(TIỂU LUẬN) TỔNG hợp lý THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH học 12

Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Nội dung Mặt cầunội tiếp hình đa diện nếumặt cầu đótiếp xúc vớitất cả các

KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP

Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp), kể cả chính hình lăng trụ (chóp) ấy; khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt, kể cả chính hình chóp cụt ấy.

Trong hình học ba chiều, một điểm được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) khi nó không thuộc khối đó; ngược lại, một điểm thuộc khối lăng trụ và nằm ở phần bên trong của khối được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt).

KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

Khái niệm về hình đa diện

 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Trong hình học, mỗi đa giác là một mặt của hình đa diện Các đỉnh và cạnh của các đa giác ấy được gọi lần lượt là đỉnh và cạnh của hình đa diện.

Khái niệm về khối đa diện

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Điểm ngoài của khối đa diện là những điểm không thuộc khối đa diện Điểm trong của khối đa diện là những điểm nằm ở phía bên trong khối, tức là những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc mặt của hình đa diện Tập hợp các điểm nằm bên trong được gọi là miền trong, còn tập hợp các điểm nằm bên ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

Mỗi hình đa diện phân chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của hình đa diện Trong đó chỉ có miền ngoài chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.

Miền ngoài ẹieồm trong N Điểm ngoài

HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU

Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

* Một số phép dời hình trong không gian:

3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ v

Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho M' v

3.1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng  P 

Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc  P  thành chính nó, M biến mỗi điểm M không thuộc  P  thành điểm M ' sao cho

 P  là mặt phẳng trung trực của MM '

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thành M'

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O

Nội dung Là phép biến hình biến điểm

O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung điểm MM ' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình

O được gọi là tâm đối xứng của  H 

3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trụcphép đối xứng trục

Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng  thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểm

M ' sao cho  là đường trung trực của MM '

Nếu phép đối xứng trục  biến hình  H  thành chính nó thì

 được gọi là trục đối xứng của  H 

 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

 Phép dời hình biến đa diện  H  thành đa diện  H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt của thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của  H ' .

Hai hình bằng nhau

Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện  H  là hợp của hai khối đa diện  H 1 ,

Cho hai khối đa diện H1 và H2 sao cho chúng không có điểm chung nào và H = H1 ∪ H2, ta nói khối đa diện H có thể được chia thành hai khối H1 và H2 Điều này có nghĩa là H1 ∩ H2 = ∅ và hai khối H1, H2 có thể ghép lại thành khối H.

 H 1  và  H 2  với nhau để được khối đa diện  H .

KHỐI ĐA DIỆN LỒI

Khối đa diện lồi

Trong hình học, một khối đa diện được gọi là lồi khi với bất kì hai điểm A và B thuộc khối, mọi điểm nằm trên đoạn thẳng AB cũng thuộc khối Tính chất này cho biết khối không có lõm và mọi đường thẳng nối hai điểm bất kỳ ở bên trong khối đều nằm hoàn toàn trong khối, giúp nhận diện các khối đa diện lồi và thuận lợi cho các bài toán liên quan đến không gian và tối ưu hóa.

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

Khối đa diện đều

 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

 Các mặt là những đa giác đều n cạnh.

 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.

 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại  n , p .

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại  3; 3  , loại  4; 3  , loại  3; 4  , loại  5; 3  , loại  3;

Trong hình học, có 5 khối đa diện đều được nhận diện dựa trên số mặt: khối tứ diện đều có 4 mặt, khối lập phương có 6 mặt, khối bát diện đều có 8 mặt, khối mười hai mặt đều có 12 mặt và khối hai mươi mặt đều có 20 mặt.

5.2.3 Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Khối đa diện đều Số Số Số Loại Số MPĐX đỉnh cạnh mặt

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại  n , p  có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.

Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi

Cho một khối tứ diện đều Khi đó:

 Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;

 Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).

Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.

Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.

Trong khối bát diện đều, hai đỉnh được xem là đối diện nếu chúng không thuộc cùng một cạnh Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện được gọi là đường chéo của khối bát diện đều, thể hiện tính đối xứng của khối và luôn đi qua tâm khối.

 Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;

 Ba đường chéo bằng nhau.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Thể tích khối chóp

 S đáy : Diện tích mặt đáy.

 h : Độ dài chiều cao khối chóp.

Thể tích khối lăng trụ

 S đáy : Diện tích mặt đáy.

 h : Chiều cao của khối chóp.

Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

Thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối lập phương

Tỉ số thể tích

Thể tích hình chóp cụt   

3 Với B , B , h là diện tích hai đáy và chiều cao.

Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt

 Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2

 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3

 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a , b, c là : a 2  b 2  c 2 a

 Đường cao của tam giác đều cạnh a là:

CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG

Hệ thức lượng trong tam giác

7.1.1 Cho ABC vuông tại A , đường cao AH

 AB  BC sin C  BC cos B  AC tan C  AC cot B 1

7.1.2 Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a , b, c độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c bán kính đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p.

 Định lí hàm số cosin: a 2  b 2  c 2 - 2bc cos A; b 2  c 2  a 2  2ca cos B ; c 2  a 2  b 2 

 Định lí hàm số sin: a  b

Các công thức tính diện tích

 S  2 1 bc sin A  2 1 ca sin B  2 1 ab sinC

 ABC vuông tại A : S  AB AC

 S = đáy  cao AB AD sin BAD

7.2.7 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC & BD

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP 61 9 CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN

Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng

 SAB  ,  SBC  ,  SAC  vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB , SBC , SAC lần lượt là S 1 , S 2 , S 3

Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với  ABC , hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  vuông góc với nhau,

Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b a 2 3b 2  a

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  a 3 tan 

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA  SB  SC  SD  b a 2 4b 2  2a 2

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là 

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có các cạnh bên b ằ n g a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là

Cho hình chóp tam giác đều SABC với đáy ABC có cạnh bằng a Gọi P là mặt phẳng đi qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng SBC Mục đích của đề bài là xác định góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng đáy ABC, phản ánh mối liên hệ hình học giữa các mặt phẳng xung quanh đỉnh A trong hình chóp.

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a. a 3

Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương.

9 CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN

Tứ diện đều tất cả các cạnh bằng a

MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 64 1 MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN

Mặt nón tròn xoay

Nội dung Hình vẽ Đường thẳng d ,  cắt nhau tại O và tạo thành góc  với 0 0    90 0 , mp  P  chứa d ,  P  quay quanh trục

 với góc  không đổi  mặt nón tròn xoay đỉnh O.

 d được gọi là đường sinh.

 Góc 2 gọi là góc ở đỉnh.

Khối nón

Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả mặt nón của nó Những điểm không thuộc khối nón được gọi là điểm ngoài của khối nón.

Điểm trong của khối nón là các điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc bề mặt của hình nón, tức là phần không gian ở bên trong khối nón Đỉnh, mặt đáy và đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy và đường sinh của khối nón tương ứng, cho thấy sự đồng thời giữa hình nón và khối nón trong cấu trúc hình học này.

Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r

 Diện tích xung quanh: của hình nón: S xq  rl

 Diện tích đáy (phép đối xứng trụchình tròn): S đáy   r 2

 Diện tích toàn phần: của hình nón: S tp   rl  r 2

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

Điều kiện Kết quả Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.

 mp (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.

 mp (Q) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh.

 Thiết diện là tam giác cân.

 (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón.

Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón.

 mp (Q) vuông góc với trục hình nón. song song với 2 đường sinh hình nón. song song với 1 đường sinh hình nón.

 Giao tuyến là 1 đường parabol.

 Giao tuyến là 2 nhánh của

 Giao tuyến là một đường tròn.

MẶT TRỤ TRÒN XOAY

Trong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r

Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.

 Đường thẳng  gọi là trục.

 Đường thẳng l là đường sinh.

 r là bán kính của mặt trụ đó.

2.2 Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình chữ nhật

Khi tứ giác ABCD quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh bất kỳ, ví dụ cạnh AB, đường gấp khúc ADCB sẽ được quay và tạo thành một hình ba chiều gọi là hình trụ tròn xoay (hình trụ) Trong hình trụ tròn xoay, cạnh AB đóng vai trò là trục quay và toàn bộ đường gấp khúc ADCB di chuyển quanh trục để hình thành bề mặt trụ, khái niệm quan trọng trong hình học không gian và các ứng dụng của quay hình.

Khi quay quanh đường AB, hai cạnh AD và BC sẽ vẽ ra hai hình tròn bằng nhau, được gọi là hai đáy của hình trụ Bán kính của hai hình tròn này chính là bán kính của hình trụ.

 Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.

 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh

AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

 Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay và chính hình trụ đó Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là điểm ngoài của khối trụ, trong khi những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc bề mặt của hình trụ tương ứng được gọi là điểm trong của khối trụ Mặt đáy, chiều cao, đường sinh và bán kính của một hình trụ cũng đồng thời là mặt đáy, chiều cao, đường sinh và bán kính của khối trụ tương ứng Hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.

 Diện tích xung quanh: S xq  2rl

 Diện tích toàn phần: S tp  2 rl  2 r 2

MẶT CẦU – KHỐI CẦU

Cho điểm I cố định và một số thực dương R

Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

3.2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng  P  Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên

 P   d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  Khi đó: d  R d  R

Mặt cầu và mặt phẳng Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: không có điểm chung  P  là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H : tiếp điểm. d  R

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Khi mặt phẳng  P  đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng  P  được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

3.3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S  I ; R  và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của I lên  Khi đó:

 không cắt mặt cầu  tiếp xúc với mặt cầu  cắt mặt cầu tại hai

 : Tiếp tuyến của  S  điểm phân biệt.

 tại 2 điểm A, B thì bán kính R của  S  được tính như sau:

3.4 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.

Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.

Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu

* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:

Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt cầu.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện Nói cách khác, khi có mặt cầu như vậy, hình đa diện được coi là nội tiếp trong mặt cầu, tức là mọi đỉnh của hình đa diện nằm trên bề mặt của mặt cầu đó.

Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp

S ABCD khi và chỉ khi

OA  OB  OC  OD  OS  r

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI

4.1.1.Dạng 1 Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng

Nội dung Hình vẽ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.

Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.

4.1.2 Dạng 2 Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l

Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d.

Gọi M là trung điểm của AC Khi đó:

 Góc giữa  SAC  và  ABC  là góc SMI

Góc giữa  SAC  và SI là góc MSI

4.1.3 Dạng 3 Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp

Hình nón nội tiếp hình chóp S ABCD đều là hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

Khi đó hình nón có:

 Bán kính đáy r  IM  AB

 Đường cao h  SI , đường sinh l  SM.

Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD đều là hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông

Khi đó hình nón có:

 Bán kính đáy: r  IA  AC

Hình nón nội tiếp hình chóp S ABC đều là hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Khi đó hình nón có

 Bán kính đáy: r  IM  AM

Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tam giác đều

Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC đều là hình nón Hình chóp tam giác đều có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S ABC

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Khi đó hình nón có: S

 Bán kính đáy: r  IA  2AM

 Chiều cao: h  SI Đường sinh: l  SA A C

4.1.4 Dạng 4 Bài toán hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt.

Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.

Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.

Cho hình nón cụt có R, r , h lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.

Diện tích xung quanh của hình nón cụt:

Diện tích đáy (hình tròn):

Diện tích toàn phần của hình nón cụt:

S tp   l  R  r    r 2   R 2 Thể tích khối nón cụt:

4.1.5 Dạng 5 Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt

Từ hình tròn  O; R  cắt bỏ đi hình quạt AmB Độ dài cung AnB bằng x Phần còn lại của hình tròn ghép lại được một hình nón Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó.

Hình nón được tạo thành có

4.2 Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ

4.2.1 Dạng 1 Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng

Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R

Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong G đó AB  2R và AD  h Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h  2R

Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình D C chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là: H d  OO ';  BGHC  

4.2.2 Dạng 2 Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy

Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai

A O B đáy của hình trụ thì:

1 AB CD OO ' sin  AB, CD

Nếu AB và CD vuông góc nhau thì:

4.2.3 Dạng 3 Xác định góc khoảng cách

Góc giữa AB và trục OO ' :

Khoảng cách giữa AB và trục OO ' : d  AB ;OO '   OM

Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ.

Nghĩa là cạnh hình vuông:

4.2.4 Dạng 4 Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu

Một khối trụ có thể tích V không đổi.

 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất:

 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:

4.2.5 Dạng 5 Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng

Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ Thể tích khối lăng trụ là V thì thể tích khối trụ là V  4V

Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD A ' B ' C ' D ' ngoại tiếp trong một hình trụ Diện tích

S xung quanh hình trụ là S xq thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S xq  

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU

5.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

5.1.1 Các khái niệm cơ bản

Trục của đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy, sao cho mọi điểm nằm trên trục đều cách đều các đỉnh của đa giác đáy Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn và vuông góc với đoạn đó.

 Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

 Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

5.1.2 Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều mọi đỉnh của hình chóp Nói cách khác, đây là giao điểm giữa trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng vuông góc với mặt đáy đi qua tâm vòng ngoại tiếp của đáy) và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp Vì mọi cạnh bên có cùng khoảng cách tới tâm, giao điểm này là tâm duy nhất của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, cho phép xác định bán kính mặt cầu và các đỉnh nằm trên cùng một mặt cầu.

Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

5.1.3 Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện

5.1.3.1 Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật

(hình lập phương)  Tâm là I , là trung điểm của AC ' nhật (hình lập phương).

5.1.3.2 Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn

Xét hình lăng trụ đứng A A A A A ' A ' A ' A ' , trong đó

1 2 3 n 1 2 3 n có 2 đáy AA A A và A ' A ' A ' A ' nội tiếp đường tròn O

1 2 3 n 1 2 3 n   và  O '  Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

 Tâm: I với I là trung điểm của OO '

 Bán kính: R  IA 1  IA 2   IA n '

5.1.3.3 Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông

 Tâm: I là trung điểm củaSC

2  IA  IB  IC Hình chóp S ABCD có

 Tâm: I là trung điểm củaSC

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Cho hình chóp đềuS ABC

 Gọi O là tâm của đáy  SO là trục của đáy.

 Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp  SAO

 , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là  cắt SA tại M và cắt SO tại I  I là tâm của mặt cầu.

Ta có: SMI ∽SOA SM

SO SA RIS SM.SA

5.1.3.5 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA ABC và đáy ABC nội tiếp được trong đường tròn tâm O

Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC được xác định như sau:

 Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp 

 Trong mp  d , SA , ta dựng đường trung trực  của cạnhSA , cắtSA tại M , cắt d tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính

Ta có: MIOB là hình chữ nhật.

Xét MAI vuông tại M có:

- Dựng mặt phẳng trung trực   của một cạnh bên bất kì.

-       I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

5.1.3.7 Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp

Để xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, tức là đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy Vì vậy, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố then chốt của bài toán, ảnh hưởng trực tiếp đến vị trí và trục của mặt cầu.

Hình vuông: O là giao Hình chữ nhật: O là giao ∆ đều: O là giao điểm của 2 điểm 2 đường chéo điểm của hai đường chéo đường trung tuyến (trọng tâm).

∆ vuông: O là trung điểm ∆ thường: O là giao điểm của hai đường của cạnh huyền trung trực của hai cạnh ∆.

5.2 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Để xác định mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.A1A2 An (nếu tồn tại mặt cầu ngoại tiếp), người ta thường thực hiện hai bước Bước 1 là tìm tâm O sao cho OA1 = OA2 = = OS; về mặt hình học, điều này được thực hiện bằng giao của các đường trung trực của các đoạn SA_i hoặc bằng các mặt phẳng trung trực của các cạnh SA_iAj, nhằm tìm một điểm O có cùng khoảng cách tới mọi đỉnh Bước 2 là xác định bán kính R từ O tới bất kỳ đỉnh, ví dụ R = OS = OA1, và xác nhận mọi OA_i bằng nhau; nếu có, mặt cầu ngoại tiếp tồn tại và được mô tả bởi tâm O và bán kính R.

Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Lập mặt phẳng trung trực () của một cạnh bên.

 Tâm O của mặt cầu:   mp( )   O 

 Bán kính: R  SA   SO  Tuỳ vào từng trường hợp.

5.3 Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

5.3.1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Định nghĩa

Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.

Suy ra: MA  MB  MC  M  

Các bước xác định trục

Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy

Một số trường hợp đặc biệt

 Đáy là tam giác vuông

 Đáy là tam giác đều

 Đáy là tam giác thường

5.3.2 Kỹ năng tam giác đồng dạng

SMO đồng dạng với SIA  SO

M , S :   SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC

5.4 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện

Cho hình chóp S A 1 A 2 A n (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu Δ

S ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác I d đáy Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác D đáy C

Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.

 Bk: R  IA   IS  Tuỳ vào từng trường hợp.

5.5 Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu

Cạnh bên SA vuông góc đáy và

2 và tâm là trung điểm SC

Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, S chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là R D , khi đó : R 2 R D 2

 Nếu  ABC vuông tại A thì:

  a 2 Đáy là hình vuông cạnh a thì R D

 nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R D  a 3

Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA  SB  SC 

 ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai đường chéo.

 ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền.

 ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm.

Cho hai mặt phẳng SAB và ABC vuông góc với nhau và gặp nhau tại đường thẳng AB Khi đó ta gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC được xác định từ các tham số R1, R2 và AB, đồng thời các đặc điểm hình học phát sinh từ sự vuông góc giữa hai mặt phẳng cho phép rút ra các tính chất quan trọng của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện SABC.

Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O Khi đó ta giải phương trình:  SH  x  2  OH 2  x 2  R D 2

Với giá trị x tìm được ta có:

5.5.6 Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r  3V

TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY

6.5 Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay

6.6 Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi

6.7 Diện tích hình vành khăn

6.8 Thể tích hình xuyến (phép đối xứng trụcphao)

HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 80 1 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1.1 Các khái niệm và tính chất

Trong không gian ba chiều, ba trục Ox, Oy và Oz phân biệt và vuông góc với nhau Gốc tọa độ là O; trục Ox là trục hoành, trục Oy là trục tung và trục Oz là trục z Các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx được xác định bởi hai trục và chứa gốc O, đóng vai trò nền tảng để mô tả vị trí và chuyển động trong không gian.

1.1.2 Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz.

1.1.4 Tọa độ điểm M (x ; y ; z )  OM  xi  y j  zk

1.1.5 Các công thức tọa độ cần nhớ

 u v  u v cos(u ,v )  aa   bb   cc aa   bb   cc 

1.1.6 Chú ý là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong  0;

1.1.7 Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA  kMB

Công thức tọa độ của M là :  y  y A  ky B M

Nếu M là trung điểm AB thì MA  MB  0   y

1.1.9 Công thức trọng tâm tam giác

Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA  GB  GC  0   y G

1.1.10 Công thức trọng tâm tứ diện

Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì

1.1.11 Tích có hướng 2 véc tơ

Cho 2 véc tơ u  (a ; b; c ) và v  (a ; b ; c ) ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một

   véc tơ, kí hiệu  u, v  hay u  v có toạ độ:

  c c a a b  c  ;c  a  ;a  b    bc   b c ; ca   ac ; ab   ba 

1.1.12 Tính chất tích có hướng 2 véc tơ

1.1.13 Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ

 Diện tích hình bình hành ABCD : S  

 Ba véc tơ u, v, w đồng phẳng:  u , v 

 Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’ :

 Thể tích khối tứ diện S ABC : V  6 

1.2 Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp

1.2.1 Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải

 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.

 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

1.2.2 Xác định điểm trong không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích

 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.

 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

 Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.

 Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

 A, B , C thẳng hàng  AB , AC cùng phương  AB  k AC   AB ,AC   0

 ABCD là hình bình hành  AB  DC

 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc

Ta có: EB   EC , FB  FC

 A, B , C , D không đồng phẳng  AB , AC , AD không đồng phẳng

2.1 Các khái niệm và tính chất

2.1.1 Khái niệm về véc tơ pháp tuyến n khác 0 và có giá vuông góc mp P được gọi là véc tơ pháp tuyến của P

2.1.2 Tính chất của véc tơ pháp tuyến

Nếu n là véc tơ pháp tuyến của P thì kn , ( k 0) cũng là véc tơ pháp tuyến của P

2.1.3 Phương trình tổng quát của mp P

Phương trình tổng quát của mp P qua M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có véc tơ pháp tuyến n  (A;

2.1.4 Khai triển của phương trình tổng quát

Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax  By  Cz  D  0 (trong đó A, B , C không đồng thời bằng 0)

2.1.5 Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát

 P song song hoặc trùng Oxy A B 0

 P song song hoặc trùng Oyz B C 0

 P song song hoặc trùng Ozx A C 0

 P song song hoặc chứa Ox A 0

 P song song hoặc chứa Oy B 0

 P song song hoặc chứa Oz C 0

 P cắt Ox tại A a; 0; 0 , cắt Oy tại B 0; b; 0 và cắt Oz tại C 0; 0; c P có phương x y z trình a  b  c  1

2.1.6 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Cho M  x 0 ; y 0 ;z 0  và (P ) : Ax  By  Cz  D  0 ; d (M ,

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng   và (  ) được gọi là một chùm mặt phẳng

Gọi  d  là giao tuyến của hai mặt phẳng   : A 1 x  B 1 y  C 1 z  D 1  0 và

Khi đó nếu  P  là mặt phẳng chứa  d  thì mặt phẳng  P  có dạng : m Ax B y C z D n A x B y C z D 0

2.2 Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng    ta cần xác định một điểm thuộc    và một VTPT của nó.

 đi qua điểm M  x 0 ; y 0 ;z 0  và song song với: Ax By Cz 0 thì

 đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B ,C Khi đó ta có thể xác định một VTPT của  

   đi qua một điểm M và một đường thẳng  d  không chứa M :

 Trên  d  lấy điểm A và VTCP u

 đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng  d

 thì VTCP u của đường thẳng

 chứa đường thẳng cắt nhau d 1 , d 2 :

 Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d 1 , d 2.

 Lấy một điểm M thuộc d 1 hoặc d 2  M    

  chứa đường thẳng d 1 và song song với đường thẳng d 2 ( d 1 , d 2 chéo nhau ) :

 Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d 1 , d 2.

   đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 :

 Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d 1 , d 2.

   chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng    :

 Xác định VTCP u của d và VTPT n  của   

   đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau    ,    :

 Xác định các VTPT n  ,n  của    và   

  chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm

 Giả sử () có phương trình: Ax  By 

 Lấy 2 điểm A, B   d   A, B     ( ta được hai phương trình 1 , 2 )

 Từ điều kiện khoảng cách d (M ,())  k , ta được phương trình  3 

 Giải hệ phương trình 1 , 2 , 3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

  là tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H :

 Giả sử mặt cầu  S  có tâm I và bán kính R.

 Một VTPT của   là: n  IH

2.3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng  P  : A x  B y  Cz  D  0 và  P   : Ax  By  Cz  D

2.4 Khoảng cách và hình chiếu2.4.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Khoảng cách từ điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  đến mặt phẳng () : Ax  By  Cz  D  0 là d  M 0 ,() 

2.4.2 Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2.4.3 Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng

 Điểm H là hình chiếu của điểm M MH , n cung phuong trên  P   

2.4.4 Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng Điểm M ' đối xứng với điểm M qua  P   MM  

2.5 Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa    ,    bằng hoặc bù với góc giữa hai

2.6 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Cho mặt phẳng    : Ax  By Cz  D  0 và mặt cầu  S  : (x  a) 2  (y  b) 2  (z  c) 2  R 2 có tâm I

   và  S  không có điểm chung  d (I ,())  R

    tiếp xúc với  S   d (I ,())  R với    là tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

 Tìm toạ độ giao điểm H của d và    H là tiếp điểm của  S  với   .

   cắt  S  theo một đường tròn  d (I ,())  R Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của  S  và vuông góc với  

 Tìm toạ độ giao điểm H của d và    Với H là tâm của đường tròn giao tuyến của  S  với   .

 Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r  R 2 IH 2

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

3.1 Phương trình của đường thẳng

3.1.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng 3.1.1.1 Ðịnh nghĩa

Cho đường thẳng d Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với thì a được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d Kí hiệu: a  (a 1 ; a 2 ; a

 a là VTCP của d thì k a (k  0) cũng là VTCP của d

 Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d

 Trục Ox có vectơ chỉ phương a  i  (1; 0; 0)

 Trục Oy có vectơ chỉ phương a  j  (0;1; 0)

 Trục Oz có vectơ chỉ phương a  k  (0; 0;1)

3.1.2 Phương trình tham số của đường thẳng đường phẳng d

3.1.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) đi qua điểmM 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và x  x 0 y  y 0 z  z 0

3.2.1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

3.2.1.1 Phương pháp hình học Định lý

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

 z  z 0 và quaM 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và mặt phẳng () : Ax  By  Cz  D

Muốn tìm giao điểm M của  và   ta giải hệ phương trình:   tìm x , y, z Suy ra:

Thế  1  ,  2  ,  3  vào phương trình mp  P và rút gọn dưa về dạng: at  b  0 (*)

 d cắt mp P tại một điểmpt * có một nghiệm t

 d song song với P pt * vô nghiệm.

 d nằm trong  P   Pt  *  có vô số nghiệm t

 d vuông góc  P   a và n cùng phương

3.2.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:  1 đi qua M và có một vectơ chỉ phương u 1

 2 đi qua N và có một vectơ chỉ phương u 2

Muốn tìm giao điểm M của ( 1 ) va (  2 ) ta giải hệ phương trình :  pt( 2

3.2.3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu  S  đến đường thẳng d là

 Nếu d(I,d)  R thì d cắt  S  tại hai điểm phân biệt M, N và MN vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu

Thế  1  ,  2  ,  3  vào phương trình  S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t  * 

 Nếu phương trình * vô nghiệm thì d không cắt S

 Nếu phương trình  *  có một nghiệm thì d tiếp xúc  S 

 Nếu phương trình  *  có hai nghiệm thì d cắt  S  tại hai điểm phân biệt M, N

Chú ý: Ðể tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d

3.3.1 Góc giữa hai mặt phẳng

Nội dung Hình vẽ Định lý

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình :

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có công thức: cos  A 1 A 2  B 1 B 2  C 1 C 2

3.3.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng ( ) : x  x 0 y  y 0  z  z 0 c a b và mặt phẳng () : Ax  By  Cz  D  0

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ()ta có công thức: sin 

3.3.3 Góc giữa hai đường thẳng

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( 1 ) & ( 2 ) ta có công thức: cos  3.4 Khoảng cách aa '  bb '  cc ' a 2  b 2  c 2 a '2  b '2  c '2

3.4.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

12 Cho mặt phẳng () : Ax  By  Cz  D  0 và điểm

Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng () được tính bởi : d (M 0

3.4.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có

VTCP u  (a ; b; c ) Khi đó khoảng cách từ điểm M 1 đến () được tính bởi công thức: d (M 1 , )

3.4.3 Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau

Nội dung Hình vẽ Định lý:

Trong không gian  Oxyz  cho hai đường thẳng chéo nhau :

Khi đó khoảng cách giữa ( 1 ) va (  2 ) được tính bởi

3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nó.

 o 1 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTCP a  (a 1 ; a 2 ; a 3 ) là(d): y  y o  a 2 t ( t R).

3.5.2 Dạng 2 d đi qua hai điểm A, B : Một VTCP của d là AB

3.5.3 Dạng 3 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP của  cũng là VTCP của d

3.5.4 Dạng 4 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d 

 P  nên VTPT của  P  cũng là VTCP của d

3.5.5 Dạng 5 d là giao tuyến của hai mặt phẳng P , Q :

Tìm một điểm và một VTCP.

 Tìm toạ độ một điểm A d : bằng cách giải hệ phương trình giá trị cho một ẩn)

Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

3.5.6 Dạng 6 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d 1 , d 2 :

3.5.7 Dạng 7 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng 

 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng  Thì  H 

 đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0, H.

Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d ;  Q  là mặt phẳng đi qua

3.5.8 Dạng 8 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 :

Gọi M 1  d 1 , M 2  d 2 Từ điều kiện M, M 1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1, M 2 Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d

Gọi  P   (M 0 , d 1 ) ,  Q   (M 0 , d 2 ) Khi đó d   P    Q  Do đó, một VTCP của d có

3.5.9 Dạng 9 d nằm trong mặt phẳng  P  và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 :

Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  và d 1 , mặt phẳng  Q chứa  và d 2

3.5.11 Dạng 11 d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2 chéo nhau:

Gọi M  d , M  d Từ điều kiện  1 , ta tìm được M, N Khi đó, d là

1 2 nên một VTCP của d có thể là: a  a d 1

 Lập phương trình mặt phẳng  P  chứad và d 1 , bằng cách:  Lấy một điểm A trên d 1

Một VTPT của  P  có thể là: n P  a , a d 

 Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q  chứad và d 2 Khi đó d   P    Q

 là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng P thì ta Lập phương trình mặt phẳng chứa  và vuông góc với mặt phẳng  P  bằng cách:

Vì  Q  chứa  và vuông góc với  P  nên n Q   a  ,n P 

3.5.13 Dạng 13 d đi qua điểm M , vuông góc với d 1 và cắt d 2 :

Gọi N là giao điểm củad và d 2 Từ điều kiện MN  d 1, ta tìm được N Khi đó, d là đường thẳng MN.

 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M và vuông góc với d 1

 Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa M và d 2

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

3.6.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.

3.6.2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

3.6.3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.

3.7.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

Cho đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP a thì d (M , d)  a

 Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.

 Gọi N  x; y; z   d Tính MN 2 theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d).

 Tìm t để MN 2 nhỏ nhất.

 Khi đó N  H Do đó d  M , d   MH

3.7.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 Biết d 1 đi qua điểm M 1 và có VTCP a 1 , d 2 đi

 a 1 , a 2  M 1 M 2 qua điểm M 2 và có VTCP a 2  

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 bằng khoảng cách giữa d 1 với mặt phẳng    chứa d 2 và song song với d 1.

3.7.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

3.7.4 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳngd với mặt phẳng    song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trênd đến mặt phẳng   

3.8.1 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP a 1 ,a 2

Góc giữa d 1 , d 2 bằng hoặc bù với góc giữa a 1 ,a 2 là: cos  a 1, a 2 a 1 a 2 a 1 a 2

3.8.2 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP a  (a 1 ; a 2 ; a 3 ) và mặt phẳng    có VTPT n  (A; B ;C )

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng    bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu

Aa 1 Ba 2 Ca 3 d ' của nó trên    là: sin d, A 2 B 2 C 2 a 2 a 2 a 2

Phương trình của mặt cầu  S  tâm I  a ; b ; c  , bán kính R là:

Phương trình  1  được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O thì (C ) : x 2  y 2  z 2  R 2

Phương trình : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d với a 2  b 2  c 2  d  0 là

 0 phương trình của mặt cầu  S

4.2 Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt phẳng () và mặt cầu  S  có phương trình :

Gọi d (I;) là khoảng cách từ tâm mặt cầu  S  đến mặt phẳng  Cho mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng  P 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P   d  IH  d  I ,  P  . d  R d  R

Mặt cầu và mặt phẳng Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: không có điểm chung  P  là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H : tiếp điểm. d  R

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I  và bán kính r  R 2  IH 2

4.3 Một số bài toán liên quan

 S  có tâm I  a ; b ; c  và bán kính R thì  S  : (x  a ) 2  (y  b ) 2  (z  c ) 2 

 S  có tâm I  a ; b ; c  và đi qua điểm A thì bán kính R  IA.

 S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

 Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng

 S  đi qua bốn điểm A, B, C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)

 Giả sử phương trình mặt cầu  S  có dạng: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0  * 

 Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B , C , D vào *  , ta được 4 phương trình.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

 Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c,d  Phương trình mặt cầu  S 

 S  đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng  P  cho trước thì giải tương tự dạng 4

 S  có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu  T  cho trước:

 Xác định tâm I và bán kính R ' của mặt cầu  T .

 Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu  S 

(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)

Với phương trình mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 thì  S  có tâm I –a ; –b ; –c  và bán kính R  a 2  b 2  c 2  d Đặc biệt:

  S 1  ,  S 2 cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao tuyến).

Viết phương trình mặt cầu  S

 có tâm I  a; b ;c , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho trước thì bán kính mặt cầu R  d  I ;  P

Viết phương trình mặt cầu  S

Cho một hình cầu có tâm I(a, b, c) Khi cắt bởi mặt phẳng P cho trước, giao tuyến giữa hình cầu và mặt phẳng là một đường tròn thỏa điều kiện Từ diện tích đường tròn giao tuyến S = π r^2 hoặc từ chu vi đường tròn giao tuyến C = 2π r, ta có thể xác định bán kính r của đường tròn giao tuyến.

 Tính bán kính mặt cầu R  d 2  r 2

 Kết luận phương trình mặt cầu.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với một đường thẳng  cho trước và có tâm

I  a ; b ; c  cho trước thì đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu  S  ta có R  d  I,  .

Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với một đường thẳng  tại tiếp điểm M  x o , y o , z o  thuộc  và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau:

 Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng 

 Toạ độ tâm I   P    là nghiệm của phương trình.

 Bán kính mặt cầu R  IM  d  I,  

 Kết luận về phương trình mặt cầu  S 

Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm thoả mãn điều kiện:

 Độ dài AB là một hằng số.

 Tam giác IAB là tam giác vuông.

 Tam giác IAB là tam giác đều.

Thì ta xác định d  I ,    IH , vì

IAB được tính như sau:

I  a ; b ; c  và cắt đường thẳng  tại hai điểm A, B cân tại I nên HB  AB và bán kính mặt cầu R 2

Tập hợp điểm là mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất  P  nào đó.

 Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M

 Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

Tìm tập hợp tâm mặt cầu

 Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn: 

 Khử t trong  *  ta có phương trình tập hợp điểm.

 Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

5 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN

Cho  P  và hai điểm A, B Tìm M   P để  MA  MB  min ?

 Nếu A và B trái phía so với  P   M , A, B thẳng hàng  M  AB   P 

 Nếu A và B cùng phía so với  P  thì tìm B ' là đối xứng của B qua  P 

Cho  P  và hai điểm A, B Tìm M   P

 Nếu A và B cùng phía so với  P   M , A, B thẳng hàng  M  AB   P 

 Nếu A và B trái phía so với  P  thì tìm B ' là đối xứng của B qua  P 

Cho điểm M  x M ; y M ;z M  không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ Viết phương trình

 P  qua M và cắt 3 tia Ox , Oy ,Oz lần lượt tại A, B ,C sao cho V O ABC nhỏ nhất?

Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng d , sao cho khoảng cách từ điểm

Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A và cách M một khảng lớn nhất ?

Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d , sao cho  P  tạo với  (  không song song với d ) một góc lớn nhất là lớn nhất ?