.Tuy nhiên hiện nay có ít các tài liệu về tiếng Việt trình bày một cách hệ thống cả lý thuyết và bài tập về đa thức, với định hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán vàbồi dưỡng giáo viên dạy
Định nghĩa và các tính chất
Định nghĩa
Trong vành giao hoán có đơn vị, một đa thức được định nghĩa là biểu thức có dạng \( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) với \( a_n \neq 0 \), trong đó các phần tử \( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \) thuộc vành \( R \) Đa thức này được coi là một phần tử của vành \( R[x] \), được gọi là một đa thức trên vành \( R \).
Trong định nghĩa về đa thức, các hệ số của đa thức được gọi là hệ số, trong đó hệ số \( a_n \) là hệ số của bậc cao nhất của đa thức Bậc của đa thức được xác định bởi số tự nhiên \( n \), ký hiệu là deg\( P(x) \), trong đó \( x \) gọi là ẩn, biến hoặc đối số của đa thức Hệ số cao nhất của đa thức là \( a_n \), còn hệ số tự do là \( a_0 \), giúp xác định đặc điểm và độ phức tạp của đa thức trong các ứng dụng toán học và giải tích.
Nếuai=0vớii=1,2, ,n−1vàa 0 6=0thì ta có bậc của đa thức là không.
Nếuai=0vớii=1,2, ,nthì f(x) =0, ta gọi đa thức này làđa thức không.
Nói chung người ta không định nghĩa bậc của đa thức không nhưng ta coi bậc của nó là−∞.
Hai đa thức \(f\) và \(g\) được gọi là bằng nhau, và ký hiệu là \(f = g\), khi chúng cùng là đa thức không hoặc đều khác đa thức không Ngoài ra, điều kiện quan trọng để xác định hai đa thức bằng nhau là hệ số của chúng tương ứng phải bằng nhau Việc này giúp đảm bảo tính chính xác trong phép so sánh hai đa thức và phục vụ các bài toán, các ứng dụng trong toán học và kỹ thuật một cách chuẩn xác.
Vành đa thức trên R, ký hiệu là R[x], bao gồm tất cả các đa thức có hệ số trong vành R Khi R là một trường, thì R[x] trở thành một vành giao hoán có đơn vị, mang ý nghĩa quan trọng trong cấu trúc đại số Hệ số trong các đa thức này thuộc R, tạo thành một cấu trúc vành đa thức phong phú, phục vụ cho nhiều ứng dụng trong toán học.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc các kỳ thi tuyển sinh, ứng dụng của lý thuyết đa thức đóng vai trò quan trọng Luận văn này tập trung vào các đa thức thuộc các tập như Z[x], Q[x], R[x], hoặc C[x], lần lượt gọi là đa thức nguyên, đa thức hữu tỷ, đa thức thực, hoặc đa thức phức Các loại đa thức này được phân loại dựa trên tập hợp các hệ số, góp phần quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến lý thuyết đa thức trong toán học nâng cao.
Các phép tính trên đa thức
Cho hai đa thức f(x) =anx n +a n−1 x n−1 + .+a 1 x+a 0 , g(x) =b n x n +b n−1 x n−1 + .+b 1 x+b 0
Ta định nghĩa các phép tính số học như sau
• Phép nhân f(x)g(x) =c 2n x 2n +c 2n−1 x 2n−1 + .+c 1 x+c 0 trong đó c k =a 0 b k +a 1 b k−1 + .+a k b 0 vớik=0,1, ,n.
Các tính chất cơ bản
Định lý 1.1.2 khẳng định rằng trong một trường F, với hai đa thức f(x) và g(x) thuộc vành đa thức F[x], luôn tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x) và r(x) thỏa mãn phương trình f(x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó độ của r(x) nhỏ hơn độ của g(x) Đây là định lý phân chia đa thức, đảm bảo tính đúng và duy nhất của phép chia đa thức trong vành đa thức, là nền tảng quan trọng trong lý thuyết đa thức và các ứng dụng toán học khác.
Ta gọiq(x)vàr(x) lần lượt làđa thức thương(hoặcthương) vàđa thức dư(hay dư) trong phép chia f(x)chog(x).
Nếur(x) =0thì ta nói f(x)chia hết chog(x), hayg(x)chia hết f(x)hay f(x) làbộicủag(x)hayg(x)làước của f(x) Ta sẽ kí hiệu là f ghay g| f.
Giả sử f(x) =anx n +a n−1 x n−1 + .+a 1 x+a 0 là một đa thức thuộc vành đa thứcR[x] Xét phần tửα ∈Rbất kỳ Khi đó f(α) =anα n +a n−1 α n−1 + .+a 1 α+a 0 được gọi làgiá trị của đa thức f(x)tạiα.
Trong toán học, nếu f(α) = 0 thì α được gọi là nghiệm của đa thức f(x) Nghiệm bội của đa thức f(x) là giá trị α sao cho f(x) có thể chia hết cho (x−α)^k nhưng không chia hết cho (x−α)^{k+1}, trong đó k > 1 Đặc biệt, khi k = 1, α được gọi là nghiệm đơn, còn khi k = 2, α được gọi là nghiệm kép.
Bài toán tìm nghiệm của đa thức \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\) trong vành \(\mathbb{R}\) được gọi là giải phương trình đại số cơ bản trong \(\mathbb{R}\) Theo định lý 1.1.3, phép chia của đa thức \(f(x)\) cho \((x - \alpha)\) trong trường \(F\) có dư bằng giá trị \(f(\alpha)\) Định lý Bèzout (định lý 1.1.4) cho biết rằng phần tử \(\alpha \in F\) là nghiệm của đa thức \(f(x)\) nếu và chỉ khi \(f(x)\) chia hết cho \((x - \alpha)\) Định lý 1.1.5 xác định rằng một đa thức thực có tối đa \(n\) nghiệm thực, cung cấp một giới hạn rõ ràng về số nghiệm thực của đa thức Các định lý này còn đi kèm với một số hệ quả quan trọng trong lý thuyết nghiệm của đa thức thực, góp phần nâng cao hiểu biết về số lượng và đặc điểm của nghiệm của các đa thức trong thực số.
Hệ quả 1.1.6 Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không.
Hệ quả 1.1.7 phát biểu rằng: Nếu một đa thức có bậc không vượt quá, nhưng nhận cùng một giá trị tại n+1 điểm khác nhau của biến ẩn, thì đa thức đó phải là đa thức hằng Điều này nhấn mạnh tính đặc biệt của đa thức hằng, khi giá trị của nó không đổi dù thay đổi giá trị của biến ẩn tại nhiều điểm khác nhau Đây là một trong những kết quả cơ bản giúp xác định tính hằng của đa thức dựa trên số lượng điểm kiểm tra Kết luận này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết đa thức và ứng dụng trong giải bài toán liên quan đến tính ổn định của đa thức.
Hai đa thức có bậc không vượt quá n, nếu chúng nhận cùng một giá trị tại n+1 điểm khác nhau của ẩn, thì chúng đồng nhất bằng nhau Điều này phản ánh tính chất quan trọng của đa thức trong xác định danh tính dựa trên các giá trị tại nhiều điểm khác nhau Theo lý thuyết, việc hai đa thức có cùng giá trị tại đủ nhiều điểm đảm bảo chúng là một, giúp xác định chính xác các đa thức trong các ứng dụng toán học và kỹ thuật.
Trong trường hợp đa thức phức, ta có kết quả sau đây về số lượng nghiệm của nó. Định lí 1.1.9 Một đa thức phức bậcncó đúngnnghiệm tính cả bội.
Trong phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày một kết quả về dạng biểu diễn của các đa thức thực, cụ thể là Định lý 1.1.10 Định lý này cho biết rằng bất kỳ đa thức thực f(x) ∈ R[x] có bậc n và hệ số bậc cao nhất an ≠ 0 đều có thể được phân tích duy nhất theo cách không xét thứ tự thành tích các nhân tử, giúp xác định rõ dạng của đa thức một cách chính xác và rõ ràng.
(x 2 +bkx+ck) vớid i ,b k ,s k ∈R,2s+m=nvàb 2 k −4c k 0 , a 1 small> 1 +b 0 , a k small> k +b k−1 , a k+1 =b k
Do đó g(x) =a 0 +pa 1 x+ .+p(p−1) .(p−k)a k+1 x k+1 small> 0 +p(cb 1 +b 0 )x+ .+p(p−1)(p−k)b k x k+1
Do f(x)cók+1nghiệm thực khác0nênq(x)cóknghiệm thực khác0 Mặt khác p>knên p>k−1.
Cho nên theo giả thiết quy nạp ta có đa thức Q(x) có k nghiệm thực Do đó g(x)có k+1nghiệm thực Vậy theo nguyên lý quy nạp, bài toán đúng.
Trường hợp 2.Đa thức f(x)nhậnx=0làm nghiệm.
Giả sửx=0là nghiệm bộikcủa f(x), vớik∈Z+,k≤n Khi đó ta có f(x) =akx k + .+anx n = (a n x n−k + .+ak)x k và g(x) = p(p−1) .(p−k+1)a k x k + .+p(p−1) .(p−n+1)an.x n
Vì f(x) có n nghiệm thực nên H(x) =a k + .+anx n−k có (n−k)nghiệm thực khác0.
Do đó áp dụng kết quả của Trường hợp 1 choH(x)và p 0 = p−k>n−k−1 (do p>n−1), ta được đa thức
Bài toán 1.3.6(Trung Quốc 1996) Cho đa thức p(x)bậc 5 có 5 nghiệm thực phân biệt Tìm số bé nhất của các hệ số khác0.
Lời giải Xét p(x) =ax 5 +bx 4 +cx 3 +dx+e, a6=0.
Trong trường hợp tất cả bốn hệ số đều bằng 0, nghĩa là b = c = d = e = 0, thì phương trình p(x) trở thành dạng p(x) = ax^5 Điều này đồng nghĩa với việc p(x) chỉ có nghiệm bội, và không thể có hệ số khác 0 Do đó, để đảm bảo tính đa dạng của các nghiệm, p(x) cần phải có ít nhất hai hệ số khác 0, đảm bảo phương trình có thể có nghiệm phân biệt và phù hợp với yêu cầu đề bài.
Xétp(x) =ax 5 +bx n ,n≥2thìp(x)có nghiệm bội Ta tiếp tục loại trường hợp này.
Xétp(x) =ax 5 +dx=ax ax 4 + a d có tối đa ba nghiệm Ta cũng loại.
Xétp(x) =ax 5 +ecó một nghiệm Ta cũng loại.
Do đó p(x)có ít nhất ba hệ số khác 0 Chọn p(x) =x 5 −5x 3 +4x=x(x 2 −4) thì p(x)có đúng 5 nghiệm phân biệt và đúng ba hệ số khác0.
Vậy số bé nhất của hệ số khác0là3.
Phương trình bậc cao
Lý thuyết giải phương trình bậc 3 tổng quát
Xét phương trình đa thức bậc ba ax 3 +bx 2 +cx+d=0, a6=0 (1.10)
Ngoài việc tách nhóm số hạng hoặc tìm một nghiệm rồi phân tích nhân tử, dùng hằng đẳng thức, ta có cách giải tổng quát như sau:
Trước hết, chia 2 vế cho a6=0 đưa về phương trình: x 3 +Bx 2 +Cx+D=0.
Tiếp theo đặtx=y− B 3 đưa tiếp về phương trình:y 3 −py=q, trong đó p= b 2
Có hai hướng để giải phương trình y 3 −py=q (1.11)
Hướng thứ nhất Đặty=u+vvà chọnu,v= p 3 thì từy 3 =u 3 +v 3 +3uv(u+v)ta cóu 3 +v 3 =qvàu 3 v 3 = P 27 3 Vậyu 3 ,v 3 là nghiệm phương trình
Nếu∆ 1, đặt m = 1 2 d 3 + 1 d 3 suy ra d 3 = m±√ m 2 −1 Phương trình (1.12) có một nghiệm t = 1 2 d+1 d
Ta đặt tiếp m= 1 2 k 3 − 1 k 3 suy ra k 3 =m±p m 2 +1.
Phương trình (1.13) có một nghiệm t = 1 2 k−1 k
Các phương trình bậc ba như 4x^3 + 3x - m = 0 và 4x^3 - 3x - m = 0 được xem là các dạng chuẩn tắc của phương trình bậc ba Ý nghĩa quan trọng của chúng là mọi phương trình bậc ba đều có thể được đưa về dạng chuẩn tắc này, giúp đơn giản hóa quá trình giải toán và nghiên cứu tính chất của các phương trình bậc ba trong toán học.
Các phương trình bậc 4 đặc biệt
1 Phương trình có dạng ax 4 +bx 2 +c=0, a6=0 (1.14) Đặtt =x 2 , t ≤0thì đưa về phương trình bậc haiat 2 +bt+c=0
(x+a) 4 + (x+b) 4 =c (1.15) Đặtt =x+ a+b 2 thì đưa về phương trình trùng phươngAt 4 +Bt 2 +C=0và giải như trên.
(ax 2 +bx+c)(ax 2 +bx+d) =m (1.16) Đặtt =ax 2 +bx thì đưa về phương trình bậc hai(t+c)(t+d) =m.
Nếu có a+d =b+c thì ghép cặp (x+a)(x+d)và (x+b)(x+c)rồi đặt t =x 2 + (a+d)x=x 2 + (b+c)xđể đưa về dạng trên.
5 Phương trình có dạng ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e=0 (1.18)Nếuad 2 small> 2 6=0thì chia hai vế chox 2 6=0rồi đặtt =x+ ax e (Phương trình quy hồi mở rộng bậc bốn).
Phương trình quy hồi (đối xứng hệ số)
Xét phương trình a 0 x n +a 1 x n−1 +a 2 x n−2 +ã ã ã+a n−2 x 2 +a n−1 x+a n =0 (1.19) trong đóa 0 =an; a 1 =a n−1 ; a 2 =a n−2 ; .
Xét n chẵn, n=2m Chia hai vế cho x m 6=0 Đặt t =x+ 1 x ,|t| ≥2 đưa về phương trình bậcm= n 2
Trong bài viết, chúng ta xem xét phương trình đối xứng với n = 2m + 1, với nghiệm x = −1 Phân tích cho thấy x + 1 là một trong các thừa số, đồng thời thừa số bậc 2m cũng tạo thành phương trình quy hồi bậc chẵn như đã trình bày Để mở rộng dạng quy hồi, có thể sử dụng phương pháp bổ sung t = (x − 1) / x hoặc t = (x + a) / x, giúp phân tích các phương trình phức tạp hơn một cách hiệu quả và linh hoạt hơn trong quá trình giải quyết.
Nguyên tắc chung là biến đổi về dạng tích, đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc thấp hơn Đặc biệt
• Nếu tổng các hệ số bằng0thì có nghiệmx=1.
• Nếu tổng đan dấu các hệ số bằng0thì có nghiệmx=−1.
Nghiệm hữu tỉ tồn tại nếu có dạng x = q/p, trong đó p chia a^n và q chia a; phương pháp kiểm tra có thể thực hiện trực tiếp hoặc bằng sơ đồ Hoocne Trong những trường hợp phương trình bậc cao đối với biến m nhưng lại bậc thấp hơn đối với tham số, ta có thể chuyển về phương trình theo ẩn là tham số nhằm đơn giản hóa quá trình giải.
Bài toán 1.3.7 Giải các phương trình sau
Vậy nghiệm của phương trình là x= 1
Bài toán 1.3.8 Tìm quan hệ giữa p và q để phương trình x 3 +px+q= 0 có thể viết dưới dạng x 4 = (x 2 −ax+b) 2 Áp dụng kết quả đó để giải phương trình: x 3 −18x+27=0.
Lời giải Ta có x 4 −(x 2 −ax+b) 2 =−m(x 3 +px+q).
Suy ra a 2 +2b=0, 2ab= pm, 2a=m,b 2 =qm.
Từ đób= p, kéo theo p 2 =mq Vậym= p q 2
Mặt kháca 2 =−2b⇒a= m 2 ⇒ m 4 2 =−2b=−2p⇒m 2 =−8p Từ đó p 4 q 2 −8⇒ p 4 +8pq 2 =0.
Vậy quan hệ giữa pvàq: p 3 +8q 2 =0.
Bài toán 1.3.9 Giải và biện luận phương trình x 3 −3x 2 +3(a+1)x−(a+1) 2 =0 (1.21)
Lời giải Ta cóx 3 −3x 2 +3(a+1)x−(a+1) 2 =0tương đương với
Nếua6=−1thì nhân hai vế với(a+1), ta được
Cộng hai vế vớix 3 ta được−ax 3 = (x−a−1) 3 Từ đó ta đượcx−a−1=−√ 3 ax, suy ra x= a+1
Nếua=−1thì dễ thấy phương trình có hai nghiệmx 1 =0vàx 2 =3.
Bài toán 1.3.10 Giải các phương trình sau
Vậy nghiệm của phương trình làx=2,x=−1±√
⇔ (x 2 −x+3)(x 2 +x−1) =0 Vậy nghiệm của phương trình làx= −1±
Bài toán 1.3.11(IMO 1973) Giả sử phương trìnhx 4 +ax 3 +bx 2 +ax+1=0có nghiệm Tìm giá trị bé nhất củaa 2 +b 2
Lời giải Gọix 0 là nghiệm của phương trình đã cho, tức là x 4 0 +ax 3 0 +bx 2 0 +ax 0 +1=0
Từ đây ta có kết luậnx 0 6=0.
Chia hai vế chox 0 2 , ta có x 2 0 +ax 0 +b+ a x 0 + 1 x 2 0 =0.
Phương trình này tương đương với x 2 0 + 1 x 2 0
0| ≥2 Ta có(y 2 −2) +ay+b=0Suy ra
Thật vậy, ta có (1.22) tương đương với5(2−t) 2 ≥4(1+t), tức là5t 2 −24t+16≥
0 Nhưng điều này đúng vìt ≥4 Như vậy giá trị bé nhất củaa 2 +b 2 là4/5.
Bài toán 1.3.12(Việt Nam 2002) Giải phương trình q
Lời giải Ta có biến đổi tương đương như sau q
Bây giờ ta sẽ giải phương trình x 4 −8x 3 +16x 2 +27x−90=0 (1.24)
Bằng cách thử trực tiếp ta thấyx=3là một nghiệm nên phương trình (1.24) được viết lại thành
Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx=3.
Bài toán 1.3.13(Việt Nam 1991) Giải phương trình x 3 −3x 2 −8x+40=8√ 4
Lời giải Từ phương trìnhx 3 −3x 2 −8x+40=8√ 4
4x+4ta có điều kiệnx≥ −1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
Vìx≥ −1nên(x−3) 2 ≥0, suy rax=3 Thử lại ta thấy đúng Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx=3.
Bài toán 1.3.14 Chứng minh rằng
3 vớia≥ 1 8 là số tự nhiên
Lời giải (a) Áp dụng hằng đẳng thức(u+v) 3 =u 3 +v 3 +3uv(u+v)ta có x 3 *+ (1−2a)x ⇔ x 3 + (2a−1)x−2a=0
Xét đa thức bậc haix 2 +x+2acó∆=1−8a≥0 Khia= 1 8 , ta cóx= 3 q1
Khia> 1 8 , ta có1−8a âm nên đa thứcx 2 +x+2acó nghiệm thực duy nhất x=1.
3 + 3 s a−a+1 3 r8a−13 là một số tự nhiên.
Giả sửx∈Q Do hệ số bậc cao nhất của đa thức là1nênxlà số nguyên Ta có
40 f(x) =a 0 +a 1 x+ +anx n với hệ số phức Đặt f(x) =a 0 +a 1 x+ +anx n với cácai là các liên hợp của cácai vớii=0, ,n Xét đa thức g(x) = f(x)f(x).
Vì bk = ∑ i+ j=k aiaj =bk nên các hệ số bk là thực Theo Bổ đề 2.1.6 g(x) có ít nhất một nghiệm phức z=s+it, g(z) = f(z)f(z) =0.
Do đó hoặc f(x) =0hoặc f(z) =0 Nếu f(z) =0, f(z) =a 0 +a 1 z+ +a n z n =0. thì a 0 +a 1 z+ .a n z n =a 0 +a 1 z+ .+a n z n =0, tức là f(z) =0 Như vậy hoặczhoặczlà nghiệm của f(x).
Hệ quả 2.1.8 Các đa thức bất khả quy của vànhC[x],Clà trường số phức, là các đa thức bậc nhất.
Chứng minh Các đa thức bậc nhất là bất khả quy Giả sử f(x)là một đa thức của
C[x] có bậc lớn hơn 1 Theo Định lí 2.1.7, f(x)có một nghiệm phứcc Vậy f(x) có một ước thực sựx−c, do đó f(x)không bất khả quy.
Hệ quả 2.1.9 Mọi đa thức bậcn>0với hệ số phức cónnghiệm phức.
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Chứng minh rằng các đa thức bậc nhất và bậc hai có biệt số âm rõ ràng là những đa thức bất khả quy của R[x] Điều này có nghĩa là, không tồn tại các đa thức hủy hoại chúng thành tích của các đa thức khác trong cùng tập hợp, phản ánh tính chất không phân chia được của chúng Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy trong R[x], điều này cho thấy p(x) không thể phân tích thành tích các đa thức đa thức trong R[x], đặc biệt là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai có biệt số âm Vì vậy, tính bất khả quy của các đa thức này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của chúng trong lý thuyết đa thức.
R[x] với bậc lớn hơn một, p(x) không có nghiệm thực nhưng theo Định lí 2.1.7, p(x) luôn có một nghiệm phức và chia hết cho một đa thức bậc hai hệ số thực Đa thức g(x) = x^2 − (z + z)x + zz không khả nghịch và là ước của p(x), cho thấy g(x) là liên kết của p(x), tức là p(x) = u g(x) với u ∈ R.
Ta có điều cần chứng minh.
2.1.2 Đa thức bất khả quy của vành Q [x] Đối với trường số thựcRvà trường số phứcC, vấn đề xét xem một đa thức đã cho của vànhR[x] hayC[x]có bất khả quy hay không rất đơn giản, nhưng trong vành
Trong trường hợp của Q[x], với Q là trường số hữu tỉ, vấn đề xét tính bất khả quy của đa thức trở nên phức tạp hơn nhiều Đối với các đa thức bậc hai và ba, việc xác định chúng có bất khả quy hay không được quy về việc tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức đó; các đa thức này là bất khả quy nếu và chỉ nếu không có nghiệm hữu tỉ Với các đa thức bậc lớn hơn ba, quá trình kiểm tra phức tạp hơn rất nhiều, ví dụ như đa thức x⁴ + 2x² + 1 = (x² + 1)² rõ ràng không có nghiệm hữu tỉ, nhưng lại có ước thực là x² + 1, do đó không phải là bất khả quy.
Mọi đa thức \(f(x)\) với hệ số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng \(f(x) = b^{-1} g(x)\), trong đó \(b\) là một số nguyên khác 0 và \(g(x)\) là đa thức có hệ số nguyên Trong vòng \(\mathbb{Q}[x]\), nếu \(f(x)\) liên kết thì cũng liên kết với \(g(x)\), và do đó, \(f(x)\) bất khả quy nếu và chỉ khi \(g(x)\) bất khả quy Tiêu chuẩn Eisenstein được đưa ra để xác định tính nguyên tố của đa thức trong bài toán này.
Q[x]có bất khả quy hay không là tiêu chuẩn cho các đa thức với hệ số nguyên.
Bổ đề 2.1.11 khẳng định rằng nếu \(f(x)\) là một đa thức có hệ số nguyên với bậc lớn hơn 0 và không bất khả quy trong \(\mathbb{Q}[x]\), thì \(f(x)\) có thể phân tích thành tích của các đa thức bậc lớn hơn 0, cũng có hệ số nguyên Đây là một kết quả quan trọng trong lý thuyết phân tích đa thức, giúp xác định tính khả quy và phân tích đa thức trong tập hợp các đa thức có hệ số nguyên Bổ đề này hỗ trợ quá trình nghiên cứu và phân tích các đa thức trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số và lý thuyết số.
Trong nghiên cứu các đa thức bất khả quy, Tiêu chuẩn Eisenstein sau đây là đặc biệt quan trọng. Định lí 2.1.12(Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho f(x)∈Z[x],degf(x) =n, f(x) =a 0 x n +a 1 x n −1+ .+an.
Nếu có số nguyên tố pthỏa mãn ba điều kiện
(3) an không chia hết cho p 2 thì đa thức f(x)bất khả quy trênQ[x].
Chứng minh Giả sử f(x)có những ước thực sự trongQ[x]theo Bổ đề 2.1.11, f(x) có thể viết f(x) =g(x)h(x), trong đó g(x) =b 0 +b 1 x+ .+brx r , bi∈Z, 00vàT n (x)có dấu không đổi trên(x 1 ,1]) Mặt khác
|T n 0 (x)| n =|Un(x)| ≤n nên từ (3.10) và (3.11) suy ra
Hoàn toàn tương tự ta cũng có
Xétx n ≤x≤x 1 Khi đó ta có p1−x 2 ≥ q
Bài toán được chứng minh xong.
Bài toán 3.4.7(Định lý Berstein-Markov) Cho đa thức
Pn(x) =a 0 x n +a 1 x n−1 + .+an thỏa mãn điều kiện |P n (x)| ≤ 1 với mọi x ∈ [−1,1] Chứng minh rằng khi đó
Lời giải Đặt x=cosa Khi đó theo giả thiết thì|P n (cosa)| ≤1 Do P n (cosa)có dạng
(ajcosjα+bjsinjα). nên ta có thể áp dụng kết quả của Bài toán 3.4.6, ta được sin(α)P n 0 (cos(α))
Cũng theo Bài toán 3.4.6, ta có
Vậy|P n 0 (x)| ≤n 2 Ta có điều phải chứng minh.
1 Những kết quả đã đạt được
Luận văn“Đa thức trong các bài thi học sinh giỏi”đã đạt được các kết quả sau:
1 Trình bày được các tính chất của đa thức, các bài toán về phép chia đa thức, ước - bội, nghiệm và phương trình bậc cao, đạo hàm và khai triển Taylor;
2 Lý thuyết và các bài toán về các đa thức bất khả quy trên các vành (trường) số;
3 Một số chủ đề nâng cao như các đa thức nhiều biến, đa thức đối xứng, phương trình hàm đa thức và đa thức Chebyshev.
Đa thức đại số là một chủ đề quan trọng trong lĩnh vực toán học, đòi hỏi những nghiên cứu sâu sắc và còn nhiều hướng phát triển mới Sau thành công của luận văn, chúng tôi đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo như khám phá các ứng dụng mở rộng của đa thức đại số và tối ưu hóa các phương pháp phân tích cấu trúc của chúng Đồng thời, việc nghiên cứu các thuật toán hiệu quả hơn trong xử lý đa thức cũng mở ra những tiềm năng lớn cho các ứng dụng thực tiễn và nghiên cứu lý thuyết.
• Các phân thức hữu tỷ và các bài toán liên quan,
• Bài toán biểu diễn đa thức, sự phân bố nghiệm của đa thức và ứng dụng,
• Các khía cạnh giải tích của đa thức, phương trình hàm đa thức .