(LUẬN án TIẾN sĩ) về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con schmidt đối với siêu mặt di động

16 2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu... 28 2.3 Định lí cơ b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thanh Sơn

VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNGCONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT

ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thanh Sơn

VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNGCONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT

ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 9.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS Trần Văn Tấn

Hà Nội, 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan các kết quả trình bày trong luận án này là mới và trung thực,

đã được đăng tải trên các tạp chí Toán học uy tín trong nước và quốc tế, đượccác đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án và chưa từng công bố trongcông trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thanh Sơn

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất của mìnhtới GS Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và

hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Tin, TrườngĐại học Sư Phạm Hà Nội, Sở GD-ĐT Thanh Hóa, Trường THPT chuyên LamSơn đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể chuyên tâm học tập,nghiên cứu Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn nghiêncứu sinh của Bộ môn Hình học và Tô pô đã có những trao đổi, góp ý bổ ích vềhọc thuật, các đồng nghiệp trong Ban giám hiệu và tổ Toán trường chuyên LamSơn đã động viên, trợ giúp tôi trong công việc để tôi có thể sớm hoàn thànhluận án này

Cuối cùng, tôi xin gửi tặng những thành quả đạt được của mình đến gia đình

và người thân thay lời cảm ơn cho những sự hy sinh, vất vả trong suốt quá trìnhhọc tập, nghiên cứu của tôi

Tác giả

MỤC LỤC

1.1 Định lí cơ bản thứ hai 5

1.2 Định lí không gian con Schmidt 8

2 Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu 11

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 112.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna 112.1.2 Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ

chỉnh hình 132.1.3 Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và

một số khái niệm liên quan 152.1.4 Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình 162.1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của

đường cong nguyên 16

2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu 172.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ 17

2.2.2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí

Picard 18

2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên 28

2.3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu 30

2.3.1 Một số bổ đề 30

2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội 30

3 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh 38 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 38

3.1.1 Định giá trên trường số 38

3.1.2 Chuẩn hóa định giá và công thức tích 40

3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản 41

3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số 43

3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh 45

3.2.1 Một số bổ đề 46

3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 63

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án

DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Các kí hiệu sau được thống nhất trong toàn bộ luận án

ˆ Pn (C): không gian xạ ảnh phức n chiều

ˆ ∥z∥ = |z 1 |2+ · · · + |zm|2
1/2 với z = (z1, , zm) ∈Cm

ˆ ∥f∥ = |f 0 |2+ · · · + |f n |2
1/2 với (f 0 : · · · : f n ) ∈ Pn(C) là một biểu diễn rútgọn của f

ˆ o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞

ˆ O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞

ˆ O(1): hàm bị chặn đối với r

ˆ BCNN{d 1 , , dq}: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dươngd1, , dq

ˆ deg D: bậc của đa thức thuần nhất xác định siêu mặt D

ˆ PM(k): không gian xạ ảnh M-chiều trên trường k

ˆ M k: tập tất cả các lớp tương đương các định giá trên trường k

ˆ ∥.∥ v: chuẩn hóa của định giá v trên k

ˆ h(x): độ cao logarit của x, với x ∈ k

ˆ λ H j ,v: hàm Weil ứng với siêu phẳng Hj và định giá v

ˆ N S (H j , x): hàm đếm (tương ứng với hàm đếm trong lí thuyết Nevanlinna)

ˆ f #: đạo hàm cầu của f

ˆ Hol(X, Y ): tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y

ˆ E: Hàm độ dài trên đa tạp X

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lí thuyết Nevanlinna, được hìnhthành từ những nghiên cứu đầu tiên của Nevanlinna [24] về sự phân bố giá trịcủa hàm phân hình một biến phức công bố vào năm 1925

Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mởrộng sang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A Bloch [6] xem xét vấn đềvới đường cong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết quả củaNevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức;

H Weyl , J Weyl [44] và Ahlfors [4] đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll[37, 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào

đa tạp xạ ảnh

Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặctrưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnhcủa ánh xạ với một mục tiêu Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định

lí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai Ở đó,Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm,còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổngcủa các hàm đếm ứng với một mục tiêu Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thểnhìn nó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểubiết thỏa đáng về nó Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mớichỉ được thiết lập cho không nhiều trường hợp

Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lậpchủ yếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạảnh phức

Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa

Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ côngtrình của Osgood [27] công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyên giakhác thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm Năm 1987, trong bài báo [43],Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộchai lĩnh vực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta Theo đó, Định lí cơbản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉDiophantine Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa hai líthuyết trên còn có sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề Sự

bổ trợ qua lại đó đã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổi bậttrong giai đoạn từ đầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí cơbản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu làcác siêu mặt Tiêu biểu là các kết quả của Corvaja-Zannier [10], Evertse-Ferretti[15, 16], Ru [31, 32], Dethloff-Trần Văn Tấn [12, 11], Dethloff-Trần Văn Tấn-ĐỗĐức Thái [13], Sĩ Đức Quang [29]

Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về mộtdạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí khônggian con Schmidt đối với siêu mặt di động

2 Mục đích nghiên cứu

Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyêntrong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu vàứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong Tiếp theo, luận ánthiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đatạp đại số xạ ảnh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứhai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉDiophantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian

xạ ảnh

4 Phương pháp nghiên cứu

Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kếthừa và phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ

Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức.

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết linna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơbản thứ hai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đườngcong Brody

Nevan-Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này

có thể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập,nghiên cứu

6 Cấu trúc luận án

Luận án được trình bày thành ba chương chính Trong đó, chương thứ nhấtdành để phân tích, tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong vàngoài nước liên quan đến nội dung đề tài Hai chương còn lại trình bày các kiếnthức chuẩn bị và chứng minh chi tiết các kết quả mới của đề tài

7 Nơi thực hiện luận án

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Chương 1 Tổng quan

Năm 1925, trong bài báo [24], R Nevanlinna công bố kết quả nghiên cứu về

sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức Kết quả nàykhởi đầu mở ra một trong những lí thuyết đẹp của Giải tích phức sau này mangtên ông, còn gọi là Lí thuyết phân bố giá trị Có thể nhìn Lí thuyết Nevanlinnanhư là một sự mở rộng tinh tế các Định lí Picard bé, Borel, Weierstrass, Định

lí cơ bản của Đại số

Lí thuyết này nhanh chóng được nhiều nhà toán học như Bloch, Cartan, H

Weyl, J.Weyl, Ahlfors nghiên cứu mở rộng sang trường hợp chiều cao và liên tụcphát triển trong gần 100 năm qua

Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí nói về mối quan hệ giữacác hàm đếm, hàm đặc trưng và hàm xấp xỉ, thường gọi là Định lí cơ bản thứnhất và Định lí cơ bản thứ hai Định lí cơ bản thứ nhất nói rằng hàm đặc trưngbằng tổng của hàm đếm và hàm xấp xỉ, từ đó cho ta một đánh giá chặn dướihàm đặc trưng bởi hàm đếm Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một đánh giá chặntrên hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu cho trướcnào đó

Trong khi đánh giá của Định lí cơ bản thứ nhất luôn đạt được nhờ vào địnhnghĩa các khái niệm thì đánh giá của Định lí cơ bản thứ hai mới chỉ đạt đượccho không nhiều trường hợp các mục tiêu Chính vì lẽ đó, Lí thuyết Nevanlinnavẫn tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu

Không chỉ có những ứng dụng đẹp trong Giải tích phức và Hình học phức, Líthuyết Nevanlinna còn có mối liên hệ sâu sắc với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine

Mối liên hệ này được Osgood phát hiện và nêu ra trong một công trình của ông

công bố năm 1981 Điều này tiếp tục được làm rõ bởi Vojta cùng các chuyêngia khác thuộc hai lĩnh vực này Năm 1987, Vojta đã lập ra một bảng tươngứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực, thường gọi là từ điểnVojta, theo đó Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian conSchmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.

Pn(C) (nghĩa là n + 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng) Khi đó

Định lí 1.1.2 (Định lí cơ bản thứ hai Nochka) Chof là một đường cong nguyênkhác hằng trong Pn (C). Giả sử H1, , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quáttrong Pn (C), không chứa ảnh của f Khi đó

ở đó k là số chiều của không gian xạ ảnh nhỏ nhất chứa ảnh của f.

Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cho ta một hệ quả quan trọng đó là định

lí kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh Theo nguyên líBloch, mỗi định lí kiểu Picard đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn

tắc các ánh xạ chỉnh hình và các dạng Bổ đề Zalcman là công cụ quan trọngcho phép ta thực hiện ý tưởng của Bloch.

Năm 1991, Ru-Stoll [33] đã mở rộng tiếp được kết quả của Cartan nói trênsang trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là các hệ số trongcác siêu phẳng được thay bằng các hàm chỉnh hình)

Một trong những thành tựu nổi bật mà cả hai lí thuyết nêu trên đạt được từđầu thế kỷ 21 đến nay là thiết lập thành công các dạng Định lí cơ bản thứ hai

và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêumặt Cụ thể, trong những năm đầu của thế kỉ 21, các tác giả Everste-Ferretti,Corvaja-Zannier [15, 16, 10] đã thiết lập thành công các Định lí không gian conSchmidt cho mục tiêu là các siêu mặt Áp dụng cách tiếp cận của các tác giả đó,năm 2004, Ru [31] đã mở rộng thành công Định lí cơ bản thứ hai của Cartansang trường hợp siêu mặt

Định lí 1.1.3 (Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt cố định, [31]) Cho f là mộtđường cong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất

kỳ siêu mặt nào) trong Pn (C) Giả sử D1, , Dq (q ≥ n + 1) là các siêu mặt ở

vị trí tổng quát trong Pn (C) (nghĩa là n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng có giaobằng rỗng) Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có

Nf(r, Dj).

Tiếp theo đó, các Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu là các siêu mặt di động

ở vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh (thay cho khônggian xạ ảnh) giao các siêu mặt ở vị trí tổng quát cũng đã được Dethloff-TrầnVăn Tấn [11, 12], Ru [32] thiết lập thành công Các Định lí cơ bản thứ hai kiểuNochka cho siêu mặt cũng đã được thiết lập bởi Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ ĐứcThái [13], Lê Giang [19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An [30],

Sĩ Đức Quang [29]

Gần đây, Trần Văn Tấn [41, 42] đã thiết lập được một dạng mạnh của Định

lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyêntrong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêuphẳng mục tiêu Đồng thời với việc đó, tác giả đã đưa ra cách tiếp cận bài toán

họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh

hình Hướng nghiên cứu thứ nhất của luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận củaTrần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang cho siêu mặt.

Chương 2 của luận án trình bày hướng nghiên cứu thứ nhất với kết quả chínhđạt được là Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh

có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu nhưsau

Định lí 1.1.4 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạpvới chiều k ≥ 1, và D1, , Dq là các siêu mặt trong Pn (C), ở vị trí N-dưới tổngquát trên V (có nghĩa là N + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng với V có giao bằngrỗng) Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1, , deg Dq Xét f là mộtđường cong nguyên trong V, không suy biến đại số (có nghĩa là không tồn tạisiêu mặt đại số trong Pn (C) chứa ảnh của f nhưng không chứa V) Kí hiệu

f# là đạo hàm cầu của ánh xạ f và HV là hàm Hilbert của đa tạp V Giả sử

V ̸⊂ D j (j = 1, , q), với f#= 0 trên ∪qj=1f−1(D j ). Khi đó,

X

j=1

1 deg DjN

[κ]

f (r, D j ) + o(Tf(r)),

với κ = ∞ nếu HV(d) = 2 và κ = HV(d) − 1 nếu HV(d) ≥ 3.

Từ định lí trên chúng tôi đã thiết lập được Định lí Picard tương ứng nhưsau

Định lí 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) Cho D1, , Dq là các siêumặt ở vị trí tổng quát trong Pn (C), n ≥ 2 Gọi d là bội chung nhỏ nhất của

deg D1, , deg Dq. Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong Pn(C)

sao cho với mỗi j ∈ {1, , q}, hoặc f (C) ⊂ Dj, hoặc f# = 0 trên f−1(Dj). Khi

Pn(C) sao cho f# bị chặn trên ∪qj=1f−1(Dj). Gọi d là bội chung nhỏ nhất của

deg D1, , deg Dq.Khi đó, nếu q > 3n n+dn
−n, thìf#bị chặn trên toàn C, nghĩa

là, f là một đường cong Brody

1.2 Định lí không gian con Schmidt

Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứngvới Định lí cơ bản thứ hai Cartan

Định lí 1.2.1 (Định lí không gian con Schmidt, [36]) Cho k là một trường số

và S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes Cho cácsiêu phẳng H1, , Hq trong Pn (k), ở vị trí tổng quát Khi đó, với mỗi ε > 0 tacó

với mọi x thuộc Pn(k), ngoài một tập là hợp của hữu hạn các phẳng trong Pn(k).

(Ở đây, Mk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thườngtrên k, h(x) là hàm độ cao Logarit của x, và NS(Hj, x) là hàm đếm của x ứngvới S và siêu phẳng Hj.)

Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Nochkacũng đã được Ru-Wong [35] thiết lập năm 1991

Năm 1997, Ru-Vojta [34] tiếp tục thiết lập được Định lí không gian conSchmidt cho trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là hệ sốcủa siêu phẳng là các hàm trên một tập chỉ số) Kết quả này của Ru-Vojta tươngứng với Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động

Định lí 1.2.2 (Ru-Vojta [34], 1997) Cho k là một trường số và S là một tậpcon hữu hạn các định giá của k, chứa tất cả các định giá Archimedes Cho Λ làmột tập chỉ số gồm vô hạn phần tử và H := {H1, , Hq} là họ các siêu phẳng

di động trong PM (k), đánh chỉ số trên Λ Cho x = [x0 : · · · : xM] : Λ →PM(k) làmột điểm di động Giả sử

(i) x không suy biến tuyến tính ứng với họ siêu phẳng H (nghĩa là, với bất kỳtập con A ⊂ Λ nhất quán tương ứng với họ siêu phẳng H thì x0|A, , xM|A làđộc lập tuyến tính trên R ),

(ii) Giả sử với mỗi j ∈ {1, , q}, ta có h(Hj(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, vớimọi δ > 0 bất kỳ, h(Hj(α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoại trừ một tập con hữuhạn.

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho bất đẳngthức sau đúng với mọi α ∈ A,

Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, , q}, #K =

M + 1 sao cho các siêu phẳng Hj(α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với mỗi

α ∈ Λ; λHj(α),v là hàm Weil ứng với đa thức Hj(α).Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn [11] đã được Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [9] thiết lập vào năm

2015 Các Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho mụctiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trongkhông gian xạ ảnh được Sĩ Đức Quang nghiên cứu trong [29, 28] Các Định líkhông gian con Schmidt này đều được xét trong trường hợp siêu mặt di độngtrong không gian xạ ảnh

Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định

lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số

xạ ảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn[12]

Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thuđược như sau

Định lí 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018) Cho k là một trường số

và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes Cho

x = [x0 : · · · : xM] : Λ → V là một điểm di động Giả sử

(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V, và x là V-không suy biến đại

số ứng với Q (các khái niệm này được định nghĩa chi tiết trong Chương 3);

(ii) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, , q (nghĩa là với mọi

δ > 0, h(Q j (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn)

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho

Khi V = Pn(k), bất đẳng thức trên chính là kết quả của Sĩ Đức Quang [28]

Quan sát các Định lí cơ bản của Nochka và của Eremenko-Sodin cho mục tiêulần lượt là các siêu phẳng, siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, chúng tôi tin rằng,trong tương lai, (1.1) cũng như đánh giá trong Định lí cơ bản thứ hai tương ứng

sẽ có thể được thay thế bởi những đánh giá tốt hơn đáng kể

Về phương pháp giải quyết vấn đề, điểm khác biệt lớn nhất giữa kết quảcủa chúng tôi (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết quả của Lê Giang[19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang [28] (cho trường hợp không gian xạ ảnh)nằm ở chỗ, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không là vànhCohen-Macauley như đối với trường hợp đặc biệt là không gian xạ ảnh

Chương 2

Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu

Chương này được viết dựa trên kết quả của các bài báo [2] và [3] (trong mụcCác công trình đã công bố liên quan đến luận án)

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Lí thuyết phân bố giá trị được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo,phần này được viết dựa trên các tài liệu [17, 26, 1, 2, 3]

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna

a) Hàm đếm của hàm phân hình và công thức Jensen

Khi k = +∞, để đơn giản ta bỏ đi kí hiệu [k] trong hàm đếm, như vậy

N (r, ν) = N[+∞](r, ν).

Cho f là một hàm phân hình trên C, kí hiệu (f )0 là divisor không điểm của

f Ta gọi Nf(r) := N (r, (f )0) và Nf[k](r) := N[k](r, (f )0) lần lượt là hàm đếm cáckhông điểm của f với bội được tính đầy đủ và bội được ngắt bởi k

hình (không đồng nhất 0 và ∞) trên C Khi đó, với mọi r > 1, ta có

f (tức là f (C) ̸⊂ D hay Q(f ) := Q(f0, , fn) ̸≡ 0)

bội được ngắt bởi số nguyên dương k (hoặc +∞) định nghĩa là

Nf[k](r, D) := NQ(f )[k] (r) = N[k](r, (Q(f 0 , , f n )) 0 ).

Khi k = +∞ ta bỏ kí hiệu [k] trong hàm đếm

Từ các định nghĩa hàm đếm, hàm đặc trưng và từ công thức Jensen đối vớihàm đếm, ta có đẳng thức sau, thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất.

Định lí 2.1.6 (Định lí cơ bản thứ nhất đối với ánh xạ chỉnh hình) Cho f làmột ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn (C) và D là một siêu mặt trong Pn (C) khôngchứa ảnh của f Khi đó,

Định nghĩa 2.1.8 Với g0, , gn là các hàm phân hình trên C, ta gọi là toán

tử Wronski của g0, , gn, kí hiệu bởi W (g0, , gn), xác định như sau

W (g0, , gn) :=

.

Nhận xét Toán tử Wronski có các tính chất sau

1) W (hg 0 , , hg n ) = hn+1W (g 0 , , g n ) với h là một hàm phân hình tùy ý

2) W (H0(g0, , gn), , Hn(g0, , gn)) = det(aji).W (g0, , gn), với mọi dạngtuyến tính Hj(x0, , xn) = aj0x0+ · · · + ajnxn ∈C[x0, , xn], j = 0, 1, , n.

Với f : C −→ Pn (C) là một ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn (f0 :

· · · : fn) Ta kí hiệu W (f ) := W (f0, , fn) và gọi là toán tử Wronski của f Nếu

ta thay biểu diễn rút gọn (f0 : · · · : fn) của f bởi một biểu diễn rút gọn khác

(uf0 : · · · : ufn) (trong đó u là một hàm nguyên không có không điểm), thì toán

tử Wronski củaf thay đổi một hệ số nhân làun+1 Nếu ta thay mục tiêu xạ ảnh

trong Pn (C) bởi một mục tiêu xạ ảnh khác thì toán tử Wronski của f thay đổimột hằng số nhân bằng định thức của ma trận đổi cơ sở Tuy có sự phụ thuộcnhư trên vào việc chọn biểu diễn rút gọn nhưng các kết luận về toán tử Wronski

ở đây áp dụng được cho mọi biểu diễn rút gọn

Định nghĩa 2.1.9 Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ Pn(C) gọi là suy biến tuyếntính nếu tồn tại siêu phẳng H trong Pn(C) chứa ảnh của f Trong trường hợpngược lại, ta nói f là không suy biến tuyến tính

Mệnh đề sau cho ta một dấu hiệu nhận biết sự suy biến tuyến tính của ánh

Lưu ý

+ Từ định nghĩa trên suy ra, họ các siêu phẳng H1, , Hq (q ≥ n + 1) trong

Pn(C) gọi là ở vị trí tổng quát khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con cấp n + 1

của ma trận hệ số các phương trình xác định siêu phẳng có định thức khác 0

+ Trường hợp số siêu mặt không vượt quá n, n ≤ q, nếu tồn tại n + 1 − q siêumặt Dq+1, , Dn+1 sao cho giao của các siêu mặt D1, , Dn+1 bằng rỗng thì tacũng nói họ siêu mặt D1, , Dq ở vị trí tổng quát

Ta có Bổ đề đạo hàm Logarit mở rộng sau cho ánh xạ chỉnh hình vào khônggian xạ ảnh

Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính và (f0 : · · · : fn) làmột biểu diễn rút gọn của f Với H0, , Hn là n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổngquát trong Pn (C) ta có

Để ý rằng, công thức Jensen khá thuận tiện cho việc tính toán hàm đếmnhưng nó có hạn chế là chỉ áp dụng được cho trường hợp hàm đếm không đượcngắt bội (bội được tính đủ) Để thiết lập Định lí cơ bản thứ hai với hàm đếmđược ngắt bội người ta thường sử dụng mệnh đề sau (được coi là công thứcJensen mở rộng).

biến tuyến tính và q siêu phẳng H1, , Hq (q ≥ n + 1) ở vị trí tổng quát trong

Qq j=1 Hj(f )

W (f ) (re

iθ )

dθ − 12π

Qq j=1 Hj(f )

W (f ) (e

iθ )

...

2.2 Định lí thứ hai Định lí Picard cho< /h3>

đường cong nguyên không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu

2.2.1 Trọng Nochka ứng với. .. o(Tf(r)). (2.17)

Từ Định lí thứ hai thiết lập Định lí Picardsau cho lớp đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnhcủa siêu mặt vị trí tổng quát Định lí đóng vai trị quan trọng... chuẩn Brody cho đường cong nguyên< /h3>

Như nói phần Tổng quan, với Định lí Picard đạt trên, kếthợp với Bổ đề kiểu Zalcman đây, đạt tiêu chuẩnBrody cho đường cong nguyên Định lí 2.2.8

Bổ