BÁO cáo bài tập lớn đại số TUYẾN TÍNH đề tài STOCHASTIC MATRIX

Giới thiệu chung: Ma trận ngẫu nhiên được phát triển lần đầu tiên bởi Andrey Markov vào đầu thế kỷ 20, và đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm lý thuyết xác suất, thốn

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

GVHD: Nguyễn Anh Thi Lớp: L14

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH



ĐỀ TÀI 24

1/ Giới thiệu Stochastic matrix

2/ Viết chương trình sử dụng Stochastic matrix để giải một ví dụ

c ụ thể

3/ Nêu một vài ứng dụng của Stochastic matrix.

Gi ảng viên hướng dẫn : Nguy ễn Anh Thi

L ời nói đầu

Các mức năng lượng của một hệ hạt nhân được mô tả bởi các giá trị riêng của một toán tử Hermit trong không gian Hilbert mà số chiều có thể vô hạn Do vậy, khi tính toán ta phải đối mặt với không ít khó khăn Vào những năm 1950, khi nghiên cứu về vấn đề đó, Eugene Wigner chỉ ra rằng thay vì phải đối mặt với toán tử trên không gian

vô hạn chiều như trên, chúng ta có thể mô tả một hệ phức tạp các hạt nhân nguyên tử bởi một ma trận có các phần tử là các biến ngẫu nhiên (ma trận ngẫu nhiên) Với những ràng buộc nào đó về phân bố của các phần tử, ta có thể tìm ra phân bố của các giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên, từ đó có thể mô tả được các mức năng lượng của

L ời cảm ơn

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Nguyễn Anh Thi trong những ngày qua

đã không ngại khó khăn mà đã cố vấn, giúp đỡ cho nhóm chúng em có thể hoàn thành được bài báo cáo này Cũng như là các thành viên nhóm 11 lớp L14 đã cùng cố gắng, hợp tác với nhau để tạo ra sản phẩm cuối cùng là bài báo cáo này!

7 Lê Hoàng Vĩnh Đan 2011042

8 Nguy ễn Văn Thanh Tùng 2015001

M ỤC LỤC

1 Giới thiệu chung Stochastic matrix 7

Ph ần I: Giới thiệu Stochastic matrix

Với bài báo cáo về “Stochastic Matrix” – Ma trận ngẫu nhiên này thì nhóm chúng

em muốn làm rõ các vấn đề như nội dung, định nghĩa, ý nghĩa, ứng dụng, mở rộng của loại ma trận này giúp mọi người có được cái nhìn tổng quan hơn về nó bởi lẽ chúng em nhận thấy được mô hình này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế từ sinh học, tự nhiên cho đến chứng khoán, các trò chơi trí tuệ Các ví dụ điển hình như “Bước

đi ngẫu nhiên” hay “Sai lầm của con bạc” cũng là những ứng dụng được rút ra từ mô hình

1 Giới thiệu chung:

Ma trận ngẫu nhiên được phát triển lần đầu tiên bởi Andrey Markov vào đầu thế

kỷ 20, và đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm lý thuyết xác suất, thống kê, tài chính toán học và đại số tuyến tính, cũng như khoa học máy tính và di truyền dân số

Có một số định nghĩa và loại ma trận ngẫu nhiên khác nhau:

• Một ma trận ngẫu nhiên phải là ma trận vuông thực, với mỗi hàng có tổng là 1

• Một ma trận ngẫu nhiên trái là ma trận vuông thực, với mỗi cột có tổng là 1

• Một ma trận ngẫu nhiên kép là ma trận vuông gồm các số thực không âm với mỗi hàng và cột có tổng bằng 1

Trong cùng một mạch, người ta có thể xác định một vectơ ngẫu nhiên (cũng được gọi là vectơ xác suất ) dưới dạng vectơ có các phần tử là số thực không âm có tổng

bằng 1 Do đó, mỗi hàng của ma trận ngẫu nhiên bên phải (hoặc cột của ma trận ngẫu nhiên bên trái) là một vectơ ngẫu nhiên

Một quy ước chung trong văn học toán học tiếng Anh là sử dụng vectơ hàng xác suất và ma trận ngẫu nhiên phải thay vì vectơ cột xác suất và ma trận ngẫu nhiên trái

A Lịch sử:

Stochastic Matrix được phát triển cùng với chuỗi Markov bởi Andrey Markov , một người Nga nhà toán học và giáo sư tại St Đại học Petersburg người lần đầu tiên xuất bản về chủ đề này vào năm 1906 Mục đích sử dụng ban đầu của ông là để phân tích ngôn ngữ và các môn toán học khác như trộn thẻ, nhưng cả chuỗi và ma trận Markov nhanh chóng được sử dụng trong các lĩnh vực khác

Stochastic Matrix được phát triển thêm bởi các học giả như Andrey Kolmogorov, người đã mở rộng khả năng của chúng bằng cách cho phép các quy trình Markov thời gian liên tục Vào những năm 1950, các bài báo sử dụng ma trận ngẫu nhiên đã xuất hiện trong các lĩnh vực kinh tế lượng và lý thuyết mạch Vào những năm 1960, ma trận ngẫu nhiên đã xuất hiện trong rất nhiều công trình khoa học khác nhau, từ khoa học hành vi đến địa chất đến quy hoạch khu dân cư Ngoài ra, nhiều công trình toán học cũng được thực hiện trong những thập kỷ này để cải thiện phạm vi sử dụng và chức năng của ma trận ngẫu nhiên và quy trình Markovian nói chung

Từ những năm 1970 đến nay, ma trận ngẫu nhiên đã được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực yêu cầu phân tích chính thức, từ khoa học cấu trúc đến chẩn đoán y tế đến quản lý nhân sự Ngoài ra, ma trận ngẫu nhiên được sử dụng rộng rãi trong mô hình biến đổi đất đai, thường dưới thuật ngữ ma trận Markov

(*) Chuỗi Markov hay còn gọi là xích Markov là một quá trình ngẫu nhiên mô tả một dãy các biến cố khả dĩ trong đó xác suất của mỗi biến cố chỉ phụ thuộc vào trạng thái của biến cố trước đó Một dãy vô hạn đếm được, trong đó xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc, cho ta một xích Markov thời gian rời rạc (DTMC) Một quá trình diễn ra trong thời gian liên tục được gọi là xích Markov thời gian liên tục (CTMC) Chúng được đặt tên theo nhà toán học người Nga Andrey Markov

Vì tổng xác suất chuyển đổi từ trạng thái i sang tất cả các trạng thái khác phải là

1, do đó ma trận này là ma trận ngẫu nhiên đúng

Tổng theo từng phần tử ở trên trên mỗi hàng i của P có thể được viết ngắn gọn hơn là P 1 = 1 , trong đó 1 là vectơ chiều S của tất cả các hàng đó Sử dụng điều này,

có thể thấy rằng tích của hai ma trận ngẫu nhiên P ′ và P ′ ′ cũng là ngẫu nhiên phải: P ′ P ′ ′ 1 = P ′ ( P ′ ′ 1 ) = P ′ 1 = 1 Nói chung, lũy thừa thứ k Pk của ma trận ngẫu nhiên phải P cũng là ngẫu nhiên đúng Xác suất chuyển từisangjtrong hai bước sau đó được cho bởi phần tử thứ( i , j )của bình phương P:

Nói chung, xác suất chuyển từ trạng thái bất kỳ sang trạng thái khác trong một chuỗi Markov hữu hạn được cho bởi ma trận P trong k bước được cho bởi P k

Một phân phối xác suất ban đầu của các trạng thái, xác định vị trí ban đầu của hệ thống và với những xác suất nào, được đưa ra dưới dạng một vectơ hàng

Một văn phòng phẩm vector khả π được định nghĩa là một bản phân phối, viết như một vector hàng, điều đó không thay đổi dưới áp dụng ma trận chuyển đổi; nghĩa là,

nó được định nghĩa là phân phối xác suất trên tập {1,…, n } cũng là ký tự riêng hàng của ma trận xác suất, được liên kết với giá trị riêng 1:

Có thể chỉ ra rằng bán kính quang phổ của bất kỳ ma trận ngẫu nhiên nào là một Theo định lý vòng tròn Gershgorin , tất cả các giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng một Ngoài ra, mọi ma trận ngẫu nhiên bên phải đều có ký hiệu riêng cột "hiển nhiên" được liên kết với giá trị riêng 1: vectơ 1 , có tọa độ tất cả đều bằng 1 (chỉ cần quan sát rằng nhân một hàng A với 1 bằng tổng các mục của hàng và do đó, nó bằng 1) Vì các giá trị riêng bên trái và bên phải của ma trận vuông giống nhau, nên mọi ma trận ngẫu nhiên đều

có ít nhất một dấu hiệu riêng hàng được liên kết với giá trị riêng1 và giá trị tuyệt đối lớn nhất trong tất cả các giá trị riêng của nó cũng là 1 Cuối cùng, Định lý điểm cố định Brouwer (áp dụng cho tập lồi thu gọn của tất cả các phân phối xác suất của tập hữu hạn {1,…, n } ) ngụ ý rằng còn lại một số eigenvector cũng là một véc tơ xác suất đứng yên

Mặt khác, định lý Perron – Frobenius cũng đảm bảo rằng mọi ma trận ngẫu nhiên bất khả quy đều có một vectơ dừng như vậy và giá trị tuyệt đối lớn nhất của một giá trị riêng luôn là 1 Tuy nhiên, định lý này không thể áp dụng trực tiếp cho các ma trận như vậy vì chúng cần không phải là không thể thay đổi được

Nói chung, có thể có một số vectơ như vậy Tuy nhiên, đối với một ma trận có các mục nhập dương hoàn toàn (hoặc nói chung hơn là đối với ma trận ngẫu nhiên không thể quy đổi được), vectơ này là duy nhất và có thể được tính toán bằng cách quan sát rằng với bất kỳ i nào, chúng ta có giới hạn sau:

trong đó π j là phần tử thứ j của vectơ hàng π Trong số những điều khác, điều này nói rằng xác suất dài hạn của việc ở trạng thái j là độc lập với trạng thái ban đầu i Việc cả hai phép tính này cho cùng một vectơ đứng yên là một dạng của định

lý ergodic , thường đúng trong nhiều hệ động lực tiêu tán : hệ tiến hóa, theo thời gian, thành trạng thái tĩnh

Một cách trực quan, một ma trận ngẫu nhiên đại diện cho một chuỗi Markov; việc

áp dụng ma trận ngẫu nhiên vào phân phối xác suất sẽ phân phối lại khối lượng xác suất của phân phối gốc trong khi vẫn bảo toàn khối lượng tổng của nó Nếu quá trình này được áp dụng lặp đi lặp lại, phân phối sẽ hội tụ thành phân phối tĩnh cho chuỗi Markov

Định nghĩa:

Một quá trình Markov là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn tính chất Markov (đôi khi được gọi là "tính không ghi nhớ") Nói đơn giản, nó là một quá trình mà các kết quả ở tương lai có thể được dự đoán chỉ dựa trên trạng thái hiện tại và - quan trọng hơn - dự đoán ấy tốt bằng dự đoán dựa trên toàn bộ lịch sử của quá trình đó Nói cách khác, dựa trên trạng thái hiện tại của hệ thống, những trạng thái quá khứ và tương lai

là độc lập

Một xích Markov là một loại quá trình Markov có không gian trạng thái rời rạc hoặc tập chỉ số rời rạc (thường biểu diễn thời gian), tuy nhiên không có định nghĩa chính xác thống nhất Thông thường, một xích Markov còn được định nghĩa là một quá trình Markov trong thời gian liên tục hoặc rời rạc với không gian trạng thái đếm được (tức thời gian bất kỳ), nhưng cũng có định nghĩa khác coi xích Markov có thời gian rời rạc trong không gian trạng thái đếm được hoặc liên tục (tức không gian trạng thái bất kỳ)

Tính ch ất:

Ma trận chuyển đổi xác suất (ma trận Markov) có một số tính chất sau:

• Tổng các phần tử trong một cột của ma trận chuyển đổi bằng 1

• Ma trận chuyển đổi luôn có một trị riêng λ1 =1

• Mọi trị riêng λk của ma trận chuyển đổi thỏa |λk| ≤ 1

• Véctơ cột v được gọi là véctơ xác suất trạng thái, nếu các phần tử của nó không âm và tổng tất cả các phần tử của véctơ này bằng 1 Nếu v là véctơ xác suất trạng thái, thì Pv cũng là một véctơ xác suất trạng thái

12

• Ma trận chuyển đổi P được gọi là ma trận chuyển đổi chính quy, nếu tồn tại

số tự nhiên n thỏa Pn có tất cả các phần tử đều dương

Ma trận chuyển đổi chính quy có một trị riêng λ1 =1 với bội đại số của λ1 bằng 1

và tất cả các trị riêng λk còn lại thỏa |λk| <1

Véctơ xác suất trạng thái sẽ hội tụ về một véctơ cố định đúng cho ma trận

chuyển đổi chính quy và không phải luôn đúng cho mọi ma trận chuyển đổi

◆Mệnh đề 1: Nếu ma trận chuyển đổi là ma trận chính quy, thì véctơ xác xuất

trạng thái dần đến một véctơ cố định, khi n đủ lớn

◆Mệnh đề 2: Vécto xác suất trạng thái ổn định q đối với ma trận chuyển đổi

chính quy P là véctơ xác suất duy nhất thoả mãn phương trình P.q = q Từ mệnh đề,

ta có:

P.q = q ó q - P.q = 0 ó (I - P).q = 0

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (I - P).q = 0 có một nghiệm là véctơ q với

hệ số không âm thoả mãn điều kiện q1+q2+…+qk = 1

2 Cơ sở lý thuyết

Ý tưởng chính:

13

để giải một ví dụ cụ thể

Chương trình sử dụng Stochastic Matrix để giải quyết 1 bài toán cụ thể:

Trong lý thuyết xác suất, mô hình Markov là một mô hình Stochastic được sử dụng

để mô hình hóa các hệ thống thay đổi giả ngẫu nhiên

Do vậy một bài toán trong mô hình Markov cũng là một phần ứng dụng của

Stochastic

Và giờ ta sẽ xem xét chương trình để giải bài toán sau:

Bài toán: Rex Box có những cửa hàng ở Atlanta, nơi mọi người có thể mướn đĩa phim Bạn có thể trả đĩa ở bất cứ cửa hàng nào của Rex Box Giả sử có 3 cửa hàng ở Atlanta, mỗi khách hàng sẽ trả đĩa vào ngày tiếp theo ngày mướn, Đặt vt=(xt,yt,zt) là số đĩa phim Gone with the Wind ở mỗi cửa hàng sau t (ngày) Biết mỗi ngày sỗ đĩa phim này đều được mướn hết Số đĩa được trả ở cửa hàng 1 trung bình gồm 30% số đĩa mướn

từ cửa hàng 1, 40% đĩa mướn từ cửa hàng 2, 50% đĩa mướn từ cửa hàng 3 Số đĩa được trả ở cửa hàng 2 trung bình gồm 30% số đĩa mướn từ cửa hàng 1, 40% đĩa mướn từ cửa hàng 2, 30% đĩa mướn từ cửa hàng 3 Số đĩa được trả ở cửa hàng 3 trung bình gồm 40%

số đĩa mướn từ cửa hàng 1, 20% đĩa mướn từ cửa hàng 2, 20% đĩa mướn từ cửa hàng 3 Nhập vào số đĩa ban đầu của 3 cửa hàng và n (số ngày sau đó), tính số đĩa sau n ngày ở mỗi cửa hàng

Hướng giải thông thường:

Dựa theo đề bài ta dễ dàng lập được mô hình ma trận như sau :

𝐴 = (0.3 0.4 0.50.3 0.4 0.3

0.4 0.2 0.2)

Do đó, số lượng đĩa phim sau N ngày sẽ được tính theo công thức:

𝑉(𝑁) = 𝐴𝑛 × 𝑣0

14

Với 𝑣0 là ma trận chứa số lượng đĩa ban đầu ở 3 cửa hàng:

𝑣0 = (𝑥𝑦00

𝑧0)

Chương trình và code để giải quyết bài toán:

Link full source code chạy bằng Matlab GUI:

15

1) Hàm nhận giá trị từ edit text :

- Cú pháp: get(handles.<tag của edit text>,<loại dữ liệu>);

Ví d ụ: Ta muốn lấy giá trị từ edit text có tag là name lưu vào biến để dễ dàng xử lý tên

“SV”

SV=get(handles.name,'string')

2) Hàm xuất dữ liệu ra ô text :

- Cú pháp: set(handles.<tag của text nơi muốn xuất ra>,<loại dữ liệu>,<biến dữ liệu

- Cú pháp: <Tên ma trận>=[<các giá trị thuộc hàng 1, cách nhau bởi khoảng trắng>

; ; <các giá trị thuộc hàng n, cách nhau bởi khoảng trắng>]

- Ví d ụ: Ta muốn nhập ma trận A như sau vào :

Để mở chương trình, ta giải nén Zip vừa tải, mở folder tên StochasticMatrix, vào tiếp

thư mục for_testing và mở chương trình StochasticMatrix như hình:

16

Sau khi mở chương trình, thì đây là giao diện :

Ví d ụ: Ta nhập vào số lượng đĩa ở quầy

hàng 1 ban đầu là 100, quầy hàng 2 ban

đầu là 200, quầy hàng 3 ban đầu là 300

đĩa Với số ngày cần tính là 10 ngày:

Bấm TÍNH, ta được kết quả:

Vậy, sau 10 ngày số đĩa quầy hàng 2

là khoảng 233 đĩa, quầy hàng 2 là khoảng 200 đĩa và quầy hàng 3 là 167 đĩa

17

1 Ứng dụng

Ứng dụng của Stochastic matrix

Ban đầu bạn có $2 Bạn tham gia trò chơi cá cược với tỉ lệ thắng biết trước là p% Mỗi lần thắng bạn nhận được $1 Mục đích của bạn là làm tăng số tiền ban đầu bạn

có lên $4 Bạn sẽ ngừng chơi nếu số tiền của bạn đạt đến $4 hoặc mất hết về $0 Bạn sẽ mất bao nhiêu lần chơi để đạt được số tiền $4 Giả sử luật chơi luôn không đổi

➢ Hàng i có nghĩa chúng ta sẽ có i $ tương ứng với $0, $1, $2, $3, $4

➢ Nếu bạn đang có $4 bạn sẽ dừng chơi ( p44 = 1 ) (Số tiền giữ nguyên không đổi nên sẽ là 1 )

➢ Nếu bạn đang có $1 thì theo luật chơi (thắng hoặc thua) bạn sẽ có tỉ lệ p nhận được $2 khi thắng và tỉ lệ 1 – p mất hết về $0 khi thua ( p12 = 1 – 4 ; p32 = p )

➢ Nếu bạn đang có $2 tỉ lệ nhận được $3 và $1 lần lượt là p và 1 – p ( p43 = p

; p23 = 1 – p )

➢ Nếu bạn đang có $3 tỉ lệ nhận được $4 và $2 lần lượt là p và 1 – p ( p54 = p

; p34 = 1 – p )

18

➢ Nếu bạn đang có $4 bạn sẽ dừng chơi ( p44 = 1 ) (Số tiền giữ nguyên không đổi nên sẽ là 1 )

→Bạn sẽ không chơi nữa nếu số tiền là $0 hoặc $4 do đó p11 = p44 = 1 (Số tiền

sẽ giữ nguyên $0 hoặc $4)

𝑃 =[

→ Do mức thưởng của mỗi lần chơi chỉ là $1 nên xác xuất của các mức thưởng lớn hơn $1 so với số tiền hiện đang có trong tay sẽ là 0%

Tỉ lệ phần trăm trúng các mực đạt được sau 1 lần chơi là:

Với 𝑝2 − 2𝑝 + 1 là tỉ lệ phần trăm đạt được $0, −2𝑝2 + 𝑝 phần tram đạt được $2

và 𝑝2 phần trăm đạt được sau 2 lần chơi

Tỉ lệ phần trăm trúng các mức đạt được sau 3 lần chơi là: