Tiếp theo, luận văn trìnhbày một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạncủa dãy số, trong đó có tính giới hạn của một tổng, đây là bài toán haythường xuất hiện tron
Một số kiến thức chuẩn bị
Dãy số
Định nghĩa 1.1.1: Dãy số là một hàm số từ tập N vào một tập hợp số, có thể là N, Q hoặc R Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là u_n, v_n, x_n, y_n, v.v.; từ đó ta thấy các dãy số được ký hiệu tương ứng là {u_n}, {v_n}, {x_n}, {y_n}, … Điều này cho thấy dãy số là một đối tượng có thứ tự được xác định bởi chỉ số n, mỗi n cho ra một số hạng của dãy.
Nhận xét 1.1.2 cho thấy dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó thừa hưởng các tính chất của một hàm số Định nghĩa 1.1.3 (i) nêu rằng dãy số {x_n} được gọi là dãy giảm nếu x_{n+1} ≤ x_n với mọi n ∈ N* Như vậy, dãy giảm là một loại dãy số có trình tự không tăng, cho phép mô tả và phân tích hành vi của các phần tử theo chỉ số một cách rõ ràng.
Trong toán học, dãy số {x_n} được gọi là tăng khi x_{n+1} ≥ x_n với mọi n ∈ N*, và được gọi là giảm ngặt khi x_{n+1} < x_n với mọi n ∈ N* Dãy số {x_n} còn được gọi là tăng ngặt nếu x_{n+1} > x_n với mọi n ∈ N* Dãy tăng hoặc dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu Dãy số {x_n} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho x_n ≤ M với mọi n, bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho x_n ≥ m với mọi n; một dãy bị chặn là khi vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Định nghĩa 1.1.5 cho biết dãy số {x_n} có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô cùng, nếu với mọi ε > 0 tồn tại N0 sao cho với mọi n > N0 ta có |x_n − a| < ε.
Trong phân tích, dãy số {x_n} được coi là dần tới dương vô cùng khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số thực dương M tồn tại số tự nhiên N0 sao cho với mọi n > N0 ta có |x_n| > M Nói cách khác, n → ∞ hoặc lim_{n→∞} x_n = +∞ ⇔ ∀ M > 0, ∃ N0 ∈ N sao cho ∀ n > N0, |x_n| > M Định nghĩa này cho thấy phần tử của dãy tăng về độ lớn tuyệt đối không giới hạn theo hướng dương khi n tăng lên.
Trong phân tích số học, dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ Ngược lại, dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng được gọi là dãy phân kỳ.
Giả sử {x n } là một dãy bị chặn Với mỗi n ta đặt u n = sup{x n+1 , x n+2 , } = sup k=1,2, x n+k , vn = inf{x n+1 , xn+2, } = inf k=1,2, xn+k.
Giới hạn trên của dãy {x_n}, ký hiệu lim sup_{n→∞} x_n, là giới hạn của căn cứ các phần tử bị chi phối bởi các phần tử không tăng và bị chặn trên; giới hạn dưới của dãy {x_n}, ký hiệu lim inf_{n→∞} x_n, là giới hạn của một dãy tăng và bị chặn dưới Điều kiện cần và đủ để một dãy hội tụ là lim sup_{n→∞} x_n bằng lim inf_{n→∞} x_n Dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ; dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ Nếu {x_n}, {y_n} hội tụ với các giới hạn lần lượt là a, b thì các dãy {x_n + y_n}, {x_n − y_n}, {x_n y_n} (và trong trường hợp thương, {x_n / y_n} với y_n ≠ 0 và b ≠ 0) hội tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a − b, ab và a/b Giả sử a_n ≤ b_n với mọi n ≥ N_0 và lim_{n→∞} a_n = a, lim_{n→∞} b_n = b, thì a ≤ b Nguyên lý kẹp (squeeze): nếu lim_{n→∞} a_n = lim_{n→∞} b_n = a và a_n ≤ z_n ≤ b_n với mọi n, thì lim_{n→∞} z_n = a.
Chuỗi số
Định nghĩa 1.1.11 Cho dãy số u1;u2; .;un; Khi đó gọi tổng vô hạn u 1 +u 2 + .+u n + . là chuỗi số và ký hiệu là
Trong chuỗi số, u_n là số hạng tổng quát; s_n = u_1 + u_2 + + u_n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi và r_n = u_{n+1} + u_{n+2} + được gọi là phần dư thứ n Nếu lim_{n→∞} s_n = s hữu hạn thì chuỗi hội tụ và s là tổng của chuỗi; ngược lại, nếu s_n không tiến tới một giá trị hữu hạn thì chuỗi được gọi là phân kỳ Định lý 1.1.12 Chuỗi số. -**Support Pollinations.AI:**🌸 **Quảng cáo** 🌸 Học cách viết bài chuẩn SEO và tối ưu hoá nội dung hiệu quả với [Pollinations.AI](https://pollinations.ai/redirect/kofi) ngay hôm nay!
P n=1 un được gọi là chuỗi số dương nếu un > 0 với mọi n ∈ N. Định lý 1.1.13 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho 2 chuỗi số dương
P n=1 v n nếu u n ≤ v n với ∀n ≥ n 0 (n 0 ∈ N) thì từ sự hội tụ của
P n=1 v n suy ra sự hội tụ của
P n=1 un và từ sự phân kỳ của
P n=1 un suy ra sự phân kỳ của
P n=1 v n Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương
P n=1 v n và lim n→∞ un v n = k Khi đó, ta có:
Nếu (0 < k < +∞) thì hai chuỗi đã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của
P n=1 v n suy ra sự hội tụ của
Nếu k = +∞ thì từ sự phân kỳ của
P n=1 vn, ta suy ra sự phân kỳ của
Hàm số
Định nghĩa 1.1.15 Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và (a;b) là một khoảng con của D Hàm số gọi là hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) nếu x1, x2 ∈ (a;b) : x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu x 1 , x 2 ∈ (a;b) : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng (a; b) được gọi là đơn điệu trên khoảng đó Định nghĩa 1.1.16: Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của a (có thể bỏ qua điểm a) Số thực L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho mọi x thỏa 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.
∀ > 0,∃δ > 0 : 0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x)−l| < Định nghĩa 1.1.17 Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn trái
(phải) của hàm số f(x) khi x →a nếu:
Định nghĩa 1.1.18 cho biết hàm y = f(x) được xác định trong một lân cận của x0 và được gọi là liên tục tại x0 nếu lim x→x0 f(x) = f(x0) Định nghĩa 1.1.19 cho biết hàm y = f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 khi hàm f được xác định trong một lân cận trái (phải) của x0 và lim x→x0− f(x) = f(x0) (lim x→x0+ f(x) = f(x0)) Định nghĩa 1.1.20 cho biết hàm f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu f liên tục tại mọi x thuộc (a;b); và hàm f được gọi là liên tục trên [a;b] khi f liên tục trên (a;b), đồng thời liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b Định nghĩa 1.1.21 nêu khái niệm liên tục đồng nhất trên tập D: với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D thỏa mãn |x−y| < δ thì |f(x)−f(y)| < ε Định lý 1.1.22 cho biết nếu f liên tục trên tập compact D thì f liên tục đồng nhất trên D.
Một hệ quả được suy ra từ định lý trên.
Mọi hàm liên tục tuần hoàn trên R đều liên tục trên toàn R Định lý giá trị trung gian (định lý IVT): cho f(x) liên tục trên [a;b] và f(a) ≠ f(b), f(x) đạt mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b) trên [a;b] Hàm f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T > 0 trên miền D nếu x ± T ∈ D với mọi x ∈ D và f(x ± T) = f(x) Đạo hàm của y = f(x) tại x0 ∈ (a;b) là giới hạn (nếu tồn tại hữu hạn) lim_{x→x0} [f(x) − f(x0)]/(x − x0) = f′(x0) Định lý giá trị trung bình Cauchy: cho f và g liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b), tồn tại một điểm c ∈ (a;b) sao cho (f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f′(c).
Nếu g(a) 6= g(b) và g 0 (c) 6= 0, điều này tương đương với f 0 (c) g 0 (c) = f(b)−f(a) g(b)−g(a).
Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro
Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro
Phần này trình bày ba dạng cổ điển của định lý Stolz–Cesàro được đề xuất bởi Otto Stolz và Ernesto Cesàro Định lý 1.2.1 cho hai dãy số thực {a_n} và {b_n} sao cho dãy {b_n} tăng ngặt và không bị chặn trên Nếu tồn tại giới hạn n→∞ của (a_{n+1} − a_n)/(b_{n+1} − b_n) = l ∈ R, thì giới hạn n→∞ của a_n/b_n bằng l.
Chứng minh Xét trường hợp l ∈ R và giả sử rằng {b n } là dãy tăng và n→∞lim bn = ∞ Cho V là một lân cận của l, khi đó tồn tại α > 0 sao cho
(l−α, l+α) ⊆ V Cho β ∈ R sao cho 0< β < α Do lim n→∞ a n+1 −a n bn+1 −bn
= l nên tồn tại k ∈ N ∗ sao cho ∀n≥ k thì a n+1 −a n b n+1 −b n ∈ (l−β, l+β), từ đó suy ra rằng:
Cộng từng vế các bất đẳng thức này ta được:
Vì lim n→∞b n = ∞ nên bắt đầu từ một chỉ số n nào đó ta có b n > 0 Do đó
(l −β)(bn−bk) < an −ak < (l+β)(bn−bk)
= 0, nên tồn tại một chỉ số p ∈ N ∗ sao cho ∀n ≥ p chúng ta có: a k + (β −l)b k b n ,a k −(β +l)b k b n ∈ (β −α, α −β).
Do vậy chúng ta có các bất đẳng thức sau: a k + (β −l)b k b n > β −α, a k −(β +l)b k b n < α−β.
Chọn m = max{k, p}, khi đó, ∀n≥ m chúng ta có: l−α < a n b n < l+α. Điều này có nghĩa a n b n ∈ V Suy ra lim n→∞ a n b n = l.
Trong trường hợp l = ±∞ ta có thể chứng minh tương tự khi ta chọn
Nhận xét 1.2.2 cho thấy dạng phát biểu đảo của định lý Stolz-Cesàro sẽ không còn đúng khi chỉ giả thiết {b_n} tăng, không bị chặn và lim_{n→∞} a_n/b_n = l Nói cách khác, ta không thể khẳng định lim_{n→∞} (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = l trong mọi trường hợp Để thấy điều này, ta xét a_n = 3n - (-1)^n và b_n = 3n + (-1)^n; ta có lim_{n→∞} a_n/b_n = 1, nhưng (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = (3 + 2(-1)^n)/(3 - 2(-1)^n), tức là một chu kỳ dao động giữa 5 và 1/5 và không có giới hạn.
Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn n→∞lim a n+1 −a n b n+1 −b n
Từ kết quả của định lý trên chúng ta thu được các hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.3 Cho dãy số thực dương {u n } Nếu tồn tại giới hạn n→∞lim un+1 u n = l thì chúng ta có: n→∞lim
Ta có lim_{n→∞} √[n]{u_n} = lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n Chứng minh bằng cách lấy logarit: ln √[n]{u_n} = (1/n) ln u_n Đặt a_n = ln u_n và b_n = n, áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {a_n} và {b_n}, ta được lim_{n→∞} (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = lim_{n→∞} (ln u_{n+1}-ln u_n) Vì b_{n+1}-b_n = 1 nên lim_{n→∞} (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = lim_{n→∞} ln(u_{n+1}/u_n) Do đó lim_{n→∞} (ln u_n)/n = lim_{n→∞} ln(u_{n+1}/u_n) = lim_{n→∞} ln √[n]{u_n} Cuối cùng, exponentiate hai vế: lim_{n→∞} √[n]{u_n} = exp( lim_{n→∞} (1/n) ln u_n ) = exp( lim_{n→∞} ln(u_{n+1}/u_n) ) = lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n.
Nhận xét 1.2.4 Hệ quả trên còn được phát biểu dưới dạng tương đương sau:
Cho dãy số thực dương {u n } với lim n→∞u n = l Khi đó chúng ta có n→∞lim
Chứng minh Đặt a n = u 1 u 2 u n , ta có n→∞lim an+1 a n = lim n→∞u n+1 = l. Áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro cho dãy{a n }ta thu được n→∞lim an+1 a n = lim n→∞
Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.3 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro.
Hệ quả 1.2.5 (Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro) Cho dãy số {u n }, n→∞lim un = l Khi đó chúng ta có n→∞lim u 1 +u 2 + .+u n n = l.
Chứng minh Đặt an = u1 +u2 + .+un và bn = n, ta có n→∞lim a n+1 −a n b n+1 −b n = lim n→∞un+1 = l. Áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {a n } và {b n } ta thu được n→∞lim a n b n = lim n→∞ u 1 +u 2 + .+u n n = l.
Nhận xét 1.2.6 Bằng cách đặt v n = u 1 + u 2 + + u n ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau.
Cho dãy số thực {v n } Nếu tồn tại giới hạn lim n→∞(v n+1 −v n ) = l thì ta có n→∞lim vn n = lim n→∞(v n+1 −v n ).
Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.5 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro.
Tiếp theo chúng tôi trình bày một dạng khác của định lý Stolz-Cesàro. Định lý 1.2.7 (Trường hợp 0
Giả sử {a_n} và {b_n} là hai dãy số thực thỏa mãn i lim_{n→∞} a_n = lim_{n→∞} b_n = 0, ii {b_n} là dãy giảm, iii lim_{n→∞} (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = l ∈ R; thì lim_{n→∞} a_n / b_n = l Chứng minh được thực hiện bằng ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: Giới hạn lim n→∞ (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = l ∈ R Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho l−ε < (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) < l+ε với mọi n ≥ N Vì {b_n} là dãy giảm nên b_{n+1}-b_n < 0 với mọi n Do đó, từ n ≥ N, giá trị của phân số này nằm trong khoảng l−ε đến l+ε và phản ánh sự hội tụ ổn định của các hiệu theo n dựa trên tính chất giảm của dãy b_n.
(l −)(b n+1 −b n ) > a n+1 −a n > (l +)(b n+1 −b n ), với mọi n≥ N Cố định số n, viết các bất đẳng thức trên tương ứng với n, n+ 1, , n+p, ta được
. (l−)(bn+p−bn+p−1) > an+p−an+p−1 > (l +)(bn+p−bn+p−1).
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta nhận được
(l −)(bn+p−bn) > an+p−an > (l +)(bn+p−bn).
Do vậy ta kết luận được rằng
+ Trường hợp 2: lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n = ∞ Khi đó với >0, tồn tại một chỉ số N sao cho a n+1 −a n b n+1 −b n > với mọi n≥ N.
Giữn cố định và cho m → ∞, ta nhận được a n bn
Từ đó ta kết luận lim n→∞ an b n = ∞.
- Trường hợp 3: lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n = −∞ Trường hợp này được chứng minh tương tự như ở Trường hợp 2.
Nhận xét 1.2.8 cho thấy dạng phát biểu đảo của Định lý 1.2.7 sẽ không còn đúng Theo giả thiết lim n→∞ a_n = lim n→∞ b_n = 0 và dãy {b_n} giảm, nếu lim n→∞ a_n b_n = l thì chưa chắc có khẳng định lim n→∞ (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = l.
Thực vậy, chọn a n = 3 n −(−1) 1 n và b n = 3 n +(−1) 1 n , ta có lim n→∞ a n bn
Dạng đảo của định lý Stolz–Cesàro được phát biểu như sau: Định lý 1.2.9 cho hai dãy số thực {a_n} và {b_n} thỏa mãn i) {b_n} là dãy số dương, tăng ngặt và không bị chặn trên; ii) lim_{n→∞} b_{n+1}/b_n = L ∈ R \ {1}; iii) lim_{n→∞} a_n/b_n = l ∈ R Khi các điều kiện này thỏa mãn, giới hạn lim_{n→∞} (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) tồn tại và bằng l.
Khi đó, lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n = l. Chứng minh Chúng ta có a n+1 b n+1 = a n+1 −a n b n+1 −b n (1− b n+1 b n ) + a n b n b n b n+1 Lấy qua giới hạn hai vế của đẳng thức trên ta thu được: l = (1−L) lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n +lL.
Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro
Phần đầu của mục này trình bày một số mở rộng của định lý Stolz-Cesàro được đưa ra bởi Gabriel Nagy ([9]) Các mở rộng này liên quan tới Định lý 1.2.1 và được phát biểu dưới dạng Định lý mở rộng; Định lý 1.2.10 nêu điều kiện: nếu {b n } là dãy số thực dương sao cho
X n=1 b n = ∞, thì với bất kì dãy {a n } ⊂ R ta có các bất đẳng thức lim sup n→∞ a 1 + a 2 + .+a n b 1 + b 2 + .+b n ≤ lim sup n→∞ a n b n ; (1.2) lim inf n→∞ a 1 + a 2 + .+a n b 1 + b 2 + .+b n ≥ lim inf n→∞ a n b n (1.3) Đặc biệt, nếu dãy a n b n có giới hạn, thì n→∞lim a 1 +a 2 + .+ a n b 1 +b 2 + .+ b n = lim n→∞ a n b n Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh (1.2), bất đẳng thức (1.3) được chứng minh bằng cách thay thế a n bởi −a n
Bất đẳng thức (1.2) là tầm thường khi vế phải bằng +∞ Giả sử giá trị L = lim sup_{n→∞} (a_n / b_n) hữu hạn hoặc −∞ Lấy một số l sao cho l > L; theo định nghĩa của lim sup tồn tại một chỉ số k ∈ N sao cho với mọi n > k ta có (a_n / b_n) ≤ l (1.4)
Sử dụng (1.4) ta có bất đẳng thức a1+a2+ .+an ≤ a1+ .+ak+l(bk+1+bk+2+ .+bn),∀n > k (1.5) Đặt a 1 +a 2 + .+a n = A n và b 1 +b 2 + +b n = B n , bất đẳng thức trên trở thành
Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho B n ta được
Vì B n → ∞, cố định k lấy giới hạn cận trên trong (1.6) ta nhận được lim sup n→∞
Định lý 1.2.11: Nếu {y_n} là dãy tăng ngặt với lim_{n→∞} y_n = ∞, thì với mọi dãy {x_n} ta có hai bất đẳng thức sau: limsup_{n→∞} (x_n / y_n) ≤ limsup_{n→∞} ((x_n − x_{n−1})/(y_n − y_{n−1})) và liminf_{n→∞} (x_n / y_n) ≥ liminf_{n→∞} ((x_n − x_{n−1})/(y_n − y_{n−1})); đặc biệt, nếu dãy (x_n − x_{n−1})/(y_n − y_{n−1}) có giới hạn thì lim_{n→∞} (x_n / y_n) = lim_{n→∞} ((x_n − x_{n−1})/(y_n − y_{n−1})) Định lý này cho thấy sự mở rộng của Định lý 1.2.1.
Chứng minh Do lim_{n→∞} y_n = ∞, không mất tính tổng quát ta giả sử tất cả các y_n đều dương Xét hai dãy {a_n} và {b_n} được xác định bởi a_1 = x_1, b_1 = y_1 và với n ≥ 2, a_n = x_n − x_{n−1}, b_n = y_n − y_{n−1} Khi đó x_n = a_1 + a_2 + + a_n và y_n = b_1 + b_2 + + b_n Nhờ sự biểu diễn này, định lý được chứng minh.
Từ kết quả mở rộng trên chúng ta thu được các hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.12 cho mọi dãy thực {a_n} ⊂ R ta có các bất đẳng thức sau: lim sup_{n→∞} (a_1+ +a_n)/n ≤ lim sup_{n→∞} a_n và lim inf_{n→∞} (a_1+ +a_n)/n ≥ lim inf_{n→∞} a_n Đặc biệt, nếu dãy {a_n} có giới hạn thì lim_{n→∞} (a_1+ +a_n)/n = lim_{n→∞} a_n Chứng minh là trường hợp đặc biệt của Định lý 1.2.10 với b_n = 1.
Nhận xét 1.2.13 Bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến thích hợp, đặtx n = a 1 +a 2 + .+a n ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau:
Cho dãy bất kỳ {x n }, ta có các bất đẳng thức sau lim sup n→∞ x n n ≤ lim sup n→∞
(x n −x n−1 ); (1.11) lim inf n→∞ x n n ≥ lim inf n→∞ (x n −x n−1 ) (1.12) Đặc biệt, nếu dãy (x n −x n−1 ) ∞ n=1 có giới hạn thì n→∞lim x n n = lim n→∞(x n −x n−1 ).
Hệ quả 1.2.12 và dạng phát biểu tương đương của nó ta gọi chung là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng.
Hệ quả sau là mở rộng cho định lý trung bình nhân.
Hệ quả 1.2.14 Với bất kì dãy số dương {a n } có các bất đẳng thức sau lim sup n→∞
√n a 1 a 2 a n ≥ lim inf n→∞ a n (1.14) Đặc biệt, nếu dãy {a n } có giới hạn thì n→∞lim
√n a 1 a 2 a n = lim n→∞a n Chứng minh Đặt b n = lna n , ta có
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng, ta có lim sup n→∞ e b1 +b2 + .+ bn n ≤lim sup n→∞ e b n ; lim inf n→∞ e b 1 +b 2 + .+ b n n ≥lim inf n→∞ e b n
Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.2.15 Đặt x n = a 1 a 2 a n ta có phát biểu tương đương với hệ quả trên: Đối với mỗi dãy số dương {x n }, ta có các bất đẳng thức sau lim sup n→∞
√n x n ≥lim inf n→∞ x n x n−1 (1.16) Đặc biệt, nếu dãy x n x n−1 có giới hạn thì n→∞lim
Tếp theo, chúng tôi trình bày một số mở rộng của định lý Stolz-Cesàro được đưa ra bởi S Puspană ([10]).
S Puspană đã mở rộng Định lý 1.2.1 qua định lý sau đây. Định lý 1.2.16 Nếu {a n }và {b n } là hai dãy số thực thỏa mãn i lim n→∞|b n | = ∞, ii.
) bị chặn, iii lim n→∞ an+1−an b n+1 −b n = l ∈ R, thì lim n→∞ a n bn
Chứng minh Cho ε > 0 và dãy ở (ii) bị chặn trên bởi M, khi đó, tồn tại m ∈ N sao cho ∀n≥ m ta có an+1 −an b n+1 −b n −l
Do đó ta được an −am b n −b m −l
Cuối cùng ta có an b n −l am −lbm b n + an −am b n −b m −l bn−bm b n
2 = ε,∀n ≥m. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.2.17 Cho {b n }là dãy đơn điệu tăng và không bị chặn trên.
Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh một cách dễ dàng rằng các điều kiện (i) và (ii) trong Định lý 1.2.16 được thỏa mãn Đồng thời, dãy {−b_n} là giảm đơn điệu, bị chặn trên và cũng thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định lý 1.2.16 Nhờ những nhận xét này, định lý trên thực sự là một mở rộng của Định lý 1.2.1.
Chúng ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.18 Nếu {a n }và {b n } là hai dãy số thực thỏa mãn i {|b n |} tăng ngặt và không bị chặn; ii.
|b n+1 | − |b n | bị chặn; iii lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n = l ∈ R, thì lim n→∞ an b n = l.
Chứng minh Giả sử dãy
|b n+1 | − |b n | bị chặn bởi M, nghĩa là
|b k+1 | − |b k | ≤ M, ∀k ∈ N ∗ Điều này cùng với (i) suy ra
|b k+1 −b k | ≤ M(|b k+1 | − |b k |), ∀k ∈ N ∗ Áp dụng bất đẳng thức này với k = 1,2, , n ta có
Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được n
|b k+1 −b k | ≤M, và do đó điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16 thỏa mãn Điều kiện (i) trong Định lý 1.2.16 hiển nhiên đúng Hệ quả được chứng minh.
Mở rộng Định lý 1.2.7 S Puspană thu được kết quả sau. Định lý 1.2.19 Nếu {a n }và {b n } là hai dãy số thực thỏa mãn: i lim n→∞a n = lim n→∞b n = 0; ii.
) bị chặn; iii lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n = l ∈ R, thì lim n→∞ an b n = l.
Chứng minh Nếu ε > 0 và M là cận trên của dãy ở (ii), thì tồn tại m ∈ N sao cho ∀n≥ m ta có a n+1 −a n b n+1 −b n −l
M. Điều này tương đương với
Nhưng với n ∈ N bất kì, có một dãy số tự nhiên tăng ngặt {p(k)} sao cho |b n+p(k) | ≤ |b n |,∀k ≥1, vì thế ta có thể giả sử rằng
Cho p→ ∞ trong bất đẳng thức trên ta được
< ε,∀n≥ m, tương đương với lim n→∞ a n bn
= l Định lý được chứng minh.
Cho một dãy b_n là dãy đơn điệu giảm với lim_{n→∞} b_n = 0 Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16 được thỏa mãn Ngược lại, dãy −b_n là dãy đơn điệu tăng và có lim_{n→∞} (−b_n) = 0, đồng thời cũng thỏa mãn điều kiện (ii) của Định lý 1.2.16 Điều này cho thấy Định lý 1.2.16 là một mở rộng thực sự của Định lý 1.2.1. -**Support Pollinations.AI:**🌸 **Quảng Cáo** 🌸 Giúp bạn chuẩn hóa nội dung toán học và tối ưu SEO ngay hôm nay cùng Pollinations.AI – [ủng hộ chúng tôi](https://pollinations.ai/redirect/kofi) để các công cụ AI luôn miễn phí!
Chúng ta dễ dàng chứng minh được hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.21 Nếu {a n }và {b n } là hai dãy số thực thỏa mãn: i lim n→∞a n = lim n→∞b n = 0; ii {|b n |} giảm ngặt; iii.
|b n+1 | − |b n | bị chặn; iv lim n→∞ an+1−an b n+1 −b n = l ∈ R, thì lim n→∞ a n b n = l.
Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro 26
Tính giới hạn của dãy số
Trong phần này, chúng ta áp dụng định lý Stolz–Cesàro để giải các bài toán giới hạn của dãy số và phân tích sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi Ứng dụng đầu tiên của định lý này là chứng minh quy tắc L'Hôpital ở dạng rời rạc, một công cụ mạnh mẽ và hữu ích để tìm giới hạn của hàm số; Stolz–Cesàro được xem như phiên bản rời rạc của quy tắc L'Hôpital, giúp làm rõ mối liên hệ giữa giới hạn của dãy và giới hạn của các biểu thức tỉ lệ khi đối chiếu các chuỗi tăng dần.
Quy tắc L 0 Hopital: Cho f và g là các hàm khả vi trên một khoảng chứa A, lim x→Af(x) =∞, lim x→Ag(x) =∞ và lim x→A f 0 (x) g 0 (x) = L Khi đó x→Alim f(x) g(x) = L.
Chúng ta giả thiết bổ sung rằng g′(x) ≠ 0 với mọi x gần A Quy tắc L’Hôpital vẫn đúng khi A = ∞ hoặc khi lim x→A f(x) = lim x→A g(x) = 0 Dưới đây là chứng minh chi tiết của quy tắc, cho thấy rằng nếu lim x→A f(x) = lim x→A g(x) = 0 và g′(x) ≠ 0 gần A, thì lim x→A f(x)/g(x) = lim x→A f′(x)/g′(x) (nếu giới hạn sau tồn tại).
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp A = +∞ và lim_{x→+∞} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} g(x) = +∞; các trường hợp khác ta đổi biến thích hợp để quy về trường hợp đã chứng minh Do g'(x) ≠ 0 với mọi x thuộc (α, +∞) và lim_{x→+∞} g(x) = +∞ nên g(x) là hàm tăng ngặt trên (α, +∞) Chọn dãy {t_n} tăng ngặt trong (α, +∞) thỏa mãn lim_{n→∞} t_n = +∞ và đặt x_n = f(t_n), y_n = g(t_n) Theo định lý giá trị trung bình Cauchy (1.1.27) thì với mỗi n ≥ 2, tồn tại s_n ∈ (t_{n−1}, t_n) sao cho [f(t_n) − f(t_{n−1})] / [g(t_n) − g(t_{n−1})] = f'(s_n) / g'(s_n) (2.1)
Do {t n } tăng ngặt nên {t n } cũng tăng ngặt, và do đó lim n→∞s n = +∞. Suy ra x→Alim f 0 (s n ) g 0 (s n ) = L. Điều này cùng (2.1) ta có x n −x n−1 y n −y n−1 = L.
Do g(x) tăng ngặt trên (α,+∞) nên {y n } tăng ngặt và lim n→∞y n = +∞.
Theo Định lý 1.2.1 ta có lim n→∞ xn y n = L Đây là điều phải chứng minh.
Tiếp theo chúng tôi sẽ cho người đọc thấy được hiệu quả của các định lý Stolz-Cesàro trong tính giới hạn của dãy số.
3 + .+n√ n và bn = n 2 √ n Khi đó {b n } là dãy tăng và không bị chặn trên Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 cho hai dãy {a n } và {b n } chúng ta có n→∞lim
Tổng quát cho bài toán trên chúng ta có bài toán sau.
Bài toán 2.1.2 Nếu p∈ N ∗ , tính n→∞lim
Lời giải Đặt a n = 1 p + 2 p + 3 p + .+n p và b n = n p+1 Khi đó {b n } là dãy tăng và không bị chặn trên Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 cho hai dãy {a n } và {b n } chúng ta có n→∞lim
Lời giải Đặt a n = 1 1 + 2 2 + 3 3 + .+n n và b n = n n Khi đó {b n } là dãy tăng và không bị chặn trên Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 cho hai dãy {a n } và {b n } chúng ta có n→∞lim
C n+k 2 n 2 Lời giải Theo Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1, ta có n→∞lim n
Tiếp theo, chúng ta trình bày một số ứng dụng của định lý Stolz- Cesàro trong bài toán xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số.
Bài toán 2.1.5 Xét một dãy số thực dương {a n } sao cho an+1− 1 a n+1 a n + 1 an với mọi n ≥1 Đặt u n = 1 n√ n
Xét sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số u 1 + u 2 + .+u n
Lời giải Để xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số trên, ta so sánh với chuỗi số P+∞ n=1v n với v n = n 1 Chúng ta cần tính giới hạn của u n vn
Rõ ràng {a n } là một dãy tăng, nếu nó có giới hạn hữu hạn l thì l − 1 l = l+ 1 l ⇒ 2 l = 0, mâu thuẫn Do đó a n có giới hạn vô hạn Cho y n = 1 a 2 n + a 2 n Thì ta có y n+1 = y n + 4 Vì vậy y2 = y1 + 4 y 3 = y 2 + 4 y n+1 = y n + 4.
Cộng các phương trình lại ta được yn+1 = y1 + 4n, viết lại như sau a 2 n+1 + 1 a 2 n+1 = y 1 + 4n
4n+y 1 −2 = 0. Điều này sai, do đó a n+1 √4n+y 1 + 2 +√
Theo Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1, ta có n→∞lim
Do chuỗi số P+∞ n=1v n phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số cần xét là phân kỳ
Bài toán 2.1.6 Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 1, u 2 = 0 và công thức truy hồi e u n+2 = e u n −u n , với mọi n ∈ N ∗ Đặt un = 1 n 3 n−1
Xét sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số u 1 +u 2 + .+u n
Lời giải Để xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số trên, ta so sánh với chuỗi số P+∞ n=1v n với v n = n 1 2 Chúng ta cần tính giới hạn của u n v n = 1 n n−1
Dễ thấy u 2n = 0 với mọi n ∈ N ∗ nên lim n→∞u 2n = 0 Ta chứng minh dãy(u 2n+1 ) cũng có giới hạn bằng 0.
Trước tiên ta chứng minh dãy{u 2n+1 }bị chặn dưới bởi 0 theo qui nạp.
Thật vậy, ta có u1 = 1 > 0 , giả sử u2n+1 > 0 Do hàm số f(x) =e x −x đồng biến trên (0; +∞) suy ra f(u 2n+1 ) > f(0) = 1 ⇔e u 2n+1 −u 2n+1 > 1
Vậy dãy {u 2n+1 } bị chặn dưới bởi 0.
Tiếp theo ta chứng minh dãy {u 2n+1 } là dãy giảm Ta có e u 2n+3 −e u 2n+1 = e u 2n+1 −u 2n+1 −e u 2n+1
⇒ u 2n+3 < u 2n+1 từ đó{u 2n+1 }giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn Giả sử lim n→∞u 2n+1 = a từ hệ thức truy hồi suy ra e n = e n −a ⇔a = 0.
Từ hai trường hợp trên ta có lim n→∞u n = 0 suy ra lim n→∞e u n = 1 Theo định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro ta có n→∞lim e u 1 +e u 2 + .+ e u 2 n
(do e u 2 +e u 4 + .+e u 2 n = n) Từ hệ thức truy hồi ta có e u 2n−1 = e u 1 −(u 1 +u 3 + .+u 2k−3 ), với k = 2, , n, do đó e u 1 + e u 3 + .+e u 2n−1 = ne u 1 − n−1
Do chuỗi số P+∞ n=1v n hội tụ, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số cần xét là hội tụ.
Các bài toán sau đây được giải bằng cách áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro.
Bài toán 2.1.7 Cho k là một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 1 Tính n→∞lim pn
Lời giải Đặt u n = C nk n Theo Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro, ta có n→∞lim pn
(nk+ 1)(nk+ 2) (nk+k) (n+ 1)(nk−n+ 1)(nk−n+ 2) (nk−n+k−1)
Lời giải Đặt u n = √ n n n! Theo Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro, ta có n→∞lim n
Bài toán 2.1.9 Cho dãy {a n } là một cấp số cộng dương với công sai d > 0 Tính n→∞lim n(a1a2 an) n 1 a 1 +a 2 + + a n
1 +a 2 + +a n ) n Theo Định lý trung bình nhân Stolz- Cesàro, ta có n→∞lim
= 2e −1 Ứng dụng của Định lý 1.2.7 được thể hiện qua một số bài toán sau.
Bài toán 2.1.10 Tính giới hạn sau n→∞lim(n+ 1)!(e−2− 1
Ta có khai triển Taylo của e x tại 0 là e x = 1 +x+ 1
2 + + 1 n! + , và do đó lim n→∞a n = 0 Theo Định lý 1.2.7, ta có n→∞lim e−1− 1 2 − − n! 1
Bài toán 2.1.11 Tính giới hạn sau n→∞lim(2n+ 2)! 1
Ta có khai triển Taylo của cosx tại 0 là cosx = 1− x 2
6 2n (2n)! + và do đó lim n→∞an = 0 Theo Định lý 1.2.7, ta có n→∞lim a n b n = lim n→∞ a n+1 −a n a n+1 −b n
Tiếp theo, chúng ta trình bày ứng dụng của Định lý Stolz–Cesàro để giải một lớp bài toán giới hạn liên quan đến dãy {u_n} được xác định bởi công thức u_{n+1} = u_n + u_{a_1 n} + u_{a_2 n} + + u_{a_k n}, trong đó a_1, a_2, , a_k là các số thực cho trước Phương pháp này cho phép chuyển đổi bài toán giới hạn khó thành các giới hạn của các tỷ số tăng giữa các phần tử và chỉ số n, từ đó xác định giá trị giới hạn của dãy khi n tiến tới vô cùng và nắm bắt được các điều kiện liên quan đến hệ đệ quy Ứng dụng của Stolz–Cesàro trong trường hợp này giúp rút ra các kết luận về sự ổn định và xu hướng giới hạn của dãy dựa trên các tham số a_i và điều kiện ban đầu.
Bài toán 2.1.12 (Olympic Toán SV toàn quốc 2015) cho dẩy số {a_n} được xác định bởi công thức đệ quy 2a_{n+1} − 2a_n + a_n^2 = 0 Tìm điều kiện của a_0 để dãy {a_n} có giới hạn hữu hạn, và trong trường hợp tồn tại giới hạn, hãy tìm lim_{n→∞} (n a_n).
Lời giải: Ta có 2(a_{n+1} − a_n) = −a_n^2 ≤ 0 nên dãy {a_n} là giảm Giả sử {a_n} có giới hạn hữu hạn là A, từ điều kiện 2a_{n+1} − 2a_n + a_n^2 = 0 ta lấy giới hạn hai vế khi n → ∞ được 2A − 2A + A^2 = 0, từ đó A^2 = 0 và A = 0 Nếu a_0 < 0 thì {a_n} không thể có giới hạn bằng 0 vì {a_n} giảm, nên mọi phần tử a_n ≤ a_0 < 0, do đó không thể tiệm cận tới 0.
Nếu a 0 > 2 thì a 1 < 0 do đó {a n } không thể có giới hạn bằng 0 do {a n } đơn điệu giảm.
Nếu 0 ≤a 0 ≤2 thì 0≤ a n ≤2,∀n, do đó {a n } có giới hạn bằng 0.
Tiếp theo chúng ta tính lim n→+∞(na n ).
Cách 1: Nếu a0 = 0 hoặc a0 = 2 thì lim n→+∞(nan) = 0.
2−a i , theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có n→+∞lim
Vậy từ đẳng thức trước đó, ta có ngay lim n→+∞(na n ) = 2.
Cách 2: Nếu a 0 = 0 hoặc a 0 = 2 thì lim n→+∞(na n ) = 0.
Nếu 0 < a0 < 2 ta có lim n→+∞ a n+1 a n = lim n→+∞(1− a 2 n ) = 1 Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có n→+∞lim
Bài toán 2.1.13 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 420) Cho dãy số
Lời giải Từ công thức xác định dãy, ta có: xn+1 = xn(1−xn+x 2 n − +x 2010 n −x 2011 n ) = x n (1−x 2012 n )
Ta có 0< x 1 < 1, giả sử 0< x n < 1 Ta thấy :
Như vậy dãy {x n } giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có n→+∞lim (nxn) = lim n→+∞ x n n −1 = lim n→+∞
Việc xác định giới hạn của dãy số tuân theo công thức quy hồi u_{n+1} = u_n + u_{a_1 n} + u_{a_2 n} + \dots + u_{a_k n} mang tính hình thức bởi có nhiều dãy số không thỏa mãn đúng dạng này; tuy vậy, Định lý Stolz–Cesàro vẫn có thể được áp dụng để phân tích giới hạn Định lý này giúp so sánh sự tăng trưởng giữa hai dãy liên tiếp và rút ra các kết quả về giới hạn và tốc độ tăng trưởng của dãy, ngay cả khi các tham số a_i có giá trị khác nhau Trong bài toán tiếp theo, ta sẽ xem xét cách áp dụng Stolz–Cesàro cho các dãy có dạng quy hồi tương tự và xem xét điều kiện để đưa ra các nhận định chính xác Xem tiếp các bài toán sau.
Bài toán 2.1.14 Cho dãy số {u n } xác định bởi u1 = −2 và un+1 1−√
2 , với mọi n∈ N ∗ Tính lim n→∞nu n
1−4u n và u 1 < 0 nên dễ dàng chứng minh được u n < 0 với mọi n∈ N ∗ Mặt khác, u n+1 = 2un
Do đó u n+1 −u n = u 2 n+1 > 0 hay u n+1 > u n ,∀n ∈ N ∗ Suy ra {u n } có giới hạn Giả sử lim n→∞u n = a, từ đẳng thức u n+1 − u n = u 2 n+1 Chuyển qua giới hạn ta được a 2 = a−a, suy ra a = 0 Ta có
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro suy ra lim n→∞
1 nu n = −1, do vậy lim n→∞nun = −1
Bài toán 2.1.15 Cho dãy số (u n ) xác định bởi 0 < u 1 < 1 và un+1(1 +un) = un−u 2013 n , với mọi n ∈ N ∗
Tính lim n→∞nu n Lời giải Ta có u n+1 (1 +u n ) = u n −u 2013 n ⇔ u n+1 = u n −u 2013 n
Do u 1 ∈ (0; 1) nên từ (2.3) dễ dàng chứng minh được u n ∈ (0; 1) với mọi n∈ N ∗ Lại có u n+1 −u 1 = u n −u 2013 n
< 0 nên {u n } giảm và bị chặn dưới Suy ra {u n } có giới hạn hữu hạn Giả sử n→∞lim u n = a, từ (2.3) suy ra a = a−a 2013
1 +a ⇔ a = 0 a = −1 mà u n > 0 với mọi n∈ N ∗ nên a = 0, hay lim n→∞u n = 0. Xét hiệu
1ưu 2012 n = 1 từ đó theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có lim n→∞
Sau đây, chúng ta cập đến những bài toán liên quan đến việc xác định hằng số β sao cho dãy u β n n có giới hạn hữu hạn khác 0.
Bài toán 2.1.16 (Vietnam Team Selection Test 1993) Dãy số {a n } xác định bởi a 1 = 1 và a n+1 = a n + 1
, n = 1,2, Hãy tìm tất cả các số thực β để dãy số a β n n có giới hạn hữu hạn khác 0.
Dễ dàng chứng minh được rằng a n →+∞ Xét hiệu (a n+1 ) 3/2 −a 3/2 n a n + 1
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro thì lim n→∞
2 Từ a β n n a 3/2 n n a β n −3/2 cùng với chú ý lim n→∞an = +∞ ta có các kết luận sau:
= 0. Như vậy giá trị duy nhất thoả mãn bài toán là β = 3/2
Nhận xét 2.1.17 cho thấy với dãy số được cho bởi công thức đệ quy u_{n+1} = u_n + u_n^b, điều kiện để dãy này có giới hạn hữu hạn khác 0 sau khi nhân với β^n là β = 1 − b Trong bài toán đã cho, do b = −1/2 nên ta xác định được β = 3/2 Ta tiếp tục xem xét bài toán sau để kiểm chứng và mở rộng quy luật này.
Bài toán 2.1.18 Cho dãy (u n ) xác định bởi số hạng đầu u 1 = 1 và công thức u n+1 = u n + 1
2012√ u n với mọi n ∈ N ∗ Tìm tất cả các số thực β sao cho dãy số u β n n có giới hạn hữu hạn và khác 0.
Lời giải Trong bài toán này, do b = −1/2012 nên ta tìm được β 1 + 1/2012 = 2013 2012 Sau đây là chi tiết lời giải:
Do u n ≥ 1, với mọi n ∈ N ∗ ta có u 2012 n+1 > u 2012 n + 2012 với mọi n ∈ N ∗ Áp dụng đánh giá này liên tiếp ta được u 2012 n > u 2012 1 + 2012n= 2012n+ 1, suy ra u n > 2012 √
2012n+ 1 Điều này cho ta khẳng định lim n→∞u n = +∞. Xét hiệu u
2012, (áp dụng quy tắc ´LHopital với f(x) = (1 +x) 2013 2012 ) Theo Định lí trung bình Stolz-Cesàro suy ra n→∞lim u
2013 n 2012 và từ đây suy ra n→∞lim u β n n
Vậy dãy số u β n n có giới hạn hữu hạn và khác 0 khi β = 2013 2012
Ta xét bài toán tổng quát hơn với dãy u n+1 = u n +u a n 1 +u a n 2 + +u a n k Bài toán 2.1.19 Cho dãy số {x n } được xác định bởi x 0 = 1 và x n+1 = x n + 3
Tìm tất cả các số thực m sao cho dãy số nx n n m o có giới hạn hữu hạn khác 0.
Ta thấy dãy nx n n m o có giới hạn hữu hạn khác 0 khi và chỉ khi dãy (x 1/m n n
) có giới hạn hữu hạn khác 0 Dễ thấy lim(x n ) = +∞ Xét x 5/4 n+1 −x 5/4 n xn + 3 x 1/3 n
Theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có limx 5/4 n n = 5.
Từ x 1/m n n = x 5/4 n n x 1/m−5/4 n ta có kết luận
5 và đây là giá trị duy nhất thoả mãn bài toán
4 và số m cần tìm thoả mãn
5. Xem ra với dãy số xác định bởiu n+1 = u n +u a n 1 +u a n 2 + +u a n k thì điều kiện để dãy a β n n có giới hạn hữu hạn khác 0 là β = 1−max{a 1 , a2, , ak}.
Ta xét thêm bài toán sau.
Bài toán 2.1.21 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 434) Cho dãy số {x n } xác định bởi x 1 > 0 cho trước và x n+1 = x n + 1 x n + 2 x 2 n + 3 x 3 n + + 2012 x 2012 n , n = 1,2,3
Tìm tất cả các số thực α sao cho dãy {n.x α n } có giới hạn hữu hạn khác 0.
Lời giải Dãy {n.x α n } có giới hạn hữu hạn khác 0 khi và chỉ khi dãy x −α n n có giới hạn hữu hạn khác 0 Như vậy α sẽ thoả mãn
Ta thấy rõ hơn qua lời giải chi tiết sau: Dễ thấy limxn = +∞ thế nên nếu đặt yn = 1 x n thì limyn = 0 Xét x 2 n+1 −x 2 n x n + 1 x n + 2 x 2 n + + 2012 x 2012 n
Theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro thìlimx 2 n n = 2.Điều này cùng với x −α n n = x 2 n n x −α−2 n cho ta kết luận
Như vậy α = −2 là đáp số duy nhất của bài toán
Các bài toán tiếp theo cho ta thấy ứng dụng của các mở rộng của Puspană.
Xét hai dãy số thực {x_n} và {u_n} với {u_n} là dãy dương và lim_{n→∞} u_n = u ∈ (1, +∞) Dãy {x_n} hội tụ nếu và chỉ nếu dãy {u_n x_{n+1} − x_n} hội tụ; khi đó ta có lim_{n→∞} x_n = (1/(u−1)) lim_{n→∞} (u_n x_{n+1} − x_n).
Lời giải Đặt a n = u 1 u 2 u n−1 x n và b n = u 1 u 2 u n−1 Khi đó, ta có x n = a b n n và unxn+1−xn = a n+1 −a n b n+1 −b n
Xét dãy {u_n} là dãy số dương và lim_{n→∞} u_n = u ∈ (1, +∞); nên {b_n} là dãy số đơn điệu tăng ngặt, không bị chặn trên và lim_{n→∞} (b_n / b_{n+1}) = 1/u ≠ 1 Giả sử dãy {u_n x_{n+1} − x_n} có giới hạn; áp dụng Định lý 1.2.1 đối với hai dãy a_n và b_n để chỉ ra {x_n} có giới hạn Ngược lại, nếu {x_n} có giới hạn thì theo Định lý 1.2.9 dãy {u_n x_{n+1} − x_n} có giới hạn và lim_{n→∞} x_n = lim_{n→∞} [u_n x_{n+1} − x_n] / (u_n − 1) = (1/(u−1)) lim_{n→∞} [u_n x_{n+1} − x_n].
Bài toán 2.1.23: Cho hai dãy {x_n} và {u_n} là hai dãy số thực thỏa mãn lim_{n→∞} u_n = u với |u| > 1 Nếu dãy {u_n x_{n+1} − x_n} hội tụ thì dãy {x_n} hội tụ; khi đó lim_{n→∞} x_n = (1/(u − 1)) lim_{n→∞} (u_n x_{n+1} − x_n).
Lời giải Đặt a n = u 1 u 2 u n−1 x n và b n = u 1 u 2 u n−1 Khi đó, ta có x n = a b n n và u n x n+1 −x n = a n+1 −a n b n+1 −b n
Do lim n→∞u n = u, |u| > 1 nên {|b n |} là dãy số đơn điệu tăng ngặt, không bị chặn trên và
|b n+1 | − |b n | bị chặn Giả sử dãy {u n x n+1 −x n } hội tụ, áp dụng Hệ quả 1.2.18 đối với hai dãy a n và b n ta chỉ ra {x n } hội tụ và n→∞lim x n = lim n→∞ u n x n+1 −x n u n −1 = 1 u−1 lim n→∞(u n x n+1 −x n ).
Bài toán 2.1.24 Cho {x n } và {u n } là hai dãy số thực sao cho {x n } bị chặn và lim n→∞u n = u,|u| < 1 Nếu dãy {u n x n+1 −x n } hội tụ thì dãy {x n } hội tụ, khi đó ta có n→∞lim x n = 1 u−1 lim n→∞(u n x n+1 −x n ).
Lời giải Đặt a n = u 1 u 2 u n−1 x n và b n = u 1 u 2 u n−1 Khi đó, ta có x n = a b n n và u n x n+1 −x n = a n+1 −a n b n+1 −b n
Do lim n→∞u n = u, |u| < 1, {x n } bị chặn nên lim n→∞a n = lim n→∞b n = 0, {|b n |} giảm ngặt và
|b n+1 | − |b n | bị chặn Giả sử dãy {u n x n+1 −x n } hội tụ, áp dụng Hệ quả 1.2.21 đối với hai dãy an và bn ta chỉ ra {x n } hội tụ và n→∞lim x n = lim n→∞ unxn+1−xn u n −1 = 1 u−1 lim n→∞(u n x n+1 −x n ).
Tổng các lũy thừa với số mũ nguyên
Từ nhiều năm trước ta đã biết rằng tổng lũy thừa các số nguyên dạng
P i=1 i k là một đa thức bậc k+ 1 theo biến nvới các hệ số hữu tỷ.
Ví dụ, ta biết rằng
1^3 + 2^3 + … + n^3 có công thức đóng gói là (n(n+1)/2)^2, tương ứng với (1/4)n^4 + (1/2)n^3 + (1/4)n^2 Để có được kết quả này, người ta thường sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh tính đúng đắn của công thức Tuy vậy, bằng cách quy nạp và phân tích tổng ta vẫn chưa xây dựng được một phương pháp tổng quát để tính S_k(n) = ∑_{i=1}^n i^k cho mọi k, đặc biệt khi k tăng lên Bởi thế, công thức cho bậc ba nổi bật như một ví dụ điển hình về cách quy nạp giúp khám phá cấu trúc của tổng lũy thừa và cho thấy các giới hạn trong việc mở rộng sang các cấp độ cao hơn của S_k(n).
P i=1 i k với k nguyên dương bất kỳ.
Trong phần này, ta trình bày ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro vào xác định các hệ số của đa thức này S k (n).
S k (n) = 1 k + 2 k + .+ n k = c k+1 n k+1 +c k n k + .+ c 1 n+c 0 trong đó c0 = 0 Để tính ck+1, ta chia biểu thức trên cho n k+1 : c k+1 = lim n→∞
Lấy giới hạn hai vế ta thu được ck+1 = lim n→∞
1 k + 2 k + .+n k n k+1 Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có c k+1 = lim n→∞ n k n k+1 −(n−1) k+1 = 1 k + 1 (2.4)
Với j = 1,2, , k, c j = S k (n)−c k+1 n k+1 −c k n k − .−c j+1 n j+1 −c j−1 n j−1 −c 1 n−c 0 n j với mọi n Cho n→ +∞ ta được cj = lim n→∞
S k (n)−c k+1 n k+1 −c k n k − .−c j+1 n j+1 n j Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có c j = lim n→∞ n k −c k+1 (n k+1 −(n−1) k+1 )−c k (n k −(n−1) k )− −c j+1 (n j+1 −(n−1) j+1 ) n j −(n−1) j (2.5)
Bậc cao nhất dưới mẫu số là j−1 Giới hạn này tồn tại, do đó các số hạng có bậc cao hơn j−1 ở tử số triệt tiêu, còn các số hạng có bậc nhỏ hơn sẽ không ảnh hưởng đến giới hạn Mở rộng các hạng trên tử số và rút gọn, ta thấy số hạng bậc (j−1) bằng (-1)^{k−j} c_{k+1} C_{k+1}^{j−1} + (-1)^{k−j−1} c_k C_k^{j−1} + + c_{j+1} C_{j+1}^{j−1} Điều này cùng với (2.5) cho ta công thức (2.6): c_j = (-1)^{k−j} c_{k+1} C_{k+1}^{j−1} + (-1)^{k−j−1} c_k C_k^{j−1} + + c_{j+1} C_{j+1}^{j−1}.
Bây giờ áp dụng (2.4) và (2.6) ta có thể tính truy hồi ck+1, ck, , c0 Ví dụ, k c k+1 c k c k−1 S k (n)
2 1 3 1 2 1 6 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n Như vậy, chúng ta có được công thức truy hồi tính tổng S k (n) n
P i=1 i k với k nguyên dương bất kỳ.
Bài toán 11174 của P P Dalyay
Trong phần này, chúng tôi trình bày lại lời giải của E J Ionascu cho bài toán 11174 Bài toán này được đưa ra bởi P P Dalyay trong [5] và E.
J Ionascu đã sử dụng định lý Stolz-Cesàro trong lời giải của mình ([6]).
Sau đây, là phát biểu của bài bài toán 11174.
Bài toán 11174 Cho f và g là hàm liên tục, khác hằng, ánh xạ R vào R thỏa mãn các điều kiện sau:
2 Tồn tại dãy {x n } n≥1 sao cho lim n→∞x n = ∞ và lim n→∞ g(x n ) x n
3 f ◦g khác hằng trên R. Kiểm tra tính tuần hoàn của h = f ◦g. Để giải bài toán trên, E J Ionascu chứng minh định lý sau. Định lý 2.3.1 Cho f và g là các hàm liên tục khác hằng, từ R vào R và thỏa mãn các điều sau:
(ii) Tồn tại các dãy {x n } n≥1 và {y n } n≥1 sao cho infn |x n −y n | > 0 và lim n→∞ g(x n )−g(y n ) x n −y n
Dưới các giả thiết trên hàm h = f ◦g không thể tuần hoàn.
Để chứng minh h = f ◦ g không thể tuần hoàn, áp dụng hệ quả 1.1.23 và chứng minh h không liên tục đều Ta bắt đầu với f và g thỏa mãn (i) và (ii) của định lý Bởi vì g liên tục và theo tính chất (ii) ta thấy rằng đoạn In := g([x_n, y_n]) (hoặc In := g([y_n, x_n])), với n đủ lớn, phải là một đoạn có độ dài lớn hơn chu kỳ tuần hoàn T của f Do đó miền giá trị của f bằng với miền giá trị của h = f ◦ g Vì f khác hằng nên h khác hằng Cho nên, ta có thể chọn α và β sao cho f(g(α)) ≠ f(g(β)) và đặt ε0 = |f(g(α)) − f(g(β))| > 0 Ta muốn chỉ ra rằng định nghĩa của hàm liên tục đều không thỏa mãn với ε0 này.
Ta cố định n ∈ N đủ lớn để đảm bảo |I n | > 2T và ký hiệu #(g(α)) là số giá trị nguyên của k sao cho g(α) + kT thuộc I n Khi đó, dễ thấy
Tương tự, ký hiệu #g(β) là số số nguyên k sao cho g(β) +kT thuộc In.
Một lần nữa, ta có #(g(β)) > |g(x n )−g(yn)|
Rõ ràng rằng các giá trị của g(α) + kT (k ∈ Z) xen kẽ với các giá trị của g(β) + kT (k ∈ Z) Do g liên tục, áp dụng liên tiếp Định lý giá trị trung gian 1.1.24, ta có thể tìm được hai dãy u_k và v_k trong khoảng [x_n, y_n] (hoặc [y_n, x_n]), cả hai đều tăng và xen kẽ nhau sao cho g(u_k) = g(α) + l_k T và g(v_k) = g(β) + s_k T với l_k, s_k ∈ Z Số đoạn có dạng [u_k, v_k) (hoặc [v_k, u_k), [v_k, u_{k+1}), v.v.) tối thiểu là một số đoạn liên tiếp giữa hai dãy này.
Các đoạn này tạo thành một phân hoạch của một đoạn con của J_n, J_n được định nghĩa là [x_n, y_n] hoặc [y_n, x_n], với độ dài bằng |x_n − y_n| Do đó, ít nhất một trong các đoạn con này có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng |x_n − y_n|.
Ta ký hiệu đoạn như vậy là [ζn, ηn] và chú ý rằng
(2.7) và |f(g(ζn)) −f(g(ηn))| = ε0 Với δ > 0 tùy ý nhưng cố định, ta chọn n sao cho |ζ n −ηn| < δ Do có (2.7) nên ta có thể chọn được n như vậy.
Vớin này, ta có |h(ζ n )−h(ηn)| ≥ ε0, điều này chứng minh rằng h không liên tục đều.
Sau đây, là lời giải của Bài toán 11174 Trong lời giải chúng ta sẽ sử dụng một mở rộng của G Nagy là Định lý 2.3.1.
Giả sử f, g và {x n } thỏa mãn các điều kiện 1-3 trong Bài toán 11174.
Ta có thể chọn một dãy con {x_{n_k}} của {x_n} sao cho x_{n_k+1} − x_{n_k} ≥ 1 với mọi k và lim_{k→∞} g(x_{n_k}) x_{n_k} = ∞ hoặc lim_{k→∞} g(x_{n_k}) x_{n_k} = −∞; không giảm giả thiết, ta có thể giả sử trường hợp đầu tiên vì trường hợp thứ hai được suy ra từ trường hợp đầu tiên bằng cách đổi g thành −g Áp dụng Định lý 1.2.11 cho hai dãy {g(x_{n_k})} và {x_{n_k}}, ta có limsup_{k→∞} [g(x_{n_k+1}) − g(x_{n_k})] / [x_{n_k+1} − x_{n_k}] = ∞ Điều này chứng minh sự tồn tại của hai dãy trong (ii) như trong Định lý 2.3.1 Do đó, ta có thể áp dụng Định lý 2.3.1 cho f và g và thu được h = f ∘ g không tuần hoàn.
Luận văn trình bày được một số nội dung như sau:
- Tổng hợp một số khái niệm, định lý cơ bản về dãy số, hàm số và chuỗi số.
- Trình bày một số dạng cổ điển, dạng mở rộng và một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro.
Định lý Stolz–Cesàro cho phép xác định giới hạn của dãy số bằng cách so sánh sự gia tăng giữa tử số và mẫu số, từ đó chuyển đổi giới hạn của một tỷ số thành giới hạn của các hiệu liền kề Bài viết trình bày một số bài toán ứng dụng trực tiếp của định lý này để tính giới hạn của dãy số và xét sự hội tụ của các chuỗi số Ví dụ điển hình gồm: (i) tính lim a_n/b_n khi b_n tăng nghiêng về vô cùng và giới hạn của (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) tồn tại; (ii) với a_n = ∑_{k=1}^n k và b_n = n^2 ta có lim a_n/b_n = 1/2 vì (a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n) = (n+1)/(2n+1) → 1/2; (iii) ứng dụng cho các bài toán liên quan đến giới hạn của dãy tổng lũy thừa hoặc dãy phân số dạng tổng chia n, và xem xét sự hội tụ của chuỗi số dựa trên điều kiện b_n tăng và b_n → ∞.
Trong bài viết này, chúng ta tập trung vào các ứng dụng khác của định lý Stolz-Cesàro, đặc biệt là việc tính tổng hữu hạn của các lũy thừa nguyên Đồng thời, định lý Stolz-Cesàro được sử dụng để nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P.
Đây là một tổng hợp các bài toán về dãy số và giới hạn được tuyển chọn từ đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2011-2012, do Lê Phúc Lữ (2013) trình bày, nhằm hệ thống hoá những bài toán điển hình và đưa ra phương pháp giải cùng lời giải mẫu Tài liệu tập trung vào các kỹ thuật chứng minh và cách phân tích đề nhằm nâng cao khả năng tư duy toán học, vận dụng vào các bài toán dãy số, chuỗi và giới hạn, phù hợp cho học sinh giỏi, giáo viên và người luyện thi mong muốn cải thiện hiệu quả ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi.
[2] Nguyễn Văn Mậu (2005), Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Tuyển tập Olympic toán sinh viên toàn quốc 1993 -2005,
[4] Kỷ yếu Olympic toán sinh viên toàn quốc các năm 2014, 2015, 2016, Hội toán học Việt Nam.
[5] P P Dalyay(2005), "Problem 11147", Amer Math Monthly, 112(8), pp 43-48.
[6] E J Ionascu (2008), "Twin problems from the Monthly and the Stolz-Cesàro Lemma", Crux Mathematicorum with Mathematical May-hem,34(7), pp 424-429.