Phân tích nội lực kết cấu dầm siêu tĩnh có dạng phi tuyến hình học

Bài viết Phân tích nội lực kết cấu dầm siêu tĩnh có dạng phi tuyến hình học trình bày phương pháp phân tích nội lực kết cấu dầm siêu tĩnh có dạng phi tuyến hình học. Với những kết quả nghiên cứu đạt được, nhóm tác giả đã tiến hành nghiên cứu và giới thiệu giải thuật phương pháp phân tích nội lực trên nền tảng Mathcad Prime với lời giải chính xác cho vấn đề trên. Kết quả nghiên cứu có sự so sánh đối chiếu với các phần mềm thương mại khác như Etabs.

PHÂN TÍCH NỘI LỰC KẾT CẤU DẦM SIÊU TĨNH

CÓ DẠNG PHI TUYẾN HÌNH HỌC

Trần Tấn Phát & Nguyễn Lê Công

Khoa Xây Dựng, Trường Đại học Công Nghệ TP Hồ Chí Minh (HUTECH)

GVHD: TS Nguyễn Sơn Lâm

TÓM TẮT

Bài báo trình bày phương pháp phân tích nội lực kết cấu dầm siêu tĩnh có dạng phi tuyến hình học Với những kết quả nghiên cứu đạt được, nhóm tác giả đã tiến hành nghiên cứu và giới thiệu giải thuật phương pháp phân tích nội lực trên nền tảng Mathcad Prime với lời giải chính xác cho vấn đề trên Kết quả nghiên cứu có sự so sánh đối chiếu với các phần mềm thương mại khác như Etabs

Từ khóa: dầm siêu tĩnh, dầm phi tuyến hình học, Etabs, Mathcad Prime, nội lực dầm

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong thực tế việc thiết kế kết cấu phải tiết kiệm nhằm hạ giá thành sản phẩm và tăng lợi nhuận, nhờ giảm trọng lượng bản thân kết cấu, giảm chi phí vật liệu sử dụng Đồng thời giúp tải trọng truyền xuống móng cũng giảm đi theo, hiển nhiên sẽ giúp giảm chi phí của móng hoặc kích thước móng Nhưng bên cạnh đó do việc giảm trọng lượng bản thân kết cấu bằng cách thay đổi kích thước hình học của dầm là một vấn đề khó và đòi hỏi người kỹ sư phải nắm rõ các kỹ thuật tính toán, dựng hình nếu không sẽ dễ xảy ra những sai sót không đáng

có Hiện nay với sự phát triển của công nghệ máy tính phương pháp phần tử hữu hạn có những bước tiến vượt bậc tuy nhiên việc đưa ra lời giải chính xác cho các kết cấu dầm có dạng phi tuyến hình học vẫn còn nhiều vấn

đề cần phải bàn, độ tin cậy chưa cao Chính vì lý do này, nhóm nghiên cứu đã mạnh dạng áp dụng các kỹ thuật lập trình trên nền tảng Mathcad Prime (Brent Maxfiel, 2006) giới thiệu đến các bạn sinh viên, kỹ sư xây dựng phương pháp và giải thuật các bài toán dạng dầm phi tuyến (Carrera et al., 2011) nhằm có cơ sở so sánh đối chiếu từ đó đánh giá được mức độ tin cậy khi sử dụng các phần mềm phần tử hữu hạn khác như Etabs (Carrera

et al., 2011)

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Ta xét trường hợp dầm chịu tác dụng của

nhiều loại tải trọng, viết các hàm lực cắt

Qy(z) và moment uốn Mx(z) theo z Sau đó

chú thích các giá trị của z để vẽ được các

phương pháp mặt cắt xét cân bằng lực và

tìm mối quan hệ giữa lực cắt và moment:

Viết phương trình cân bằng nội lực ta được:

(1)

(2)

Các phương trình (1) và (2) cũng có thể viết dưới dạng

và

(4)

Để xác định mối quan hệ giữa moment và bán

kính cong ρ của một đường cong đàn hồi tại một

điểm, ta phân tích trường hợp phổ biến là dầm

bị biến dạng đàn hồi bởi tải trọng tác dụng

vuông góc với trục thanh của dầm và nằm trong

mặt phẳng uốn xy (Karnovsky & Lebed, 2010)

Khi này, do dầm có chiều dài lớn hơn nhiều so

với chiều cao của tiết diện ngang dầm Biến

dạng dầm khi này thực chất có thể xem là sự

uốn cong

Hình 2 – mối quan hệ giữa moment và bán kính cong ρ

Trong quá trình dầm bị uốn cong tại tâm uốn O’ nào đó, với tác dụng của moment

uốn, đoạn dầm dz bị biến dạng một góc dθ (hình 2) Bán kính cong ρ xác định như

sau:

(5)

Nếu vật liệu đồng nhất và đàn hồi tuyến tính, thì áp dụng luật Hooke ta có (6): (6)

( )

y

dQ

q z

( )

x y

dM

Q z

dz =

( )

y

dQ = q z dz  dMx = Q dzy

( )

y

( )

1

y



E



Theo sức bền vật liệu, ta có:

(7)

Từ (5) và (6) Kết hợp hai phương trình này và thay thế vào phương trình (7), ta có:

(8)

Dấu của ρ do phụ thuộc vào chiều của

moment Như trong hình 3, khi M dương, ρ

kéo dài phía trên dầm, tức là theo chiều

dương trục y; Khi M là âm, ρ kéo dài dưới

dầm, hoặc theo hướng âm trục y

Hình 3 – xác định dấu quy ước của ρ

Phương trình của đường cong đàn hồi đối với chùm có thể được biểu diễn

về mặt toán học là y = f (z) Để có được phương trình này, trước tiên

chúng ta phải biểu diễn độ cong theo y và z Trong hầu hết các sách

giải tích, người ta chỉ ra rằng mối quan hệ này là:

(9)

Thay (9) vào (8) ta được:

(10)

Phương trình có dạng phương trình vi phân bậc hai phi tuyến Biểu diễn

một phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến Để giải được nghiệm chính

xác là một vấn đề khó Ta dùng phương pháp gần đúng như sau:

Do là rất bé Do đó, Khi này:

(11)

Ta có thể viết lại:

(12)

Thay công thức (12) vào (2), ta được:

(13)

x x

I I

1 Mx EI

1/ 

3

2 2

d y dz

dy dxz

3

2 2

/

x

M

d y dz

EI

dy dz

=

dy

dz

2

0

dy dz

2 2

dz

2

2

dz = EI

2

2

( d Qy) y( )

d

Với ta được: (14)

Trong hầu hết các trường hợp độ cứng EI sẽ

không đổi dọc theo chiều dài của dầm, giả sử

trường hợp này xảy ra có thể sắp xếp thành 3

phương trình sau:

(15)

(16)

(17)

3 THÍ DỤ ÁP DỤNG

Cho dầm chịu uốn, chịu tải trọng như hình Biết lực tập trung Pk = 20 kN, moment tập trung Mk = 10 kN٠m, lực phân bố với q1 =

8 kN/m, q2 = 5 kN/m Biết a = 0,5m; chiều dài dầm L= 16.a và dầm có tiết diện chữ T với chiều cao dầm thay đổi hs(z) theo z, bề rộng cánh bs = 300mm, tw = 100mm, tt = 100mm không đổi suốt dọc chiều dài dầm, mô đun đàn hồi của vật liệu là E = 2٠10 5 MPa

Yêu cầu

1 Vẽ biểu đồ lực cắt Qy và moment uốn Mx;

2 Vẽ biểu đồ góc xoay θx và chuyển vị uy;

1 Vẽ biểu đồ lực cắt Qy và moment uốn Mx;

Biểu đồ lực cắt Qy:

( ) dQy

q z

dz

d

4

d Q

dx

3

d Q

dz

2

d Q

dz

Biểu đồ moment uốn Mx:

2 Vẽ biểu đồ góc xoay θx và chuyển vị uy;

Biểu đồ góc xoay θx:

Biểu đồ chuyển vị uy:

Kết quả so sánh kết quả tính toán Etabs và Mathcad

Vị trí

(m)

Prime ΔMx (%)

3.50 11.480 11.490 -0.087 3.797 3.730 1.796

Vi tri

(m)

Prime Δδy (%)

2.00 0.000401 0.00036 11.41 -0.07416 -0.07711 -3.83

4 KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ

Thông qua kết quả nghiên cứu, nhóm nhận thấy rằng: việc phân tích nội lực và biến dạng cho dầm phi tuyến hình học Nhóm nghiên cứu nhận thấy rằng các thuật toán được lập trình trên nền tảng Mathcad Prime cho kết quả với độ chính xác cao khi so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn trên nền tảng phần mềm thương mại Etabs Tuy nhiên, kết quả phân tich ta nhận thấy rằng: Trong đoạn dầm AB tiết diện dầm thay đổi tuyến tính thì kết quả tính toán chấp nhận được khi sai số dưới 5% Tuy nhiên, với đoạn BC tiết diện dầm thay đổi dạng bậc 2 thì kết quả cho sai số rất lớn Lý do là hiện nay phần mềm Etabs vẫn chưa hỗ trợ tiết diện dạng này Đây cũng là những hạn chế của phần mềm Chính vì vậy nhóm nghiên cứu đã sử dụng kỹ thuật tuyến tính hoá từng

các bạn sinh viên, kỹ sư thiết kế kết cấu có thêm nguồn tài liệu để tham khảo và đánh giá được độ tin cậy của phần phần phần tử hữu hạn mà đang được sử dụng phổ biến hiện nay ở Việt Nam

Nhóm nghiên cứu hy vọng các kỹ sư thiết kế kết cấu cần cẩn trọng trong việc thiết kế các kết cấu có tiết diện dạng phi tuyến hình học như thế này Đặc biệt là phần mềm Etabs bởi độ tin cậy của nó hiện chưa cao

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Brent Maxfiel (2006) Engineering with Mathcad: Using Mathcad to Create and Organize Your

Engineering Calculations Elsevier’s Science http://books.elsevier.com

2 Carrera, E., Giunta, G., & Petrolo, M (2011) Beam Structures Classical and Advanced Theories A John

Wiley & Sons

3 Karnovsky, I A., & Lebed, O (2010) Advanced methods of structural analysis In Advanced Methods of

Structural Analysis https://doi.org/10.1007/978-1-4419-1047_9