He thuc luong trong tam giac va ung dung thuc tien

GV Ngô Trang 1 c b a C B A I c b a C B A c b a C B A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN A – LÝ THUYẾT 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 2 2 2a b c  (Pythagoras) 2 b a b , 2 c a[.]

c

b

B

A

I

B

A

B

A

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

A – LÝ THUYẾT

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

b a b , 2

c a c

2

h b c  .a hb c 12 12 12

h b c

2 Định lý cosin

Cho tam giác ABC có BCa AC, b và ABc

Ta có

2 cos ;

2 cos ;

2 cos

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

Hệ quả

Nhận xét: Cho tam giác ABC Giả sử c là cạnh lớn nhất:

 Nếu 2 2 2

c a b thì ABC là tam giác tù tại C

 Nếu 2 2 2

c a b thì ABC là tam giác nhọn tại C

 Nếu 2 2 2

c a b thì ABC là tam giác vuông tại C

2 Định lí sin

Cho tam giác ABC có BCa AC, b, ABc và R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp Ta có

2 sin sin sin

R

3 Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có m a,m b,m c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A B C, ,

Ta có

2

2

2

;

;

a

b

c

m

m

m







4 Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

● h a,h h b, c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC CA AB, , ;

● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

●

2

a b c

p  

là nửa chu vi tam giác;

● S là diện tích tam giác Khi đó ta có:

2 a 2 b 2 c

S  ah  bh  ch

4

abc

R

pr





6 Một vài công thức nhanh

Cho tam giác đều cạnh a Ta có:

+) Độ dài đường cao 3

2

a

+) Bán kính đường tròn ngoại tiếp

3

a

R

+) Diện tích tam giác đều cạnh a là

2 3 4

a

B HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC, TÍNH CẠNH, GÓC, CHIỀU CAO,

DIỆN TÍCH…

Ví dụ 1: ( c.g.c ) Cho tam giác ABC có ABa AC, 2a và BAC1200 Tính độ dài cạnh BC và diện

tích S của tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Lời giải

2 cos 7

BC AB AC  AB AC A a Suy ra BCa 7

+) Diện tích tam giác ABC là:

2

.sin

a

+) Bán kính đường tròn ngoại tiếp

2

sin

BC

R

A 7 0 2 21

Ví dụ 2: ( c.c.c ) Cho tam giác ABC với ba cạnh a13,b14,c15 Tính đường cao h c và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Lời giải

Diện tích: S  p p( 13)(p14)(p15)84

Đường cao cần tìm: 2. 56

15 5

c

S

h  

Bán kính đường tròn ngoại tiếp 84 13.14.15 65

abc

Ví dụ 3: ( 2 góc, 1 cạnh ) Cho tam giác ABC có B 60 ,C 45 ,AB c 2 2 Giải tam giác

Lời giải

+) A1800  B C 750

+) Áp dụng định lí sin ta có:

sinC sin

AB AC

B

AC

C

Cách 1 ( Nếu cho trước biết sin 750hoặc được sử dụng máy tính )

+) Áp dụng định lí sin ta có:

sinC sin

AB BC

A

BC

C

Cách 2 ( Nếu không cho trước 0

sin 75 )

2 cos

b c a  ca B

12 8 a 4 2 cos 60a

2

a a

 

 Vì a0 nên a 2 6

Ví dụ 4: ( 2 cạnh và 1 góc đối diện ) Cho tam giác ABC có AB c 2 2, AC b 2 3 và C 45

Giải tam giác

Lời giải Cách 1 ( Nếu cho trước biết 0

sin 75 hoặc được sử dụng máy tính )

+) Áp dụng định lí sin ta có:

sinC sin

B

sin 45 sin B

2

2 2

B

0

0

60 120

B B

 

 

 



Trường hợp 1: Nếu 0

60

B thì A750 Khi đó tính cạnh a như ví dụ trên

Trường hợp 2: Nếu 0

120

B thì A150

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AB3, BC5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài

AC , chu vi và diện tích ABC

Lời giải

13

5

C B

A

+) Xét ABC, theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có:

2

BA BC AC

3 5 13

AC



+) Chu vi tam giác ABC là ABAC BC    3 4 5 12

AB AC BC

+) Diện tích tam giác ABC là:

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB3 , BC4 và diện tích S3 3 Tính cạnh AC

Lời giải

Ta có: 1 .sin

2

S  AB BC B nên 3 3 1.3.4.sin sin 3 60

B

B

  



+)B 60 áp dụng định lí côsin ta có:

2 cos 9 16 2.3.4 13 13

2

AC  AB BC  AB BC B    AC

+)B120 áp dụng định lí côsin ta có:

2

Ví dụ 7: Cho tam giácABC có AB2 3,AC3 và cos

9

3

A Hãy tính cạnh còn lại của tam giác

ABC và tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB

Lời giải

Theo định lí côsin trong tam giác ta có:

9

Theo công thức đường trung tuyến ta lại có:

1 14

Ví dụ 8: Cho ABC cân tại A có C 30 ,BC5cm Tính diện tích ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Lời giải

30 ; 120

sin 2.sin120 3

BC

R R

* Tính diện tích:

Cách 1: Áp dụng định lý côsin ta có: 2 2 2

2 .cos

AB AC BC  AC BC C

Do ABCcân tạiA ta có: 2 2 52 2 .5.cos 30 52 2 .5 3 0 5

ABC

Cách 2:

Kẻ AHBC

ACH

ABC

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc 120, biết BM12,

15

CN Tính độ dài các cạnh của tam giác

Lời giải

*Tính BC

Gọi BMCN G G là trọng tâm của tam giác ABC

3

GB BM , 2 10

3

GC CN GM4, GN5

Áp dụng định lý cos trong tam giác GBC có:

2 cos120 244

BC GB GC  GB GC  BC2 61

* Tính AB AC,

A

M

N

G

Cách 1: Ta có hệ phương trình:

2

2

BM

CN











2

2

2 2

2 2

2 61 12

2 61 15









2 412

AB AC

AB AC





2

196

304

AB

AC







14

4 19

AB AC









Cách 2: Ta có: BGN180BGC 60 , MGC180BGC 60

Áp dụng định lý cos, ta được:

2 cos 60 49

BN GB GN  GB GN   BN7  AB2BN14

2 cos 60 76

MC GM GC  GM GC  MC2 19 AC2MC4 19

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC biết BC10và thỏasin sin sin

A B  C Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác?

Lời giải

Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có:

sin sin sin

BC AC AB

A B  C

Mà sin sin sin

nên

BC  AC  AB

2 20

2 10 3

AC BC



 

Áp đụng định lý cos trong tam giác ABC ta có:

0

A

AB AC

0

C

BC AC

0

90

B

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có cạnh AB14, góc ˆC120 , tổng hai cạnh còn lại là 16 Tính độ dài hai

cạnh còn lại

Lời giải

Ta có:AB2 BC2AC22BC AC. .cosCˆ 196BC2AC22BC AC. .cos120

196 BC AC BC AC

Ta lại có : BCAC16AC 16 BC thay vào  1 ta được

2 2

10 6

BC BC







+) Với BC10AC6

+) Với BC 6 AC10

Vậy: BC10 và AC6 hoặc BC6 và AC10

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có AB4 , AC6, cos 1

8

4

C  Tính cạnh BC

Lời giải

Ta có: sin 1 cos2 63

8

4

9 cos cos( ) sin sin cos cos

16

A  BC  B C B C

Vậy BC5

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , ABa 3, ACa Phân giác trong góc A cắt BC tại M

Tính AM

Lời giải

Ta có

2

ABC

a

.sin 45 , sin 45 ,

4

ABC ABM ACM

AM

S S S  a a

2

a a

AM



Ví dụ 14: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD1 Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn

1

sin

3

BDE Tính độ dài cạnh AB

Lời giải

Đặt AB2x x 0AEEBx

E A

B

Vì góc BDE nhọn nên cosBDE0 suy ra

3

Theo định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có

2

cos

BDE

2

Vậy độ dài cạnh AB là 2

Ví dụ 15: Cho tam giácABC có các cạnh ABc BC; a AC; b Tính góc BCA của tam giác ABC

biết ab và  2 2  2 2

a a c b b c

Lời giải

Ta có:  2 2  2 2

a a c b b c 3 3 2 

0

0

a b a ab b c a b

0

a b a ab b c

Do ab nên 2 2 2

0

a abb c 

cos

2

a b c BCA

ab

2

  Do đó: BCA120

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết A30 ,0 B450 Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB1 Trên tia đối của AC lấy điểm D sao cho CD AB Giả

sử CBD300 Tính AC

Bài 3: Cho tam giác ABC có 0 5 3

60 , 10,

3

A a r Tính R, b, c

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB10, AC4 và A600.Tính chu vi của tam giác, tan C

Bài 5: Tam giác ABC cân tại C , có AB9cm và 15cm

2

AC Gọi D là điểm đối xứng của B qua C

Tính độ dài cạnh AD

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi a là độ dài đoạn phân giác trong góc BAC Tính a theo b và c

Bài 7: Tam giác ABC có AB3, BC 8 Gọi M là trung điểm của BC Biết cos 5 13

26

3

AM  Tính độ dài cạnh AC

Bài 8: Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM 6, CN9 và BGC1200 Tính độ dài

AB

Bài 9: Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 Diện tích của tam giác ABC ?

DẠNG 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sin B2sin osAC c Chứng minh rằng tam giác ABC

cân

Lời giải

b sin 2 sin osA 2

c b c a

a c

Vậy tam giác ABC cân ( đpcm)

Ví dụ 2: Nhận dạng tam giác ABC thỏa mãn: cosA cosB cosC a

Lời giải

Ta có:

cos

2

b c a A

bc

 

2

A b c a

b c a a c b a b c a b c

VT

Nên từ giả thiết suy ra

2 2

a b c a

abc bc

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC thỏa sin sin sin

m  m  m Chứng minh tam giác ABC đều

Lời giải

Theo định lí sin ta có:

sin sin 2

sin

sin

R





Khi đó: sin sin sin

sin

sin

sin

sin

a b a c

m

A

m

A



 



a b a c

m a

m a

 



 

 



b a

c a

a m b m

a m c m



 







 



    

0

0

a b a b a b c

a c a c a b c



 



a b

a c





   a b c Vậy tam giác ABC đều

Ví dụ 4: Cho ABC có ABc; BCa; ACb

a) Chứng minh rằng: Nếu cosA C 3cosB1 thì B 60

b) Chứng minh rằng: Nếu



 thì ABC cân

Lời giải

a) Ta có:

cos A C 3cosB 1 cos 180 B 3cosB1

1

2

b) Ta có:

2 2





2

(1 2 cos cos ) sin 2 2



2



2

c a b

ac

ABC

  là tam giác cân tại C

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh BCa AC; b AB; c và thỏa mãn hệ thức a2 b2c2bc Chứng minh rằng: BAC 120

Lời giải

Theo định lý cosin ta có: 2 2 2

2 cos

a b c  bc A Mà: a2 b2c2bc

2

A   BAC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Nhận dạng tam giác ABC biết a.sinA b sinBcsinCh a  h b h c

Bài 2: Cho ABC thoả mãn điều kiện:

2

2 cos

a c b

b

a c b

a b C



 



 



Chứng minh rằng ABC đều

Bài 3: a, Cho ABC thoả mãn 1 1 3

b ca b a b c

b, Cho ABC thoả mãn 1 1 1 a

b c a b cbc

Bài 4: Cho tam giác ABC thoả mãn

cos cosC sin sin

B  B C Chứng minh tam giác ABC vuông

Bài 5: Nhận dạng tam giác ABC biết 1

2

S ab

DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT SỐ HỆ THỨC

Ví dụ 1: : Chứng minh trong tam giác ABC ta có;

a, ab.cosC c cosB

b,

cot

4

b c a

A

S

 



Lời giải

a, Ta có:

2

b, Ta có:

sin 2

A b c a S A

 

2

S  bc A ) Suy ra

cot

4

b c a A

S

 



Ví dụ 2: : Cho tam giác ABC có ABc BC, a CA, b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

a  b c  R a A b B c C

Lời giải

Theo định lý hàm sin, ta có:

2

Tương tự ta có:

2

sin

2

b

b B

R

2

sin

2

c

c C

R

Từ đó suy ra:

sin sin sin

2

a b c

a A b B c C

R

Ví dụ 3: : Cho tam giác ABC có các góc A B C, , thỏa mãn 2 2 2

sin Bsin C2 sin A Chứng minh: A60

Lời giải

Theo định lý hàm sin, ta có: sin , sin , sin

Ta có:

Theo bất đ ng thức Cô si ta có: 2 2 2 2 2 2

Theo định lý hàm cos, ta có:

2 cos cos

b c a a

 

bca nên

0 2

1

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông ở A , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đặt IAx, IB y,

ICz Chứng minh rằng : 12 12 12 2

x  y  z  yz

Lời giải

sin 45 sin

2

x

B C

 ;

sin 2

r y

B

sin 2

r z

C

Suy ra:

x

2 2 2

2

y z a

x

Áp dụng định lí cosin cho tam giác BIC ta có

2 cos

2 cos 180

2

B C

2 cos135

a y z yz

2

a y z yz

Từ (1) và (2) ta có :

2 2

y z

y z yz

x    12 12 12 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Chứng minh trong tam giác ABC ta có

a) sinAsin cosB CsinCcosB b) h a 2 sinR BsinC

c,

cos cos c cosA cos a cos cosA 2

Bài 2: Cho tam giác ABC có 4 4 4

a b c Chứng minh tam giác ABC nhọn và 2

2 sin AtanBtanC

Bài 3: Cho tam giác ABC , chứng minh

a) S 2R2sinAsinBsinC b) SRr(sinAsinBsinC)

DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Ví dụ 1: Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi Biết rằng độ cao

70

AB m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang một góc 30, phương nhìn BC tạo với phương

nằm ngang một góc 15 30  (như hình vẽ) Tính độ cao CH của ngọn núi so với mặt đất

Lời giải

Cách 1:

+ Ta có: tan

tan 30

AH



tan15 30 tan15 30

BI



tan 30 tan15 30 tan 30 tan15 30

tan 30 tan15 30



Cách 2:

+ Ta có: ABC  90 15 30 105 30  

ACB180ABCBAC180  60 105 30 14 30   

+ Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có:

sin14 30

AC







sin14 30

CH

AC







70 m

15°30'

30°

I

C

B

Ví dụ 2: Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển

được thể hiện trên hình vẽ Nếu các đèn tín hiệu cách nhau 1536 m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)?

Lời giải

Ta có ATBTBN TAN 12, 2

TB

Xét tam giác vuông TBN ta có:

.sin sin 1536.sin 27, 4 sin 39, 6

sin12, 2 sin

ATB

Vậy chiều cao ngọn núi xấp xỉ 2132,14 m

Ví dụ 3: Một người quan sát đứng cách một cái tháp 15m , nhìn thấy đỉnh tháp một góc 0

45 và nhìn dưới chân tháp một góc 150 so với phương nằm ngang như trong hình vẽ Tính chiều cao h của tháp

Lời giải

Ta có BC AC.tanBAC15.tan 450 15 ( )m

hBDBCCD45 15 3  m

ậy chiều cao của tháp là 45 15 3 m  

15 m A

B

D C

Ví dụ 4: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi th ng theo hai hướng tạo với nhau góc 60

Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ Sau hai giờ, hai tàu

cách nhau bao nhiêu hải lí?

Lời giải

Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí Vậy tam giác ABC có AB40, AC30 và

0

60

A

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có

2 .cos 30 40 2.30.40.cos 60 900 1600 1200 1300

Vậy BC 1300 36 (hải lí)

Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí

Ví dụ 5: Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học

phát hiện có một đảo có dạng hình tròn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà khoa học không thể tới được Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà khoa học chỉ có

dụng cụ là thước th ng dài Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính đảo?

Lời giải

Lấy ba điểm A, B, C khác nhau trên đường tròn (ở các điểm ngoài cùng của đảo) Đo độ dài các đoạn

th ng BCa, ACb, ACc Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ABC

S  p pa p b pc với

2

Lại có:

abc abc

Vậy bán kính của đảo được tính theo công thức:

4

abc R S

Ví dụ 6: Một người đứng trên tàu thả neo giữa biển phát hiện trên bờ biển có hai ngọn hải đăng cách nhau

5 km Người đó xác định được các góc tạo thành giữa các đường ngắm của hai ngọn hải đăng và đường

th ng từ tàu vuông góc với bờ là 15và 35( hình minh họa) Hãy tính

a) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ nhất

b) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ hai

c) Khoảng cách giữa con tàu và bờ biển nối hai ngọn hải đăng

C A

B

Lời giải

Gọi B C, lần lượt là chân ngọn hải đăng thứ nhất và thứ hai

Gọi A là điểm người đứng trên tàu và H là hình chiếu của A lên BC

Theo giả thiết ta có HBAABC 75 ,HCAACB 55 ,BAC 50

Trong tam giácABC áp dụng định lí sin ta có

.sin 5.sin 55

5,35 sin 50

AB



.sin 5.sin 75

6,30 sin 50

AC



Trong tam giác vuông AHC ta có AH  AC.cosHAC6,30.cos 35 5,16 (km)

Ví dụ 7: Từ hai vị trí A , B người ta quan sát một cái cây (hình vẽ) Lấy C là điểm gốc cây, D là điểm

ngọn cây A , B cùng th ng hàng với điểm H thuộc chiều cao CD của cây Người ta đo được AB10m ,

1, 7

HC m,   63 ,  48 Tính chiều cao của cây đó

Lời giải

Ta có  63 BAD117ADB180 117    48  15

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:

sin sin

sin

BD

ADB

Tam giác BHD vuông tại H nên có: sin HBD HD

BD

 HDBD.sinHBD

sin

HD

ADB

Suy ra chiều cao của cây là: CDCHHD1, 725, 5827, 28m

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ đến

đảo Điệp Sơn Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí C trên Hòn Quạ đến vị trí B trên Bè thay

vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí A rồi mới đến vị trí B Nếu người đó chèo thuyền với vận tốc

không đổi là 4 km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết AB0, 4 km, AC 0, 6 km và góc giữa AB và

AC là 60 ?