bai giang dong luc hoc cong trinh chuong 3 5115

o Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời rạc: phương pháp dồn khối lượng và phương pháp phần tử hữu hạn FEM..  Nhận xét: o Bài toán động lực học ứng với ma trận khối lượng thu gọn đơ

Trang 1

o Vô hướng (scalar) kí hiệu chữ thường in nghiêng: a, b, c

o Vec tơ: kí hiệu chữ thường or nghiêng, in đậm: a, b, c

o Ma trận: kí hiệu chữ hoa in đậm: A, B, C

19-Oct-21 GV Trịnh Bá Thắng 121

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)

Trang 2

 Lựa chọn bậc tự do

o Thực tế kết cấu thường là hệ phân bố, có vô hạn bậc tự do

o Đưa về sơ đồ một bậc tự do chỉ thích hợp trong một số trường hợp đặc biệt, khi hệ hầu như chỉ dao động với một dạng nhất định

o Để thu được kết quả chính xác hơn, ta phải đưa hệ kết cấu về hệ nhiều bậc tự do Số bậc tự do được chọn dựa vào bài toán cụ thể

Trang 3

o Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời rạc: phương pháp dồn khối lượng và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)

o Cách chọn tọa độ suy rộng: là biên độ của một số kiểu (pattern) biến dạng của hệ

Trang 4

 Phương trình cân bằng

o Xét hệ với các bậc tự do là chuyển vị tại các điểm 1, 2, 3, , N

o Tại mỗi điểm có các lực tác dụng: tải trọng pi(t), lực quán tính fIi, lực cản fDi và lực đàn hồi fSi

o Phương trình cân bằng nút thứ i:

fIi + fDi + fSi = pi(t) (i = 1, 2, 3, , N)

Trang 5

o Khai triển ra cho một số khối lượng

Trang 6

 Phương trình cân bằng

o Dạng ma trận:

{fI} + {fD} + {fS} = {p(t)} (3.1) (Có dạng tương tự như hệ một bậc tự do)

Trang 7

o Lực đàn hồi phát sinh tại m1 phụ thuộc vào chuyển vị của tất cả điểm trên kết cấu:

fS1 = k11v1 + k12v2 + + k1NvN

o Trường hợp tổng quát, ta có:

fSi = ki1v1 + ki2v2 + + kiNvN (với i = 1, N) với kij (stiffness influence coefficcient: hệ số ảnh hưởng đàn hồi) là

lực tại nút i do chuyển vị v j = 1 gây ra

o Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi (ngược chiều với lực nút)

Trang 9

o Dạng ma trận: tương tự lực đàn hồi (3.4)

Hay {fD} = [C].{𝑣 + (3.5)

o cij (damping influence coefficcient: hệ số ảnh hưởng cản) là lực tại nút i do 𝑣 𝑗 = 1 gây ra

o [C] là ma trận cản (Damping Matrix) 19-Oct-21 GV Trịnh Bá Thắng 129

Trang 16

1 Tính chất đàn hồi

o Thường ma trận độ cứng [K] được suy ra từ ma trận độ mềm [F]

hoặc dùng phương pháp phần tử hữu hạn

Trang 18

2 Tính chất khối lƣợng

 Ma trận khối lƣợng thu gọn:

o Mô tả phương pháp khối lượng thu gọn:

Trang 19

 Ma trận khối lƣợng thu gọn:

o Ma trận khối lượng thu gọn là ma trận đường chéo:

o Trong đó: mij = 0 với i  j, vì gia tốc tại khối lượng nào chỉ gây ra lực quán tính tại khối lượng đó

Trang 21

 Nhận xét:

o Bài toán động lực học ứng với ma trận khối lượng thu gọn đơn giản hơn vì:

 [M] thu gọn dạng đường chéo, trong khi [M] tương thích có nhiều

hệ số khác 0 ở ngoài đường chéo

 Các hệ số của [M] thu gọn ứng với các chuyển vị xoay cũng bằng

0, càng làm cho bài toán đơn giản hơn

 Dùng [M] thu gọn có thể loại bỏ các chuyển vị xoay, nhưng dùng

M tương thích thì không thể loại bỏ được

Trang 22

o Tuy nhiên, để xác định hàm c(x) trong thực tế thì không làm được

o Thường tính cản của kết cấu xác định bởi thực nghiệm bằng tỉ số cản x

Trang 23

o Nếu tải trọng tác dụng trên phần tử thì phải thay thế bằng tải trọng nút tương đương, dùng khái niệm lực suy rộng Có 2 phương pháp:

 Tải trọng nút tương đương tĩnh học

 Tải trọng nút tương thích

Trang 24

4 Tải trọng:

 Xem như tải trọng đặt trên dầm phụ có mắt truyền lực đặt tại nút Lực truyền vào nút sẽ thay thế cho tải trọng đặt trên phần tử

 Như vậy không truyền mô men tập trung vào nút

Trang 26

5 Lựa chọn cách thiết lập ma trận tính

o Có 2 cách tính gần đúng các ma trận khối lượng, độ cứng hình học, tải trọng:

 Phương pháp sơ cấp chỉ xét đến chuyển vị thẳng

 Phương pháp tương thích xét cả chuyển vị thẳng chuyển vị xoay

o Về nguyên tắc, phương pháp tương thích cho độ chính xác cao hơn,

vì xét đầy đủ và hệ thống hơn các phần năng lượng liên quan đến sự làm việc động của kết cấu

o Tuy nhiên, trong thực tế thì độ chính xác của phương pháp tương thích không trội bao nhiêu so với phương pháp sơ cấp

Trang 27

o Phương pháp tương thích khối lượng tính toán thì lớn hơn nhiều mặc

dù bậc tự do xoay đóng vai trò kém quan trọng so với chuyển vị thẳng

o Phương pháp sơ cấp dễ dàng hơn: vì các ma trận xuất phát dễ tính hơn và số bậc tự do phải xét cũng ít hơn

Trang 28

o Do tính chất tuần hoàn nên chọn nghiệm có dạng:

:Thể hiện dạng dao động (chỉ là biên độ dao động)

Trang 29

o Để hệ không có nghiệm tầm thường:

o Đây là phương trình đại số bậc n, do đó có n nghiệm w1 2 , w2 2 , , wn 2

o Vectơ tần số riêng như sau

o Từ wi ta sẽ tìm được chu kì hay tần số dao động tự nhiên của công

Trang 30

 Ví dụ 3.1: Xác định tần số dao động riêng khung 3 tầng như hvẽ

Trang 31

Trang 37

0 𝑚2 0 4

o Xác định ma trận độ cứng:

[K]= 𝑘11 𝑘12

𝑘21 𝑘22 = 24−24 −2472

Trang 40

[F]= f11 f12

f21 f22

f11 = f22 = EI1 M1 M1 = 3EIa3 1.23. 23 + 3EIa3 2.23.23 = 𝟗EI4a3

f12 = f21 = EI1 M1 M2 = 3EIa3 1.13.23 2 + 6EIa3 2.23.13 2 + 23.23 + 13.13 = 18EI7a3

Trang 41

[A] = (1 − 8u) −14u

−7u (1 − 16u) với u = ω

Trang 42

det A = 0  (1 – 8u)(1 – 16u) – 7u.14u = 0

Trang 43

o Từ phương trình: , ứng với mỗi tần số wn ta có một vectơ riêng

o Nhưng vì ta đã sử dụng điều kiện định thức triệt tiêu để tính tần số riêng, do đó hạng của ma trận chỉ còn n-1

o Giá trị biên độ̣ của dao động là không thể xác định được

o Tuy nhiên hình dạng của dao động có thể xác định được bằng cách tính toán các chuyển vị theo bất kỳ một tọa độ̣ nào đó

o Thường chọn thành phần đầu tiên , khi đó vectơ chuyển vị trở thành:

2 ˆ [K w M v]  0

Trang 44

3 Phân tích hình dạng mode của dao động:

o Khi đó vectơ chuyển vị trở thành

o Dạng dao động (mode shape) thứ n được định nghĩa bởi vectơ

1 ˆ

Trang 45

ˆ

12

) ( )

( 2

)

( 1

)

( 2

)

( 22

)

( 21

)

( 1

)

( 22

)

( 11

n N

n n

n N

n n

v

e e

e

e e

e

e e

e

Trang 46

o Ta chia thành các ma trận con như sau

ˆ

12

) ( )

( 2

)

( 1

)

( 2

)

( 22

)

( 21

)

( 1

)

( 22

)

( 11

n N

n n

n N

n n

v

e e

e

e e

e

e e

e

𝑬01𝑛

Trang 47

o Viết lại phương trình (3.10) dạng kí hiệu dùng ma trận con:

o Tương đương với 2 phương trình:

0

01 00

1 0 ˆ

Trang 48

o Dạng dao động (mode shape) thứ n được định nghĩa bởi vectơ

(không thứ nguyên)

1 ˆ

Trang 49

o Ma trận dạng dao động (Mode shape matrix) là tập hợp của N vectơ dạng dao động:

N

N N

2 22

21

1 12

11

Trang 50

 Ví dụ 3.4: Cho kết cấu như trên hình vẽ Biết: m1=1 (kN.s2/m) , m2= 4 (kN.s2/m), a = 2 (m), EI= 2000 (kN.m2) Yêu cầu:

 Xác định tần số riêng

 Vẽ dạng (mode) dao động riêng

Trang 51

f21 f22

f11 = EI1 M1 M1 = 𝟑EI𝟖a3 ; f22 = EI1 M2 M2 = 𝟑EIa3

Trang 52

[A] = (1 − 16u) −20u

−5u (1 − 8u) với u = ω

2 Ma 3

𝟔EI

Trang 53

Trang 56

 Ví dụ 3.5: Cho kết cấu như trên hình vẽ Biết: m1=1 (kN.s2/m) , m2= 2 (kN.s2/m), a=1 (m), EI= 3000 (kN.m2) Yêu cầu:

 Xác định tần số riêng

 Vẽ dạng dao động riêng

 Kiểm tra điều kiện trực giao ( theo M)

Trang 57

 Các điều kiện cơ bản

o Phương trình dao động (3.9) viết lại cho tần số wn và wm (giả thiết

v

Trang 58

4 Điều kiện trực giao

o Chuyển trí hai vế (3.13), chú ý vì chúng đối xứng:

Trang 59

Trang 60

4 Điều kiện trực giao

o Điều kiện trực giao thông qua mode

o Vector biên độ được chuẩn hóa theo ma trận khối lượng thành thỏa mãn điều kiện:

o Gọi = scalar Thì vector chuẩn hóa sẽ là:

00

Trang 61

 Chuẩn hóa theo ma trận khối lƣợng

o Khi đó ma trận vuông gồm N vector sẽ thỏa mãn

Trang 62

 Ví dụ 3.6 :Cho kết cấu như trên hình vẽ Biết: m1=1 (kN.s2/m), m2= 2 (kN.s2/m), L=3m, h=4 (m), EI= 3000 (kN.m2)

o Xác định tần số dao động riêng

o Vẽ dạng dao động riêng

o Kiểm tra điều kiện trực giao

Trang 63

 Ví dụ 3.7: Cho kết cấu như trên hình vẽ Biết: m1=1 (kN.s2/m), m2= 3 (kN.s2/m), L=3m, h=4 (m), EI= 3000 (kN.m2)

o Xác định tần số dao động riêng

o Vẽ dạng dao động riêng

o Kiểm tra điều kiện trực giao

o Chuẩn hóa theo ma trận khối lượng

Trang 64

o Phương pháp dùng để phân tích phản ứng động của công trình được dùng là phương pháp chồng chất mode

o Nội dung chính của phương pháp: biến hệ dao động có n phương

trình vi phân, thành dạng hệ dao động có n phương trình vi phân

tách rời

o Để dùng phương pháp trên ta phải tìm hiểu tọa độ chuẩn  Từ đó

có thể thiết lập phương trình chuyển động tách rời của hệ

Trang 65

o Vectơ chuyển vị {v}của hệ N bậc tự do có thể tạo ra bằng cách tổ hợp tuyến tính của N vectơ cơ sở đã biết nào đó

o Tuy nhiên, nếu chọn các vectơ cơ sở là các dạng chính (Mode

của chúng

o Các dạng chính đóng vai trò tương tự như các hàm lượng giác của

số hạng của chuỗi

Trang 66

1. Tọa độ chuẩn (Normal Coordinates)

Trang 67

o Xét dầm console như hình vẽ Vectơ chuyển vị ứng với hàm dạng n

là v n xác định bởi công thức:

vn = n Y n (3.78)

Trong đó: Y n là biên độ (tọa độ suy rộng) ứng với hàm dạng n

o Chuyển vị toàn phần v được phân tích thành tổng các dạng chính như sau:

v= 1 Y 1 + 2 Y 2 + + n Y n = (3.79)

o Dạng ma trận: v = Y  : ma trận vuông của các dạng chính

Trang 68

o Các thành phần Yn của vectơ Y có thể tìm dễ dàng nhờ tính trực giao của các hàm dạng như sau: nhân 2 vế của (3.79) với nT M:

nT M v = nT M Y (3.80)

o Áp dụng tính trực giao iTMj = 0 với i j, vế phải (3.80) được triển khai:

nT M v = nTM1 Y 1 + nTM2 Y 2 + + nTMn Y n = nTMn Y n

Trang 70

o Vec tơ  phụ̣ thuộc vào thời gian, nên Yn cũng phụ̣ thuộc thời gian Đạo hàm 2 vế (3.82) ta có:

Trang 71

o Phương trình chuyển động không cản:

Trang 72

2 Phương trình chuyển động tách rời của hệ không cản

Trang 73

o Từ phương trình điều kiện trực giao (3.11):

Trang 74

 Ví dụ 3.8: Tìm phương trình chuyển động tự do của hệ

1 (cm)

v 0 =

01

0 (

m

s )

Trang 76

t1 =3,54 ; t2 = 1,60 và t3 = 0,35 với t = w2/600

o Tần số dao động riêng: 𝜔 = 𝜔𝜔12

𝜔3 =

46,0730,9814,49 (1/s)

Trang 79

 M1 = *𝜑1+𝑇.[M].{𝜑1+ = [1 -2,54 2,44] 0 1,5 0

0 0 2 −2,542,44

=[1 3,81 4,88] 1

−2,542,44 = 22,585

Trang 82

 M1 𝑌 1(0)= *𝜑1+𝑇.[M].{𝑣 (0)+= [1 3,81 4,88] 0

10

= 3,81

Trang 84

o Xác định chuyển vị hình học:

v(t) = 1Y1(t) + 2Y2(t) + + nYn(t)

o Dạng ma trận

{v} = [].{Y}

Trang 85

 Ví dụ 3.9: Xác định phương trình chuyển động của hệ VD 3.5

Trang 86

o Như vậy, việc dùng tọa độ chuẩn đã biến hệ N phương trình vi

phân dao động của hệ N bậc tự do, về dạng gồm N phương trình vi

o Phản ứng động của hệ được xác định bằng cách chồng chất các

phản ứng của các dạng chính (mode)

o Phương pháp được gọi là phương pháp chồng chất mode (Mode

Superposition Method)

Trang 87

 Bước 1: Phương trình vi phân chuyển động của hệ:

đối với dạng chính và tần số, ta có phương trình trị riêng

Trang 88

3 Tóm tắt phương pháp chồng chất dạng

Trang 89

 Bước 5: Phản ứng của dạng chính với tải trọng

o Phương trình chuyển động tách rời là phương trình chuyển động của

hệ một bậc tự do có cản Có thể tìm nghiệm bằng tích phân Duhamel:

o Phương trình trên áp dụng cho trường hợp điều kiện ban đầu t = 0 thì

Yn(0) = (0) = 0

o Có thể giải phương trình trên bằng phương pháp số

( ) 0

Trang 90

3 Phương trình chuyển động tách rời của hệ có cản

Trang 91

 Bước 7: Chuyển vị trong tọa độ hình học

Trang 95

o Xác định tần số dao động riêng

o Xác định các dạng dao động riêng

o Xác định chuyển vị đứng của hệ Biết M2 = 2.M1 =4 kN.s2/m, h =3m; E = 2.107kN/m2

, I = 2.105cm4

Tiêu đề	Chương 3: Hệ Nhiều Bậc Tự Do
Tác giả	Nhóm tác giả
Người hướng dẫn	GV Trịnh Bá Thắng
Trường học	Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Cơ học
Thể loại	Bài giảng động lực học công trình
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	95
Dung lượng	3,65 MB