trừ các phương án không thỏa mãn yêu cầu của bài toán để có kết quả cuối cùng (n2) Phương pháp này giúp xác định chính xác số phương án phù hợp bằng cách thực hiện đếm có hệ thống qua hai bước logic rõ ràng.
+ Bước 3: Số phương án đúng là: n = n 1 −n 2 Chú ý: Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp quá chúng ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ.
Ví dụ 1.3.4 Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7} Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau sao cho chữ số 4 luôn có mặt một lần.
Để tìm số cần, chúng ta gọi số là n = a1a2a3a4 Đếm các số có 4 chữ số khác nhau và là số lẻ, ta nhận thấy chữ số cuối a4 phải thuộc nhóm {1, 3, 5, 7}, có 4 lựa chọn Các chữ số còn lại đều phải khác nhau và không trùng với a4, nên số cách chọn cho 3 chữ số còn lại là A3 6, tức là 6 cách Vì vậy, tổng số các số lẻ có 4 chữ số khác nhau là 4 × 6 = 24 số.
Đếm các số lẻ có 4 chữ số khác nhau không chứa chữ số 4, ta bắt đầu bằng cách chọn chữ số hàng units là một trong các số 1, 3, 5, hoặc 7, có 4 cách chọn Sau đó, chọn 3 chữ số còn lại của hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn từ tập hợp các chữ số khác 4, với 5 cách chọn cho mỗi chữ số, do đó tổng số các số thoả mãn điều kiện là 4 nhân với 5 mũ 3, tức là 4 × 5³ Đây là phương pháp để đếm số lượng các số lẻ 4 chữ số khác nhau không chứa chữ số 4.
Các số cần tìm là 4.A 3 6 −4.A 3 5 = 240 số.
Chọn tập con trước, sắp xếp sau
Ý tưởng bắt đầu bằng việc chọn ra trước số lượng phần tử phù hợp và đảm bảo đáp ứng các tính chất của đề bài Ví dụ, để chọn tập con có đúng k phần tử từ n phần tử ban đầu, ta có thể sử dụng tổ hợp C(n, k) cách, giúp tối ưu hóa quá trình xử lý và đảm bảo tính chính xác trong giải pháp.
• Chú ý: Những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt.
Ví dụ 1.3.5 Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu số tự nhiên có
5 chữ số khác nhau sao cho: a) Luôn có mặt hai chữ số 2, 3. b) Luôn có mặt hai chữ số 2, 3 và hai chữ số này luôn đứng kề nhau.
Lời giải a) + Lấy ra 5 số từ tập A:
Số 2, 3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ tập A\{2,3} nên có C 7 3 cách, suy ra có C 7 3 cách lấy ra 5 số mà 2, 3 luôn có mặt.
Sắp xếp 5 số vào 5 vị trí ta có 5! cách.
Vậy ta có C 7 3 5! = 4200 số. b) + Lấy ra 5 số từ tập A:
Số 2, 3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ tập A\{2,3} nên có C 7 3 cách, suy ra có C 7 3 cách lấy ra 5 số mà 2, 3 luôn có mặt.
Sắp xếp số 2 và 3 kề nhau xem như một nhóm, với 2! cách sắp xếp nội bộ Sau đó, nhóm này cùng với 3 số còn lại có thể được sắp xếp theo 4! cách Vì vậy, số cách sắp xếp tổng thể của 5 chữ số theo phương pháp này là tích của hai giá trị trên, tức là 2! × 4!.
Đếm theo “vách ngăn”
• Ý tưởng + Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m+ 1 vách ngăn.
+ Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ m+ 1 vách ngăn nói trên.
1 Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên để giải quyết, tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng của từng học sinh.
2 Đối với bài toán mà tập ban đầu có số 0 ta xét các trường hợp xem số 0 là một số có nghĩa ta được kết quả n1, xét trường hợp số 0 đứng đầu ta có kết quả n2, kết quả cần tìm là n1−n2.
Ví dụ 1.3.6 Cần sắp xếp 2 thầy giáo và 6 học sinh vào một dãy ghế dài sao cho 2 thầy giáo không ngồi cạnh nhau.
Lời giải + Xếp 6 học sinh vào 6 vị trí ta có 6! cách xếp.
+ 6 học sinh sẽ tạo ra 7 vách ngăn, ta đặt 2 thầy giáo vào 7 vách ngăn ta có
Khi đó số cách sắp xếp là 6!A 2 7 = 30240.
Sử dụng nguyên lý bù trừ
Nguyên lý bù trừ giúp xác định số cách thực hiện nhiệm vụ khi hai công việc có thể được làm đồng thời Trong trường hợp này, không thể áp dụng quy tắc cộng đơn thuần để tính tổng số cách, vì sẽ đếm trùng các trường hợp thực hiện cùng lúc cả hai công việc Do đó, cần cộng số cách làm mỗi công việc rồi trừ đi số cách thực hiện đồng thời cả hai để có kết quả chính xác Nguyên lý bù trừ là công cụ quan trọng trong xác suất và tổ chức công việc để tính toán chính xác số cách thực hiện nhiệm vụ khi có sự chồng chéo.
Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp.
Cho A1,A2 là hai tập hữu hạn, khi đó
Từ đó với ba tập hợp hữu hạn A 1 ,A 2 ,A 3 , ta có:
Và bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1,A2, ,Ak ta có:
|A1 ∪A2∪ .∪Ak| = N1 −N2 + N3− .+ (−1) k−1 Nk, trong đóN m (1 ≤ m ≤ k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập đã cho, nghĩa là
Chúng ta đồng nhất tập hợp A_m (1 ≤ m ≤ k) với tính chất A_m trên một tập vũ trụ hữu hạn U Đến rồi, ta thực hiện việc đếm số phần tử của U sao cho không thỏa mãn bất kỳ tính chất A_m nào trong số đó Gọi N̄ là số phần tử cần đếm này, phản ánh số phần tử trong U không phù hợp với bất kỳ đặc điểm nào của các tập A_m Phương pháp này giúp xác định chính xác số phần tử của U không chứa các tính chất đã cho, đảm bảo độ chính xác trong quá trình đếm và phân tích tập hợp.
N¯ = N − |A 1 ∪A 2 ∪ .∪A k | =N −N 1 + N 2 − .+ (−1) k N k , trong đó N m là tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất đã cho.
Công thức này được gọi là nguyên lý bù trừ Nó cho phép tính N¯ qua các Nm trong trường hợp các số này dễ tính toán hơn.
Ví dụ 1.3.7 Một chuyến bay có 67 hành khách Trong đó có 47 người sử dụng tốt tiếng Anh, 35 người sử dụng tốt tiếng Đức, 20 người sử dụng tốt tiếng Pháp.
Trong số người tham gia, có 23 người thành thạo cả tiếng Anh và Đức, 12 người sử dụng tốt cả tiếng Anh và Pháp, và 11 người có khả năng sử dụng thành thạo cả tiếng Đức và Pháp.
5 người sử dụng tốt cả ba thứ tiếng Tìm số hành khách không sử dụng được bất kì ngoại ngữ nào?
Lời giải Gọi A, B, C lần lượt là các hành khách sử dụng tốt ngoại ngữ là tiếng Anh, tiếng Đức, tiếng Pháp.
Số các hành khách biết ít nhất một ngoại ngữ là:
= 47 + 35 + 20−23 −12 −1 + 5 = 61 Vậy số hành khách không sử dụng được bất kì ngoại ngữ nào là 67 −61 = 6.
Ví dụ 1.3.8 Rút ngẫu nhiên 13 quân bài từ bộ bài 52 quân Tính xác suất để trong 13 quân đó có “tứ quý”.
Có C 52 13 cách rút 13 quân bài từ bộ bài 52 quân Ta cần tìm số cách rút trong đó có 4 quân bài giống nhau (về số).
Trong bài viết, ta bắt đầu bằng cách đếm số cách rút bài có "tứ quý" A, với tổng cộng C(48, 9) cách để chọn 4 con A cùng 9 con bài bất kỳ từ 48 quân còn lại Điều này giúp xác định chính xác số lượng bộ bài có tứ quý A Các bước toán học tương tự cũng áp dụng để tính số cách rút bài với các quân bài khác nhằm đảm bảo tính chính xác và rõ ràng trong phân tích xác suất.
Vì có 13 quân bài khác nên số cách rút là có tứ quý là 13.C 48 9
Trong bài giải này, chúng ta đã thực hiện đếm lặp các trường hợp, đặc biệt là các cách rút bài có hai tứ quý như tứ quý K và tứ quý A, khi chúng được đếm hai lần—một lần trong phần đếm các tứ quý chung Việc nhận biết và tránh đếm chồng lấn là yếu tố quan trọng trong xác định xác suất chính xác của bài toán rút bài poker Các kỹ thuật đếm lặp này giúp đảm bảo tính chính xác trong quá trình tính xác suất các bộ bài phức tạp.
Trong bài viết này, chúng ta tập trung vào việc đếm số lần gặp tứ quý K và A trong quá trình rút bài Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không phải cứ gặp tứ quý là tính vào tổng số lần, mà phải trừ đi những lần đếm lặp lại Dựa trên quy luật, số cách rút có tứ quý K và A sẽ là C(44,5) Phép tính này giúp xác định chính xác số cách rút có tứ quý, đảm bảo các tính toán đúng theo lý luận về xác suất và tổ hợp.
13.C 48 9 −C 13 2 C 44 5 +C 13 3 C 40 1 và xác suất cần tìm bằng
Xác suất để một người chơi bài ngẫu nhiên có được tứ quý là 0.0342, tức là trung bình cứ 29 lần chơi sẽ có 1 lần thành công Tỷ lệ này cho thấy khả năng đạt tứ quý trong một ván chơi là khá thấp, tuy nhiên có thể tính toán chính xác bằng phương pháp cộng trừ xác suất Đây là thông tin hữu ích cho người yêu thích chơi bài nhằm hiểu rõ khả năng thắng trong các ván đấu.
P ∼ 4p 6 p 2 + 4p 3 p 4 = 0.1299. tức là cứ khoảng 8 ván sẽ có xuất hiện một tứ quý.
Ví dụ 1.3.9 đề cập đến bài toán xếp 8 chiếc xe trên bàn cờ quốc tế đã bị gạch đi một đường chéo chính Mục tiêu của bài toán là xác định số cách sắp xếp các chiếc xe sao cho không có chiếc nào ăn mất chiếc nào khác Đây là bài toán trong lĩnh vực tổ hợp, yêu cầu tìm tất cả các phương án hợp lệ với các điều kiện đặc biệt trên bàn cờ đã bị hạn chế do việc gạch bỏ một đường chéo chính Việc giải bài toán này giúp hiểu rõ hơn về cách phối hợp sắp xếp sao cho phù hợp với các quy tắc và hạn chế đã đề ra, đồng thời ứng dụng các phương pháp đếm tổ hợp trong toán học.
Có 8! cách xếp 8 xe lên bàn cờ quốc tế sao cho không con nào ăn con nào Để giải bài toán này, ta cần xác định số cách xếp có ít nhất một xe nằm trên đường chéo, từ đó tính được số cách xếp hợp lệ Việc đếm các cấu hình xếp xe không hợp lệ giúp xác định thể tích các phương án xếp hợp lệ, đảm bảo các xe không va chạm hoặc ăn nhau trên bàn cờ Phương pháp này dựa trên nguyên tắc đếm và loại trừ các tổ hợp có chứa xe nằm trên đường chéo, giúp xác định số lượng cách xếp tối ưu cho bài toán.
Gọi A i là tập hợp các cách xếp có quân xe nằm ở ô (i, i).
Nhưng dễ dàng thấy rằng |Ai| = 7!, |Ai∩Aj|= 6! .|A1∩ .∩A8| = 1 nên từ định lý trên ta suy ra
Số cách xếp 8 chiếc xe ô tô trên bàn cờ quốc tế đã bị giảm đi một đường chéo chính Điều này xảy ra vì quy tắc không cho phép bất kỳ xe nào ăn của nhau, dẫn đến giới hạn về số phương án sắp xếp hợp lệ Như vậy, việc loại bỏ một đường chéo chính giúp giảm số lượng các lập trình sắp xếp phù hợp với quy định của trò chơi.
Sử dụng tính chất của song ánh
Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f : X → Y là một hàm có thể là đơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh Một ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu mỗi y trong Y có tối đa một x trong X sao cho y = f(x), nghĩa là f(x) = f(x₀) kéo theo x = x₀ Người ta còn gọi f là ánh xạ một đối một khi nó là đơn ánh Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu hình ảnh của X bằng Y, tức là với mọi y trong Y, tồn tại ít nhất một x trong X sao cho y = f(x), còn gọi là ánh xạ phủ Một ánh xạ f là song ánh (hoặc ánh xạ một đối một từ X lên Y) khi nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, đảm bảo mỗi y trong Y có chính xác một x trong X sao cho y = f(x).
Phương pháp song ánh dựa trên ý tưởng đơn giản rằng nếu tồn tại một song ánh từ tập hợp A vào tập hợp B thì độ lớn của chúng bằng nhau, tức là |A| = |B| Do đó, để chứng minh hai phần tử có cùng số phần tử, ta chỉ cần xây dựng một song ánh giữa chúng Ngoài ra, phương pháp này còn cho phép đếm được số phần tử của một tập hợp A bằng cách xác lập một song ánh thích hợp từ A sang một tập hợp khác.
Khi tập hợp A có cùng số phần tử với tập hợp B nhưng có cấu trúc khác nhau, ta có thể dễ dàng đếm số phần tử của B hơn so với A vì đã biết cách đếm số phần tử của B Điều này giúp tối ưu hóa quá trình xác định kích thước của các tập hợp trong lý thuyết tập hợp Việc chuyển sang đếm số phần tử của B khi cấu trúc khác nhau nhưng có cùng số phần tử mang lại lợi ích trong các bài toán liên quan đến đếm và phân loại tập hợp.
Trong ví dụ này, chúng ta xem xét một nhóm người, trong đó mỗi cặp người không quen biết nhau có đúng hai người quen chung, trong khi mỗi cặp người quen nhau không có người quen chung Điều này cho thấy, theo lý thuyết đồ thị, mỗi đỉnh (người) trong nhóm có số người quen giống nhau, đảm bảo tính đồng nhất về số lượng người quen của từng cá nhân Chứng minh điều này dựa trên tính chất của đồ thị liên kết, khẳng định rằng trong cấu trúc này, số người quen của mỗi người là như nhau, góp phần tạo nên một hệ thống đều đặn về quan hệ xã hội.
Trong bài toán này, ta giả thiết rằng mỗi người trong tập A và B đều quen với nhau theo một mối quan hệ đối xứng, không kể các cá nhân a và b Mỗi người trong A (không bao gồm a) quen đúng một người trong B, và ngược lại, mỗi người trong B cũng quen đúng một người trong A Vì vậy, tồn tại một phép ánh xạ một đối một (song ánh) giữa các cá nhân trong tập A và B, chứng tỏ số lượng người quen trong hai tập này bằng nhau.
Nếu a không quen b thì tồn tại c quen cả a và b Do đó số người quen của a và b bằng nhau do cùng bằng số người quen của c (suy ra từ trên).
Ví dụ 1.3.11 Xét tập A = {1,2, , n} Đối với mỗi tập con không trống của
A chúng ta xác định duy nhất một tổng đan dấu theo quy tắc sau:
Xếp các số của tập con theo thứ tự tăng dần và gán lần lượt các dấu cộng, trừ các số liên tiếp theo thứ tự của tập con sao cho số lớn nhất luôn có dấu cộng Việc sắp xếp này giúp dễ dàng xác định dấu cộng hoặc trừ phù hợp cho từng số trong tập con Đặc biệt, đảm bảo rằng số lớn nhất trong tập con luôn nhận dấu cộng để tối ưu hóa kết quả Áp dụng quy tắc này giúp tối ưu các phép tính cộng trừ trong tổ hợp các phần tử của tập con Phương pháp này có thể áp dụng trong các bài toán liên quan đến sắp xếp và dấu phép tính, giúp người làm bài dễ theo dõi và thực hiện chính xác hơn.
Hãy tìm tổng của tất cả các tổng đan dấu.
Lời giải Quy ước tổng đan dấu của tập trống có giá trị 0 Mỗi tập con của A được chia làm hai loại:
Các tập con loại 1 và loại 2 có số phần tử bằng nhau vì tồn tại một song ánh giữa chúng như sau:
Giả sử a 1 > a 2 > > a i Khi đó tổng đan dấu của một tập con trên bằng
Có 2 n tập con của A suy ra có 2 n−1 cặp tập hợp con loại 1 và loại 2 theo định nghĩa trên.
Vậy tổng của tất cả cỏc tổng đan dấu bằng S = 2 n−1 ãn.
Vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải một số bài toán tổ hợp 15
Một số vận dụng
2.3 Ý nghĩa của khái niệm “quỹ đạo” và phương pháp “quỹ đạo”.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy PGS TS Trịnh Thanh Hải cùng các thầy cô khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, đã tạo điều kiện thuận lợi và ủng hộ nhiệt tình cho quá trình thực hiện Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô và các bạn trong lớp Cao học K11, đặc biệt là thầy PGS TS Trịnh Thanh Hải, những người đã góp phần quan trọng vào thành quả này Mặc dù đã cố gắng, nhưng do còn hạn chế về thời gian và kiến thức, luận văn vẫn có thể còn tồn tại những thiếu sót, mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ quý thầy cô và các bạn để bài viết ngày càng hoàn thiện hơn. -**Sponsor**Looking to refine your article and ensure it's SEO-friendly? [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/2XB7Ur8W?user_id=983577) can help you extract key sentences that capture the coherent meaning of each paragraph Trained by 100+ Facebook advertising specialists and performance marketing experts, Soku AI offers expert-level automation, identifying and rewriting core content to meet SEO rules effectively Let Soku AI democratize your content expertise, turning you into an SEO pro overnight by focusing on the most important sentences.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2019
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Bài toán đếm trong toán tổ hợp
Trong toán tổ hợp, bài toán đếm là bài toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đã cho?”.
Phương pháp đếm thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý đếm và một số kết quả đếm cho các cấu hình tổ hợp đơn giản.
Hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Quy tắc đếm cơ bản trong xác suất và thống kê bao gồm Quy tắc cộng, định nghĩa quan trọng trong việc tính số cách thực hiện các công việc Theo Quy tắc cộng (1.1.1 (a)), nếu một công việc có thể hoàn thành bằng một trong hai hành động, trong đó hành động thứ nhất có m cách thực hiện và hành động thứ hai có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất, thì tổng số cách thực hiện công việc đó là m + n Quy tắc này giúp xác định tổng số phương án trong các bài toán đếm có nhiều khả năng khác nhau.
(b) Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.
Trong quá trình thực hiện công việc, nếu có m cách để thực hiện hành động đầu tiên và mỗi cách đó lại có n cách để thực hiện hành động tiếp theo, thì tổng số cách để hoàn thành công việc là m nhân n Công thức này giúp tối ưu hóa quy trình và xác định tổng số phương án có thể đạt được Áp dụng quy tắc nhân trong tổ hợp, chúng ta dễ dàng tính toán các khả năng khác nhau trong các hoạt động có nhiều bước Do đó, việc xác định tổng số cách hoàn thành một nhiệm vụ dựa trên số cách thực hiện từng bước là rất quan trọng trong lập kế hoạch và quản lý công việc hiệu quả.
Hoán vị là kết quả của quá trình sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp xếp thứ tự khác nhau của các phần tử trong tập hợp được gọi là một hoán vị của n phần tử đó, đóng vai trò quan trọng trong toán học và các ứng dụng liên quan Việc hiểu rõ định nghĩa về hoán vị giúp nâng cao khả năng phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến tổ chức, sắp xếp dữ liệu và lý thuyết xác suất.
• Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
• Số cỏc hoỏn vị: Pn = n! = 1ã2ã ã ã(n−1)ãn.
Chỉnh hợp là tập hợp các tổ hợp gồm k phần tử khác nhau được chọn từ tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết quả của việc lựa chọn và sắp xếp các phần tử này theo một thứ tự cụ thể chính là chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho Đây là khái niệm quan trọng trong toán học tổ hợp, giúp xác định số cách chọn các phần tử theo thứ tự từ một tập hợp ban đầu.
• Kí hiệu: A k n là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, 1 ≤ k ≤ n.
Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó nên Pn =A n n
Tổ hợp Định nghĩa 1.1.4 Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
• Kí hiệu: C n k là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).
• Số các tổ hợp: C n k = n! k! (n−k)! (với 1 ≤ k ≤ n).
Chỉnh hợp lặp là phép chọn k phần tử từ tập A có m phần tử, cho phép chọn lại các phần tử đã chọn Quá trình này gồm việc rút ra một phần tử bất kỳ từ A, ký hiệu là a₁, rồi trả lại vào tập hợp A Quá trình lặp lại k lần, có thể chọn cùng một phần tử nhiều lần, tạo thành một dãy (a₁, a₂, , a_k) gồm k phần tử của tập A Chỉnh hợp lặp cho phép các phần tử trong dãy có thể trùng nhau, phù hợp cho các bài toán cần tính số tổ hợp với phần tử lặp lại.
A Một dãy như thế gọi là một chỉnh hợp có lặp chập k của m phần tử đã cho.
Tập hợp tất cả các chỉnh hợp có lặp chập k phần tử từ tập hợp A gồm m phần tử chính là tập hợp các bộ (a₁, a₂, , a_k) với mỗi phần tử a_i thuộc A Điều này có nghĩa là chúng ta đang xét tất cả các dãy có độ dài k, trong đó mỗi phần tử đến từ tập hợp A, kể cả các phần tử có thể lặp lại Tập hợp các chỉnh hợp có lặp chập k từ A chính là tập tất cả các bộ như vậy, giúp chúng ta hiểu rõ các cấu hình tổ hợp có thể tạo thành từ tập A.
=A k Định lý 1.1.1 Số chỉnh hợp có lặp chập k của m phần tử, kí hiệu là A k m , được tính theo công thức A k m = A k = m k
Chứng minh rằng có m cách chọn một phần tử từ tập m phần tử cho mỗi vị trí trong chỉnh hợp khi cho phép lặp Theo quy tắc nhân, số chỉnh hợp lặp chập k từ tập có m phần tử bằng m mũ k Điều này xác minh rõ ràng cách tính số chỉnh hợp lặp khi chọn phần tử cho từng vị trí trong k vị trí của chỉnh hợp.
Trong bài toán đếm, cần lưu ý rằng một số phần tử có thể giống nhau, do đó phải cẩn thận để tránh đếm trùng lặp Định lý 1.1.2 xác định số hoán vị của n phần tử có các nhóm phần tử giống nhau, cụ thể là n₁ phần tử giống nhau loại 1, n₂ phần tử giống nhau loại 2, cho đến n_k phần tử giống nhau loại k, bằng công thức n! chia cho tích các giai thừa của từng nhóm: n₁! × n₂! × × n_k!.
Chứng minh Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ta nhận thấy cóC n n 1 cách giữ n1 số cho n1 phần tử loại 1, còn lại n−n1 chỗ trống.
Sau đó, có C n−n n 2 1 cách đặt n 2 phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại n −n 1 − n 2 chỗ trống.
Tiếp tục đặt các phần tử loại 3, loại 4, , loại k−1 vào chỗ trống trong hoán vị Cuối cựng cú C n−n n k 1 −n 2 −ããã−n k−1 cỏch đặt nk phần tử loại k vào hoỏn vị.
Theo quy tắc nhân tất cả các hoán vị có thể là:
Một tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là cách chọn không có thứ tự k phần tử có thể lặp lại từ tập đã cho, cho phép các phần tử được chọn nhiều lần Điều này đồng nghĩa với việc tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử, trong đó có thể có trường hợp k lớn hơn n Theo Định lý 1.1.3, số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử được tính bằng công thức C n+k−1 k, giúp xác định chính xác số cách chọn trong các bài toán tổ hợp lặp.
Chứng minh rằng mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể được biểu diễn bằng một dãy n−1 thanh đứng để phân chia các ngăn Ngăn thứ i chứa một ngôi sao mỗi khi phần tử thứ i của tập xuất hiện trong tổ hợp đó Mô hình này cho phép chuyển đổi giữa tổ hợp lặp chập và biểu diễn bằng các dãy thanh và sao, giúp dễ dàng hình dung và phân tích các tổ hợp phức tạp Việc dùng n−1 thanh và k ngôi sao tương ứng cung cấp một phương pháp trực quan để xác định tất cả các tổ hợp lặp chập của tập n phần tử.
Do đó mỗi dãy ứng với một cách chọn k chỗ cho k ngôi sao từ n+ k− 1 chỗ chứa n−1 thanh và k ngôi sao Đó là điều cần chứng minh.
Chú ý rằng số tổ hợp có lặp chập p của n phần tử được tính bằng công thức Cn p = C n+p−1 p hoặc C n+p−1 n−1 Tổ hợp có lặp lại cho phép một phần tử xuất hiện nhiều lần trong các tổ hợp, đồng thời thứ tự của các phần tử không cần phải quan tâm Đây là kiến thức quan trọng trong xác suất và tổ hợp, giúp tính toán chính xác số cách tạo ra các tổ hợp có lặp lại từ một tập hợp các phần tử.
1.2 Một số nguyên lý, tính chất của toán tổ hợp thường được vận dụng vào giải bài toán đếm của toán tổ hợp
• Nguyên lý cộng: Nếu A, B là các tập hợp không giao nhau thì
• Nguyên lý cộng mở rộng: Nếu tập hợp hữu hạn C là hợp của n tập đôi một rời nhau C 1 , C 2 , ã ã ã , C n thỡ
|C| = |C1|+|C2|+ã ã ã+|Cn| Định nghĩa 1.2.1 Tích Descartes của hai tập hợp A, B kí hiệu bởi A×B là tập hợp tất cả các cặp thứ tự (a, b) với a ∈A, b ∈ B.
Nguyên lý nhân cho biết rằng nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn, thì tích Cartesian A×B cũng là hữu hạn và có số phần tử bằng tích của số phần tử của từng tập, tức là |A×B|=|A|×|B| Định nghĩa về tích Descartes và nguyên lý nhân này có thể mở rộng áp dụng cho nhiều tập hợp khác nhau Nguyên lý nhân còn được diễn đạt theo cách khác như sau: số phần tử của tích Cartesian bằng tích số phần tử của các tập hợp thành phần.
Một quá trình gồm hai công đoạn, trong đó công đoạn I có n₁ cách thực hiện và công đoạn II (sau khi hoàn thành công đoạn I) có n₂ cách thực hiện, thì tổng số cách thực hiện toàn bộ quá trình là tích của n₁ và n₂, tức n₁ × n₂.
• Nguyên lý thêm bớt: Với hai tập hữu hạn A, B bất kỳ ta có
1.3 Một số phương pháp giải bài toán đếm của toán tổ hợp trong phạm vi chương trình toán THPT
• Ý tưởng Tùy theo bài toán chúng ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp.
Nội dung: Đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong ví dụ 1.3.1, xét tập hợp A = {0,1,2,3,4,5,6,7}, ta khảo sát số lượng số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và phải chứa chữ số 2 Đầu tiên, số lượng số tự nhiên 5 chữ số gồm tất cả các số có 5 chữ số khác nhau và chứa chữ số 2 có thể được tính bằng cách chọn và sắp xếp các chữ số phù hợp, đảm bảo chữ số 2 luôn xuất hiện Thứ hai, số lượng số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau, luôn có mặt chữ số 2, đồng thời phải kết thúc bằng chữ số lẻ để đảm bảo tính lẻ của số Các phép tính này giúp xác định chính xác số lượng các số thỏa mãn điều kiện đề bài dựa trên quy tắc tổ hợp và hoán vị.
Lời giải a) Gọi số cần tìm là n = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 +Trường hợp 1 a1 = 2 có 1 cách chọn. a2a3a4a5 có A 4 7 cách chọn.
Suy ra ta có A 4 7 = 840 số.
+ Trường hợp 2 a2 = 2 có 1 cách chọn. a1 6= 0 và a1 6= 2 nên có 6 cách chọn. a3a4a5 có A 3 6 số.
Suy ra ta có 6.A 3 6 = 720 số.
Vì vai trò của 2 trong các vị trí a 2 , a 3 , a 4 , a 5 là giống nhau nên
Số cần tìm là 840 + 720.4 = 3720 số. b) Gọi số cần tìm là n = a1a2a3a4a5. +Trường hợp 1 a 5 lẻ nên có 4 cách chọn. a2 = 2 có 1 cách chọn. a2a3a4 có A 3 6 số.
Suy ra ta có 4.A 3 6 = 480 số.
+ Trường hợp 2 a5 lẻ nên có 4 cách chọn. a2 = 2 có 1 cách chọn. a 1 6= 0, a 1 6= 2, a 1 6= a 5 nên có 5 cách chọn. a 3 a 4 có A 2 5 cách chọn.
Suy ra ta có 4.5.A 2 5 = 400 số.
Vì vai trò của 2 trong các vị trí a2, a3, a4 là giống nhau nên
Số cần tìm là 480 + 400.3 = 1680 số.
• Ý tưởng + Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho các số tiếp theo.
+ Sắp xếp các số còn lại.