Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach,những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, khônggian liên hợp và toán tử li
Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach
Không gian các hàm khả vi liên tục
Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0,1,2, là số nguyên không âm Kí hiệu
C m ([a, b];X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b] Khi m = 0,
C 0 ([a, b];X)là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản làC([a, b];X) TrênC m ([a, b];X) ta sử dụng chuẩn sau kFk C m m
Với chuẩn này, không gian C([a, b]; X) trở thành một không gian Banach, đảm bảo tính chất mới mẻ trong phân tích chức năng Định lý 1.1.1 chứng minh rằng nếu A là một toán tử tuyến tính đóng trong X và F là một hàm liên tục trên [a, b] với giá trị trong X, thì tổ hợp của A với F cũng thuộc không gian liên tục này, giúp mở rộng các ứng dụng của toán tử trong phân tích chức năng.
Chứng minh Xét một phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm mốc a = t 0 < t 1 < < t N =b và lấy tổng
Cho N → ∞ với điều kiện max1≤n≤N(t n −tn−1) → 0, ta được Rb a F(t)dt ∈ D(A) và
ARb a F(t)dt=Rb a AF(t)dt. Định lý 1.1.2 Cho a ∈ C([0, T],R) và f ∈ C([0, T],R) Nếu u ∈ C([0, T],R) ∩
C 1 ((0, T],R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân du dt +a(t)u≤f(t), 0< t≤T, (1.1) thì u(t)≤e − R 0 t a(τ)dτ u(0) +
Nói riêng, nếu a(t)≡δ >0và f(t)≡f >0 thì u(t)≤e −δt u(0) +f δ −1 , 0< t≤T.
Chứng minh Với mỗi t cố định, ta có d ds u(s)e − R s t a(τ)dτ
= [u 0 (s) +a(s)u(s)]e − R s t a(τ)dτ ≤f(s)e − R s t a(τ)dτ Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức này theo s trên đoạn [0, t], ta thu được u(t)−u(0)e − R s t a(τ)dτ ≤
Thêm vào đó, nếu f(t)≡f >0 thì u(t)≤e −δt u(0) +f δ −1 , 0< t≤T.
Không gian các hàm liên tục Holder
Với m = 0, 1, 2, và mũ σ nằm trong khoảng (0, 1), không gian C m+σ ([a, b];X) gồm các hàm khả vi liên tục đã qua m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] Chuẩn của không gian này được định nghĩa là kFk C m+σ, bao gồm chuẩn của không gian C m cộng với sup các điểm s, t trong [a, b], với s nhỏ hơn t, của độ chênh lệch giữa các đạo hàm cấp m tại t và s.
Với chuẩn này,C m+σ ([a, b];X)là một không gian Banach (xem [3, Tr 241]).
Khi σ = 1, tập C m,1 ([a, b]; X) bao gồm các hàm khả vi liên tục tới cấp m có đạo hàm cấp m liên tục Lipchitz trên [a, b] Chuẩn mFk C m,1 được định nghĩa bằng tổng của chuẩn mFk C m và phần giám sát hiệu ứng Lipchitz của đạo hàm cấp m trên khoảng [a, b], giúp đánh giá chính xác tính khả vi và độ mượt của các hàm trong tập này.
Tương tự như trong trường hợp trên, với chuẩn vừa chỉ raC m,1 ([a, b];X)là một không gian Banach (xem [1, Tr 10]).
Không gian các hàm liên tục Holder có trọng
Cho hai số mũ 0< σ < β ≤ 1, kí hiệu F β, σ ((a, b]; X) là không gian các hàm liên tục trên (a, b] (tương ứng trên[a, b]) khi 0< β max{1, σ α}, ta có kA 2 3 8 v(t)k L 2 ≤C ε h e − γσt 2β 2 kA 2 3 8 v 0 k L 2 +ku 2 0 k L 2
Nghiệm toàn cục
Cho U 0 ∈ K là giá trị đầu thỏa mãn ess.inf Ω v 0 (x) =ε 0 >0 Lấy ε >0 đủ nhỏ sao cho
Bài toán (3.5) với giá trị ban đầu U0 có một nghiệm địa phương thỏa mãn (3.8), đảm bảo v(t) ≥ ε Theo ước lượng (3.12) và (3.13), ta có thể mở rộng nghiệm địa phương này ra trên một khoảng thời gian phụ thuộc vào chuẩn kA 3 8 U0 k X (theo Hệ quả 2.3.1 trong Chương 2) Do đó, bài toán (3.5) đảm bảo duy nhất có một nghiệm toàn cục trên [0, ∞) trong không gian hàm.
Vì hàm U thỏa mãn điều kiện (3.8) đối với mọi t ≥ 0, nó không chỉ là nghiệm của phương trình (3.5) mà còn là nghiệm của phương trình (3.2) Chúng tôi sẽ chứng minh rằng bài toán (3.2) với các giá trị đầu trong tập K có duy nhất một nghiệm trong không gian hàm (3.14) Giả sử U = (u, v)ᵗ và Ũ = (˜u, ˜v)ᵗ là các nghiệm toàn cục của bài toán (3.2) với giá trị đầu U₀ thuộc tập K; ta xem xét tại một thời điểm dương t, chọn ε là một số dương phù hợp để
Ta thấy U = (u, v) t , U˜ = (˜u,v)˜ t là các nghiệm của Bài toán (3.5) trên đoạn [0, t].
Nhưng Bài toán (3.5) có nghiệm duy nhất trên [0, t], nên U ≡ U˜ trên [0, t] Nói riêng
Ước lượng toàn cục
VớiU 0 ∈ K,choU(t) = U(t, U 0 )là nghiệm toàn cục của Bài toán (3.5) trong Không gian hàm (3.14) với giá trị ban đầu U 0 Khi đó các Ước lượng (3.12), (3.13) cũng đúng cho nghiệm toàn cục.
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Các hệ số a, b, c, σ của hệ được giả định thỏa mãn các điều kiện c > 1 +σ
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
[1] R A Adams and J F Fourier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003.
[2] K Engel and R Nagel,A Short Course on Operator Semigroup, Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[3] L C Evans,Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998.
[4] A Gierer and H Meinhardt, A theory of biological pattern formation,Kybernetik 12(1972), 30-39.
[5] P Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, London, 1985.
[6] K Masuda and K Takahashi, Reaction-diffusion systems in the Gierer-Meinhardt theory of biological pattern formation, Japan J Appl Math 4(1987), 47-58.
[7] H Meinhardt,Models of Biogical Pattern Formation, Academic Press, 1982.
[8] M D Li, S H Hua and Y C Qin, Boundedness and blow up for the general activator-inhibitor model, Acta Math Appl Sinica 11(1995), 59-68.
[9] H Jiang, Global existence of solutions of an activator-inhibitor system, Discrete contin Dyn Syst.14(2006), 681-732.
[10] M Renardy and R C Rogers,An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2004.
[11] F Rothe, Global existence of Reaction-Diffusion Systems, Lecture Notes in Math
[12] E.M Stein, Singular Integrals and Differentiability, Princeton University Press, Princeton, 1970.
[13] H Triebel, Interpolation Theory, Fuction Spaces, Differential Operators, North-Holland, Amsterdam, 1978.